1、 南平市南平市 20212022 学年第二学期期末质量检测学年第二学期期末质量检测 高一高一数学数学 第第卷卷 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 40 分，分，在每小题给在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若i 21) i1 (=+z（i为虚数单位） ，则z= A210 B410 C25 D25 2某校的体能测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，已知甲、乙两个班的体能测试结果数据分别用条形图和扇形图描述，如图所示，若乙班的学生人数为 50 人，则下列结论不正确的是
2、A甲、乙两个班共有学生100人 B乙班体能测试等级不合格的人数为5人 C体能测试等级为良好以上（包含良好）的人数甲班与乙班一样 D体能测试等级为合格的人数甲班比乙班多 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设事件A=“点数为3” ，事件B=“点数大于3” ， 则下列结论正确的是 AA与B互为对立 BA与B互斥 CA与B相互独立 DBA 4若夹角为3的非零向量a，b满足1|=a且)(baa- -，则|b= A. 1 B. 3 C. 2 D. 3 5若m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是 A. 若m，n，/，则nm/ B. 若/m，m，则 C. 若，m=，nm，则n D. 若n
3、m ，m，m，则/n 6若向量) 1 , 1(=a，向量)3 , 4(=b，则向量a在向量b上的投影向量为 A)253,254( B)253,254( C)21,21( D)53,54( 7若函数0)(sin(2)(+=xxf，|2)的周期为，且对任意xR，都有5( )12f xf（），则下列结论正确的是 A)(xf的图象过点)2 ,6( B将)(xf的图象向左平移125个单位长度，所得图象关于原点对称 C将函数xxgsin2)(=图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移6个单位长度，得到函数)(xfy=的图象 D函数)(xfy=在)2,6(上单调递增 8如图，
4、正方体1111ABCDABC D中，1NAAN =, 11MDMA=,CBEB11=, 当直线1DD与 平面MNE所成的角最大时，= A21 B31 C41 D51 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 20 分，分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论正确的是 A某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查 B
5、为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135 C若甲、乙两组数据的标准差满足乙甲ss ，则可以估计乙比甲更稳定 D若数据nxxxx,321 的平均数为x，则数据), 3 , 2 , 1(nibaxyii =的平均数为bxa 10. 若复数z满足1|=z ，则下列结论正确的是 Ai=z B1=z z C12=z D1|2=z 11已知ABC中，DCBD2=，EBAE =，若AD与CE交于点O，则 AACABAD3231+= BACABAD3132+= CCODAOCSS= 2 DBOCABCS
6、S= 4 12 如图， 平面四边形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE组成的直角梯形，1=AD，6=CBE，现将ACDRt沿斜边AC翻折成1ACD（1D不在平面ABC内） ，若P为BC的中点，则在ACDRt翻折过程中，下列结论正确的是 A. 1AD与BC不可能垂直 B. 三棱锥EBDC1体积的最大值为126 C. 若1,DECA都在同一球面上，则该球的表面积是2 D. 直线1AD与EP所成角的取值范围为（36，） 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分, ,共共 20 分分 13若)0 , 0(O，)0 , 2(A，)3 , 3(B，
7、), 2(kC，OCAB/，则k 14若角的终边在第四象限，且53sin=，则)4tan(+= 15已知圆锥的侧面展开图是一个面积为4的半圆，则该圆锥的体积为 16BA,两人按如下规则抛掷质地均匀的正四面体骰子(四个面分别标有4 , 3 , 2 , 1)： 每次抛掷两枚，以底面上的数字之和作为抛掷结果；若抛掷结果是3或4的倍数， 则由原掷骰子的人继续掷， 若抛掷结果不是3或4的倍数，则由对方接着掷 若第1次由A开始掷， 则第3次由A掷的概率为 ； 若第1次由A开始掷，设第n次由A掷的概率为nP，则nP与1(2)nPn之间的关系式是 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明
8、、证明过程或演算步骤 17（10 分） 2022 年 2 月 4 日， 第 24 届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场隆重举行，本届北京冬奥会的主题口号“一起向未来” ，某兴趣小组制作了写有“一” ， “起” ， “向” ， “未” ， “来”的五张卡片 （1）若采用不放回简单随机抽样从中逐一抽取两张卡片，写出试验的样本空间； （2）该兴趣小组举办抽卡片送纪念品活动，有如下两种方案： 方案一：活动参与者采用简单随机抽样从五张卡片中任意抽取一张，若抽到“向”或“未”或“来” ，则可获得纪念品； 方案二：活动参与者采用不放回简单随机抽样从五张卡片中逐一抽取两张，若抽到“未”或“来” ，则可获
9、得纪念品 选择哪种方案可以有更大机会获得纪念品？说明理由 18（12 分） 已知ABC中，41cos=A，2=AB，D 是 AC 边上的点，1=AD. （1）求BD； （2）若6=C，求BCD的面积. 19（12 分） 如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为2，点M在线段DA1上，且12MADM = （1）求证：平面1ABD 平面11AAC C； （2）画出正方体1111ABCDABC D被平面1AMC截得的截面，并求该截面的周长 频率频率组距组距收入收入/万元万元ba0.200.120.080.0510.59.58.57.56.55.54.5 20（12 分） 2022年3月5日，
10、第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人， 经统计， 这100人去年可支配收入 （单位： 万元） 均在区间5 .10, 5 . 4内， 按)5 . 5 , 5 . 4，)5 . 6 , 5 . 5，)5 . 7 , 5 . 6，)5 . 8 , 5 . 7，)5 . 9 , 5 . 8，5 .10, 5 . 9分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为1 . 8 （1）求ba,的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值（同一组中的数
11、据用该组区间的中点值作代表） ； （2）用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在)5 . 8 , 5 . 7内的概率 21（12 分） 如图，在三棱锥BCDA中，ADACAB=，底面是以BD为斜边的直角三角形， 点M是BD的中点， 点N在棱AD上 （1）证明：AM平面BCD； （2） 若BCBDAB2=， 直线BN与平面BCD所成角 的正切值为23，求二面角DBCN的大小 22（本题满分 12 分） ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，CaAcbcos3cos)32(= （1）求A； （2）若BCAsi
12、n1tan1tan1=+，求证：ba+3c3ba+2 高一数学参考答案和评分标准第1页（共 8 页） 南平市南平市 20212022 学年第二学期学年第二学期高高一一期末质量检测期末质量检测 数学参考答案数学参考答案及评分标准及评分标准 说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解答不同， 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3.只给整数
13、分数. 选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1A 2D 3B 4C 5B 6B 7C 8C 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9ABD 10BD 11AD 12 BCD 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 136 1471 15362 1612865（2 分） ，167811+=nnPP（3 分） 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17（10 分） 【考查意图】本题以实际热点问题为背景，考查古典概型的概率问题
14、与决策问题的简单应用，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学抽象、数学运算等核心素养，属基础题 解析： （1）用5 , 4 , 3 , 2 , 1分别表示“一” ， “起” ， “向” ， “未” ， “来”五张卡片， 1x，2x5 , 4 , 3 , 2 , 1，数组),(21xx表示这个试验的一个样本点，则该试验的样本空间),2 , 4(),1 , 4(),5 , 3(),4 , 3(),2 , 3(),1 , 3( , )5 , 2(),4 , 2(),3 , 2(),1 , 2(),5 , 1 (),4 , 1 (),3 , 1 (),2 , 1 (= )4 , 5(),3 ,
15、 5(),2 , 5(),1 , 5(),5 , 4(),3 , 4(4 分 高一数学参考答案和评分标准第2页（共 8 页） （2）采用方案一时，从五张卡片中采用简单随机抽样从中任意抽取一张的样本空间为5 , 4 , 3 , 2 , 1，且每个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型，事件=A“抽到向或未或来 ” ，5 , 4 , 3=A，则53)(=AP6 分 采用方案二时，由（1）可得从五张卡片中采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两张，共有20个样本点， 且每个样本点的可能性都相等， 所以这是一个古典概型， 事件=B“抽到未或来 ” ，)4 , 5(),3 , 5(),2 , 5(),1
16、 , 5(),5 , 4(),3 , 4(),2 , 4(),1 , 4(),5 , 3(),4 , 3( , )5 , 2(),4 , 2(),5 , 1 (),4 , 1 (=B 1072014)(=BP 8 分 因为)()(BPAP，所以选择方案二可以有更大机会获得纪念品10 分 18（12 分） 【考查意图】本小题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识，考查化归与转化思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，属中等题 解析： （1）在ABD中，41cos=A，2=AB，1=AD， 由余弦定理得AABADADABBDcos2222+=，2 分 44112
17、214=+=， 2=BD， 4 分 （2）法一：2= ABBD，41coscos=ABDA， 41cos=BDC,415sin=BDC，5 分 在ABC中，由正弦定理得CABABCsinsin=， 高一数学参考答案和评分标准第3页（共 8 页） 15214152sinsin=CAABBC 8 分 8153415234121)65sin(sin=BDCDBC 10 分 815315815315221sin21=DBCBCBDSBDC 12 分 （2）法二：41cos=A， 4151611sinsin=ADBBDC5 分 在ABC中，由正弦定理得CABABCsinsin=， 15214152sin
18、sin=CAABBC 8 分 由余弦定理得AACABACABBCcos2222+=， ACAC +=2415,解得2531+=AC或2531=AC(舍去） 10 分 2153=CD, 高一数学参考答案和评分标准第4页（共 8 页） .815315sin21=CCDBCSBCD 12 分 19（12 分） 【考查意图】本题以正方体为载体，考查面面垂直、截面的画法、线线平行、平面等基础知识，考查化归与转化思想，直观想象、逻辑推理等核心素养属中等题. （1）证明：在正方形ABCD中，BDAC ， 1 分 又1AA平面ABCD， 所以BDAA 1, 3 分 AAAAC=1，1AAAC，平面11AACC
19、， 所以BD平面11AACC，5 分 又BD平面1ABD， 所以平面1ABD平面11AACC 6 分 （2）画法：延长AM交11DA于点N，取BC的中点E，连接AEECNC,11，则四边形EANC1为正方体1111ABCDABC D被平面1AMC截得的截面. 8 分 因为NMA1DAM，所以2111=DANADMMA, 所以N为11DA的中点, 9 分 取11CB的中点F，NF/AB， 所以四边形NFBA为平行四边形，从而FBAN /，FBAN =,又ECFB1/，ECFB1=， 所以1/ECAN， 所以四边形EANC1为平行四边形， 10 分 高一数学参考答案和评分标准第5页（共 8 页）
20、又AEAN =， 所以四边形EANC1为菱形， 11 分 正方体1111ABCDABC D的棱长为2，在RtAEB中，5212=+=AE， 所以所求截面的周长为54.12 分 20（12 分） 【考查意图】本题以实际热点问题为背景，考查频率分布直方图、百分位数、事件的相互独立性等基础知识，考查数据处理能力与运算求解能力，考查分类讨论、数形结合及化归与转化思想，数学建模、数学运算及数据分析等核心素养，属中等题 解析： （1）由频率分布直方图，可得108. 02 . 012. 005. 0=+ba， 则55. 0=+ba 1 分 因为居民收入数据的第60百分位数为1 . 8， 所以6 . 05 .
21、 71 . 812. 005. 0=+ba）（， 则43. 06 . 0=+ba 2 分 将与联立，解得=3 . 025. 0ba；4 分 所以平均值为72. 71008. 092 . 083 . 0725. 0612. 0505. 0=+ 6 分 （2）根据题意，设事件CBA,分别为甲、乙、丙在)5 . 8 , 5 . 7内，则3 . 0)()()(=CPBPAP，7 分 “抽取3人中有2人在)5 . 8 , 5 . 7内” =BCACBACAB， 且CAB与CBA与BCA互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得 +=3 . 0) 3 . 01 (3 . 0) 3 . 01 (3 . 0
22、) 3 . 01 (3 . 03 . 0)(1BCACBACABPP189. 03 . 0= 9 分 高一数学参考答案和评分标准第6页（共 8 页） “抽取3人中有3人在)5 . 8 , 5 . 7内”=ABC，由事件独立性定义，得 027. 03 . 03 . 03 . 0)()()()(2=CPBPAPABCPP11 分 所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在)5 . 8 , 5 . 7内的概率：216. 0027. 0189. 021=+=+PP12 分 21（12 分） 【考查意图】本题以三棱锥为载体，考查线面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查化归与转化思想，直观想象
23、、逻辑推理、数学运算等核心素养属较难题. （1）证明：在ABD中，由ABAD=，MBMD=，得AMBD， 1 分 又在BCDRt中，12MCMBMDBD=,ABAC=, 所以MABMAC， 3 分 所以2=AMBAMC, 即AMCM, 4 分 又有MBDCM=,且,CM BD平面BCD， 所以AM 平面BCD 5 分 （2）解: 过点N作BDNH ，由（1）可得，AM 平面BCD，AM 平面ABD，从而平面ABD 平面BCD， 6 分 又平面ABD平面BDBCD =，BDNH ，NH平面ABD，从而NH平面BCD，所以BN在平面BCD内射影为BH，故NBH为BN与平面BCD所成角， 7 分 2
24、3tan=NBH，设22=BCBDAB，设=ADND，因为AMNH /，所以3=NH，=HD,= 2HB，在NBHRt中 ，由23tan=HBNHNBH，解得32=，332=NH， 8 分 高一数学参考答案和评分标准第7页（共 8 页） 过H作BCHP ，因为NH平面BCD，BCNH ，HHPNH=,HPNH,平面NHP,所以BC平面NHP， 9 分 从而NPBC 且HPBC , NPH即为二面角DBCN的平面角，10 分 由32=MDHD得32=BDBH， 所以32=CDPH，故332=PH， 11 分 所以在NPHRt中，HPNH =，所以4 =NPH， 即二面角DBCN为4 12 分 2
25、2（本题满分 12 分） 【考查意图】本题以三角形为载体，考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变形、三角函数性质、基本不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识，考查数形结合及化归与转化思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，属较难题 解：由正弦定理得CAACBcossin3cos)sin3sin2(=，1 分 )sincoscos(sin3cossin2CACAAB+=， BCAABsin3)sin(3cossin2=+= 2 分 B0，0sinB， 3cos2=A， 23cos=A3 分 又 A0， 6=A 4 分 高一数学参考答案和评分标准第8页（共 8 页） (2)BCAs
26、in1tan1tan1=+， BCCAAsin1sincossincos=+， BCACACAsin1sinsincossinsincos=+， BCACAsin1sinsin)sin(=+， CABsinsinsin2=， 5 分 acb =2 6 分 acbcaB2cos222+=acacca222+=2122=acacac，7 分 30B 8 分 =abc3BCABCsin2sin32sinsinsin3= BBsin2)6sin(32+=BBBsin2)sin23cos21(32+= BBcos3sin+=)3sin(2+=B 10 分 30 B ， 3233+B 2)3sin(23+B， 233abc， abca233， bacba+233 12 分
