1、1 陈信义编陈信义编 第第3章章 电势电势电磁学（第三册）电磁学（第三册）目目 录录2【演示实验演示实验】高压带电操作、电容器储能高压带电操作、电容器储能3.1 静电场的保守性静电场的保守性3.3 电势叠加原理电势叠加原理3.2 电势差和电势电势差和电势3.4 电势梯度电势梯度3.5 电荷在外场中的静电势能电荷在外场中的静电势能3.6 电荷系的静电能电荷系的静电能3.7 静电场的能量静电场的能量补充：补充：静电场环路定理的微分形式静电场环路定理的微分形式33.1 静电场的保守性静电场的保守性一、静电场是保守场一、静电场是保守场1、点电荷的静电场是保守场、点电荷的静电场是保守场 单位正电荷沿任意
2、路径由点单位正电荷沿任意路径由点ab b，电，电场力作的功场力作的功只与起、终点位置有关，与只与起、终点位置有关，与移动的路径无关。移动的路径无关。rrqE420 有心力场有心力场4L babababLabaUUrqrqrrqrrrqW 0020204444d dd d52、任意电荷体系的静电场是保守场、任意电荷体系的静电场是保守场电荷体系由点电荷组成电荷体系由点电荷组成场叠加原理场叠加原理 ibaiibLaibLaiibLarErErErEd dd dd dd d路径无关路径无关路径无关路径无关 保守性的表述保守性的表述二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理 )(0LrEd d静电场强沿任
3、意闭合路径的积分等于零静电场强沿任意闭合路径的积分等于零 L6二二、高斯定理与环路定理完备描述静电场高斯定理与环路定理完备描述静电场(对任意电场都成立对任意电场都成立)(01dSiSqSE(只对静电场成立只对静电场成立)(0dLrE【思考思考】匀速运动电荷匀速运动电荷的电场是静电场吗？的电场是静电场吗？v+Q所以不是静电场！所以不是静电场！环路积分不为零，环路积分不为零，73.2 电势差和电势电势差和电势 babarEUUd d静电场是保守场静电场是保守场定义电势差定义电势差一、电势差一、电势差电势的减少电场力作的功电势的减少电场力作的功单位正电荷的单位正电荷的电势能的差。电势能的差。把单位正
4、电荷由点把单位正电荷由点ab电场力作的功。电场力作的功。8二、电势二、电势把单位正电荷自该点移到电势零点，把单位正电荷自该点移到电势零点，电电场力作的功。场力作的功。把单位正电荷自电势零点移到该点把单位正电荷自电势零点移到该点外外力作的功。力作的功。0)(pprEpUd d00 pU选选 p0 点为电势零点：点为电势零点：，则，则 p点电势点电势9m电荷分布在有限范围电荷分布在有限范围选无穷远为电势零点选无穷远为电势零点 prdEpU)(通常选地球为无穷远电势零点。通常选地球为无穷远电势零点。m电荷分布到无限远时，电势零点不能选在无电荷分布到无限远时，电势零点不能选在无限远。限远。电势零点的选
5、择：电势零点的选择：【演示实验演示实验】高压带电操作高压带电操作10三、三、几种带电体的电势分布几种带电体的电势分布rqrrqrUr004d4)(2 1、静止点电荷的电势静止点电荷的电势选无穷远为电势零点选无穷远为电势零点112、均匀带电球面的电势均匀带电球面的电势 球面外点的电势等于处球面外点的电势等于处于球心的于球心的“点电荷点电荷”在该在该点的电势。点的电势。球面内等电势球面内等电势,等于球等于球面上的电势。面上的电势。rq0URR RrrqrrqRrRqrrqrrErUrRRrr,44,440)(000022d dd dd dd d12 RrrqRrrRRqrU,4,38)(02230
6、 3、均匀带电球体的电势均匀带电球体的电势RqrRrrrqERrrRqrE ,41,41202301 22302138dd)(rRRqrErErURRr :Rr RqU0423)0(球心：球心：0rURqR134、无限长圆柱面无限长圆柱面(线电荷密度线电荷密度)的电势的电势电势分布：电势分布：选选 点为电势零点点为电势零点)(00rrp RrrE ,20 电场分布：电场分布：RrE ,0RrpRrpp0r0)ln(2dd)(:0000RrrRrErrrErURr )ln(2)(:000rrrrrErURr d d14电势零点不能选在无限远！电势零点不能选在无限远！RrrrRrRrrU),ln(
7、2),ln(2)(0000 rr0R0rp0153.3 电势叠加原理电势叠加原理注意：注意：各电荷的电势零点必须相同。各电荷的电势零点必须相同。应用电场叠加原理证明应用电场叠加原理证明：)()(00pUrErEpUiiippipp d dd d iiEE 在电荷体系的电场中，某点电势等于各电在电荷体系的电场中，某点电势等于各电荷单独在该点产生的电势的代数和荷单独在该点产生的电势的代数和 iiUU161、点电荷体系、点电荷体系 niiirqpU104)(2、连续分布的电荷体系、连续分布的电荷体系 电电荷荷体体系系rdqpU04)(dqpriqiqjdqprqROx p【例例】均匀带电圆环轴线上的
8、电势均匀带电圆环轴线上的电势 rqpU04)(d d qqrd d041220044xRqrq rdq18【例例】两同心带电球两同心带电球面，求面，求 A，B，C 点的点的电势。电势。q1q2R1R2ABCrArBrCAAArqqrqrq0210201444 2021012144RqRqUUUCCC 202012144RqrqUUUBBBB AAAUUU21单独在该点的电势的和单独在该点的电势的和!193.4 电势梯度电势梯度一、等势面一、等势面电势相等的点组成的曲面。电势相等的点组成的曲面。1、电场线与等势面处处正交，并指向电势电场线与等势面处处正交，并指向电势降低的方向。降低的方向。2、两
9、等势面相距较近处的场强大，相距两等势面相距较近处的场强大，相距较远处场强较小。较远处场强较小。等势面特征：等势面特征：20等势面等势面电场线电场线点电荷的等势面点电荷的等势面21+等势面等势面电偶极子的等势面电偶极子的等势面电场线电场线22两相等点电荷的等势面两相等点电荷的等势面等势面等势面电场线电场线23等势面等势面电场线电场线24等势面等势面电场线电场线平行板电容器平行板电容器25人心脏的等电势人心脏的等电势线，类似于电偶线，类似于电偶极子。极子。26二、场强和电势的关系二、场强和电势的关系证明见力学证明见力学4.8由势能求保守力。由势能求保守力。电势梯度矢量：电势梯度矢量：U 静电场中某
10、点的电场强度，等于该点电静电场中某点的电场强度，等于该点电势的负梯度势的负梯度 kzUjyUixUUE静电场强等于负电势梯度矢量。静电场强等于负电势梯度矢量。27 U 垂直于过该点的等势垂直于过该点的等势面，方向是电势升高最快的方向。面，方向是电势升高最快的方向。U 的基本特征：的基本特征：证明：证明：垂直于等势面，垂直于等势面，和和 与等势面相切与等势面相切n km nmk,以等势面以等势面U上上 p点为原点作直角坐标系点为原点作直角坐标系UU+D DUn km P28nUnnUnmUmkUkU UU+D DUn km P 垂直于过该点的等势面。垂直于过该点的等势面。U 所以，所以，电场线与
11、等势面处处正交。两等势面相距电场线与等势面处处正交。两等势面相距较近处的场强大，相距较远处场强较小。较近处的场强大，相距较远处场强较小。因此因此29所以，所以，的方向是电势升高最快的方向。的方向是电势升高最快的方向。U nUnUlUlU cos UU+D DUn km PlnUnU 电场线指向电势降低最快的方向。电场线指向电势降低最快的方向。30【例例】均匀带电球面，由电势分布求场强分布。均匀带电球面，由电势分布求场强分布。场强沿径向场强沿径向 只要计算径向分量只要计算径向分量0rURq RrrqRrRqrU,4,4)(00 RrrqrqrRrRqrrrUE,44,04)(200031电荷的电
12、量电荷的电量该点的电势该点的电势qUW“电荷与电场的相互作用能电荷与电场的相互作用能”3.5 电荷在外场中的静电势能电荷在外场中的静电势能【例例】氢原子中电子的静电势能氢原子中电子的静电势能“电子与电场（质子）的相互作用能电子与电场（质子）的相互作用能”原子核（质子）的电势：原子核（质子）的电势：rerU04)(电子的静电势能：电子的静电势能：rerUeW024)()(32【例例】电偶极子在均匀外电场中的电势能电偶极子在均匀外电场中的电势能 WWWEpW ,（受力矩：（受力矩：）EpM EpW 【思考思考】势能势能W随随p的取向如何变化？的取向如何变化？-qE l+ql qp 证明：证明：co
13、sdEllEUU qUqU UUq333.6 电荷体系的静电能电荷体系的静电能一、点电荷体系的相互作用能一、点电荷体系的相互作用能其中其中Ui 为为 qi 所在处，由所在处，由 qi 以外的以外的其它电荷其它电荷所所产生的电势。产生的电势。把把 n 个静止点电荷从现有位置彼此分散到个静止点电荷从现有位置彼此分散到无穷远时，它们间的静电力所作的功，称为无穷远时，它们间的静电力所作的功，称为这这 n 个点电荷间的相互作用能个点电荷间的相互作用能iniiUqW 12134证明：证明：1、n=2rqqrrqqWr02120214d4 固定固定q1，把，把q2移到无限远电场力做的功移到无限远电场力做的功
14、rqUrqU0210124,4 221121UqUqW 写成对称形式即写成对称形式即q2q1r1122qUqUW 352、n=3q3q2q1 11333133222322111221qUqUqUqUqUqUW 类推，得类推，得iniiUqW 121 33231223211131221qUUqUUqUU 33221121qUqUqU 36式中式中U为在带电体上，所有电荷在电荷元为在带电体上，所有电荷在电荷元dq 处的电势。处的电势。二、连续分布的电荷体系的静电能二、连续分布的电荷体系的静电能 各电荷元间的静电相互作用能各电荷元间的静电相互作用能（带电体）（带电体）qUWd21【思考思考】为什么不
15、包括电荷元为什么不包括电荷元dq 的自能？的自能？37Rq【例例】均匀带电球体的静电能均匀带电球体的静电能分割成同心薄球壳分割成同心薄球壳（dq）rdrdq)3(8)(2230rRRqrU qqrUWd)(21:点模型的发散困难点模型的发散困难RqW02203:电荷元电荷元dq 的自能为零的自能为零所在处的电势为所在处的电势为,静电能为静电能为 WR,0若若q不变不变,0,0WR若若 不变不变,Rq02203 RrrRqrRRq0232230d4343821 38【例例】电子的经典半径电子的经典半径cerecm022203 另一种估算另一种估算:m m152020221082.244 cmer
16、recmecce m m15202107.1203 cmerec 39体系静电能体系静电能=相互作用能相互作用能自能自能三、连续带电体体系的三、连续带电体体系的静电能静电能体系体系Q1Q2Q3403.7 静电场的能量静电场的能量均匀带电球面的静电能均匀带电球面的静电能:)(d21球球面面qUWRq静电能贮存在电场中静电能贮存在电场中Ein=0VeVwW d在区域在区域V 中电场的能量中电场的能量：在真空中电场能量密度在真空中电场能量密度：220Ewe 静电能贮存在哪儿？静电能贮存在哪儿？E=0 )(0d421球球面面qRq Rq028 RqW028 41RRqWd8d202 用特例说明：用特例
17、说明：VWwedd 电场的能量密度：电场的能量密度：RqW028 设电斥力作用设电斥力作用 R R+dR球壳球壳(R,R+dR)内的静电能内的静电能 减少的静电能：减少的静电能：RqdR242202200ERq RRRRqd4d82202 42Rq【例例】对场能积分求均匀带电球对场能积分求均匀带电球体的静电能。体的静电能。【例例】电容器储能电容器储能drrRqrrrqrrRqrVEVERRRrRr000002010203442442d2d22d222d223022 qqrUWd)(21与与相同相同VwWed 全全空空间间dV43 证明：证明：由斯托科斯公式由斯托科斯公式因域因域 S 任意，则任意，则0 E )()(d)(dLSSErE0 E附录附录：静电场环路定理的微分形式静电场环路定理的微分形式LdSESS 是以是以 L 为边界为边界的任意曲面的任意曲面0,10 EE 静电场是有源、无旋场：静电场是有源、无旋场：0
