1、第四章第四章 统计数据的指标统计数据的指标描述描述第一节第一节 总量指标与相对总量指标与相对指标指标 第一节第一节 总量指标与相对指标总量指标与相对指标 一、一、总量总量指标指标（一）（一）总量总量指标的概念指标的概念 总量指标是表明社会经济现象在一定的时间、地点、条件下的规模或水平的统计指标。例如，一个国家或地区在一定时点上的人口数、土地面积数、生产设备数、物资库存数等等（二）（二）总量总量指标的指标的分类分类 1.时期指标和时点指标 时期指标能够反映现象在一段时间内活动过程的成果。如工资总额，基本建设投资额，国民生产总值等；时点指标则反映现象在某一时点（瞬间）的状况。如人口数，物资库存量，
2、设备台数等。时期指标和时点指标各有不同的特点。第一，时期指标的数值可以连续计数，它的每个数值都说明现象在这一时期内发生的总量，如一年的总产值是一年四季产值的累计。而时点指标的数值只能间断计数，它的每个数值都表示现象发展到一定时点上所处的水平。如月末职工人数，是指月末时点上的实有人数。第二，时期指标的各期数值直接相加可以说明较长时期内现象发生的总量，而时点指标的数值直接相加除在有关指标的计算过程中需要运用外，没有实际意义。第三，一般来讲，同一总体时期指标的数值大小与时间的长短具有直接关系，如一个季度的销售额必然大于一个月的销售额；而时点指标的数值大小与时点间的间隔长短没有直接联系。如季度末的职工
3、人数不一定比月末的职工人数多。因此，在分析研究现象时，必须考虑现象的特点，来正确的反映事实。2.总体单位总量和总体标志总量 总体单位总量总体单位总量，是总体单位的合计数，它表示总体本身规模的大小。例如：了解商业企业的经营状况，每个商业企业是总体单位，全部商业企业的总和就是总体单位总量指标。总体总体标志总量标志总量，是总体中某种标志数值的总和，它是反映总体特征的总数量的。例如：前例中，全部商业企业的销售额、利润额便是总体标志总量。（三）总量指标的计量单位总量指标的计量单位 1、实物量单位：是根据事物的属性和特点而采用的计量单位。自然计量单位是按照被研究现象的自然状况来度量其数量的一种计量单位。度
4、量衡单位是按照统一的度量衡标准对现象实物量进行度量的一种计量单位。专用单位是根据某些事物的物理化学性质专门规定的计量单位。复合单位是两个（或多个）单位结合使用时的计量单位，又分为双重复合单位和多重复合单位两种。标准实物单位是把那些品种、规格、性能或化学成份含量不同的同类产品，按一定的折合标准，折算为标准规格或标准含量的产品。2、价值量单位 价值量单位是用货币量计量总量的一种计量单位。价值量指标所使用的价格有两种，即现行价格现行价格和不变价格不变价格。按现行价格计算的价值量指标是只按各部门实际价格计算的价值量指标。按现行价格计算的价值量指标可以反映国民经济实际发展的状况，并可研究生产，分配、消费
5、、积累等国民经济重大比例关系。二、二、相对相对指标指标（一）（一）相对相对指标的概念指标的概念 相对指标也叫相对数，是两个相互联系的有关指标对比计算的一种比值(或比率)。它反映现象总体的结构、比例、程度、发展速度等的对比关系。相对指标一般是无名数。通常用系数、倍数、成数、百分数、千分数表示。但也有一种相对指标表示为有名数，它是在进行对比的两个数值带有不同单位时产生的，因此它表现为复名数，例如人口密度就是用“人/平方公里”来表示的。(二)相对指标的作用 1.相对指标便于进行比较分析。2.相对指标可使一些不能直接对比的现象找到共同对比的基础。（三）（三）相对相对指标的计算方法指标的计算方法 1、计
6、划完成相对指标 计划完成相对指标是用来检查、监督计划执行情况的基本指标之一，常以百分数表示，又称为计划完成百分比。其计算公式为：例如，某商店某月计划完成销售额400万元，实际完成销售额420万元，则其计划完成相对指标为计算结果说明该商店该月超额完成销售额计划5%。计划成程度相对指标100%实际完成数计划数%100计划任务数实际完成数420400计划完成相对指标105%在经济现象的分析研究中，计划任务数不仅可以用总量指标表示，而且可以用相对指标和平均指标表示。当计划任务为相对指标时，其计算公式为：计划完成相对指标这种方法适用于考核各种现象的增长率、降低率的计划完成情况。例如，某企业某种产品单位成
7、本计划规定比上期降低7%，实际单位成本比上期降低8.5%，则其计划完成程度为：计划完成相对指标 98.39%100计划规定的百分数实际完成的百分数%100计划规定的百分数实际完成的百分数%71%5.81 2、结构相对指标 结构相对指标是运用分组法，将总体内部区分为不同性质的若干部分，以部分数值与总体数值对比求得的比重或比率，它反映总体内部构成情况，表明总体中各部分所占比重大小，所以，又称比重相对数,其公式为：结构相对数例如，2014国内生产总值636463亿元，其中，第一产业增加值58332亿元，第二产业增加值271392亿元，第三产业增加值306739亿元，第一产业增加值占国内生产总值的比重
8、为9.2%，第二产业增加值比重为42.6%，第三产业增加值比重为48.2%。%100总体中的全部数值总体中部分数值 3、比例相对指标 比例相对指标是总体中的一部分数值与总体中的另一部分数值相比，反映总体内各组成部分之间的数量关系。因此它所表明的是结构性比例。比例相对指标的计算公式为：比例相对指标例如我国第六次人口普查结果，大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，男性人口为686852572人，占51.27%；女性人口为652872280人，占48.73%。总人口男女性别比为1.052:1或者105.2:100。%100总体中的另一部分数值总体中的一部分数值 4、比较相对指标 比较相对指
9、标是同类指标在相同时期内不同空间对比求得的相对指标。它可以反映国家与国家、部门与部门、地区与地区、单位与单位、组与组之间同类现象的对比关系。其计算公式为：比较相对指标比较相对指标既可以用百分数表示，也可以用倍数表示。用来对比的指标既可以是总量指标，也可以是相对指标或平均指标，但要注意对比的两个同类指标数值，必须具有可比性，即指标涵义、口径、计算方法，计量单位、所属时间等一致。甲空间某指标数值乙空间同类指标数值 例如，某年底，甲省人口 5452 万人，全省集市数有 2488个。乙省人口 5356 万人，集市数 1696 个。可见，甲省人口等于乙省人口的101.8%,而甲省集市数为乙省集市数的14
10、6.7%。从此例中可以看出，人口差不多的二个省，集市发展是不平衡的。5、强度相对指标 强度相对指标是同一时期两个有联系的不同总体的数值之比，说明某一现象在一定情况下的强度、密度或普及程度。强度相对指标的计算公式为：强度相对指标强度相对指标的表现形式一般为复合单位。例如：商业网点密度为：个/千人、人均国民收入为元/人等等。但也有些强度相对指标用百分数或千分数表示的，如资金利用率、产值利税率等。%100数值另一总体的有联系指标某总体的某类指标数值 强度相对指标，一般有正指标和逆指标（反指标）两种，指标数值越大说明现象的强度、密度或普及程度越高的，称之为正指标；相反，指标数值越大说明现象的强度、密度
11、或普及程度越低的，称之为逆指标。前者为正指标，因为其数值与现象的发展程度成正比，越大越好；后者为逆指标，因为其数值与现象的发展程度成反比，越小越好。例如，某地 2014年总人口为 280 万人，零售商店 5200个。则：上述计算结果为 538 人/个，说明每一个零售商店为 538 人服务，数值越大，表示一个商店服务的人口数越多，说明商业网密度越小，所以是逆指标；计算结果为 19 个/万人，说明每一万人中有19 个商店，数值越大，表示商业网密度越大,所以是正指标。6、动态相对指标 动态相对指标是同一现象不同时期指标数值对比关系的相对指标，说明现象的发展速度和增长速度，一般用百分数和倍数表示。其公
12、式为：动态相对指标 通常把用来作为比较标准的时期称为基期，把和基期对比的时期称为报告期，基期和报告期要根据不同的研究任务来选定。如两个相比的数值中分子很大分母很小时，计算结果可用倍数表示。反之，如分子很小时，也可用千分数表示。%100基期数值报告期数值（四）（四）相对指标的相对指标的应用应用原则原则 1.保持保持对比指标数值的可比性对比指标数值的可比性 在使用相对指标时，要注意相对指标分子、分母之间的可比性，即分子、分母所包含的内容、范围、价格和计算方法以及结构方面是否可比。2.相对相对指标与总量指标结合运用指标与总量指标结合运用 在反映社会经济现象中，只用总量指标不易看清事物的差别程度，只用
13、相对指标又看不出这种差别的绝对水平。3.正确地选择基数指标 相对指标是通过指标和指标的对比，来反映现象之间的联系，而基数指标（母项）是对比的基础和标准。第二节第二节 数据的数据的集中趋势集中趋势 一、一、集中趋势集中趋势的含义的含义 集中趋势是指一组数据向某一点集中的情况，它能够揭示总体中众多个变量值所围绕与集中的中心，是总体中的共性特征的反映。集中趋势是次数分布的第一个也是最为重要的数量特征，所以，人们通常使用集中趋势去代表总体中个体单位水平，也常使用集中趋势进行不同总体的比较。二、二、集中趋势集中趋势的的测定测定（一）（一）算术平均数算术平均数 算术平均数是将总体中各个个体单位的变量值汇总
14、，然后除以所有个体单位之和所获得的一种平均指标，也称为均值。算术平均数是最有普遍意义的一种平均指标。如平均物价水平、平均亩产量、平均工资等。1、算术平均数的算法 算术平均数算术平均数又分为简单算术平均数和加权算术平均数。（1）简单算术平均数。所掌握的资料是单个的变量值或数据未经分组时，就可以将各个变量值简单相加求得总体变量总量，然后除以个体单位总量，求出平均指标。这种方法称为简单算术平均法，所得数值称为简单算术平均数，用 来表示。计算公式可表示如下：总体标志总量总体单位总量X 例如某小组工人5人，加工某种零件日产量分别是 7、9、1O、11、13,则平均每名工人日产量为：即平均每名工人日产量是
15、10 从上面的计算可以看出，简单算术平均数只受变量因素的影响。一般来说，越接近于中间位置的数值便越接近于算术平均数。因此我们可用标志值所处的位置去大致地判断一下算术平均数的数值。（2）加权算术平均数。在计算算术平均数时，如果数据已分组，则不能简单地将各组变量值直接相加作为总体变量总量，而是将各组变量值乘以相应各组单位数或权数求出各组变量总量，然后将其加和求得总体变量总量，同时把各组单位数或权数相加求出总体单位总量，最后用总体标志总量除以个体单位总量。用这种方法计算的算术平均数称为加权算术平均数。计算公式为：求下表中工人平均日产量 即这 100 名工人平均日产量为 9.56 件。组序日产量(件)
16、工人数(人）各组日产量(件)12345791011131035401237031540013239 合计10095670315400 132399569.56100100日总产量平均日产量（件）工人人数 加权算术平均数的次数起着权衡轻重的作用，只有当各个标志值的次数不相等时，次数作为权数才起作用，如果各组次数完全相同(即 f1=f2=f3=fn),次数作为权数，就不起作用了。这时加权算术平均数就等于简单算术平均数。即 如上例，假定每组都是 20 人，则：XffXXfnfn 可见，简单算术平均数实际上是权数相等的加权算术平均数，是加权算术平均数的特例。当分组数据是组距式的分组资料时，由于每组次数
17、所对应的不是一个变量值，而是一个变量值区间。因此，必须先找出一个能够代表各组水平的变量值，一般采取的简便方法就是用组中值来代替组平均数。此时计算公式为：求下表中平均成绩 某班学生统计学考试平均成绩计算表某班学生统计学考试平均成绩计算表按成绩分组（分）组中值（分）学生人数（人）组中值次数次数（x）（f）Xf60以下60-7070-8080-9090以上556575859526101931103907501615285合计403150（二）（二）调和平均数调和平均数 调和平均数是变量值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均数，有简单调和平均数和加权调和平均数两种。在社会经济统计中，主要使用的是权数为
18、特定形式 的加权调和平均数。这里，我们把调和平均数作为算术平均数的变形使用，它仍然是依据算术平均数的基本公式-变量总量除以个体单位总量来计算。其计算公式和它与算术平均数的关系如下：作为算术平均数变形的加权调和平均数，一般运用于没有直接提供被平均指标的相应单位数的场合。举例说明：四个市场某种商品某月平均价格及销售额资料如表 4-3,试计算该种商品四个市场的平均价格。市场商品平均价格（元/公斤）X商品销售额（元）M 甲乙丙丁6791030000210002250010000合计83500 解：从价格的基本公式出发，可知商品的平均价格是商品销售额与商品销售量之比。但现在没有商品销售量资料，此时欲求商
19、品平均价格，不能直接使用算术平均数方法，因此，必须先求出商品销售量，而在这里商品销售量是可求到的，即 此即调和平均数公式，四个市场商品销售量的计算结果列于表4-4的第四列。将计算结果代入调和平均数公式便可计算出该种商品四个市场的平均价格为市场商品平均价格（元/公斤）商品销售额（元）商品销售量（公斤）MM/甲乙丙丁67910300002100022500100005000300025001000合计8350011500（三）（三）几何平均数几何平均数 几何平均数是与算术平均数和调和平均数不同的另一种平均指标，它是几何级数（等比级数）的平均数。1简单几何平均数 简单几何平均数是n个变量值连乘积的n
20、次方根，其公式为：例4-4：某机械厂有4个连续作业的车间：毛坯车间（一车间）、粗加工车间（二车间）、精加工车间（三车间）和装配车间（四车间）。本月份，各个车间的产品合格率为：一车间95%，二车间90%，三车间92%，四车间85%。求4个车间的平均产品合格率。则4个车间的平均产品合格率为：它的含义是：用几何平均数代表各个变量值，则变量值的连乘积不变。几何平均数与算术平均数的不同：算术平均数变量值的总和不变。算术平均数作为集中趋势的代表值，大于算术平均数和各变量值对算术平均数的差额之和（正离差）与小于算术平均数各变量值对算术平均数的差额之和（负离差），绝对值彼此相等；几何平均数作为集中趋势的代表值
21、，大于几何平均数和各变量值对几何平均数之比的乘积与几何平均数对小于几何平均数的各变量值之比的乘积，彼此相等。以本例言，即：这种关系，是几何平均数作为集中趋势特征值的重要依据之一。2加权几何平均数 当各个变量值出现的次数不同时，计算几何平均数应采用加权的形式。加权几何平均数的公式为：例4-5：投资银行某笔投资是按复利计算的，25年间年利率分配情况是：有1年为3%，有4年为5%，有8年为8%，有10年为10%，有2年为15%。求平均年利率。计算平均年利率，必须先将各年的利率加上100%，换算为各年的本利率；然后按加权几何平均数的方法，计算平均年本利率；再减去100%，得平均年利率。计算结果：这就是
22、说，25年间年平均利率为108.6%。因而，年平均利率为8.6%。（四）众数与中位数 1.众数 众数是指总体中出现次数最多的数值。它表示被研究现象中最普遍、最常见的变量值，反映该现象的一般水平。众数的计算方法，要根据所掌握的统计数据而定。未分组数据的众数，是指出现次数最多的那个数值。例如：有5人的年龄分别为30岁、28岁、30岁、32岁、33岁，这一未分组数据的众数是30岁。利用分组数据计算众数的方法一般有两种。一是根据单项式次数分布计算众数，二是根据组距式次数分布计算众数。根据单项式次数分布计算众数，方法比较简单，一般用直接观察的方法，根据分配数列中次数出现最多的变量值便可确定为众数。在组距
23、式次数分布情况下，最多次数所对应众数组的值并不是一个单一数，而是一组数值，所以假定众数组组距内所有数值是均匀分布的。可得出众数的两个计算公式：式中，是众数；L 为众数所在组下限；u 为众数所在组上限；为众数组次数；1为众数组前一组次数；2为众数组后一组次数；为众数组组距。后面的为大写，统一为大写？0M 例4-6 依表 4-5工人完成生产定额分配数列计算众数。解解:110120 这一组次数最多,是 54,所以该组为众数组由下限公式:工人按完成生产定额百分比分组(%）各组人数（人）80-9090-100100-110110-120120-130130-140140-1501022285440281
24、8合计200 2.中位数 将研究总体中各单位的标志值依其大小顺序排列，位于中间位置的标志值就是中位数。即中位数是正居各标志值中心的数值。在这个数值之上和之下各有 50%的单位数。中位数一般用 表示。根据中位数的性质，确定中位数的关键在于找出总体各单位的中间项的位置点。中间项的位置点，即是中位数所在的位置，其所对应的标志值为中位数。但有时掌握的是未分组资料，有时掌握的是分组资料，由于资料不同确定中间项的方法也有所不同eM（1）未分组资料。当总体单位数是奇数时，中位数的确定。例4-7某班组7人生产某种产品日产量分别是:14、15、15、16、16、16、17。解：中间位置点=。第四位对应的变量值
25、16是中位数。当总体单位数是偶数时，中位数的确定。例4-8某班组 6 人生产某种产品日产量分别是:15、15、15、16、16、16。中位数为：7142（2）由分组资料确定中位数。由分组资料确定中位数的基本步骤为：首先，确定中位数位置。其次，用累计次数的方法找击中位数所在组。最后，根据中位数所在组的标志值确定中位数。1）由单项数列确定中位数。仍用某住宅小区家庭人口数资料见表 4-6为例，说明由单项数列确定中位数的方法。即中位数应在180 户的位置上，它所对应的标志值就是中位数。通过向上或向下累计次数可知，中位数均在第三组，该组的标志值 3 为中位数。按家庭人口数分组家庭数（户）（次数）次数累计
26、（户）向上累计向下累计1234510502008020106026034036036035030010020合计360 2）由组距数列确定中位数。由组距数列计算中位数，当中位数所在组的位置确定之后，中位数组所对应的变量值不是一个数值，而是个变量值区间，其具体数值为多少还要进一步认定。一种粗略的方法是用组中值代替；另一种较精确的方法是用比例推算法推算。比例推算法的前提是假定次数在组内均匀分布，计算公式为：例4-9资料如表 4-7,求中位数。工人按完成生产定额百分比分组（%）各组人数(人）较小制累计次数（次）较大制累计次数(次）809010102009010022321901001102860l6
27、811012054114140120130401548613014028182461401501820018合计200解：中间位置点 ，累计次数见表 4-18,因为 60100114,所以中位数在 110-120 这一组。（五）（五）四四分位数分位数 四分位数也称四分位点，它是通过三个点将全部数据等分为四部分，其中每部分包含25%的数据，处在分位点上的数值就是四分位数。很显然，中间的四分位数就是中位数，因此通常所说的四分位数是指第一个四分位数（下四分位数）和第三个四分位数（上四分位数）。（1）根据未分组数据计算四分位数。根据未分组数据计算四分位数时，首先对数据进行排序，然后确定四分位数所在的位
28、置。则各四分位数的位置分别为：当四分位数的位置不在某一个数值上时，可根据四分位数的位置按比例分摊四分位数位置两侧数值的差值。例4-10某企业上半月产品次品数如表某企业上半月产品次品数如表4-8。时间（日）次品数（件）时间（日）次品数（件）1 2 3 4 5 6 7 8 1113131314141717910111213141517181921212528（2）根据已分组数据确定四分位数。根据分组数据确定四分位数时，先确定 和 的位置，并确定 和 所在的组，然后仿照中位数的计算公式，确定 和 的具体数值。计算公式为：1Q3Q1Q3Q1Q3Q（六）算术平均数、中（六）算术平均数、中位数、众数的位数
29、、众数的特点特点 1三种平均指标的涵义不同三种平均指标的涵义不同算术平均数是应用最广泛的一种平均指标，它的数值是整个总体次数分布的中心或重心，这个中心点的两边具有相等的变量值之和，即相等的 2三种平均指标受极值影响的程度不同三种平均指标受极值影响的程度不同算术平均数所受影响最大，而中位数只考虑数值的位置，即中位数与数据个数多少有关，与极值无关，而众数则不受极值的影响。3.三种平均指标受非对称分布的影响程度不同三种平均指标受非对称分布的影响程度不同在非对称的钟形分布情况下，平均指标、众数、中位数三者的差别取决于非对称的程度。非对称的程度越大，它们之间的差别愈大；非对称的程度愈小，它们之间的差别愈
30、小。xf 当次数分布右偏时意味着算术平均数受大的极端值影响，就有 如图（a）当次数分布左偏时意味着算术平均数受小的极端值影响，就有 如图（b）当现象呈对称的钟形分布的情况下，算术平均数处于分布曲线的对称点上，对称点又是曲线的中心点和最高点，这时，算术平均数、众数、中位数三者一致，就有 ，如图（c）。第三节第三节 数据的离中趋势数据的离中趋势 一、一、离中趋势离中趋势的及其测定的及其测定指标指标含义含义 离中趋势的测定指标反映总体各个个体单位变量值的差异程度，是反映总体次数分布中各变量值的变动范围或离散程度的综合指标。因而，它能够揭示各变量值之间的差异性，从而说明总体次数分布的集中趋势的强弱，反
31、映平均指标的代表性大小，从另一个方面来补充说明总体的数量规律性，全面地描述总体次数分布的数量特征。所以，离中趋势的测定指标也是总体次数分布的一个重要的数量特征值。二、二、离中趋势离中趋势测定指标的测定指标的作用作用 （一）衡量平均指标的代表性的尺度 离中趋势的测定指标可以说明平均指标的代表性的大小。离中趋势的测定指标数值愈大，说明总体单位的差异程度也愈大，次数分布愈分散，从而，平均指标的代表性就愈小；反之，离中趋势的测定指标数值愈小，则平均指标代表性就愈大。例4-11有甲、乙、丙三组工人，每组都是 5 人，每人每日生产某零件的件数如下：甲、乙、丙三组平均每名工人日产量都是 50 件，但各组工人
32、日产量的差异程度不同。甲组差异程度较小，乙组差异程度较大，丙组差异程度为零。平均日产量 50 件对丙组各人日产量有完全的代表性，对甲组各人日产量代表性较高，对乙组各人日产量代表性最小。(二)反映社会经济活动过程的稳定性和均衡性 离中趋势的测定指标可以表明生产过程的节奏性、稳定性或其他经济活动过程的均衡性，进行产品质量控制和说明经济管理工作的质量。如果离中趋势的测定指标数值较小，说明产品质量比较稳定；反之，离中趋势的测定指标数值愈大，则产品质量的稳定性差。在统计研究中，离中趋势的测定指标和平均指标有着密切的关联。在应用平均指标的基础上来结合离中趋势的测定指标，可以全面地进行统计分析。脱离平均指标
33、的应用，离中趋势的测定指标便失去其实际意义。(三)反映现象的质量与风险 一般说来，离中趋势的测定指标数值越小，现象的质量越好；离中趋势的测定指标数值越大，现象的质量越差。另外，离中趋势的测定指标数值越小，对于某些现象来讲便越稳定，风险越小，如股票，风险投资，保险等；反之，如果离中趋势的测定指标数值越大，说明这些现象的变化越不稳定，风险便越大。三、离中趋势的离中趋势的测定测定 离中趋势的测定指标主要有：全距、平均差、标准差、四分位差、异众比率、标准分数和离散系数。其中标准差是最重要的离中趋势测定指标。（一）全距 全距是总体各单位标志的最大值和最小值之差。若将研究总体中各个单位，按某一数量标志值的
34、大小顺序排列起来，则最大值与最小值分别处于数列的两极，所以全距也称极差，说明标志值的变动范围和幅度，通常用 R 表示。其计算公式为：全距=最大标志值最小标志值 即 R=max(x)min(x)式中，R代表全距 max（x）表示最大变量值；min(x)表示最小变量值。未分组资料和变量数列中的单项数列计算全距,直接用最大标志值减最小标志值求得。如上例甲、乙、丙三组的全距分别为:甲、乙、丙三组每人平均生产零件数均为 50 件，但日产量的变动范围相差很大：乙组 90 件，甲组 4 件，丙组为零。这说明乙组平均日产量代表性最低，甲组平均日产量代表性较高，丙组平均日产量代表性最高。由组距数列求全距，可以用
35、最高组的上限与最低组下限之差，求得全距的近似值。全距全距=最高组上限一最低组最高组上限一最低组下限下限 例如，工人按完成生产定额百分比分组资料见表 4-7从得到的组距数列求全距为：全距=150%-80%=70%这表明，这组工人完成生产定额百分比的变化幅度为 70%工人按完成生产定额百分比分组（%）各组人数(人）较小制累计次数（次）较大制累计次数(次）809010102009010022321901001102860l6811012054114140120130401548613014028182461401501820018合计200（二）（二）平均差平均差 平均差是各个变量值对其算术平均数的
36、平均离差。由于各个变量值对算术平均数的离差总和恒等于0即 ，因而各项离差的平均数也恒等于0。为此，在计算平均差时，采取离差的绝对值，即计算平均差，根据掌握的数据资料不同，可采用简单平均式简单平均式和加权加权平均式平均式两种方法。0)(XXXX 1、简单平均差对未分组资料计算的平均差叫简单平均差。其计算公式为:.xxA Dn 例4-12现以甲乙两个生产组生产产品的件数为例,计算如下计算结果表明，甲、乙两组每个工人的平均日产量都为50 件，但平均差却不同。甲组工人的日产量与平均日产量之间平均相差1.2 件，乙组工人的日产量与平均日产量之间平均相差32 件。甲组的平均差小于乙组，因而甲组平均数代表生
37、高于乙组。xxxxxxxxxx 2.加权平均差。用分组资料计算的平均差叫加权平均差。其计算公式为：式中，代表各组的次数 分组资料有单项数列单项数列和组距数列组距数列两种，单项数列资料直接利用加权式公式计算平均差，组距数列资料先计算出各组的组中值作为各组的标志值的代表值，再利用加权式公式计算平均差。.xxfADf按成绩（分）组中值人数（人）总成绩（分）离差离差绝对值离差绝对值加权 60以下60-7070-8080-9090以上556575859526101931103907501615285-23.75-13.75-3.756.2516.2523.7513.753.756.2516.2547.5
38、082.5037.50118.7548.75合计一403150335.00-f 例4-13现以某班学生的统计学考试成绩组距数列资料，计算如下：平均成绩加权平均差 （分）以上计算说明,该班 40 名学生统计学考试成绩的平均离差为8.375 分,即每个学生的成绩与平均成绩之间平均相差 8.375 分。315078.75()40 xfxf分335.8.37540 xx fADf（三）标准差（三）标准差 1标准差的概念 标准差是各个变量值与其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，因此又称“均方差”。标准差的平方称为方差。2标准差的计算方法 依据掌握的资料不同，标准差的计算方法，也分为简单平均式简单
39、平均式和加权平均式加权平均式两种。（1）简单标准差。在资料未分组的情况下，由于各标志值出现的次数相同，计算标准差可采用简单平均方法。其计算公式为：式中，代表标准差（）2代表离差平方和；n代表总体单位数。2()xxn 例4-14仍以表 4-9甲、乙两组工人生产产品的件数资料为例，计算标准方差。根据表4-9计算离差平方，如表4-11所示 表4-9 表4-1150（x）50（x）xxx2()xxxxx2()xx（2）加权标淮差。在资料分组的情况下,由于各组标志值出现的次数不同，计算标准差需采用加权平均的方法。其计算公式为：式中，为各组次数，为总次数。如果资料是按单项式进行分组，即用单项数列资料计算标
40、准差，直接用加权公式计算。2()xxff 以某车间一组工人日产量单项式分组资料为例，计算标准差 计算结果说明，该组工人的日产量平均为8.5件，平均离差劲 2.2件。23408.5()40()1984.952.240 xffxxff件（件）如果资料是按组距式进行分组,则先计算出各组组中值代表各组标志值,然后按加权公式计算。以表 4-10资料为例,计算见表 4-13。计算结果说明，该班学生在平均成绩78.75分的水平上的平均离差9.92分。3是非标志标准差（1）是非标志的概念。将总体现象按是否具有某种属性分为两组。例如，全部产品按是否合格分为合格品组和不合格品组；全部人口按性别区分为男、女两组；将
41、学生划分为文科和非文科两组等。这种用“是”、“否”或“有”、“无”来表示的标志称为是非标志或交替标志。是非标志是品质标志，为了解决是非标志的平均数和标准差的度量问题，有必要将品质标志数量化。一般地：用 1 表示数列中具有某种性质的单位标志值，即单位的标志为“是”的标志值；以 0 表示数列中不具有某种性质的单位的标志值，即单位的标志为“非”的标志值，这样就把“是”与“非”这类品质标志量化为“1”和“0”的标志值。(2)是非标志的成数。数列中的全部总体单位是确定的，可以用 N 表示全部总体单位数，用NI表示具有某种性质标志表现的单位数,用N0表示不具有某种性质标志表现的单位数，则 N=NI+N0这
42、两部分单位数（N1和N0）分别占全部总体单位数(N）的比重叫成数,可分别用p和 q 表示，即标志值为 1 的单位数占全部单位数的比重（成数)标志值为 0 的单位数占全部单位数的比重(成数）成数反映数列中单位数“是”与“非”的构成，并且代表该种性质或属性反复出现的程度，即频率频率。1NpN0NpN（3）是非标志的平均数及标准差。根据以上讨论，可得到是非标志平均数与标准差的计算方法如下：是非标志的平均数 即是非标志的平均数为总体中标志值为 1 的属性的成数。是非标志的标准差 亦即是非标志的标准差是总体中标志值为 1 的属性的成数和标志值为 O 的属性的成数的乘积之平方根。例4-21 某班学生统计学
43、考试成绩资料的分布数列如表 4-14所示 计算结果表明，该班学生统计学考试成绩及格率为 95%，其标准差为 21.79%。10 9500 050 9595%fxxf 或 43 定则及其应用社会经济统计研究的是大量数量方面的社会经济现象。在大量观察下，许多现象总体内的次数分布呈正态分布，即以平均数为中心，中间大，两头小的分布状态。数理统计证明，在正态分布情况下：即：有68.27%工人日产量在33.63件到51.37件之间；有95.45%工人的日产量在24.76件到60.24件之间；有99.73%工人的日产量在15.89件到 69.11件之间。（四）四分位差（四）四分位差 1四分位差的概念 四分位
44、差是上四分位数与下四分位数的差值，也称为内距或四分间距。四分位差反映了中间50%的数据的离散程度。其数值越小，说明中间的数据越集中；反之数值越大，说明中间的数据越分散。四分位差不受极值的影响。2四分位差的计算 四分位差的计算公式为：【例4-23】甲班统计学考试成绩的四分位差为 =90-70=20，乙班统计学考试成绩的四分位差为 =80-70=10，这说明，甲、乙两班都有75%的学生成绩在70分以上，但甲班的成绩比乙班相对分散一些，因为甲班有一半的学生成绩集中在70分90分之间，而乙班有一半的学生成绩集中在70分80分之间。由于中位数处于数据的中间位置，因此四分位差的大小在一定程度上反映了中位数
45、对一组数据的代表程度。dQdQ（五）异众比率（五）异众比率 1异众比率的概念 异众比率又称离异比率或变差比，是指非众数组的次数占总次数的比率。异众比率的作用是衡量众数对一组数据的代表程度。异众比率越大，说明非众数组的次数占总次数的比重越大，众数的代表性就越差；异众比率越小，说明非众数组的次数占总次数的比重越小，众数的代表性越好。2异众比率的计算 异众比率的计算公式为：【例4-24】根据表4-13中 的数据，计算异众比率 计算结果表明，该班级40名学生中，有52.5%的学生成绩的不在80-90之间，异众比率较大（六）标准分数（六）标准分数 1标准分数的概念 标准分数也称标准化值或Z分数，是指变量
46、值与其算术平均数的离差除以标准差的值。它是测量每个数据在该组数据中相对位置的常用指标。2标准分数的计算 设标准分数为，则有 标准分数给出了一组数据中各数值的相对位置。例如，如果某个数值的标准分数为1.6，我们就知道该数值高于均值1.6倍的标准差。（七）变异系数（七）变异系数 当两个不同总体进行比较其平均指标代表性大小时，便应使用离中趋势测定方法的相对形式去剔除变量数列水平及其计量单位的影响，以便能够独立地显示出数据变动的差异程度，进行比较。离中趋势测定方法的相对形式是变异系数。常用的变异系数有两种：平均差系数和标准差系数，其中，标准差系数是最常用的。两种变异系数的计算公式为：【例4-25】下表
47、是甲、乙两企业产量的有关数据资料，试根据此数据资料说明哪一个企业的平均日产量代表性大。第四节第四节 偏态与偏态与峰度峰度 一、一、偏偏态的含义及其测定态的含义及其测定（一）（一）偏偏态的含义态的含义 所谓偏态，是指次数分布的非对称程度。它和算术平均数与标准差一样，也是次数分布的一个数量特征。偏态通常分为两种，即右偏右偏（或正偏态）与左偏左偏（或负偏态）。它们是与对称分布相比较而言。在对称分布的情况下，算术平均数与中位数和众数是合而为一的。在偏态分布的情况下算术平均数与中位数和众数是分离的。如果众数在左边，算术平均数在右边，即极端数值在右边，次数分布曲线向右延伸，则称为右向偏态右向偏态。右向偏态
48、，算术平均数的数值较大，众数的数值较小，算术平均数与众数之差为正值，故右向偏态又称为正向偏态。如果众数在右边，算术平均数在左边，即极端数值在左边，次数分布曲线向左延伸，称为左向偏态左向偏态。左向偏态，算术平均数的数值较小，众数的数值较大。算术平均数与众数之差为负值，故左向偏态又称为负向偏态。（二）（二）偏偏态的测定方法态的测定方法 在统计中用偏态系数来反映分布的对称程度。测定偏态的方法通常用以下两种，即Pearson偏态测定法和动差法。1Pearson偏态测定法0memX0memX图图4-2 偏态分布偏态分布 Pearson偏态测定法利用算术平均数与众数之间的关系或算术平均数与中位数之间的关系
49、来测定偏态。算术平均数与众数之间的距离，就可以作为测定偏态的一个尺度。偏态绝对量算术平均数-众数 算术平均数与众数之间的距离越大，偏态的绝对量就越大，表示次数分布的非对称程度越大；算术平均数与众数之间的距离越小，偏态的绝对量就越小，表示次数分布的非对称程度越小。偏态绝对量是以原有数列的单位为计量单位，因而不同的单位的数列，偏态绝对量就具有不同的单位。同时，对于不同的次数分布，偏态绝对量即使具有相同的计量单位也往往具有不同的涵义。因而，利用偏态绝对量，不能直接对比不同数列偏态程度。为了使不同数列的偏态数值能够相互对比，就需要计算偏态相对数，它是偏态绝对量与其标准差之比，称为Pearson偏态系数
50、，其计算公式为：【例4-26】某市2009年个体工商业户每月利润算术平均数为24万元，众数为17.5万，标准差为12.71，试计算偏态系数。它表示该市个体工商业户每月利润的分布为右偏态，众数对算术平均数的偏斜度为0.51。2动差法 动差法计算偏态的公式如下：在未分组数据情况下：可以看出上式是变量值离差三次方的算术平均数再除以标准差的三次方。当分布对称时，离差三次方后正负离差可以互相抵消，因而 的分子为零，则 也为零。而当分布不对称时，正负离差不能抵消，就形成正或负的偏态系数33 【例4-27】在媒体调查中，某电视台黄金时间的电视节目收视率如表4-16所示，试根据表4-16资料计算电视收视率的算
