1、高二数学试题第 1 页 （共 5 页 ） 武昌区武昌区 2021-2022 学年度高二年级期末质量检测学年度高二年级期末质量检测 数学数学本试卷共 5 页，22 小题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液
2、。不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知R是实数集，集合 |12Axx，3 |02Bxx，则(RA)B A0，1 B(0，1 C0，1)D （0，1） 2已知复数13i1iz，则复数 z 的虚部是A2i B2iC2 D23已知单位向量a，b的夹角为4，2kab与a垂直，则k A12B22C2D24已知数列na为等差数列，且28142
3、aaa，则412tan()aa的值为 A33B3C3D35已知sin2cos ，则sin (1sin2 )sincosA65B25C25D656 设1F，2F是椭圆)0( 1:2222babyaxE的左、 右焦点，P为直线23ax 上一点，12PFF是底角为30的等腰三角形，则 E 的离心率为 高二数学试题 第 2 页 （共 5 页 ） A.12 B.23 C.34 D.45 7已知圆锥 SO 被平行于底面的平面所截，形成的圆台的两个底面面积之比为4:9，母线与底面的夹角是45，圆台轴截面的面积为20，则圆锥 SO 的体积为 A72 B72 3 C3043 D1523 8已知910m，1011
4、ma ，89mb ，则 A0ab B0ab C0ba D0ba 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符有多项符合题目要求合题目要求。全部选对的得全部选对的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 2 分分，有选错的得有选错的得 0 分分。 9下列函数中，最小正周期为，且在(0, )2上单调递增的是 A|sin|yx Bcos2yx Csin2yx D| tan|yx 10已知0 x ，0y ，且22xy，下列结论正确的是 Axy的最小值是 1 B22xy的最小值是45 C24xy的最小值是 4
5、D12xy的最小值是 9 11 已知某公司共有员工 20 000 人， 30 岁以下的员工有 8 000 人， 30 到 50 岁的员工 10 000人，为了了解公司员工的身体情况，进行分层抽样，抽取一个容量为 2 000 的样本，得到身体健康状况良好的比例如下：30 岁以下的员工占 99%，30 到 50 岁的员工占98%，其他员工占 96%下列说法正确的是 A从 50 岁以上的员工抽取了 200 人 B每名员工被抽到的概率为110 C估计该公司员工身体健康状况良好率为 97.7% （百分数保留一位小数） D身体健康状况欠佳的人数最多的年龄层是 30 岁到 50 岁 12如图，四边形 ABC
6、D 中，2ABBCAC，DA=DC=2，将四边形沿对角线 AC折起，使点 D 不在平面 ABC 内，则在翻折过程中，以下结论正确的是 高二数学试题 第 3 页 （共 5 页 ） A两条异面直线 AB 与 CD 所成角的范围是, 122 BP 为线段 CD 上一点（包括端点） ，当 CDAB 时，APB2 C三棱锥 DABC的体积最大值为33 D当二面角 D-AC-B 的大小为6时， 三棱锥 D-ABC 的外接球表面积为283 三三、填空题填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。 13二项式261(2)xx的展开式的常数项为_. (用数字填写答案) 14已知
7、 F 为双曲线22221xyab(0,0)ab的右焦点，经过 F 作一条与双曲线的渐近线垂直的直线 l，垂足为 A，点 A 在第一象限，直线 l 与双曲线的另一条渐近线在第四象限交于点 B，O 为坐标原点，若| 8|OBOA，则双曲线的离心率为_. 15已知1x是函数( )44xf xx的零点，2x是函数2( )log28g xxx的零点，则12xx的值为_. 16有 40 件产品，其中有 10 件次品，从中不放回地抽 18 件产品，最可能抽到的次品数 是_. 四四、解答题解答题：本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演
8、算步骤。 17 （10 分） 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2(sinsin)BC2sin A sinsinBC （1）求角A； （2）当 a=4，b+c=8 时，求ABC 的面积 A B C D 高二数学试题 第 4 页 （共 5 页 ） 18 （12 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且2(1)nnSa （1）求数列an的通项公式； （2）设21nnbna，求数列 nb的前n项和nT 19 （12 分） 甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一队比另一队多 2 分或打满 6 局时
9、停止设甲在每局中获胜的概率为23p （1）第二局比赛结束时比赛停止的概率； （2）设 X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 20.（12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，点 E 为 PC 的中点， AB/CD，CDAD，CD=2AB=2，PA=AD=1，PAAD （1）证明：BE平面 PCD； （2）求二面角 P-BD-E 的余弦值. A B CD E P 高二数学试题 第 5 页 （共 5 页 ） 21 （12 分） 已知动圆 M 过定点 A(2，0)，且在 y 轴上截得的弦长为 4，圆心 M 的轨迹为曲线 L. （1）求 L
10、 的方程； （2）已知点( 3, 2)B ，(2, 1)C，P 是 L 上的一个动点，设直线 PB，PC 与 L 的另一交点分别为 E，F，求证：当 P 点在 L 上运动时，直线 EF 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标 22 （12 分） 已知函数2e1,0,( )1,0,2xxf xaxax x 其中0a （1）若( )f x在R上单调递增，求实数 a 的取值范围 （2）对x20，x1，使得12()()f xf x，且120 xx，求实数 a 的取值范围 高二数学试题 第 1 页 （共 6 页 ） 武昌区武昌区 2021-2022 学年度学年度高二年级高二年级期末期末质量检测质量检测 数学
11、数学参考答案及评分细则参考答案及评分细则 一一、选择题选择题 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B D D B C C A A AD BC ABD BCD 三三、填空题填空题 1360 1443 15 - 4 16 4 四四、解答题解答题： 17 （ （10 分分） 解解： （1）由正弦定理及22(sinsin)sinsinsinBCABC，知22()bcabc， 化简得222bcabc. 由余弦定理知，2221cos222bcabcAbcbc， 因为(0,)A，所以3A （5 分） （2）由余弦定理知，2222222cos()3abcbcAbcbcbc
12、bc， 所以16643bc，即16bc ， 所以ABC的面积113sin164 3222SbcA（10 分） 18 （ （12 分分） 解解： （1）因为数列na的前n项和为nS，且2(1)nnSa， 所以，当1n 时，1122aa，解得12a . （1 分） 当2n时，1122(22)nnnnnaSSaa，整理得12nnaa， （3 分） 所以，数列na是首项、公比均为 2 的等比数列，所以2nna . （5 分） （2）由（1）可得：(21) 2nnbn. （6 分） 因为2311 23 252(23)2(21)2nnnTnn ， 所以23121 23 2(23)2(21)2nnnTnn
13、， （8 分） 两式相减，得2311 2222222(21)2nnnTn 112(12)1 2(21)212nnn 16(32 )2nn ，（10 分） 高二数学试题 第 2 页 （共 6 页 ） 所以，16(23)2nnTn. （12 分） 19 （ （12 分）分） 解：解： （1）依题意，当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时，第二局比赛结束时比赛结束 所以有22225(1)339 所以，第二局比赛结束时比赛停止的概率59 .（4 分） （2）依题意知，依题意知，X的所有可能值为 2，4，6 2X 表示当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时，第二局比赛结束5(2)9P X ， 4X 表示前二局的
14、比分为1:1,接下来有一队连胜 2 局，5520(4)(1)9981P X ， 6X 表示前二局的比分为1:1且前 4 局的比分为2:2,5516(4)(1)(1)9981P X . 所以随机变量X的分布列为： X 2 4 6 P 59 2081 1681 所以520162662469818181EX . .（12 分） 20.（12 分）分） 解：解： （1）证明：取PD的中点F，连接AF，EF， 则/ /EFCD，12EFCD 又/ /ABCD，12ABCD，所以/ /EFAB，EFAB， 所以四边形ABEF为平行四边形，所以/ /AFBE 因为1PAAD，PFFD，所以AFPD 所以BE
15、PD （1 分） 因为平面PAD平面ABCD，PAAD， 所以PA平面ABCD，所以PAAB， （2 分） 所以2PBBC. 又点E为PC的中点，所以BEPC （3 分） 又PCPDD，所以BE 平面PCD （4 分） （2）以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，（5 分） 则(0,0,0)A，(0,0,1)P,(1,0,0)B， A B CD E P F 高二数学试题 第 3 页 （共 6 页 ） (0,1,0)D,(2,1,0)C，1 1(1, )2 2E （6 分） 于是1,0, 1PB ，1,1,0BD ，1 10,2 2BE 设平面PBD的法向量为1111,nx y z，则1100
16、n PBn BD ， 得111100 xzxy取11x ，得11,1,1n . （8 分） 设平面EBD的法向量为 2222,nxyz ，则2200nBEnBD ， 得2222110220yzxy.取21x ，得21,1, 1n （10 分） 设二面角PBDE的平面角为，易知为锐角 所以1212121cos|cos,| |3|nnn nnn （12 分） 说明说明： （1）建系正确有 1 分； （2） 第二问方法正确，计算错误，也有分，比如给出公式：1212cos| |nnnn 就给 1 分； （3）不轻易给 0 分，只要书写了一定步骤，就给 1 分； （4）若用向量法进行证明，证明三条直线两
17、两垂直有 2 分. 21 （ （12 分）分） 解：解： （1） 设圆心(C x，)y， 圆的半径为R， 则22222220Rxxy， 得24yx 所以，动圆圆心的轨迹方程为24yx.（4 分） （2）证明：抛物线的方程为24yx，设20(4yD，0)y，21(4yE，1)y，22(4yF，2)y， 则直线EF的方程为1211221244yyyyxxyy， 得2111211121212124444xyy yxxxyyyyyyyyyy， A B CD E P F x z y 高二数学试题 第 4 页 （共 6 页 ） 又2114yx，所以直线EF的方程为1212124y yxyyyyy 同理可得
18、直线DE的方程为1010104y yxyyyyy， 直线DF的方程为0202024y yxyyyyy. 因为直线DE过点( 3, 2)B ，所以1101222yyy； 因为直线DF过点(2,1)C，所以22081yyy 消去0y，得1212104()33y yyy 代入EF的方程，得12411033yxyy， 所以直线EF恒过一个定点1 10,3 3. .（12 分） 22 （ （12 分）分） 解：解： （1） 0)0 xexaxaxfx， 因为 f x在 R 上单调递增，所以212yaxax在,0单调递增. 所以，10ya x 对,0 x 恒成立. 因为0a ，所以，0a .（4 分） （
19、2）当0a 时，由（1）知， f x在 R 上单调递增，不满足题意，0a . 此时，当,0 x 时，10ya x ， 所以， f x在,0单调递减，在0 ，单调递增. 因为20 x ，12f xf x，所以120 xx. 又120 xx，所以120 xx 因为 f x在0，单调递减，所以12f xfx. 又12f xf x，所以22f xfx. 高二数学试题 第 5 页 （共 6 页 ） 所以，2222112xeaxax ， 即22221102xeaxax 对任意20 x 恒成立 .（8 分） 方法方法 1：令 2112xg xeaxax，0 x ， 00g. xgxeaxa， 01ga .
20、当01a时， 010ga ， 易证1xex， 又11xa x ，所以0 xeaxa，即 0gx， 所以 g x在0 ，单调递增，所以， 00g xg， 所以，01a，22221102xeaxax 对任意20 x 恒成立 当1a 时， 010ga 又 xgxea， 当0,lnxa时， 0gx，所以， gx在0,lna单调递减， 所以0,lnxa时， 00gxg 所以 g x在0,lna单调递减， 00g xg. 所以当1a 时不满足题意 综上，01a .（12 分） 方法方法 2：由22221102xeaxax ，得2222112xeaxax 即22221112xaxaxe 令 2112xg xaxaxe，0 x 转化为 1g x 对0 x 恒成立. 01g， 因为 2112xgxaxae 当01a时，21102axa ， 0gx， g x在0，+单调递减， 所以， 01g xg，满足题意. 高二数学试题 第 6 页 （共 6 页 ） 当1a 时，210ax,a时， 0gx， g x在210ax,a单调递增， 所以， 01g xg，不满足题意 综上， 01a.（12 分）
