1、 2021-2022 学年度第一学期期末教学质量监测学年度第一学期期末教学质量监测 高中二年级数学科试题高中二年级数学科试题 温馨提示：请将答案写在答题卡上温馨提示：请将答案写在答题卡上.考试时间：考试时间：120 分钟分钟 满分满分 150分分 第第卷（选择题）卷（选择题） 一、单选题（共一、单选题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，满分分，满分 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.） 1. 设集合2Ax x=或3x ，1Bx x=，则AB =（ ） A. 1,3 B. ()1,23,+ C. ()2,3 D
2、. (),23,+ 2 若复数i (2i)z = +，则z =（ ） A. 12i + B. 12i+ C. 12i D. 1 2i 3. 已知数列 na的通项公式为22nna =+，则4a =（ ） A 12 B. 14 C. 16 D. 18 4. 为调查参加考试的高二级 1200名学生的成绩情况，从中抽查了 100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ） A. 1200名学生是总体 B. 每个学生是个体 C. 样本容量是 100 D. 抽取的 100 名学生是样本 5. 倾斜角为 45，在 y 轴上的截距为 2022的直线方程是（ ） A. 20220 xy+= B. 202
3、20 xy= C 20220 xy+= D. 20220 xy+= 6. 棱长为 1 的正四面体的表面积是（ ） A. 36 B. 312 C. 34 D. 3 7. 已知tan2=，则tan2=（ ） A. 2 23 B. 2 23 . C. 2 2 D. 2 2 8. 已知点(),2A a到直线l：30 xy+=+=的距离为 1，则a等于（ ） A. 21 B. 21+ C. 21 D. 21 二、多选题（共二、多选题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，满分分，满分 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对得全部选对得 5
4、 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.） 9. 下列四个选项中，正确的是（ ） A. 数列的图象是一群孤立的点 B. 数列 1，0，1，0，与数列 0，1，0，1，是同一数列 C. 数列12，23，34，45，一个通项公式是()*1nnanNn=+ D. 数列12，14，12n是递减数列 10. 已知直线a，b 和平面，若a，ab，则直线 b 与平面的位置关系可能是（ ） A. /b B. b与相交 C. b D. b 11. 已知双曲线C：2212xy=，下列对双曲线 C判断正确的是（ ） A. 实轴长是虚轴长的 2 倍 B. 焦距为 2 C. 离心率为
5、62 D. 渐近线方程为20 xy= 12. 已知正方体1111ABCDABC D，则下列说法正确的有（ ） A. 1111112A AADABA A+= B. ()11110ACABA A= C. 1AB 与1AD 的夹角为 60 D. 在面对角线中与直线1AD所成的角为 60的有 8条 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 三、填空题（共三、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，满分分，满分 20 分分.） 13. 若函数22yxmx=的递增区间是)1,+，则实数m =_. 的 14. 等比数列 na中，11a =，48a =，则数列 na的公比为_. 15. 若抛物线C：()220
6、ypx p=上的一点1,4pAy到它的焦点的距离为 3，则p =_. 16. 已知三棱锥ABCD中，AB 平面 BCD，1BCCD=，2BD =，3AB =，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为_. 四、解答题（共四、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约 10000 人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图： （1）求 x的值； （2）从该街道任选 1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过 60
7、分钟的概率. 18. 在ABC中，内角 A，B，C对应的边分别为 a，b，c，已知cossinaBbA=. （1）求 B； （2）若2a =，3c =，求 b 的值. 19. 已知点50,4N，直线l：430 xy=，直线 m 过点 N 且与l垂直，直线 m 交圆224xy+=于两点A，B. （1）求直线 m的方程； （2）求弦 AB 的长. 20. 已知等差数列 na的前n项和nS满足30S =，55S =. （1）求 na的通项公式； （2）设24nnba=+，求数列14nnb b+的前 n项和nT. 21. 如图，在四棱锥中PABCD中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD是边长为 2正
8、方形，3PA=. 的 （1）求证：BC 平面PAB； （2）求二面角APDB的平面角的余弦值. 22. 已知椭圆C：()222210 xyabab+=经过点()0, 1A，设右焦点 F，椭圆上存在点 Q，使 QF垂直于x 轴且33QF =. （1）求椭圆C的方程； （2）过点()0,2B的直线l与椭圆交于 D，G两点.是否存在直线l使得以 DG为直径的圆过点 E（-1，0）?若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由. 2021-2022 学年度第一学期期末教学质量监测学年度第一学期期末教学质量监测 高中二年级数学科试题高中二年级数学科试题 温馨提示：请将答案写在答题卡上温馨提示：请将答案写
9、在答题卡上.考试时间：考试时间：120 分钟分钟 满分满分 150分分 第第卷（选择题）卷（选择题） 一、单选题（共一、单选题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，满分分，满分 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.） 1. 设集合2Ax x=或3x ，1Bx x=，则AB =（ ） A. 1,3 B. ()1,23,+ C. ()2,3 D. (),23,+ 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念和运算直接得出结果. 【详解】由题意知， 1,23AB，I. 故选：B. 2. 若复数i (2i)z = +，则
10、z =（ ） A 12i + B. 12i+ C. 12i D. 1 2i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】由i (2i)12iz = += +， 故选：A 3. 已知数列 na的通项公式为22nna =+，则4a =（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 . 【分析】利用给定的通项公式直接计算即得. 【详解】因数列 na的通项公式为22nna =+，则有442218a =+=， 所以418a =. 故选：D 4. 为调查参加考试的高二级 1200名学生的成绩情况，从中抽查了 100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法
11、正确的是（ ） A. 1200名学生是总体 B. 每个学生是个体 C. 样本容量是 100 D. 抽取的 100 名学生是样本 【答案】C 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本容量、样本的定义，结合题意，即可判断和选择. 【详解】根据题意，总体是1200名学生的成绩；个体是每个学生的成绩； 样本容量是100，样本是抽取的 100 名学生的成绩；故正确的是 C. 故选：C. 5. 倾斜角为 45，在 y 轴上的截距为 2022的直线方程是（ ） A. 20220 xy+= B. 20220 xy= C. 20220 xy+= D. 20220 xy+= 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线斜
12、率与倾斜角的关系，结合直线斜截式方程进行求解即可. 【详解】 因为直线的倾斜角为 45， 所以该直线的斜率为tan451=， 又因为该直线在 y轴上的截距为 2022，所以该直线的方程为：202220220yxxy=+=， 故选：A 6. 棱长为 1 的正四面体的表面积是（ ） A. 36 B. 312 C. 34 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】采用数形结合，根据边长，结合正四面体的概念，计算出正三角形的面积，可得结果 【详解】如图 由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为 1， 所以13sin6024ABCSAB AC=，所以可知：正四面体的表面积为43ABC
13、S=， 故选：D 7. 已知tan2=，则tan2=（ ） A. 2 23 B. 2 23 C. 2 2 D. 2 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用正切的倍角公式，结合题干已知条件，代值即可求得结果. 【详解】因为tan2=，故可得22tan2 2tan22 21tan1 2= . 故选：C. 8. 已知点(),2A a到直线l：30 xy+=+=的距离为 1，则a等于（ ） A. 21 B. 21+ C. 21 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式，即可求得参数a的值. 【详解】因为点(),2A a到直线l：30 xy+=+=的距离为 1， 故可得112a+
14、=，整理得()212a+=，解得21a = . 故选：D. 二、多选题（共二、多选题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，满分分，满分 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对得全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.） 9. 下列四个选项中，正确的是（ ） A. 数列的图象是一群孤立的点 B. 数列 1，0，1，0，与数列 0，1，0，1，是同一数列 C. 数列12，23，34，45，的一个通项公式是()*1nnanNn=+ D. 数列12，14，12n是递减数列 【答案】AC
15、D 【解析】 【分析】利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可 【详解】对于 A，由数列的通项公式以及*nN可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项 A正确； 对于 B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项 B错误； 对于 C，观察法可得数列12，23，34，45，一个通项公式为1nnan=+时，故选项 C正确； 对于 D，因为()()()1110,222121nNnnnn n*-=-上的一点1,4pAy到它的焦点的距离为 3，则p =_. 【答案】4 【解析】 【分析】通过抛物线的定义列式求解 【详解】根据抛物线的定义知342pp+=，
16、所以4p =. 故答案为：4 16. 已知三棱锥ABCD中，AB 平面 BCD，1BCCD=，2BD =，3AB =，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为_. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意可知三棱锥ABCD的外接球即为三棱柱AEFBCD的外接球，进而求出三棱柱AEFBCD的外接球的半径即可得出结果. 【详解】因为1BCCD=，2BD =，所以222BCCDBD+=，故BCCD， 又因为AB 平面 BCD，因此三棱锥ABCD的外接球即为三棱柱AEFBCD的外接球，如图： 取BD的中点1O，则1O为BCD外接圆的圆心，取AF的中点2O，则2O为AEF外接圆的圆心，则12OO的中点O即为外接球
17、的球心，因此11322OOAB=，11222O DBD=, 因此22235222OD=+=，所以三棱锥ABCD的外接球的表面积为25452=， 故答案为：5. 四、解答题（共四、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约 10000 人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图： （1）求 x的值； （2）从该街道任选 1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过 60分钟的概率. 【答案】 （1）0.01
18、75x = （2）0.7 【解析】 【分析】 （1）利用概率和为 1 计算可得x的值； （2）求频率分布直方图中每人每日平均阅读时间超过 60 分钟的概率即为这个人阅读时间超过 60分钟的概率. 【小问 1 详解】 由()10.0050.0100.01250.0052020 x+= 得0.0175x = 【小问 2 详解】 ()0.01750.01250.005200.7+=， 估计这个人的每日平均阅读时间超过 60 分钟的概率为0.7 18. 在ABC中，内角 A，B，C对应的边分别为 a，b，c，已知cossinaBbA=. （1）求 B； （2）若2a =，3c =，求 b 的值. 【答
19、案】 （1）4B=； （2）5b =. 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理，将边化角转化cossinaBbA=，即可求得B； （2）利用余弦定理，结合（1）中所求，即可求得b. 【小问 1 详解】 在ABC中，由正弦定理得sincossinsinABBA=， 因为0A，所以sin0A，所以tan1B =， 又因为0B经过点()0, 1A，设右焦点 F，椭圆上存在点 Q，使 QF垂直于x 轴且33QF =. （1）求椭圆C的方程； （2）过点()0,2B的直线l与椭圆交于 D，G两点.是否存在直线l使得以 DG为直径的圆过点 E（-1，0）?若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由. 【
20、答案】 （1）2213xy+=； （2）存在，0 x =或726yx=+. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，列出, a b的方程组，求得, a b，则椭圆方程得解； （2）对直线DG的斜率进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，转化题意为0EG ED= ，求解即可. 小问 1 详解】 由题意，得1b =，设(),0F c，将xc=代入椭圆方程，得2bya= ， 所以233ba=，解得3a =，所以椭圆C的方程为2213xy+=. 【小问 2 详解】 当l斜率不存在时，即:0l x =时，D，G为椭圆短轴两端点， 则以DG为直径的圆为221xy+=，恒过点()1,0
21、E ，满足题意； 【 当l斜率存在时，设:2l ykx=+，()11,D x y，()22,G xy， 由22213ykxxy=+=得：()22131290kxkx+=， ()212 330k =，解得：21k 122121 3kxxk+= +，12291 3x xk=+， 若以DG为直径的圆过点()1,0E ，则EGED，即0EG ED= ， 又()111,EDxy=+ ，()221,EGxy=+ ， ()()()() ()()12121212111122ED EGxxy yxxkxkx=+=+ ()()()212121215kx xkxx=+ 2222992412501 31 3kkkkk+=+=+， 解得：76k =，满足21k ，即0，此时直线DG的方程为726yx=+ 综上，存在直线l使得以DG为直径的圆过点()1,0E ，l的方程为0 x =或726yx=+
