1、8.7立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直,第八章立体几何与空间向量,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一 向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)? .(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l? .,知识梳理,非零,v1v2,存在两个实数x，y，使v
2、xv1yv2,(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或l? .(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则? .3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2? ? .(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l? .(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则? ? .,vu,u1 u2,v1v2,v1v20,vu,u1u20,u1u2,题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若
3、两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()(5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行.()(6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.(),基础自测,1,2,4,5,6,3,题组二教材改编2.设u，v分别是平面，的法向量，u(2,2,5)，当v(3，2,2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_.,1,2,4,5,6,解析,3,答案,解析当v(3，2,2)时，uv(2,2,5)(3，2,2)0?.当v(4，4，10)时，v2u?.,1,2,4,5,6,答案,3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是
4、A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.,3,垂直,解析,1,2,4,5,6,ON与AM垂直.,3,题组三易错自纠4.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是,解析,1,2,4,5,6,答案,3,解析设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，,xyz.故选C.,解析由an知，na，则有l，故选B.,5.直线l的方向向量a(1，3,5)，平面的法向量n(1,3，5)，则有 A.l B.lC.l与斜交 D.l或l,1,2,4,5,6,答案,3,解析,6.已知平面，的法向量分别为n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则 A. B.C.，相交但
5、不垂直 D.以上均不对,解析,1,2,4,5,6,3,解析n1n2，且n1n22(3)315(4)230，既不平行，也不垂直.,答案,题型分类深度剖析,典例 (2018大理月考)如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB平面EFG.,题型一利用空间向量证明平行问题,师生共研,证明,证明平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD，AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B
6、(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0).,即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，,PB?平面EFG，PB平面EFG.,若本例中条件不变，证明平面EFG平面PBC.,证明,又EF?平面PBC，BC平面PBC，EF平面PBC，同理可证GFPC，从而得出GF平面PBC.又EFGFF，EF，GF平面EFG，平面EFG平面PBC.,(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的
7、方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.,跟踪训练 如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.证明：PQ平面BCD.,证明,证明方法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在直线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.,设点C的坐标为(x0，y0,0).,又PQ?平面BCD，所以PQ平面BCD.方法二在线段CD上取点F，使得DF3FC，连接OF，同方法一建立空间直角坐标系，写出点A
8、，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0).,又PQ?平面BCD，OF平面BCD，所以PQ平面BCD.,命题点1证线面垂直典例 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,证明,题型二利用空间向量证明垂直问题,多维探究,证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数，,显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，,方法二取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面B
9、CC1B1，且平面ABC平面BCC1B1BC，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，,故AB1平面A1BD.,命题点2证面面垂直典例 (2017武汉月考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPD AD，设E，F分别为PC，BD的中点.(1)求证：EF平面PAD；,证明,证明如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PAPD，所以POAD.因为侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.又O，F分
10、别为AD，BD的中点，所以OFAB.又ABCD是正方形，所以OFAD.,以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，,又因为EF?平面PAD，所以EF平面PAD.,证明,又PAPD，PDCDD，PD，CD平面PDC，所以PA平面PDC.又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.,(2)求证：平面PAB平面PDC.,证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量
11、与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.,跟踪训练 如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PABD；,证明,证明取BC的中点O，连接PO，平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线
12、为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.,(2)平面PAD平面PAB.,证明,又PAPBP，PA，PB平面PAB，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.,题型三利用空间向量解决探索性问题,师生共研,典例 (2018桂林模拟)如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1；,证明,证明设BD与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，,由于平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，A1O平面AA1C1C，A1O平面ABCD.以OB，
13、OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.,解答,解假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，,取n3(1,0，1)，因为BP平面DA1C1，,即点P在C1C的延长线上，且C1CCP.,对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.,跟踪训练 (2016北京)如图，在四棱锥P-ABCD中
14、，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD .(1)求证：PD平面PAB；,证明,证明平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，ABAD，AB平面ABCD，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD.又PAPD，PAABA，且PA，PB平面PAB，PD平面PAB.,(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；,解答,解取AD的中点O，连接CO，PO.PAPD，POAD.又PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD，CO平面ABCD，POCO，又ACCD，COAD.以O为原点，OC，OA，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易知P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0，1,0)，C(2,0,0)，,设n(x0，y0,1)为平面PCD的一个法向量.,设PB与平面PCD的夹角为，,BM?平面PCD，BM平面PCD，当且仅当n0，,解答,典例 (12分)如图1所示，正ABC的边长为4，CD是AB边
