1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题导数及其应用教学目的教学内容一、 知识网络二、命题分析导数是中学选修内容中较为重要的知识，近几年高考对导数的考查每年都有，选择题、填空题、解答题都曾出现过，而且近几年有加强的趋势，预测2012年对本单元的考查为：(1)导数的概念、导数的几何意义主要以小题的形式出现(2)导数的运算是每年必考的，但不会对其进行单纯考查，多与导数的应用综合，以考查函数的单调性、极值、最值问题，以大题形式出现(3)以实际应用为背景，考查导数在生活中的最优化问题的应用，以及与函数、不等式、解析几何等知识网络的交汇命题，以大题形式出现 (4)(理)
2、定积分也是微积分的核心概念之一，它能解决自然科学和生产实践中的许多问题，如一般平面图形的面积、变速直线运动的路程、变力所做的功等实际上微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等科学领域中都有广泛而重要的应用，因此导数及其应用成为近几年高考的热点三、复习建议1重视对导数概念的理解，熟练掌握导数的计算公式和导数的几何意义，为导数的应用打下坚实的基础2在复习中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值3导数的应用较为灵活，是高考中必考的一道解答题，难度为中档题，故复习时要重视求函数的解析式、求函数值域、解决单调性问题、求函数的极值(最值)、构造函数证明不等式等问题函数是高中
3、数学的重点内容，而函数的性质又是高考命题的热点，而利用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便许多，因此在复习时一定要重视此外，导数与解析几何或函数的图像的混合问题也是一种重要类型，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起重视四、知识讲解第一节 导数及导数的运算（一）高考目标考纲解读1了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3(文)能根据导数定义，求函数yc(c为常数)，yx，yx2，y的导数(理)能根据导数定义，求函数yc(c)为常数，yx，yx2，yx3，y，y的导数4(文)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数(理)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数
4、的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数考向预测1导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中2导数的运算每年必考，一般不单独考查，在考查导数应用的同时考查导数的运算（二）课前自主预习知识梳理1导数的概念(1)函数yf(x)在x处的导数定义：称函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率 = 为函数y=f(x)在x=处的导数，记作f(x0)或y|x=，即f(x0)= = 。几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点 处的 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地
5、，切线方程为(2)函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)xn(nN*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)3.导数的四则运算法则u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)(v(x)0)4.复合函数求导复合函数yf(g(x)的导数和yf(u)，ug(x)的导数之间的关系为yxf(u)g(x)（三）
6、基础自测1(2010新课标文)曲线yx32x1在点(1,0)处的切线方程为()Ayx1Byx1 Cy2x2 Dy2x2答案A解析本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题由题可知，点(1,0)在曲线yx32x1上，求导可得y3x22，所以在点(1,0)处的切线的斜率k1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线yx32x1的切线方程为yx1，故选A.2已知函数f(x)在x1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为()Af(x)(x1)33(x1) Bf(x)2(x1)Cf(x)2(x1)2 Df(x
7、)x1答案A解析先求f(x)的导函数，再代入验证当f(x)(x1)33(x1)时，f(x)3(x1)23且f(1)3(11)233.3与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是()A2xy30 B2xy30 C2xy10 D2xy10答案D解析直线2xy40的斜率为k2.由yx2得y2x，令2x2，得x1.所以切点为(1,1)，斜率k2，则所求切线为y12(x1)，即2xy10为所求4(文)若函数f(x)x2bxc的图像的顶点在第二象限，则函数f (x)的图像是() 答案C解析由题意可知在第二象限b0，又f (x)2xb，故选C.(理)设函数f(x)x3x2tan，其中，则导数f(1)的取
8、值范围为()A2,2 B， C，2 D，2解析f(x)sinx2cosx，f(1)sincos2sin.，.sin，f(1)，2，故选D.5(2009湖北理)已知函数f(x)fcosxsinx，则f的值为_答案1解析主要考查导数及函数的求值f(x)fsinxcosx，ffsincos，f，f，ffcossin1.6(2011辽宁重点高中联考)函数f(x)在点(x0，f(x0)处的切线平行于x轴，则f(x0)_.答案解析f(x)，f(x)，切线斜率f(x0)0，x0e，f(x0)f(e).7已知曲线S：y3xx3及点P(2,2)求过点P的切线方程解析设切点为(x0，y0)，则y03x0x03.又
9、f(x)33x2，切线斜率k33x02，即3x0x032(x02)(33x02)(x01)(x01)230，解得x01或x01，相应的斜率k0或k96.切线方程为y2或y(96)(x2)2.（四）典型例题1.命题方向：导数的概念例1(1)若f (x0)2，则 的值为_；(2)若f (x0)A，则 _.解析(1)令kx，则kx，原式 f (x0)1.(2)原式 AA2A.跟踪练习1：设函数f(x)在x0点可导，则下列极限等于f (x0)的是 ()A. B. C. D. 答案C解析解法1：令x0xx0，则当x0时，x0x0，2.命题方向：导数公式及其运算法则例2求下列函数的导数：(1)yx5x33
10、x2； (2)y(3x34x)(2x1)；(3)y； (4)y3xex2xe；(5)y； (6)yxcosxsinx.(7)y(1sinx)2； (8)(理)yln；(9)(理)ycos32xex； (10)(理)ylg.解析可利用导数公式和导数运算法则求导(1)y(3x2)()x44x26x.(2)y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x，y24x39x216x4，或y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1)(3x34x)224x39x216x4.(3)y(4)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln3ex3xex2xln2(
11、ln31)(3e)x2xln2.(5)y(6)y(xcosx)(sinx)cosxxsinxcosxxsinx.(7)y2(1sinx)(1sinx)2cosx(1sinx)(8)(理)y(x21).(9)(理)y3cos22x(cos2x)ex6sin2xcos22xex.(10)(理)y(1x2).跟踪练习2求下列函数的导数：(1)y； (2)y(x1)(x2)(x3)；(3)ysin； (4)y；(5)y.解析(1)yxx3x2sinx，y(x)(x3)(x2sinx)x3x22x3sinxx2cosx.(2)y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)ysin
12、sinx，ycosx.(4)y，y.(5)y2.命题方向：导数公式及其运算法则例2求下列函数的导数：(1)yx5x33x2； (2)y(3x34x)(2x1)；(3)y； (4)y3xex2xe；(5)y； (6)yxcosxsinx.(7)y(1sinx)2； (8)(理)yln；(9)(理)ycos32xex； (10)(理)ylg.解析可利用导数公式和导数运算法则求导(1)y(3x2)()x44x26x.(2)y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x，y24x39x216x4，或y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1)(3x34x)224x39x2
13、16x4.(3)y.(4)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln3ex3xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2.(5)y.(6)y(xcosx)(sinx)cosxxsinxcosxxsinx.(7)y2(1sinx)(1sinx)2cosx(1sinx)(8)(理)y(x21).(9)(理)y3cos22x(cos2x)ex6sin2xcos22xex.(10)(理)y(1x2).跟踪练习2求下列函数的导数：(1)y； (2)y(x1)(x2)(x3)；(3)ysin； (4)y；(5)y.解析(1)yxx3x2sinx，y(x)(x3)(x2sinx
14、)x3x22x3sinxx2cosx.(2)y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)ysinsinx，ycosx.(4)y，y.(5)y.3.命题方向：导数的几何意义例3已知曲线方程为yx2，(1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程；(2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程解析(1)A(2,4)在yx2上，由yx2得y2x，y4.因此所求直线的方程为y44(x2)，即4xy40.(2)方法1：设过B(3,5)与曲线yx2相切的直线方程为y5k(x3)，即ykx53k.由，得：x2kx3k50.4(3k5)0，整理得(k2)(k10)0，k2或k10.所
15、求的直线方程为：2xy10，或10xy250.方法2：设切点P的坐标为(，)，由得y=2x, y=2 ,由已知=2，即=2，将代入上式整理得： 1或5，切点坐标为(1,1)，(5,25)，所求直线方程为2xy10,10xy250.点评(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P(， )，然后求其切线斜率kf()，写出其切线方程而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确跟踪练习3.
16、：已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解析(1)f (x)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf (2)13.切线的方程为y13x32.(2)解法1：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f (x0)3x021，直线l的方程为y(3x021)(xx0)x03x016，又直线l过原点(0,0)，0(3x021)(x0)x03x016，整理得，x038，x02，y026，k13.直线l的方程为
17、y13x，切点坐标为(2，26)解法2：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则k，又kf (x0)3x021，3x021，解之得，x02，y026，k13.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线y3垂直，切线的斜率k4.设切点坐标为(x0，y0)，则f (x0)3x0214，x01，或，切线方程为y4x18或y4x14.（五）思想方法点拨1根据导数的定义，求函数yf(x)在点x0处导数的方法(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)得导数f(x0) .2曲线的切线的求法若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点P(x0，y
18、0)是切点和不是切点两种情况求解(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程yy0f(x0)(xx0)(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)第二步：写出过P(x1，f(x1)的切线方程为yf(x1)f(x1)(xx1)第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1.第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0，y0)的切线方程3函数在点x0处的导数，导函数、导数的区别与联系(1)函数在一点处的导数f(x0)是一个常数，不是变量(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的函数f(x)在区间(a，b)内每
19、一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f(x)(3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值，即f(x0)4运用复合函数的求导法则yxyuux，应注意以下几个问题：(1)分清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量；(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的系数，如(sin2x)cos2x；(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间
20、变量转换成自变量的函数；(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略不写，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则从最外层开始，由外及里逐层求导，即“层层剥皮”(六)课后强化作业一、选择题1(2010全国卷文)若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则 ()Aa1，b1Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b1答案A解析本题考查了导数的概念、运算以及导数的几何意义y2xa，y|x0(2xa)|x0a1，将(0，b)代入切线方程得b1.2已知f0(x)cosx，f1(x)f 0(x)，f2(x)f 1(x)，f3(x)f 2(x)，
21、fn1(x)f n(x)，nN，则f2012(x)()AsinxBsinx Ccosx Dcosx答案C解析f1(x)sinx，f2(x)cosx，f3(x)sinx，f4(x)cosx，f5(x)sinx，故fn(x)的周期为4，f2012(x)f0(x)cosx.3若函数f(x)exsinx，则此函数图像在点(4，f(4)处的切线的倾斜角为()A. B0 C钝角 D锐角答案C解析f(x)exsinxexcosxex(sinxcosx)exsin(x)f(4)e4sin(4)0，则此函数图像在点(4，f(4)处的切线的倾斜角为钝角，故选C.4若函数f(x)sin2xsinx，则f(x)是 (
22、)A仅有最小值的奇函数 B仅有最大值的偶函数C既有最大值又有最小值的偶函数 D非奇非偶函数答案C解析f(x)2cos2xcosx1，显然f(x)是偶函数，又因为cosx1,1，所以函数f(x)既有最大值又有最小值5设a0，f(x)ax2bxc，曲线yf(x) 在点P(x0，f(x0)处切线的倾斜角的取值范围为0，则P到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围是()A. B. C. D.答案B解析因f(x)的导数为f (x)2axb，又由已知yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的倾斜角的取值范围为，因此有02ax0b1.而P到曲线yf(x)的对称轴的距离为.6(文)(2011安徽淮南模拟)若函数f
23、(x)x3f(1)x2x5，则f(1)的值为()A2 B2 C6 D6答案C解析f(x)x3f(1)x2x5，f(x)x22f(1)x1，f(1)(1)22f(1)(1)1，解得f(1)2.f(x)x24x1，f(1)6.(理)设函数f(x)cos(x)(0)的一条切线，则实数b的值为_答案ln21解析由已知条件可得k(lnx)，得切点的横坐标x2，切点坐标为(2，ln2)，由点(2，ln2)在切线yxb上可得bln21.10过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为_，切线的斜率为_答案(1，e) e11点P是曲线yx2lnx上任意一点，则P到直线yx2的距离的最小值是_答案解析作直线yx2的
24、平行线使其与曲线yx2lnx相切，则切点到直线yx2的距离最小由y2x1，得x1，或x(舍去)切点为(1,1)，它到直线xy20的距离为d.三、解答题12已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程分析(1)在点P处的切线以点P为切点(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标解析(1)yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率切线方程为yx02(xx0)，即yx02xx03.点P(2,4)在切线上，
25、42x02x03，即x033x0240.x03x024x0240.x02(x01)4(x01)(x01)0.(x01)(x02)20，解得x01或x02.故所求的切线方程为4xy40或xy20.13(2011广州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，求a的值解析设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x03)，所以切线方程为yx033x02(xx0)，即y3x02x2x03，又(1,0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与yax2x9相切可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切可得a1，所以a1或.14已知函数f(x)x3ax，g(x)2x2b，它们
26、的图像在x1处有相同的切线(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(2)如果F(x)f(x)mg(x)在区间，3上是单调增函数，求实数m的取值范围解析(1)f(x)3x2a，g(x)4x，由条件知，f(x)x3x，g(x)2x2.(2)F(x)f(x)mg(x)x3x2mx2，F(x)3x24mx1，若F(x)在区间，3上为增函数，则需F(x)0，即3x24mx10，m.令h(x)，x，3，则h(x)在区间，3上的最小值是h()，因此，实数m的取值范围是m.15设曲线yex(x0)在点M(t，et)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t). (1)求切线l的方程；(2)求S(t)的最
27、大值. 解析(1)因为f (x)(ex)ex，所以切线l的斜率为et，故切线l的方程为yetet(xt)，即etxyet(t1)0.(2)令y0得xt1，又令x0得yet(t1)，t0，t10，et(t1)0，S(t)(t1)et(t1)(t1)2et，从而S(t)et(1t)(1t)当t(0,1)时，S(t)0，当t(1，)时，S(t)0，而图像中当x0时，f(x)0，一定不正确；对于，同理，导函数开始应在x轴上方，一定不正确，故选B.2已知函数f(x)x3px2qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.，0 B0， C，0 D0，答案A解析f(x)3x22p
28、xq由f(1)0，f(1)0得解得，f(x)x32x2x由f(x)3x24x10得x或x1易得当x时f(x)取极大值当x1时f(x)取极小值0.3设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1 Ca Da答案A解析yexa，由条件知，有解，aex1.4函数yax3x在R上是减函数，则()Aa Ba1 Ca2 Da0答案D解析y3ax21，函数yax3x在R上是减函数，3ax210在R上恒成立，a0.5函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_答案(1,11)解析本题主要考查求导公式和单调区间f(x)3x230x333(x11)(x1)，由(x11)(x1)0得1x11f(x
29、)的单调减区间为(1,11)6(2010江苏卷)将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S，则S的最小值是_解析本题主要考查了导数在实际问题中的应用，求解的关键在于根据条件正确地建立目标函数，进而利用导数工具求函数的最值，重点考查了考生的建模能力和运算能力如图，设ADx(0x1)，则DEADx，梯形的周长为x2(1x)13x，又SADEx2，梯形的面积为x2，s(0x1)，s，令s0，得x或3(舍去)，当x(0，)时，s0，s递增；故当x时，s的最小值是.7已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a、b、c的值；
30、(2)试判断x1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由解析(1)f(x)3ax22bxc，x1是函数f(x)的极值点，且f(x)在定义域内任意一点处可导x1使方程f(x)0，即为3ax22bxc0的两根，由根与系数的关系得又f(1)1，abc1由解得a，b0，c.(2)由(1)知f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)，当x1或x0，当1x1时，f(x)0，函数f(x)在(，1)和(1，)上为增函数，在(1,1)上为减函数，当x1时，函数取得极大值f(1)1；当x1时，函数取得极小值f(1)1.（四）典型例题1.命题方向：用导数研究单调性例1已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明：f(x)x3ax1的图像不可能总在直线ya的上方分析(1)求f(x)转化成恒成立问题(2)假设存在a，求出a值进行检验解析(1)由已知f(x)3x2a，f(x)在(
