1、河南省洛阳市2018-2019学年第一学期期末考试高二数学试卷（文）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知p：x2-x-20，q：log2x1，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过求解不等式求解p，解对数不等式求解q，然后利用充要条件的判断方法判断即可【详解】解：由题意可知p：x2-x-20，即（x+1）（x-2）0，可得p：-1x2； q：log2x1，可得0x2， 则p是q的必要不充分条件 故选：B【点睛】本题考查二次不等式的解法，对数不等式的求解，充要条件的判断，基本知识的应用2.已知变
2、量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A. B. C. 3D. 5【答案】C【解析】【分析】画出约束条件对应的平面区域，然后通过平移得到结果。【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，由图象知，当直线经过点C时，直线的截距最大，此时z最大，由，得，即，此时，故选C【点睛】本题主要考查线性规划的应用，准确作出不等式对应的区域是前提，准确解析出目标函数的几何意义是解题的关键3.已知ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=1，则B的大小为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将条件化简整理得，再通过余弦定理便可求得角B的大小。【详解】解：两边同时除以得，
3、故选B【点睛】本题考查了余弦定理的知识，解题的关键是要将题中的条件进行转化变形，变成余弦定理的形式，进而解决问题。4.已知椭圆的两个焦点分别为,是椭圆上一点,且,则的面积等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】由与是椭圆上一点，两边平方可得，即，由于，根据余弦定理可得，综上可解得，的面积等于，故选B.5.等差数列an中，a3+a10=5，a7=1，Sn是数列an的前n项和，则Sn的最大值为（）A. 1B. 19C. 60D. 70【答案】D【解析】【分析】利用基本量表示条件，求解出，进而求解出，得出的最大值。【详解】解：设等差数列的首项与公差为则，解得，所以，二次函数的对称轴为，因为，所
4、以当时，故答案选D。【点睛】本题考查了等差数列的通项知识，等差数列常见的解题方法是基本量法，即将条件与目标用基本量来表示，进而求解问题。6.点P是抛物线y=x2上任意一点，则点P到直线y=x-2的距离的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设出点，表示出点到直线的距离，然后通过减元将距离变为单变量形式，然后借助函数思想解决问题。【详解】解：设点，则点到直线的距离，所以，因为所以点到直线的距离的最小值为故选C。【点睛】本题考查了点到直线的距离问题，常见的解题方法是将点到直线的距离转化为代数的形式，然后通过减元将多变量问题转化为少变量（单变量）问题，进而利用函数思想解决最值
5、。7.已知函数f（x）的导函数为f（x），若f（x）=x3+f（1）x2-2，则f（1）的值为（）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】【分析】求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1即可得到答案【详解】解：由f（x）=x3+f（1）x2-2， 得f（x）=3x2+2xf（1）， f（1）=3+2f（1），解得f（1）=-3，故选：B【点睛】本题考查了导数的加法法则与减法法则，考查了基本初等函数的导函数，是基础的计算题8.等比数列an的前n项和为Sn，公比q1，若a1=1，且对任意的nN*都有an+2+an+1=2an，则S5等于（）A. 12B. 20C. 11D. 21【答案】C
6、【解析】【分析】等价于，即，由此可解得的值，进而求得【详解】解：设等比数列的公比为则等价于因为故，即因为所以故故选C。【点睛】本题考查了等比数列的通项知识，等比数列问题的常见解法是借助于基本量进行解题；求等比数列的前n项和时，要对的范围进行讨论。9.ABC中，B=30，BC边上的高与BC的比为1：3，则cosA等于（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设边上的高为，则，在中可得，由勾股定理可得，故，在中，再由余弦定理可得的值。【详解】解：设过A点作的高，交边于点，设，因为BC边上的高与BC的比为1：3，所以，在中，即故，由勾股定理可得，故，在中， 故选D。【点睛】本题考查了解三
7、角形中某个角的问题，当三角形的三条边的比例关系确定时，就可利用余弦定理解得角的大小 ，这也是解决本题的关键。10.已知双曲线：（，），过左焦点的直线切圆于点，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：连接,由知为的中点，又为的中点，,且,利用双曲线定义结合切线性质可得，从而可得结果.详解：连接,由知为的中点，又为的中点，所以,且,因为点为切点，则 ，又因为在双曲线右支上，则，即，在中，则，则，则双曲线的渐近线方程为，故选B.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质及双曲线定义求双曲线的渐近线方程，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结
8、合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求渐近线方程问题，主要是找到关于的关系式.11.定义在R上的可导函数f（x）满足f（x）+f（x）0，则下列各式一定成立的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可导函数f（x）满足f（x）+f（x）0，等价于，故函数在R上单调递减，由此可以得出正确选项。【详解】解：可导函数满足等价于故令所以在R上单调递减，所以即即故选A【点睛】本题考查了导数在函数中的应用，构造新的函数是解决本题的关键，再利用导数工具得出新函数的单调性解
9、决问题。12.过原点的一条直线与椭圆=1（ab0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若ABF2，则该椭圆离心率的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以AB为直径的圆的圆周角ABF2，故圆心角，所以当斜率存在时，斜率，然后将斜率转化为的关系式，求解离心率的取值范围；当斜率不存在时，易得，易解离心率的值，综上便可得出答案。【详解】解：当过原点的直线斜率不存在时，因为以AB为直径的圆经过右焦点，所以有，此时；当过原点的直线斜率存在时，设过原点的直线为，因为ABF2所以圆心角，所以，即，直线与椭圆联立方程组，解得，因为以AB为直径的圆经过右焦点，所以
10、，以AB为直径的圆方程为，所以有，即，故，即，所以，解得 故得到综上：，故选B【点睛】本题考查了椭圆离心率的取值范围问题，离心率的取值范围问题关键是要建立出关于的等式（不等式），进而再结合求解出椭圆离心率的取值范围。二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线y=4x2的焦点坐标是_【答案】【解析】【分析】将抛物线转化为标准形式，进而解决问题。【详解】解：抛物线可转化为故，即所以抛物线的焦点坐标为【点睛】本题考查了抛物线的标准方程知识，解题的关键是要将抛物线的方程转化为标准形式，然后得出抛物线的焦点坐标。14.曲线y=sin2x在点（0，0）处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】欲
11、求曲线y=sin2x在点（0，0）处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而解决问题【详解】解：y=sin2x， f（x）=2cos2x，当x=0时，f（0）=2，得切线的斜率为2，所以k=2； 所以曲线在点（0，0）处的切线方程为： y-0=2（x-0），即y=2x 故答案为：【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题15.若函数f（x）=lnx-ax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】函数有两个不同的零点，转化为函
12、数与函数有两个不同的交点，根据图像求解临界情况，得出结果。【详解】解：函数有两个不同的零点，即有两个不同的解，等价于函数与函数的图像有两个不同的交点，当直线与曲线相切时，只有一个交点，此时为临界情况，设切点为，则可得，解得 ，根据图像可以得到，当时，直线与曲线有两个交点，故答案是。【点睛】本题考查了函数的零点问题，函数的零点问题可以转化为两个函数的交点问题，然后通过对临界情况的分析，得出参数的取值范围。16.化简：+=_【答案】【解析】【分析】求和形式中的通项公式为，可裂项为，然后逐项分解求其和。【详解】解：故原式+=答案是【点睛】本题考查了数列的求和知识，数列求和常见的方法有公式法、倒序相加
13、法、错位相消法、裂项相消法等等，对通项进行裂项是裂项相消法解决数列求和问题的关键。三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：x0R，x02-ax0+a=0；命题q：不等式x+a对x（1，+）恒成立，若（p）q真，求实数a的取值范围【答案】【解析】【分析】求出命题p对应的a的范围，命题q对应的a的范围，再根据（p）q为真命题求解a的范围。【详解】解：p真，即关于x的方程x2-ax+a=0有解，则0，即a2-4a0，解得a 0或a4那么p真，则0a4，当x（1，+）时，x+=x-1+12+1=3，q真，则a（x+）min=3，即a3，若（p）q真，实数a的取值范围是（ 0，3【点
14、睛】本题考查了建议逻辑的有关知识、函数的性质、方程的解等知识与基本技能方法，考查了推理能力与运算能力，属于中档题。18.数列an是等差数列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x-1），其中f（x）=x2-4x+2（1）求通项公式an；（2）若数列an为递增数列，令bn=an+1+an+2+an+3+an+4，求数列的前n项和Sn【答案】（1）当x=1时，an =2n-4，当x=3时， an=4-2n；（2）【解析】【分析】（1）题目给出了一个等差数列的前3项，根据等差中项概念列式a1+a3=2a2，然后把a1和a3代入得到关于x的方程，解方程，求出x后再分别代回a1=f（x+1）求a1，
15、则d也可求，所以通项公式可求 （2）利用数列是递增数列求出通项公式，化简数列的通项公式，通过裂项消项法求解数列的和即可【详解】解：（1）数列an为等差数列，所以a1+a3=2a2，即f（x+1）+f（x-1）=0，又f（x）=x2-4x+2，所以（x+1）2-4（x+1）+2+（x-1）2-4（x-1）+2=0，整理得x2-4x+3=0，解得x=1或x=3当x=1时，a1=f（x+1）=f（2）=22-42+2=-2，d=a2-a1=0-（-2）=2，an=a1+（n-1）d=-2+2（n-1）=2n-4当x=3时，a1=f（x+1）=f（4）=42-44+2=2，d=0-2=-2所以an=4
16、-2n综上：当x=1时，an =2n-4；当x=3时， an=4-2n（2）数列an为递增数列，d0，所以数列an的通项公式为an=2n-4bn=an+1+an+2+an+3+an+4=8n+4，=，数列的前n项和Sn=【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差中项的概念、裂项求和等知识与方法，题目体现的解题思想是数学转化思想和方程思想19.动圆P与圆F：（x-2）2+y2=1外切，且与直线x=-1相切（1）求动圆的圆心P的轨迹C的方程；（2）轨迹C上是否存在两点A，B关于直线y=x-1对称？若有，请求出两点的坐标，若没有，请说明理由【答案】（1）；（2）不存在，详见解析【解析】【分析】（1）
17、根据题意知，点P到点F的距离与到直线x=-2的距离相等，并根据抛物线的定义知点P的轨迹是抛物线，找出焦点和准线，即可得出轨迹C的方程； （2）根据题意得知直线AB与直线y=x-1垂直，可知直线AB的斜率为-1，然后设直线AB的方程为y=-x+m，并设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程与抛物线的方程联立，计算0，求出m的取值范围，列出韦达定理，求出线段AB的中点M的坐标，再将点M的坐标代入直线y=x-1的方程，可得出m的值，再对m的值进行检验，从而可对问题进行解答【详解】解：（1）设动圆P的半径为r，点P到直线x=-1的距离为d，则，即|PF|=d+1则点P到点F的距离与到直
18、线x=-2的距离相等，点P的轨迹是以点F为焦点，直线x=-2为准线的抛物线，故其轨迹方程为y2=8x；（2）设存在满足条件的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），因为两点A，B关于直线y=x-1对称，所以设直线AB的方程为y=-x+m，将直线AB与抛物线的方程联立，消去y并整理得x2-（2m+8）x+m2=0，=（2m+8）2-4m2=32m+640，即m-2由韦达定理得，x1+x2=2m+8，设线段AB的中点为点M（x0，y0），则x0=m+4，y0=-（m+4）+m=-4，A、B两点关于直线y=x-1对称，所以，点M在直线y=x-1上，即m+4-1=-4，解得m=-7m=-7与m-2矛盾
19、！所以，轨迹C上不存在两点A、B关于直线y=x-1对称【点睛】本题考查动点的轨迹方程、抛物线的定义，考查直线与抛物线的综合问题，求解直线与抛物线的位置关系问题时，常用方法是设而不求法，借助韦达定理等手段，将多变量问题逐步转化为单变量问题，进而解决问题，本题还考查了计算能力、推理能力等20.在ABC中，tanA=，tanB=（1）求C的大小；（2）若ABC的最小边长为，求ABC的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式、两角和的正切公式，求得tanC=-tan（A+B）的值，可得C的值 （2）根据三个角的正切值，可以得到a最小，利用同角三角函数的基本关系求出 sinA、sin
20、B的值，再利用正弦定理求出c的值，进而可得ABC的面积【详解】解：（1）ABC中，tanA=，tanB=，tanC=-tan（A+B）=-=-1，C=（2）tanAtanB，ABC，a为最小边，a=由tanA=，tanB=，sin2A+cos2A=1，sin2B+cos2B=1，sinA=，sinB=，由正弦定理，=，可得c=，ABC的面积为acsinB=【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差的三角公式等三角变换的知识，同时也考查了正弦定理、三角形面积公式等知识，属于中档题。21.已知椭圆C：+=1（ab0）经过点（1，），且焦距为2（1）求椭圆C方程；（2）椭圆C的左
21、，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，求F2AB面积S的最大值并求出相应直线l的方程【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程得，又焦距为，故得，进而根据得的值；（2）设直线l的方程为x=my+，借助韦达定理，用m表示出三角形F2AB面积，利用基本不等式求出最大值，进而得出直线方程。【详解】解：（1）由已知可得，解得a2=4，b2=1，椭圆C方程为+y2=1，（2）由题中左、右焦点易知F1（-，0），F2（-，0），若直线l的倾斜角为0，显然F，A，B三点不构成三角形，故直线l的倾斜角不为0，可设直线l的方程为x=my+，由，消x可得（m2+4）
22、y2+2my-1=0设A（x1，y1）、B（x2，y2），则y1+y2= -，y1y2= -|y1-y2|=F2AB的面积S=|F1F2|y1-y2|=4=4=44=2当且仅当m2+1=3，即m=时，等号成立，S取得最大值2，此时直线l的方程为x+y-=0，或x-y-=0【点睛】本题考查了椭圆的方程，求解直线与椭圆的位置关系问题，常用方法是设而不求法，借助韦达定理等手段，将多变量问题逐步转化为单变量问题，进而转化为函数问题或基本不等式问题研究其最值22.已知定义在R上的函数f（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1（1）若k=-5，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，3）内单调
23、，求实数k的取值范围【答案】（1）f（x）极大值是f（0）=-1，f（x）极小值是f（4）=-33；（2）【解析】【分析】（1）代入k的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，即可求出函数的极值； （2）求出函数的导数，通过讨论对称轴的范围，得到函数的单调区间，从而确定k的范围即可【详解】解：（1）k=-5时，f（x）=x3-6x2-1，f（x）=3x2-12x，令f（x）0，解得：x4或x0，令f（x）0，解得：0x4，故f（x）在（-，0）递增，在（0，4）递减，在（4，+）递增，故x=0时，f（x）取极大值，且极大值是f（0）=-1，x=4时，f（x）取极小值，且极
24、小值是f（4）=-33；（2）f（x）=3x2+2（k-1）x+k+5=3-+k+5，f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=，当0即k1时，f（0）=k+50且f（x）在（0，3）递增，故f（x）0在（0，3）内恒成立，故f（x）在（0，3）递增，即k1时满足题意；当3即k-8时，f（0）=k+50且f（x）在（0，3）递减，故f（x）0在（0，3）内恒成立，故f（x）在（0，3）内递减，即k-8满足题意；当03即-8k1时，（）若-8k-5，则f（0）=k+50，只需f（3）=7k+260即k -，此时f（x）0在（0，3）内恒成立，即f（x）在（0，3）递减，（）若-5k1，则f（0）=k+50，此时只需f（）=-+k+50，解得：即-2k1时，f（x）0在（0，3）内恒成立，即-2k1时，f（x）在（0，3）递增，综上，若f（x）在区间（0，3）内单调，实数k的范围是（-，-5-2，+）【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，对参数进行分类讨论时要做到“不重不漏”，还考查了转化与化归的意识
