1、瓜豆原理1.动点轨迹直线型最值问题【知识精讲】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。（1） 当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2） 当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线可以这样理解：分
2、别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线【引例】如图，APQ是等腰直角三角形，PAQ=90且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹
3、角等于PAQ（当PAQ90时，PAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由ABCAMN，可得AP:AQ=BC:MN）【精典例题】1、如图，等腰RtABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQOP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A BC1D22、如图，矩形中，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_3、如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为_4、如图，等边三角形AB
4、C的边长为4，点D是直线AB上一点将线段CD绕点D顺时针旋转60得到线段DE，连结BE（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长2. 动点轨迹圆或圆弧型最值问题动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:（1） 动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。（2） 当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下;见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形见定角，找对边，想周角，转心
5、角，现圆形【知识精讲】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AOQ点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关
6、系如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQAP且AQ=AP考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆接下来确定圆心与半径考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM如图，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1即可确定圆
7、M位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为2【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”【精典例题】1.如图，点P
8、（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_2.如图，A是B上任意一点，点C在B外，已知AB2，BC4，ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）A44B4C48D63.如图，正方形ABCD中，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90得DF，连接AE、CF求线段OF长的最小值4.如图，在等腰RtABC中，ACBC，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为_5.如图， 中， 于点 是半径为2的上一动点， 连结 ， 若是的
9、中点， 连结， 则长的最大值为 （ ）3. 动点轨迹不确定型最值问题动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。【知识精讲】所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是【精典例题】1、如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足A
10、C=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若tanCAB=2，则k的值为（ ）A2B4C6D8【模型】一、借助直角三角形斜边上的中线1、如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）A6BCD【模型】二、借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边1、如图，已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A1B3C3D2、如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别
11、在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是_3、如图，在中，以线段为边向外作等边，点是线段的中点，连结并延长交线段于点.(1)求证：四边形为平行四边形；(2)求平行四边形的面积；(3)如图，分别作射线，如图中的两个顶点，分别在射线，上滑动，在这个变化的过程中，求出线段的最大长度.4、如图，在中，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值为（）ABCD【模型】三、借助构建全等图形1、如图，在ABC中，ACB90，A30，AB5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等
12、边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是_2、如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连结HN则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）A6B3C2D15【模型】四、借助中位线1、如图，在等腰直角DABC 中，斜边 AB 的长度为 8，以 AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接 BP ，取 BP 的中点 M ，则CM 的最小值为（ ）ABCD2、如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（ ）ABCD巩固练习如图，线段AB为O的
13、直径，点C在AB的延长线上，AB4，BC2，点P是O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作RtPCD，且使DCP60，连接OD，则OD长的最大值为 如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为 如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC上一点，且BE1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角EFG，连接CG，则CG的最小值为 如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB当点P在O上运动一周时，点B运动的路径长是 如图，AOB30，OD4，当点C在OA上运动时，作等腰RtCDE，CDDE，则O，E两点间距离的最小值为 若AC4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP（1）如图1，取点B，使ABC为等腰直角三角形，BAC90，将点P绕点A顺时针旋转90得到AP点P的轨迹是 （填“线段”或者“圆”）；CP的最小值是 ；（2）如图2，以AP为边作等边APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90，得到点M，连接PM，则CM的最小值为
