1、第二节第二节 幂级数幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、典型例题五、小结与思考2一、幂级数的概念一、幂级数的概念1.1.复变函数项级数复变函数项级数定义定义 ,),2,1()(为为一一复复变变函函数数序序列列设设 nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义.表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,记作记作.)(1 nnzf3)()()()(21zfzfzfzsnn 称为这级数的称为这级数的部分和部分和.级数最前面级数最前面n项的和项的和和函数和函数.)(,)(,)()(lim ,001000它的
2、和它的和称为称为收敛收敛在在那末称级数那末称级数存在存在极限极限内的某一点内的某一点如果对于如果对于zszzfzszszDnnnn 4 )()()()(21zfzfzfzsn称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在如果级数在D内处处收敛内处处收敛,那末它的和一定那末它的和一定 :)(zsz的的一一个个函函数数是是52.2.幂级数幂级数当当11)()(nnnazczf或或,)(11时时 nnnzczf函数项级数的特殊情形函数项级数的特殊情形 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(.zczczcczcnnnnn 22101或或这种级数称为这种级数
3、称为幂级数幂级数.6二、幂级数的敛散性二、幂级数的敛散性1.收敛定理收敛定理(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)如果级数如果级数 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz ,z在在收敛收敛,z那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛,如果如果在在级数发散级数发散,那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足7证证 ,00收敛收敛因为级数因为级数 nnnzc由收敛的必要条件由收敛的必要条件,有有0lim0 nnnzc因而存在正数因而存在正数M,0Mzcnn 有有使对所有的使对所有的n,0zz 如如果果 ,1 0 qzz那末那末8而而nnnnnnzzzczc00 由正项级数的比较
4、判别法知由正项级数的比较判别法知:.0是是绝绝对对收收敛敛的的故故级级数数 nnnzc nnnnnzczczcczc22100收敛收敛.另一部分的证明请课后完成另一部分的证明请课后完成.nMq 证毕证毕92.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛.10例如例如,级数级数 nnnzzz2221对任意固定的对任意固定的z,从某个从某个n开始开始,总有总有,21 nz于是有于是有,21nnnnz 故该级
5、数对任意的故该级数对任意的z均收敛均收敛.11(2)对所有的正实数除对所有的正实数除 z=0 外都发散外都发散.此时此时,级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.(3)既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.例如例如,级数级数 nnznzz2221,0 时时当当 z通项不趋于零通项不趋于零,;,级级数数收收敛敛时时设设 z.,级数发散级数发散时时 z如图如图:故级数发散故级数发散.12xyo.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数 0nnnzc的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.13
6、答案答案:.为为中中心心的的圆圆域域是是以以az 幂级数幂级数 0)(nnnazc的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出不能作出一般的结论一般的结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意问题问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?14例如例如,级数级数:0200nnnnnnnznzz1,1 zR收收敛敛圆圆周周均均为为收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;,1在在其其它它点点都都收收敛敛发发散散在在点点 z在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛.153.收敛半径的求法
7、收敛半径的求法方法方法1 1:比值法比值法(定理二定理二):,0lim 1 nnncc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R证证由于由于zcczczcnnnnnnnn111limlim ,1 时时当当 z 0nnnzc收敛收敛.,z 16,0收收敛敛使使级级数数 nnnzc ,01zz 使使据阿贝尔定理据阿贝尔定理,.01必收敛必收敛级数级数 nnnzc根据上节定理三根据上节定理三,0 nnnzc级数级数,1 内收敛内收敛在圆在圆 z,1 0zz外外有有一一点点假假设设在在圆圆 ,1 1zz外外再再取取一一点点在在圆圆 17,1 1时时然而当然而当 z11111limzzczcnnnnn ,
8、01收敛相矛盾收敛相矛盾与与 nnnzc,1 0外外发发散散在在圆圆故故 zzcnnn所以收敛半径为所以收敛半径为.1 R证毕证毕.1 即假设不成立即假设不成立.18如果如果:,0在复平面内处处收敛在复平面内处处收敛则级数则级数 nnnzc即即.R,0.1 注意注意:nnncc1lim 存在且不为零存在且不为零.定理中极限定理中极限 .2(极限不存在极限不存在),即即.0 R,0 0均均发发散散以以外外的的一一切切对对于于复复平平面面内内除除则则级级数数zzzcnnn 19pnnnnnncc)1(limlim1 .11 R所以所以答案答案，因为因为pnnc1 课堂练习课堂练习 试求幂级数试求幂
9、级数 1npnnz)(为为正正整整数数p的收敛半径的收敛半径.pnn)11(1lim .1 20方法方法2:根值法根值法(定理三定理三),0lim nnnc如如果果那末收敛半径那末收敛半径.1 R说明说明:0 0 RR(与比值法相同与比值法相同)如果如果21三、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质1.1.幂级数的有理运算幂级数的有理运算.,)(,)(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 设设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf Rz ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababaRz ),min(21rrR
10、222.幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算如果当如果当rz 时时,)(0 nnnzazf又设在又设在Rz 内内)(zg解析且满足解析且满足,)(rzg 那末当那末当Rz 时时,0.)()(nnnzgazgf说明说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.23 00)(nnnzzc定理四定理四设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为,R那末那末(2)(zf在收敛圆在收敛圆Raz 内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,.)()(11 nnnaznczf即即是收敛圆是收敛圆Raz 内的解析函数内的解析函数.0)()(nnnaz
11、czf它的和函数它的和函数(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质24(3)(zf在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,0.,d)(d)(ncnncRazczazczzf 01.)(1d)(nnnzaazncf 或或简言之简言之:在收敛圆内在收敛圆内,幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导,逐项积分逐项积分.(常用于求和函数常用于求和函数)即即25四、典型例题四、典型例题例例1 1 求幂级数求幂级数 nnnzzzz201的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为)1(,11112 zzzzzzsnnn26
12、1 zzsnn 11lim级数级数 0nnz收敛收敛,1 z0lim nnz级数级数 0nnz发散发散.且有且有.1112 nzzzz收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域,1 z由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:在此圆域内在此圆域内,级数绝对收敛级数绝对收敛,收敛半径为收敛半径为1,27例例2求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1)13nnnz(并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形)(2)1)1(nnnz(并讨论并讨论2,0 z时的情形时的情形)或或nnnnnnc31limlim 解解(1)nnncc1lim 3)1(lim nnn因为因为,1.11lim3 nnn28
13、所以收敛半径所以收敛半径,1 R即原级数在圆即原级数在圆1 z内收敛内收敛,在圆外发散在圆外发散,收敛的收敛的p级数级数).13(p所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周在圆周1 z上上,级数级数 13131nnnnnz29说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有也有 级数的发散点级数的发散点.,0时时当当 z原级数成为原级数成为,1)1(1 nnn交错级数交错级数,收敛收敛.,2时时当当 z发散发散.原级数成为原级数成为,11 nn调和级数，调和级数，(2)1limlim1 nnccnnnn,1.1 R即即30incncos
14、因为因为nnnnnnnneeeecc 111limlim 所所以以故收敛半径故收敛半径.1eR 0)(cosnnzin例例3求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解),(21coshnneen ,e 31解解)4sin4(cos21 ii因为因为nnic)1(所以所以nnncc1lim .2221 R例例4 0)1(nnnzi求求 的收敛半径的收敛半径.,24ie ;)2(4inne nnn)2()2(lim1 .2 32例例5 把函数把函数bz 1表成形如表成形如 0)(nnnazc的幂的幂级数级数,其中其中ba与与是不相等的复常数是不相等的复常数.解解把函数把函数bz 1写成如下的形式
15、写成如下的形式:bz1)()(1abaz abazab 111代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现)(az 凑出凑出)(11zg 33时，时，当当1 abaz,)()()(1112 nabazabazabazabaz bz1故故232)()(1)()(11azabazabab nnazab)()(11,Rab 设设,时时那那末末当当Raz 级数收敛级数收敛,且其和为且其和为.1bz 34例例6 求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解12limlim 1 nnccnnnn因因为为.1 R所所以以利用逐项积分利用逐项积分,得得:0000d)1(d)1(n
16、znznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn,1.1zz .)1(12z 1 z35例例7 求级数求级数 01)12(nnnz的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解1212limlim 11 nnnnnncc因为因为.21 R所所以以,21时时当当 zzzznnn 11212)12(11故故,2,12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 36例例8 计算计算.21,d)(1 zczzcnn为为其中其中解解,21内内在在 z 1)(nnzzS和和函函数数 czzzId)111(所以所以02 i,1收敛收敛 nnz
17、01nnzz,111zz cczzzzd11d1.2 i 37五、小结与思考五、小结与思考 这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质数的运算性质.38思考题思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?39由于在收敛圆周上由于在收敛圆周上z确定确定,可以依复数项级可以依复数项级数敛散性讨论数敛散性讨论.思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.40阿贝尔资料阿贝尔资料Born:5 Aug 1802 in Frindoe(near Stavanger),NorwayDied:6 April 1829 in Froland,NorwayNiels Abel
