1、2021-2022学年广东省韶关市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合Ax|4x0，B2，1，0，1，2，3，则AB（）A2B2，1C1，0，1D2，32（5分）复数z=21+i在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的高为（）A1B2C3D24（5分）设，为两个不同平面，直线m，则“”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）函数y=ex+e-x2sinx(|x
2、|4)的图象大致是（）ABCD6（5分）已知角为第四象限角，且它的终边与单位圆x2+y21交于点P(55，y0)，则tan2（）A-43B-34C34D437（5分）已知圆 C：x2+y24x2y+10，点P是直线y4上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则|AB|的最小值为（）A253B453C255D58（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足：对任意的xR，有f（x）+f（x）2，yf（x+1）为偶函数，且当x0，1时，f（x）1+log2（x+1），则f（2023）（）A0B1C2D3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
3、部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）有一组成对样本数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），由这组成对样本数据得到的经验回归方程为y=bx+a，则（）A在点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）中，至少有1个点在经验回归直线 y=bx+a 上B若点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）都在经验回归直线 y=bx+a 上，则样本的相关系数r满足|r|1C若x=i=1n xin，y=i=1n yin，则y=bx+aD若成对样本数据（x2，y2）的残差为t，则在这组成对数据中，必有成对样本数据的残差为t（多选）10（5分）设公差小于0的等差数
4、列an的前n项和为Sn，若a11+a12+a13+a14+a150，则（）Aa130B|a15|a10|CS250DSn的最大值为S12或S13（多选）11（5分）定义mina，b=a，abb，ab，已知f（x）minsinx，cosx，则下列结论正确的是（）Af(3)=12Bf（x）是奇函数Cf（x）的一个周期为2Df（x）的最大值为 22（多选）12（5分）设抛物线E：y24x的焦点为F，点A，B是抛物线E上不同的两点，且|AF|+|BF|8，则（）A线段AB的中点到E的准线距离为4B直线AB过原点时，|AB|=62C直线AB的倾斜角的取值范围为 (4，34)D线段AB的垂直平分线过某一定
5、点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）（x-1x2）6的展开式的常数项是 14（5分）若单位向量a、b的夹角为60，(a+b)b，则实数 15（5分）随着社会的发展与进步，人们更加愿意奉献自己的力量，积极参与各项志愿活动，某地单位甲有10名志愿者（其中8名男志愿者，2名女志愿者），单位乙有15名志愿者（其中9名男志愿者，6名女志愿者）若从单位甲任选2名志愿者参加某项活动，则恰是一男一女志愿者的概率为 ；若从两单位任选一个单位，然后从中随机选1名志愿者参加某项活动，则该志愿者为男志愿者的概率为 （以上两空用数字作答）16（5分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A90，AB
6、AC，BC2，设该三棱柱外接球的球心为O，若四棱锥OABB1A1的体积为1，则球O的表面积是 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知数列an满足an+12an+3n3，且a11（1）若bnan+3n，证明：数列bn是等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn18（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足_（ac）（sinA+sinC）（bc）sinB；tanAtanB=2c-bb；3sinA+cosA=2（1）从条件中任选一个填在横线上，并求角A的值；（2）若ABC的面积为3，求a的最小值19（12分）某高中学校鼓励学
7、生自发组织各项体育比赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，比赛采用七局四胜制（即有一方先胜四局即获胜，比赛结束）假设每局比赛甲获胜的概率都是13（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率；（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望20（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，ADBC，DA侧面PAB，PAPB，DAAB2BC2，E是线段AB的中点（1）求证：PECD；（2）若PCPA，求平面PAD与平面PED所成二面角的正弦值21（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=32，椭圆C过点P（2，1）（1）
8、求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，若PAB的重心在直线OP上（O为坐标原点），求PAB面积的最大值22（12分）已知函数f（x）（x2+ax+1）ex1（a0）（1）当a2时，求函数yf（x）在原点O（0，0）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的零点个数2021-2022学年广东省韶关市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合Ax|4x0，B2，1，0，1，2，3，则AB（）A2B2，1C1，0，1D2，3【解答】解：集合Ax|4x0，B2，1，0，1，2，3
9、，则AB2，1故选：B2（5分）复数z=21+i在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：由z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=2(1-i)2=1-i，得复数z=21+i在复平面内对应的点的坐标为（1，1），位于第四象限故选：D3（5分）已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的高为（）A1B2C3D2【解答】解：设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，可得2r2，解得r1，所以此圆锥的高为h=22-r2=22-12=3故选：C4（5分）设，为两个不同平面，直线m，则“”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件
10、C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，由于，表示两个不同的平面，l为内的一条直线，由于“，则根据面面平行的性质定理可知，则必然中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，“是“l”的充分不必要条件故选：A5（5分）函数y=ex+e-x2sinx(|x|4)的图象大致是（）ABCD【解答】解：由y=ex+e-x2sinx(|x|4)可知定义域关于原点对称则f（x）=e(-x)+e-(-x)2sin(-x)=-ex+e-x2sinx=-f（x）所以f（x）为奇函数，故B、D错误令x2，f（2）=e2+e-22sin20，故A错误故选：C6（5分）已知角为第四象限角
11、，且它的终边与单位圆x2+y21交于点P(55，y0)，则tan2（）A-43B-34C34D43【解答】解：角为第四象限角，且它的终边与单位圆x2+y21交于点P(55，y0)，y00，且OP2=15+y02=1，siny0=-255，tan=sincos=-2，则tan2=2tan1-tan2=2(-2)1-4）=43，故选：D7（5分）已知圆 C：x2+y24x2y+10，点P是直线y4上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则|AB|的最小值为（）A253B453C255D5【解答】解：圆C：x2+y24x2y+10，即（x2）2+（y1）24，由于PA，PB分别切圆C于点A，
12、B，则|PA|PB|，CAPA，CBPB，所以S四边形APBC2SACP|CA|PA|，因为|CA|CB|r2，所以S四边形APBC2|PA|，又PCAB，所以S四边形APBC=12|AB|CP|，所以|PA|=14|AB|CP|，即|AB|=4|PA|CP|=41-4|CP|2，所以|AB|最短时，|CP|最短，点C到直线y4的距离即为|CP|的最小值，所以|CP|min3，所以|AB|的最小值为4 1-49=453，故选：B8（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足：对任意的xR，有f（x）+f（x）2，yf（x+1）为偶函数，且当x0，1时，f（x）1+log2（x+1），则f（2023
13、）（）A0B1C2D3【解答】解：因为f（x+1）为偶函数，所以f（x+1）f（1x），则f（x）f（x+2），又因为对任意的xR，有f（x）+f（x）2，把代入有：f（x+2）+f（x）2f（x+2）+f（x）2，在式中，用x2代换x，有f（x）+f（x2）2对照可得：f（x+2）f（x2），用x2代换x，有f（x）f（x+4）恒成立，所以函数f（x）是周期为4的周期函数所以f（2023）f（5054+3）f（3）在中，令x3有f（3）+f（1）2，所以f（3）2f（1）2（1+log22）0，所以f（2023）0故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，
14、有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）有一组成对样本数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），由这组成对样本数据得到的经验回归方程为y=bx+a，则（）A在点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）中，至少有1个点在经验回归直线 y=bx+a 上B若点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）都在经验回归直线 y=bx+a 上，则样本的相关系数r满足|r|1C若x=i=1n xin，y=i=1n yin，则y=bx+aD若成对样本数据（x2，y2）的残差为t，则在这组成对数据中，必有成对样本数据的残差为t【解答】解：由线性
15、回归方程的性质可知，回归方程y=bx+a必过样本中心点，但是可能不过样本中的任何一点，故A错误，C正确，若点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）都在经验回归直线 y=bx+a 上，则说明为函数关系，故样本的相关系数r满足|r|1，故B正确，若成对样本数据（x2，y2）的残差为t，则在这组成对数据中，未必有成对样本数据的残差为t，故D错误故选：BC（多选）10（5分）设公差小于0的等差数列an的前n项和为Sn，若a11+a12+a13+a14+a150，则（）Aa130B|a15|a10|CS250DSn的最大值为S12或S13【解答】解：选项A，a11+a12+a13+a14+a15
16、0，5a130，即a130，选项A正确；选项B，由公差d0，等差数列an为递减数列，又a15+a10a12+a130，a10a15，即|a10|a15|，选项B错误；选项C，S25=(a1+a25)252=25a13=0，选项C正确；选项D，等差数列an为递减数列，a130，a10，a20，a120，a140，Sn最大值为S12或S13，选项D正确故选：ACD答案为：ACD（多选）11（5分）定义mina，b=a，abb，ab，已知f（x）minsinx，cosx，则下列结论正确的是（）Af(3)=12Bf（x）是奇函数Cf（x）的一个周期为2Df（x）的最大值为 22【解答】解：由题意知：f
17、（x）=sinx，sinxcosxcosx，sinxcosx，作出图象如图，f（3）cos3=12，故A正确；由函数图象可得f（x）的图象不关于原点对称，故不是奇函数，故B错误；由函数图象可得函数的一周期为2，故C正确；由函数图象可得f（x）的最大值为f（4+2k）=22，故D正确故选：ACD（多选）12（5分）设抛物线E：y24x的焦点为F，点A，B是抛物线E上不同的两点，且|AF|+|BF|8，则（）A线段AB的中点到E的准线距离为4B直线AB过原点时，|AB|=62C直线AB的倾斜角的取值范围为 (4，34)D线段AB的垂直平分线过某一定点【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）
18、，因为抛物线E：y24x，得p2，线段AB的中点E到准线的距离为x1+x22+p2=4，故A正确；若直线AB过原点，设x10，则x26，所以A（0，0），B（6，26），所以|AB|=36+24=215，故B错误；设直线AB的方程为ykx+b，由y=kx+by2=4x，得k2x2+（2kb4）x+b20，所以x1+x2=4-2kbk2=6，得b=2k-3k，又（2kb4）24k2b20，得23k20，解得k63或k-63，故C错误；线段AB中点的坐标为（3，3k+b），所以线段AB的垂直平分线的方程为y（3k+b）=-1k（x3），又b=2k-3k，代入上式得ky+x50，过定点（5，0），当
19、直线AB的斜率不存在时也成立，故D正确，故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）（x-1x2）6的展开式的常数项是15【解答】解：在（x-1x2）6的展开式的通项公式Tr+1=C6r（1）rx63r中，令63r0，求得r2，可得展开式的常数项为C62=15，故答案为：1514（5分）若单位向量a、b的夹角为60，(a+b)b，则实数2【解答】解：单位向量a、b的夹角为60，(a+b)b，|a|b|1，且ab=|a|b|cos601112=12，（a+b）b=ab+b2=0，12+12=0，解得实数2故答案为：215（5分）随着社会的发展与进步，人们更加愿意奉献自己
20、的力量，积极参与各项志愿活动，某地单位甲有10名志愿者（其中8名男志愿者，2名女志愿者），单位乙有15名志愿者（其中9名男志愿者，6名女志愿者）若从单位甲任选2名志愿者参加某项活动，则恰是一男一女志愿者的概率为 1645；若从两单位任选一个单位，然后从中随机选1名志愿者参加某项活动，则该志愿者为男志愿者的概率为 710（以上两空用数字作答）【解答】解：从单位甲任选2名志愿者参加某项活动，则恰是一男一女志愿者的概率P=C81C21C102=8245=1645，从两单位任选一个单位，然后从中随机选1名志愿者参加某项活动，则该志愿者为男志愿者的概率为P=12810+12915=710故答案为：164
21、5；71016（5分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A90，ABAC，BC2，设该三棱柱外接球的球心为O，若四棱锥OABB1A1的体积为1，则球O的表面积是 13【解答】解：依题意得AB=AC=2，设直三棱柱ABCA1B1C1的高为a，如图所示：设E，F，H，G分别为BC，B1C1，A1B1，AB中点，M为HG中点，则四棱锥OABB1A1的体积V=132a22=1，故a3，所以球O的半径为R=(BC2)2+(B1B2)2=132，故球O的表面积是S4R213故答案为：13四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知数列an满足an+12an+
22、3n3，且a11（1）若bnan+3n，证明：数列bn是等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn【解答】解：（1）证明：an+12an+3n3，且a11an+1+3（n+1）2（an+3n），bnan+3n，bn+12bn，b1a1+32，数列bn是等比数列，首项与公比为2（2）由（1）可得：bn2n，an+3n2n，an2n3n，数列an的前n项和Sn=2(2n-1)2-1-3n(n+1)22n+12-32（n2+n）18（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足_（ac）（sinA+sinC）（bc）sinB；tanAtanB=2c-bb；3sinA+cosA=2（1
23、）从条件中任选一个填在横线上，并求角A的值；（2）若ABC的面积为3，求a的最小值【解答】（1）选：由正弦定理得（ac）（a+c）（bc）b，则b2+c2a2bc，根据余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12，又A（0，），所以A=3；选：根据正弦定理，由tanAtanB=2c-bb得sinAcosAsinBcosB=2sinC-sinBsinB，所以sinAcosB2sinCcosAcosAsinB，则sin（A+B）2sinCcosA，所以cosA=12，又A（0，），所以A=3；选：由3sinA+cosA=2sin(A+6)=2，得sin(A+6)=1，由于A+6(6，76)，所
24、以A=3（2）由（1）知A=3，所以S=12bcsinA=34bc=3则bc4，又a2b2+c22bccosAb2+c242bc44，所以a2（当且仅当bc2时取等号），故a的最小值为219（12分）某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，比赛采用七局四胜制（即有一方先胜四局即获胜，比赛结束）假设每局比赛甲获胜的概率都是13（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率；（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望【解答】解：（1）第一种情况：比赛结束时恰好打了5局且甲获胜，则概率为P1=C43(13)3(1-13
25、)13=8243；第二种情况：比赛结束时恰好打了5局且乙获胜，则概率为P2=C43(1-13)313(1-13)=64243；所以比赛结束时恰好打了5局的概率为P=P1+P2=8243+64243=827（2）依题意得X的可能取值为1，2，3，P(X=1)=13，P(X=2)=(1-13)13=29，P(X=3)=(1-13)2=49，X的分布列为：X123P13 29 49 E(X)=113+229+349=19920（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，ADBC，DA侧面PAB，PAPB，DAAB2BC2，E是线段AB的中点（1）求证：PECD；（2）若PCPA，求平面P
26、AD与平面PED所成二面角的正弦值【解答】（1）证明：因为AD侧面PAB，PE平面PAB，所以ADPE又因为PAPB，E是线段AB的中点，所以PEAB因为ADABA，AD，AB平面ABCD，所以PE平面ABCD而CD平面ABCD，所以PECD（2）解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz则有E（0，0，0），A（0，1，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（2，1，0），设P（0，0，m），所以PA=(0，1，-m)，PC=(1，-1，-m)，因为PCPA，所以PCPA=-1+m2=0，解得m1或m1（舍去），所以P（0，0，1），所以EP=(0，0，1)，ED=(2，1，
27、0)，AD=(2，0，0)，AP=(0，-1，1)，设n=（x，y，z）为平面EPD的法向量，由EPn=0EDn=0，有z=02x+y=0，取x1，y2，z0，所以n=(1，-2，0)设平面PAD的法向量为m=（a，b，c），由ADm=0APm=0，有2a=0-b+c=0，取a0，b1，c1，所以m=（0，1，1），设平面PAD与平面PED所成二面角为，显然二面角为锐二面角，所以cos=|cosn，m|=|nm|n|m|=252=105，所以sin=1-cos2=155故锐二面角的平面角的正弦弦值为15521（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=32，椭圆C过点P（
28、2，1）（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，若PAB的重心在直线OP上（O为坐标原点），求PAB面积的最大值【解答】解：（1）由题意可得e=ca=32=1-b2a24a2+1b2=1，a28，b22，所以椭圆的方程为：x28+y22=1；（2）当直线l的斜率不存在时，则A，B关于x轴对称，可得A，B的中点在x轴上，PAB的重心在直线OP上，可得重心为原点，这时SPAB=122b2=1222222；当直线l的斜率为0时，可得A，B的中点在y轴上，要使PAB的重心在直线OP上，即A，B的中点在直线OP上，所以O为A，B的中点，这时|AB|2a42，P到准线l的距离为1，所以S
29、PAB=1242122；当直线l的斜率存在时，且不为0时，设直线l的方程为ykx+t，t0，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=kx+tx2+4y2=8，整理可得：（1+4k2）x2+8ktx+4t280，则64k2t24（1+4k2）（4t28）0，即t22+8k2，且x1+x2=-8kt1+4k2，x1x2=4t2-81+4k2，y1+y2k（x1+x2）+2tk-8kt1+4k2+2t=2t1+4k2，所以A，B的中点M坐标（-4kt1+4k2，t1+4k2），因为P（2，1），所以直线OP的方程为y=12x，因为PAB的重心在直线OP上，所以A，B的中点坐标在直线OP上，所以
30、t1+4k2=12-4kt1+4k2=-2kt1+4k2，因为t0，所以可得k=-12，所以t22+8（-12）24，可得2t2，弦长|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=526414t2(1+414)2-44t2-81+414=5216-4t2，P到直线l的距离d=|2k+t-1|1+k2=|2(-12)+t-1|1+14=|t-2|52，所以SPAB=12|AB|d=125216-4t2|t-2|52=(4-t2)(t-2)2，令f（t）（4t2）（t2）2t4+4t316t+16，t（2，2），则f（t）4t3+12t2164（t+1）（t2）2，当2t1时，f（t）0，则f（
31、t）单调递增，当1t2时，f（t）0，则f（t）单调递减，所以t（2，2）时，f（t）maxf（1）（1）4+4（1）316（1）+1627，所以（SPAB）max=27，综上所述：PAB面积的最大值为2722（12分）已知函数f（x）（x2+ax+1）ex1（a0）（1）当a2时，求函数yf（x）在原点O（0，0）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的零点个数【解答】（1）解：当a2时，f（x）（x2+2x+1）ex1，则f（x）（1x2）ex，所以f（0）1，所以函数yf（x）在原点O（0，0）处的切线方程为yx；（2）解：因为f（x）（x2+ax+1）ex1（a0），所以f（x）x2+（
32、2a）x+a1ex（x1）（x1+a）ex，令f（x）0，解得x1或x1a，因为a0，所以1a1，当x变化时，f（x）与f（x）变化如下表：x（，1a）1a（1a，1）1（1，+）f（x）0+0f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以f（x）的极小值为f（1a）=2-ae1-a-1，f（x）的极大值为f（1）=2+ae-1，令h（x）ex1x，h（x）ex1，所以当x0时h（x）0，x0时h（x）0，所以h（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，所以h（x）minh（0）0，即h（x）ex1x0，即ex1+x，所以e1a1+1a2a，所以2-ae1-a1且f（0）0，当a1
33、时2-ae1-a=1，故f（x）的极小值为0，f（x）的极大值为3e-1，而x0时f（x）f（0）0，f（2）=7e2-10，所以f（x）在（1，2）上有一个零点，此时f（x）有两个零点；当0a1时，因为f（0）0，所以f（x）的极小值小于0，f（x）的极大值为f（1）=2+ae-1=2+a-ee，当0ae2时f（x）的极大值2+a-ee0，所以f（x）在（0，+）上无零点，从而f（x）只有一个零点，当ae2时f（x）的极大值2-a-ee=0，所以f（x）在（0，+）上只有一个零点1，从而f（x）只有两个零点，当1ae2时f（x）的极大值2-a-ee0，所以f（x）在（0，1）上有一个零点，f（2）=5+2ae2-17e2-10，所以f（x）在（1，2）上有一个零点，从而f（x）只有三个零点；当a1时，因为f（0）0，所以f（x）的极小值小于0，f（a）ea1e10，所以f（x）在（，1a）上只有一个零点，又f（x）的极大值为f（1）=2+ae-1=2+a-ee0，当x+时f（x）1，所以f（x）在（1，+）上只有一个零点，又易知f（x）在（1a，1）上只有一个零点，所以f（x）有三个零点综上可得：当0ae2时f（x）只有一个零点；当ae2或a1时f（x）有两个零点；当ae2且a1时f（x）有三个零点第18页（共18页）
