1、2021-2022 学年江苏省南通市学年江苏省南通市海安海安高二期末考试高二期末考试一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1.若? ?，则 ? ? h?A.?B.?C.?D.?.根据样本点 ?h?.?，?h?.?，?h?绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为? ?.? ?.?，则 ? ? h?A.?.?B.?.1C.?.hD.?.h?.一个袋子中共有 h 个大小相同的球，其中 ? 个红球，? 个白球，从中随机摸出 ? 个球，则取到红球的个数的期望为h?A.?B.?C.?D.?.第十三届冬残奥会于 ? 年 ? 月 ? 日至 ? 月 1? 日在中国成功举行.已知从某高校 ?
2、 名男志愿者，? 名女志愿者中选出 ? 人分别担任残奥高山滑雪、残奥冰球和轮椅冰壶志愿者，且仅有 1 名女志愿者入选，则不同的选择方案共有h?A.? 种B.? 种C.?h 种D.? 种?.投资甲、乙两种股票，每股收益h单位：元?分别如下表：则下列说法正确的是h?A.投资甲种股票期望收益大B.投资乙种股票期望收益大C.投资甲种股票的风险更高D.投资乙种股票的风险更高?.在四面体 ? 中，? ? ?，? ? ?，? ? ? ?，点 ? 满足? ? ? ?，? 为 ? 的中点，且? ?1?1?1? ?，则? ? h?A.1?B.1?C.1?D.?.六氟化硫在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气
3、体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.已知六氟化硫分子构型呈正八面体h每个面都是正三角形?， 如图所示，任取正八面体的两条棱，在第一条棱取自于四边形 ? 的一条边的条件下，再取第二条棱，则取出的两条棱所在的直线是异面直线的概率为h?A.?B.?C.?11D.?11h.若h1? ?hh ? ? ?1 ? ? ? ? ?，则? ? ? h?A.h ?B.h ?C.h ?D.?二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）?.对于样本相关系数 ?，下列说法不正确的是h?A.? 越大，成对样本数据的线性相关程度越强B.? ? ?，成对样本数据没有任何相关关系C.? 刻画了样本点集中于某条
4、直线的程度D.成对样本数据相关的正负性与 ? 的符号h正负?相同1?. 已知?，?，? ?是空间的三个单位向量，下列说法正确的是h?A.若?，? ?，则? ?B.若?，?，? ?两两共面，则?，?，? ?共面C.对于空间的任意一个向量?，总存在实数 ，?，?，使得? ? ? ? ?D.若? ?是空间的一组基底，则? ? ? ? ? ?也是空间的一组基底11. 箱中共有包装相同的 ? 件正品和 ? 件赝品， 从中不放回地依次抽取 ? 件， 用 ? 表示“第一次取到正品”，用 ? 表示“第二次取到正品”，则h?A.?h? ? ?h?B.?h? ? ?h?h?C.?h? ? ? ?.?D.?h? ?
5、 ?.?1?. 在平行六面体 ?h ?1?1?1?1中， ? ? ? ? ?1， ?1? ? ?1? ? ? ? ?，点 ? 在线段 ?1上，则h?A.? ? ?1?B.? 到?1?1和 ? 的距离相等C.? 与?1?1所成角的余弦值最小为?D.? 与平面 ? 所成角的正弦值最大为1?三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）1?. 试写出一个点 ? 的坐标：，使之与点 ?h h 11?，?h h 1?1?三点共线1?. 已知hh1? ?的展开式中第 ? 项和第 ? 项的二项式系数相同，则展开式中?项的系数为1?. 请在下面两题中选择一题作答：题 1题设点 ? 是抛物线?1题? ?h?
6、 ?与双曲线?题?h ? 1 在第一象限的唯一公共点，点 ?，? 分别是?1的准线与?的两条渐近线的交点，则? ? 的面积为题 ?题已知球的体积 ? 和表面积 ? 均是球半径 ? 的函数，分别记为 ?h?，?h?.若球 ?的半径 ? 满足 ?h? ? ?h?，点 ? 到球心 ? 的距离为 1，过点 ? 作平面?，则平面?截球 ? 所得截面圆的面积的最小值为1?. 某商场共有三层，最初规划第一层为 ? 家生活用品店，第二层为 ? 家服装店，第三层为 ? 家餐饮店.招商后，最终各层各类店铺的数量h单位：家?统计如下表：生活用品店服装店餐饮店第一层?第二层?第三层?1?若从第一层店铺中随机抽一家，则
7、该店铺与最初规划一致的概率为?若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17. 请在下面两题中选择一题作答：题 1题已知?是等差数列?的前 ? 项和，且?1? 1，? ?，求：h1?数列?的通项公式?h?数列?1?1?的前 ? 项和?题 ?题在? ? 中，已知 ? ? ?，? ? ? ?，? ?，点 ? 在边 ? 上，且 ? ? 1，求h1?h?sinh?h?.18. 某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机抽取了 1? 位学生进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占被调查人数的一半， 且在回答“满意”的人中， 男生人数是
8、女生人数的?在回答“不满意”的人中，女生人数占1?h1?请根据以上信息填写下面 ? ? ? 列联表，并依据小概率值? ? ?.?1 的独立性检验，判断学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关?满意不满意合计男生女生合计附：?.1?.?.?1?.?.?1?.?.h?1?.?.h?1?.h?h参考公式：?h?h?h?h?h?h?，其中 ? ? ? ? ? ? ? ? h?为了解增加体育锻炼时长后体育测试的达标效果，一学期后对这 1? 名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低于 ? 分为达标，超过 ?的学生达标则认为达标效果显著.已知这 1? 名学生的测试成绩服从正态分布 ?h?，试判断
9、该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著?附：若 ?h?，则 ?h? h ? t ? t ? ? ? ? ?.?h?，?h? h ? t ? t ? ? ? ?.?，?h? h ? t ? t ? ? ? ? ?.?19. 如图， 在四棱锥 ? h ? 中， ? ? 和? ? 均为正三角形， 且边长为 ?， ? ? ? ?，? ? ?，? 与 ? 交于点 ?h1?求证：? ?平面 ?h?求二面角 ? h ?h ? 的余弦值20. 已知椭圆 ?题? 1h? ? ?的左焦点 ?h h?，右顶点 ?h?h1?求 ? 的方程?h?设 ? 为 ? 上一点h异于左、右顶点?，? 为线段 ? 的中点，? 为坐
10、标原点，直线 ?与直线 ?题 ?h?交于点 ?，求证：? ? ?21. 已知函数 ?h? ? h ln h 1h1?证明：?h? t ?h?若? ? 1，求 ?某大型养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为 ?h1?若 ? ? ?.?，从中随机取出 ? 只鸡，记取到病鸡的只数为?，求?的概率分布及数学期望?h?对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡.方案如下：按每 ?h? ? ? ? ?只鸡一组分组，并把同组的 ? 只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组 ? 只鸡逐只化验.设每只鸡的化验次数为随机变量?， 当且仅当 ? t ? t h 时， ?的数学期望 ?h? ? ?1，求 ?
11、 的取值范围答案答案1.【答案】?【解析】【分析】本题考查排列公式的计算，属于基础题【解答】解：由 ? ?，则 ? ? ? 2.【答案】?【解析】【分析】本题考查了回归直线方程，属于基础题【解答】解：由已知得 ? ? ?.?，而? ? h ?，所以 ?.? ?.?h ?.? ? ? ，解得 ? ? ?.h 3.【答案】?【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题由题意知 ? ? ?1? ，再计算出概率可得其分布列，再利用数学期望计算公式即可得出【解答】解：由题意可得取到红球的个数 ? 的取值为： ? ? ?1? ，?h? ? ? ?h?1?，?h? ? 1? ?1?1
12、?h?1?h，?h? ? ? ?h?h，?1?1?1?h?h?h? ? ? ?1? 1 ?1?h? ? ?h?故答案为?4.【答案】?【解析】【分析】本题考查排列组合的综合运用，属于基础题【解答】解：由题意可得需要选 ? 名男生， 1 名女生，所以不同安排方案有 ?1? ? 种 .5.【答案】?【解析】【分析】本题考查了均值、方差与风险评估，属于基础题【解答】解：甲收益的期望 ?h? ?h 1 ? ?.1? ? ? ?.? ? ? ?.? ? 1.1，方差 ?h? ? h h 1 h 1.1? ?.1? h h 1.1? ?.? h?h 1.1? ?.? ? 1.?，乙收益的期望 ?h? ?
13、? ? ?.? 1 ? ?.? ? ? ?.? ? 1.1，方差 ?h? ? h?h 1.1? ?.? h1h 1.1? ?.? h?h 1.1? ?.? ? ?.?，所以 ?h? ? ?h?，?h? ?h?，则投资股票甲乙的期望收益相等，投资股票甲比投资股票乙的风险高6.【答案】?【解析】【分析】本题考查空间向量的线性运算以及向量中点公式的应用，属于基础题【解答】解： ? ?1?1?1? ?1? ?1? ?1? ? ，其中 ? 为中点，有 ? ?1? ?1? ?，故可知 ? ?1?1? ?，则知 ? 为 ? 的中点，故点 ? 满足 ? ?1? ?， ? ?1?7.【答案】?【解析】【分析】本
14、题考查利用空间线线的位置关系求解概率，属于中档题【解答】解：根据题意可得，假设四边形 ? 取 ? ，则与 ? 异面的直线为 ? ， ? ，? ， ? ，同理可得 ? ， ? ， ? 的异面直线，则 ? ?11?118.【答案】?【解析】【分析】本题考查了指定项的系数与二项式系数，属于中档题【解答】解：令 ? 1 可得： ? ?1? ? ? ? ? h1? ?h1h ? ? ，令 ?h 1 可得： ?h ?1? ? ? h ? h1h ?h h 1 h ?h h1 ，两式相加可得： ?h? ? ? ? ?h ? ，所以 ? ? ? ?h ? ，令 ? ? 可得 ? h1? ?h?h ? 1? ，
15、所以 ? ? ?h ?h ?h ? 9.【答案】?【解析】【分析】本题考查了相关系数的概念，属于基础题相关系数是一个绝对值小于等于 1 的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，得到结论【解答】解：相关系数是用来衡量两个变量之间的线性相关程度的 . 相关系数是一个绝对值小于等于 1 的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，所以 ? 不正确，相关系数为 ? 说明两变量不存在直线相关关系，但这并不意味着两个变量之间不存在其他类型的关系，故 B 不正确，? 与 ? 的阐述均正确10.【答案】?【解析】【分析】本题考查空间向量的判断，属于中档题【解答】解： ?， ?， ? ?是空间的三个单位向量
16、，由 ?， ? ?， 则 ? ?，故 A 正确?， ?， ? ?两两共面，但是 ?， ?， ? ?不一定共面，故 B 错误由空间向量基本定理，可知只有当 ?， ?， ? ?不共面，才能作为基底，得到后面的结论，故 C 错误 ?若 ? ? 是空间的一组基底， 则 ?， ?， ? ?不共面，可知 ? ? ? ? ? ? 也不共面，所以? ? ? ? ? ?也是空间的一组基底，故 D 正确11.【答案】?【解析】【分析】本题考查了条件概率的计算，属于基础题【解答】解： ? ?h? ?， ?h? ?1?， ?h? ?1?，? ?h? ? ?h? ? ?h? ?1?1?，故 A 选项对；? ?h?h?
17、? ?h? ，故 B 选项错；? ?h? ? ? ?h? ?h? h ?h? ? ?.? ，故 C 选项正确；? ?h? ?h?h?1? ?.? ，故 D 选项正确12.【答案】?【解析】【分析】本题考查了空间向量数量积运算性质、利用空间向量求线线角问题，考查了空间想象能力，推理能力与计算能力，属于中档题【解答】解：若 ? ? ?1? 且 ?1? ? ?1?1? ? ? ， ? ? ?1? ? ，可知 ?1? ? 面 ? ，则 ?1? ? 面 ?1?1，显然矛盾，故错误 ?对于选项 B ， 其中 ? 点在线段 ?1上，?1平分 ?1? ， 且 ?1? ?1? ， 可知 ?1上所有点到 ?1?1
18、与 ? 的距离相等，故 B 正确 ?设平行六面体 ?h ?1?1?1?1的边长为 ? ，易得 ? ? ，其中?1? ? ? ? ? ?1?，可得?1? ? ? ? ?1? ? ? ? ? ?1? ? ?1?，当 ? 点运动到 ?1点处时，此时 ? 与 ?1?1所成角的余弦值最小， cos?1? ? ?h? ?，故 C 正确；当 ? 点运动到 ?1点处时，此时 ? 与平面 ? 所成角的正弦值最大，则有cos?1? ?h? ? ? ?，故正弦值最大为1?， ? 选项正确13.【答案】h h 11?1?h注：答案不唯一，形如h h 1?h? ? ? 1?均正确?【解析】【分析】本题考查空间向量的共线
19、，属于基础题【解答】解：根据题意可得，设 ?h? ，则设 ? ? ? ?，故 ?h 1? ? ? 1 ，则 ? h 11?1?14.【答案】?【解析】【分析】本题考查了二项展开式及其通项，属于基础题【解答】解：由已知可得? ?，所以 ? ? ?，则二项式 hh1? ?的展开式的通项公式为?1? ?h?h h1? ?h h1?h?，令 ? h? ? ?，解得 ? ? ?，所以展开式中?的系数为?h h1?15.【答案】?【解析】【分析】题 1 考查抛物线与双曲线的性质，为中档题；题 ? 考查球中的截面问题，求出 ? ，再计算出截面圆的半径即可算出截面圆面积的最小值【解答】解：选择题 1 ：因为抛
20、物线 ?1题? ?h? ? 与双曲线 ?题?h ? 1 在第一象限只有唯一公共点，将 ? ?h? ? 带入 ?h ? 1 内，有 ?h ? 1 ? ? ， ? ? ?h ? ? ? ，解得 ? ? 1 可得点 ?1，双曲线的渐近线方程为 ? ? ，可知 ? h1? h1?， ?1? h1?，则 ? ? 的面积 ? ?1? 1 ?1?1?1?，选择题 ? ：? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? h? ? ? ，其中 ?h? ? ?h? ，可得 ? ? ? ，故截面圆半径的最小值为?h 1 ?，则截面圆面积的最小值为 ? 16.【答案】?【解析】【分析】本题考查古典概型，属于基
21、础题根据条件结合古典概型概率公式直接计算即可得到答案【解答】解：若从第一层店铺中随机抽一家， 则该店铺与最初规划一致的概率为?，若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为?1?17.【答案】解：若选题 1，h1?设等差数列?的公差为 ，则? ?1? ? ? ? 1 ? 1? ? ?，所以 ? ?所以? 1 ? h?h 1? ? ? ? ?h 1，h?由h1?知，1?1?1h?h1?h?1?1?h1?h1h1?1?，所以?1? h11h1?1?h1? ? ?1?h1h1?1? ?1? h1h1?1? ?1，解：h1?在? ? 中，由余弦定理 ? ? ?h ? ? ? ? ?
22、? cos?，得 ? ? 1?h ? ? ? ? 1 ? cos? ?，所以 ? ?h?在? ? 中，由正弦定理?sin?sin?，得 sin? ? sin? ? ? sin?，在? ? 中，由 ? ? ?知? ? ? ? ? ?，所以 cos? ?，故 cos? ?1 h sin? ?所以 sinh?h? ? sin? ? cos?h cos? ? sin?h ?1h【解析】题 1 考查了等差数列求通项，裂项相消，属于中档题题 ? 考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，属于中档题18.【答案】解：h1?补充 ? ? ? 列联表如图：满意不满意合计男生1?女生?1?合计?1?零假设为?题学生对
23、于体育锻炼时长的满意度与性别没有关联则?1?h1?1?h? ?.? 1?.h?h ? ?.?1，根据小概率值? ? ?.?1 的独立性检验，我们推断?不成立，即认为学生对于体育锻炼时长的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于 ?.?1h?因为学生的测试成绩服从正态分布 ?h?，所以? ? ?，? ? ?，且 ? ? ?h ? ? ?，所以 ?h? ? ? ? 1 h ?h? ? ? 1 h1 h ?h? t ? t h? 1 h1 h ?.? ?.? ?.?答：该校增加锻炼时长后达标效果显著【解析】本题考查独立性检验与正态分布性质的运用，为中档题19.【答案】证明：h1?因为? ? 和?
24、? 均为正三角形，所以 ? ? ?又 ? ? ?，所以 ? 为 ? 的中垂线所以 ? 为 ? 的中点又 ? ? ?，所以 ? ? ?又 ? ? ? ? ?，?，? ?平面 ?，所以 ? ?平面 ?h?因为? ? ?，? 为 ? 的中点，所以 ? ? ? ? ?又因为 ? ? ? ? ?，所以? ?，? ?，? ? 为全等三角形所以? ? ? ? ? ? ?，所以 ? ? ?结合h1?知，不妨以 ? 为坐标原点，?，?，? 分别为 轴，? 轴，? 轴，建立空间直角坐标系 ? h ?， 则 ?h?， ?h h?， ?h?， ?h?， 所以? ?h?，? ? h?，? ? h?.设平面 ? 的一个法
25、向量为? h?，则? ? ? ?，? ? ? ?，故? ? ? ?，? ? ? ?，令 ? 1，则 ? ?h?，? ?h 1，所以? h1 h? h1?设二面角 ? h ? h ? 的大小为?，则?cos? ? ?cos ? ?，? ? ? ? ? ? ? ?h? ?又二面角 ? h ? h ? 为锐二面角，所以二面角 ? h ?h ? 的余弦值为?【解析】本题考查线面垂直的判定，利用空间向量求解二面角，属于中档题20.【答案】解：h1?设椭圆 ? 的半焦距为 ?h? ?因为椭圆 ?题? 1h? ? ?的左焦点 ?h h?，右顶点 ?h?，所以 ? ? ?，? ? ?所以? ?h ? ?，故
26、C 的方程为：? 1；h?设点 ?h?h? ? ?，且? 1，因为 ? 为线段 ? 的中点，所以 ?h?，所以直线 ? 的方程为：? ?，令 ?h?，得 ? ?h?h?，所以点 ?h h? h?h?，此时，? ? h?h?，? ? h?h ?，所以? ? ? ?h?h ? ?h?h?h ? ?h?h ?h? ?h?h ? ?h?h ? ?，所以? ? ? ?，所以 ? ? ?【解析】本题考查了椭圆的标准方程，利用向量求椭圆的相关问题，属于中档题21.【答案】 证明： h1?h? ? h ln h 1 的定义域为h? ? ?， 且 ?h? ? 1 h hln ? ?1? ?h ln.令 ?h?
27、? ?，得 ? 1当 ? ? ? 1 时，?h? ?，?h?单调递增?当 1 时，?h? ? ?，?h?单调递减，所以 ?h?max? ?h1? ? ?，所以 ?h? t ?.h?令 ?h? ? ?h ?h 1，则 ?h? ? ?h ?当 ? t ? 时，有 ?h h1? ?1?h 1 ? ? ? ?，与题设矛盾，故舍去当 ? ? 时，令 ?h? ? ?，得 ? ln?.当 ? ln? 时，?h? ? ?，?h?单调递减?当 ln? 时，?h? ?，?h?单调递增，所以?h?min? ?hln? ? ? h ?ln? h 1 ? ?.由h1?知，? h ?ln? h 1 t ?h当且仅当 ?
28、? 1 时，取等号?，所以 ? h ?ln? h 1 ? ?，所以 ? ? 1【解析】问题h1?考查利用导数证明不等式成立，问题h?不等式成立求参数的范围，为中档题22.【答案】解：h1?依题意，?的所有可能取值为 ?，1，?且 ?h? ? ? ? ? ?.? ?.1? ?.?1，?h? ? 1? ? ?1? ?.? ? ?.1 ? ?.1h，?h? ? ? ? ? ?.? ?.1? ?.h1，所以?的概率分布表为?1?.?1?.1h?.h1所以 ?h? ? ? ? ?.?1? 1 ? ?.1h? ? ? ?.h1 ? 1.hh?设 ? ? 1 h ?若同一组的 ? 只鸡无感染，则? ?1?否
29、则，? ?1? 1所以 ?h? ?1? ? ?，?h? ?1? 1? ? 1 h ?所以 ?h? ?1? h1? 1?h1h ? ?1? 1 h ?又当且仅当 ? t ? t h，? ? ? ?时，?h? ? 1，即1? ?，所以当且仅当 ? t ? t h 且 ? ? ? ?时，ln?h ln?.h ?设 ?h? ?ln? ln?，则 ?h? ?1hln?，令 ?h? ? ?，得 ? ?所以 ?h?在h1?上单调递增，?h?在h? ? ?上单调递减由h ? ?知，?h? ?，?h1? t ?，?hh? ?，?h? t ?，解得hh1h? ?h1?，所以 ? 的取值范围是?1h ?h1?1h hh1h?.
