1、2020 年上海交通大学强基计划试题年上海交通大学强基计划试题1.函数()f x的定义域为(0,1)，若1(0,)2c，则函数()()()g xf xcf xc的定义域为。2.已知方程2sin1xx，则下列判断：（1）方程没有正数解；（2）方程有无穷多个解；（3）方程有一个正数解；（4）方程的实根小于 1，其中判断错误的有。3.小于 1000 的正整数中，既不是 5 的倍数也不是 7 的倍数的整数有个。4.已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边,AB BC上，满足3aADBE，连接,AE CD，则AE和CD的夹角为。5.ABC的顶点坐标分别为(3,4),(6,0),(5,2)ABC，则角
2、A的平分线所在的直线方程为。6.从 2 个红球，3 个黑球，5 个白球中任意取 6 个，有种不同的取法。7.已知2yaxbxc过(3,4),(5,4)AB，则2ab。8.过抛物线22(0)ypx p的焦点F作直线m交抛物线于A、B两点，若A、B横坐标之和为 5，则直线m的条数为。9.用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为。10.若三条直线220,2,0 xyxxky将平面划分成 6 个部分，则k可能的取值情况是（）。A.只有唯一值B.有两个不同值C.有三个不同值D.无穷多个值11.非零实数,a b c，若,bc ac ababc成等差数列，则下列不等式一定成立
3、的是（）。A.bacB.2acbC.2bacD.222abc12.若集合M中任意两个元素的和差积商的运算结果都在M中，则称M是封闭集合，下列集合：（1）R；（2）Q；（3）RC Q；（4）|2,x xmn m nZ中，封闭集合的个数为。13.方程2(1)1x xy 的正整数解有。14.若,0a b，且满足111abab，则ab。15.若四面体的各个顶点到平面距离都相同，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数为。16.设()m a是函数2()f xxa在区间1,1上的最大值，则()m a的最小值为。17.立方体 8 个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有对。18.空间三条直
4、线,a b c两两异面，则与三条直线都相交的直线有条。19.用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长的最小值为。20.矩形ABCD的边2AB，过B、D作直线AC的垂线，垂足分别为E、F，且E、F分别为AC的三等分点，沿着AC将矩形翻折，使得二面角BACD成直角，则BD长度为。21.平面上给定 5 个点，任意三点不共线，过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直，过5 点中任意一点向另外四点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的 5 点）个数至多有个。22.实数,a b满足5960()1,()1abab，则601nnnab。23.甲、乙、丙三人的职业分别是,A B
5、 C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为（）。A.ABCB.CABC.CBAD.BCA24.函数4sin cos33,(,)sincos44xxyxxx 的最小值是。2020 年上海交通大学强基计划试题解析年上海交通大学强基计划试题解析1.【答案】1cxc【解析】由题意知011011xccxcxccxc ，因为10,2c，所以1cxc。2.【答案】（1）【解析】2sin1xx转化为函数()2xf x 与()sin1g xx的交点问题，所以错误的是（1）。3.【答案】686【解析】由题意可知1000994980999168657354.【答案】60【解析】方法
6、一：ABECADBAEACD 因为6060BAECAEACDCAE即60COE方法二：如图作,DFAECDF即为所求角2217293 23aaCDAEaaa22 7227,399993DFBFaaaDFa BFCFaaAE22222228749181981cos2232 77293aaaDFCDCFCDFCDFDF CDaa 5.【答案】717yx【解析】由题意可知90BAC，角平分线所在直线倾斜角为4044tan3633ABkABO 413tantan(45)7413ABO 角A的平分线所在的直线方程为7(3)4717yxx6.【答案】11【解析】设取出的球中有,x y z个红球，黑球，白球
7、，且0,1,2,0,1,2,3xy，0,1,2,3,4,5z，6xyz（1）当0 x 时，6yz，则有(1,5),(2,4),(3,3)，3 种；（2）当1x 时，5yz，则有(0,5),(1,4),(2,3),(3,2)，4 种；（3）当2x 时，4yz，则有(0,4),(1,3),(2,2),(3,1)，4 种；共34411种。7.【答案】0【解析】(3)4,(5)4ff，A、B关于对称轴对称所以352022baba。8.【答案】见解析【解析】设直线2pxty，联立得2222202ypxyptyppxtp212125()52pxxt yyptp（1）当5p 时，直线条数为 0 条；（2）当
8、5p 时，直线条数为 1 条；（3）当05p时，直线条数为 2 条。9.【答案】3,4,6【解析】设需要x个正n边形，铺满内角和等于360则(2)180436023,4,62nxxNnnn10.【答案】2,1,0【解析】三条直线将平面分成 6 个部分，有两种情况：（1）两条平行与第三条相交；（2）三条直线相交于一点，则2,1,0k 11.【答案】C【解析】由题意可知222222222(+)2acbcaba cb acb acbacbac，所以A可能成立，由基本不等式可得2242acacbacb，所以B一定成立由2222222222222111112a ca bb cbacabc或222111c
9、ba即222abc或222cba，所以D可能成立故选C12.【答案】2【解析】显然，（1）、（2）满足题意对于（3）3RC Q，2 3RC Q，但2 3=23RC Q，故（3）不是封闭集合对于（4）32122252|2,1471442x xmn m nZ，故（4）不是封闭集合综上，封闭集合个数为 2。13.【答案】0【解析】由题意可知222(1)11x xyyxxyx 由22(1)1(1)(1)(1)1x xyyyyx xyx 所以1xyx，y无正整数，所以方程2(1)1x xy 的正整数解有 0 个。14.【答案】152【解析】由22211110aaababababbb 因为,0a b，所以
10、152ab15.【答案】7【解析】与四个表面分别平行的面有 4 个，与两条对棱分别平行的平面有 3 个，共 7 个。16.【答案】12【解析】（1）当0a 时，()11m aa（2）当1a 时，()1m aa（3）当01a时，1()max1,)2m aa a综上()m a的最小值为1217.【答案】174【解析】找异面直线需要构造三棱锥，每个三棱锥有 3 组异面直线所以44484466706658CCC，58317418.【答案】无数条【解析】如图所示，直线,a b c两两异面，在c上任取一点A，过A作ABa，构造平面ABCD，则直线b与平面相ABCD交于点E，连接AE交a于F，即直线AF与三
11、条异面直线,a b c都相交，由于A任意性，所以有无数条。19.【答案】3 2【解析】如图所示，六边形周边最小值为263 2220.【答案】153【解析】设AFEFECx则223cos332xBAExx所以221523BDBEx21.【答案】310【解析】（1）设 5 个点为,a b c d e，其中,b c d e四个点共有246C 条连线，a点可向这 6 条线作 6 条垂线，一共5630条，此时垂线的交点个数至多为230435C个。（2）点a可以向,b c d e这四个点的 6 条连线作垂线，有2615C 个点，所以共5 1575个（3）点,c d e向点,a b作垂线，可作 3 条，这三
12、条互相平行，没有交点，此时有233C，共225330C C 个；（4）五个点中任意三个构成一个三角形，三角形三条高相交于一点（三条垂线只有一个交点），此时有22353520C CC个综上这些垂线的交点个数至多有435753020310个。22.【答案】0【解析】由题意得：11abab 或11abab 01ab 或10ab 所以1,(1,3,559)1,(2,4,660)nnnabn则6010nnnab23.【答案】A【解析】由题意得乙的职业是 B，乙比 C 大，丙的年龄和 B 不同，B 比甲小，甲、乙、丙三人的职业分别是 A，B，C24.【答案】2 2【解析】令3sincos,2sin(0,1444txx xtx 且224sin cos32(1)321xxtt221122 2tyttt当且仅当1222ttt 时取等号，所以函数的最小值为2 2
