1、 强基计划之强基计划之第第 7 章章：二次函数的最值问题二次函数的最值问题 一、初中知识回顾一、初中知识回顾 二次函数的增减性：二次函数的增减性： 当当0a 时，在对称轴左侧，时，在对称轴左侧，y 随着随着 x 的增大而减少；在对称轴右侧，的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着随着 x 的增大而增的增大而增大；当大；当0a 时，在对称轴左侧，时，在对称轴左侧，y 随着随着 x 的增大而增大；在对称轴右侧，的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着随着 x 的增大而的增大而减少减少 二次函数的最值：二次函数的最值： 一般二次函数求最值根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值一般二
2、次函数求最值根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值 二、二、高中知识高中知识衔接衔接 1.二次函数的图像及性质二次函数的图像及性质 二次函数二次函数2yaxbxc对应的顶点式为对应的顶点式为y 22424bacba xaa； 对称轴为对称轴为2bxa ； 顶点为顶点为2424bacbaa，. 顶点为顶点为, h k的抛物线可设为的抛物线可设为2ya xhk(0a ). 2.二次函数解析式的三种形式二次函数解析式的三种形式 一般式：一般式： ( )f x 2axbxc(0a )； 与与y轴交点为轴交点为0,c. 零点式：零点式： ( )f x 12()()a xxxx(
3、0a )； 对称轴为对称轴为12=2xxx. 顶点式：顶点式： ( )f x 2()a xhk(0a )； 顶点为顶点为, h k. 3.实根的分布问题实根的分布问题 对于含有字母的一元二次方程对于含有字母的一元二次方程20axbxc的实根的实根1x，2x的的分布问题，可用分布问题，可用 图像图像 法求法求解解. 令令2( )f xaxbxc， 当当0a 时，时， (1)12,xm xm 02( )0bmaf m . (2)12,xm xm 02( )0bmaf m . (3)12,mxn mxn 02( )0( )0bmnaf mf n . (4)存在存在 m，使，使( )0f m 0 .
4、(5)12xmnx ( )0( )0f mf n. (6)( )0f x 在开区间在开区间,m n内有且只有一个实根内有且只有一个实根 端点值异号端点值异号 ( )0f m f n； 左端点为零左端点为零 ( )022f mbmnma ； 右端点为零右端点为零 ( )022f nmnbna . 记法：记法：从三个方面限从三个方面限制制 判别式判别式 ； 对称轴对称轴 ； 端点函数值端点函数值 . 注意：注意： 当当0a 时，类比时，类比0a 的情况的情况； 对于对于闭区间闭区间应附加上应附加上 端点端点 的讨论的讨论. 4.最值问题最值问题 二次函数二次函数2( )f xaxbxc在闭区间在闭
5、区间,m n上的最值问题上的最值问题 要领：要领： 抛物线的开口方抛物线的开口方向向； 对称轴与区间的位置对称轴与区间的位置(最多四种情况最多四种情况)： 对称轴在区间对称轴在区间 左左 ，区间内偏，区间内偏 左左 ，区间内偏，区间内偏 右右 ，区间，区间 右右 . 三、潜能挖掘三、潜能挖掘 1设函数设函数 f(x)x2xa(a0)，已知已知 f(m)0 Df(m1)0 2如果函数如果函数 f(x)x2bxc 对任意的对任意的 x 都有都有 f(x1)f(x)，那么，那么( ) Af(2)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(2) Cf(2)f(0)f(2) Df(0)f(2)0，bR，cR) (1)若函数若函数 f(x)的的最小值最小值是是 f(1)0，且，且 c1， F(x) f(x)，x0，f(x)，x0. 求求 F(2)F(2)的值；的值； (2)若若 a1，c0，且，且|f(x)|1 在区间在区间(0，1恒成立，试求恒成立，试求 b 的取值范围的取值范围.
