1、121 概述概述弹性分析方法弹性分析方法容许应力法容许应力法计算结构强度计算结构强度强度条件：强度条件：max =u/k（材料极限荷载（材料极限荷载/安全系数）安全系数）（如图，受弯曲的杆件，弹性受力变形阶段的截面应力分布）（如图，受弯曲的杆件，弹性受力变形阶段的截面应力分布）对于结构在正常使用条件下的应力和变形状态，对于结构在正常使用条件下的应力和变形状态，弹性计算能够给出足够准确的结果。弹性计算能够给出足够准确的结果。缺点：对于塑性材料的结构，特别是超静定结构，缺点：对于塑性材料的结构，特别是超静定结构，当最大应力到达屈服极限，某一局部进入塑性阶段时，当最大应力到达屈服极限，某一局部进入塑
2、性阶段时，结构并没有破坏，因而弹性设计是不够经济合理的。结构并没有破坏，因而弹性设计是不够经济合理的。强度条件：强度条件：P P=Pu/K(实际承受的荷载实际承受的荷载 极限荷载极限荷载/安全系数安全系数)极限状态极限状态结构破坏标志：结构破坏标志：结构进入塑性阶段，并最后丧失承载能力结构进入塑性阶段，并最后丧失承载能力截面完全达到最大应力截面完全达到最大应力首先要确定结构破坏时所能承担的荷载首先要确定结构破坏时所能承担的荷载极限荷载，极限荷载，然后将极限荷载除以安全系数得出然后将极限荷载除以安全系数得出容许荷载，容许荷载，并以此为依据来进行设计。并以此为依据来进行设计。为了确定结构的极限荷载
3、，必须考虑材料的塑性变形，为了确定结构的极限荷载，必须考虑材料的塑性变形，进行结构的塑性分析：进行结构的塑性分析：极限荷载方法极限荷载方法经济合理经济合理局限性局限性只反映结构最后状态：只反映结构最后状态：不反映弹性不反映弹性塑性塑性极限状态过程极限状态过程 给定给定K在实际荷载作用下结构工作状态无法确定在实际荷载作用下结构工作状态无法确定设计荷载作用下，大多数为弹性状态设计荷载作用下，大多数为弹性状态结构设计结构设计弹性与塑性计算相互补充弹性与塑性计算相互补充 简化计算：简化计算：假设材料假设材料为理想弹塑性材料，为理想弹塑性材料，其应力应变关系其应力应变关系如图如图121所示。所示。加载加
4、载应力增加应力增加材料弹塑性材料弹塑性卸载卸载应力减少应力减少材料弹性材料弹性在经历塑性变形之后，在经历塑性变形之后，应力与应变之间不再存在单值对应关系，应力与应变之间不再存在单值对应关系，同一个应力值可对应于不同的应变值，同一个应力值可对应于不同的应变值，同一个应变值可对应于不同的应力值。同一个应变值可对应于不同的应力值。要得到弹塑性问题的解，要得到弹塑性问题的解，需要追踪全部受力变形过程。需要追踪全部受力变形过程。叠加原理不适用叠加原理不适用比例加载比例加载 各荷载按同一比例增加各荷载按同一比例增加 理想弹塑性材料理想弹塑性材料T形截面梁形截面梁（图（图122a）纯弯曲状态纯弯曲状态基本概
5、念。基本概念。图图b：截面处于弹性阶段，：截面处于弹性阶段，Mu）机构机构2：A、C塑性铰（图塑性铰（图12-7c），求得），求得27.5uMFl可破坏荷载，满足机构条件和平衡条件；可破坏荷载，满足机构条件和平衡条件；分段叠加法绘出分段叠加法绘出M图（图图（图f），），满足内力极限条件，满足内力极限条件，即同时为可接受荷载即同时为可接受荷载极限荷载极限荷载12-6 连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁（图连续梁（图128a）破坏机构的可能形式：破坏机构的可能形式：各跨独立形成破坏机构各跨独立形成破坏机构（图（图b、c、d），），不可能由相邻几跨联合不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构（图形成
6、一个破坏机构（图e）因为荷载方向均向下，因为荷载方向均向下，各跨的最大负弯矩各跨的最大负弯矩只可能发生在支座截面处。只可能发生在支座截面处。不可能一跨中部出现不可能一跨中部出现负弯矩塑性铰（图负弯矩塑性铰（图e）连续梁的极限荷载计算：连续梁的极限荷载计算：对每一个单跨破坏机构分别求对每一个单跨破坏机构分别求出相应的破坏荷载出相应的破坏荷载取其中的最小值取其中的最小值得到连续梁的极限荷载。得到连续梁的极限荷载。【例【例12-4】试求图所示试求图所示连续梁的极限荷载。连续梁的极限荷载。各跨为等截面，极限弯矩如图各跨为等截面，极限弯矩如图每一个单每一个单跨破坏机构为跨破坏机构为图图b、c、d：（图（
7、图d中应为中应为F截面为塑性铰）截面为塑性铰）0.823.75uuuPaMMMPaAB跨破坏时（图跨破坏时（图b）：）：BC跨破坏时（图跨破坏时（图c）：）：2224uuuuPaaMMMaMPaCD跨破坏时（图跨破坏时（图d）C支座处取较小的支座处取较小的Mu：2333.33uuuPaPaMMMPa 比较以上结果，比较以上结果，可知可知CD跨首先破坏，跨首先破坏，所以极限荷载为所以极限荷载为 3.33uuMPa12-7 刚架的极限荷载刚架的极限荷载刚架极限荷载计算：穷举法和试算法。刚架极限荷载计算：穷举法和试算法。【图【图1210】图示刚架，】图示刚架，各杆为等截面，各杆为等截面，极限弯矩：极
8、限弯矩：AC、BEMu；CE2Mu。计算极限荷载。计算极限荷载。首先确定破坏机构的可能形式：首先确定破坏机构的可能形式：由弯矩图的形状（求解器计算）由弯矩图的形状（求解器计算）可知塑性铰只可能可知塑性铰只可能在在A、B、C、D、E五个截面出现。五个截面出现。刚架刚架3次超静定次超静定故只要出现故只要出现4个塑性铰，个塑性铰，或直杆上出现三个塑性铰或直杆上出现三个塑性铰即为破坏机构即为破坏机构可能的破坏机构：可能的破坏机构：2223uuuuPaMMMMPa穷举法：穷举法：机构机构1（图（图1210b）：）：机构机构2（图（图1210c）：）：1.542.67uuPaMMPa1.522222.29
9、uuuuuPaPaMMMMMPa机构机构3（图（图1210d）机构机构4（图（图1210e）21.522216uuuuuPaPaMMMMMPa 选取最小的，选取最小的，所以极限荷载为所以极限荷载为 2.29uuMPa2.67uMPa试算法：试算法：选机构选机构2（图（图1210c）：）：求相应荷载求相应荷载 作作M图（图图（图1211a）：）：叠加法作叠加法作CE的的M图图得得MD=2.67Mu 2 Mu，不满足不满足CE的内力局限条件的内力局限条件荷载荷载P不是可接受荷载。不是可接受荷载。22242.67uuDuMMPaMPaM2.29uMPa选机构选机构3（图（图1210d）：）：求相应荷
10、载求相应荷载 作作M图（图图（图1211b）：）：叠加法作叠加法作CE的的M图图得得MC=0.42Mu Mu，满足满足AC的内力局限条件的内力局限条件荷载是可接受荷载。荷载是可接受荷载。故机构故机构3即为极限状态，即为极限状态，极限荷载为极限荷载为2.29uuMPa*12-8 矩阵位移法求刚架的极限荷载矩阵位移法求刚架的极限荷载以矩阵位移法为基础的增量变刚度法，以矩阵位移法为基础的增量变刚度法，简称为增量法或变刚度法，简称为增量法或变刚度法，适合电算解复杂的极限荷载问题。适合电算解复杂的极限荷载问题。假设：假设：（1）当出现塑性铰时，假设塑性区）当出现塑性铰时，假设塑性区退化为一个截面退化为一
11、个截面（塑性铰处的截面），而其余部分仍为弹性区。（塑性铰处的截面），而其余部分仍为弹性区。（2）荷载按比例增加荷载按比例增加所有荷载可用一个荷载参数所有荷载可用一个荷载参数F表示，表示，且为结点荷载且为结点荷载因而塑性铰只出现在结点处。因而塑性铰只出现在结点处。若有非结点集中荷载，可把荷载作用截面当做结点处理若有非结点集中荷载，可把荷载作用截面当做结点处理（3）每个杆件的极限弯矩为常数每个杆件的极限弯矩为常数，但各杆的极限弯矩可不相同。但各杆的极限弯矩可不相同。（4）忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响。1增量变刚度法的基本思路增量变刚度法的基本思路把原来的非线性问题转
12、化为分阶段的几个线性问题把原来的非线性问题转化为分阶段的几个线性问题两个特点：两个特点：（1）把总的荷载分成几个荷载增量，）把总的荷载分成几个荷载增量，进行分阶段计算，因而叫做增量法。进行分阶段计算，因而叫做增量法。以新塑性铰的出现作为分界标志，以新塑性铰的出现作为分界标志，把加载的全过程分成几个阶段：把加载的全过程分成几个阶段：由弹性阶段开始，过渡到一个塑性铰阶段，由弹性阶段开始，过渡到一个塑性铰阶段，再过渡到两个塑性铰阶段，再过渡到两个塑性铰阶段，最后达到结构的极限状态。最后达到结构的极限状态。每一个阶段有一个相应的荷载增量，每一个阶段有一个相应的荷载增量，由此可算出相应的内力和位移增量，
13、由此可算出相应的内力和位移增量，累加后便得到总的内力和位移。累加后便得到总的内力和位移。（2）对于每个荷载增量，仍按弹性方法计算，）对于每个荷载增量，仍按弹性方法计算，但不同阶段要采用不同的刚度矩阵，但不同阶段要采用不同的刚度矩阵，因而叫做变刚度法。因而叫做变刚度法。在施加某个荷载增量的阶段内，在施加某个荷载增量的阶段内，由于没有新的塑性铰出现，由于没有新的塑性铰出现，因此结构中塑性铰的个数和位置都保持不变因此结构中塑性铰的个数和位置都保持不变在此阶段内的结构在此阶段内的结构可看作是具有几个指定铰结点的弹性结构；可看作是具有几个指定铰结点的弹性结构；当由前一阶段转到新的阶段时，当由前一阶段转到
14、新的阶段时，由于有新的塑性铰出现，由于有新的塑性铰出现，结构就变为具有新的铰结点的弹性结构，结构就变为具有新的铰结点的弹性结构，其刚度矩阵需要根据新塑性铰情况进行修改其刚度矩阵需要根据新塑性铰情况进行修改F11MuMF1uMF=F1+FuMF1F=+2M1MFFF1min1MMumin11MMFumin11MFMumin11MFMFuFMMM211M以图以图a所示的梁为例加以说明。所示的梁为例加以说明。（1）弹性阶段：）弹性阶段：零荷载零荷载P1 第一个塑性铰出现第一个塑性铰出现【解】单位荷载【解】单位荷载P=1作用作用单位弯矩图（单位弯矩图（图），图），其中控制截面其中控制截面A和和B的弯矩
15、组成单位荷载的弯矩向量的弯矩组成单位荷载的弯矩向量llMT3253261相应截面的极限弯矩相应截面的极限弯矩和单位弯矩相比和单位弯矩相比:lMlMMMuuTu5326321A点比值较小点比值较小最小比值发生在最小比值发生在A点，其值为点，其值为1min163uuMMMl上述最小比值我们用上述最小比值我们用P1来表示。来表示。当荷载增大到：当荷载增大到：1163uMPPl梁的弯矩为：梁的弯矩为：111MPM相应的弯矩向量相应的弯矩向量1M为：为：11116355316326TTuuuMMP MllMMl2M（2）一个塑性铰阶段：）一个塑性铰阶段：P1 P2 第二个塑性铰出现第二个塑性铰出现【解】
16、【解】截面截面A应改为单向铰结点应改为单向铰结点结构降低一次超静定，结构降低一次超静定，改成简支梁。改成简支梁。单位荷载单位荷载P=1作用作用弯矩图（弯矩图（图）。图）。第二个塑性铰出现时第二个塑性铰出现时所需施加的荷载增量所需施加的荷载增量可按下式确定：可按下式确定：BuMMMP212122uBMMPM252634uuuMMMPll此荷载增量引起弯矩增量为此荷载增量引起弯矩增量为22222()3uMMMPMl（3）极限状态）极限状态 出现两个塑性铰后，结构已成为单向机构，出现两个塑性铰后，结构已成为单向机构，从而达到极限状态。极限状态的弯矩从而达到极限状态。极限状态的弯矩M：21MMM极限荷
17、载为：lMlMlMPPPuuuu632316211M例例12-6试用增量变刚度法求试用增量变刚度法求图示刚架的极限荷载。图示刚架的极限荷载。解解（1）第一阶段计算）第一阶段计算原刚架在单位荷载原刚架在单位荷载P=1作用下，作用下，单位（力）弯矩图（单位（力）弯矩图（图图b ）各控制截面的比值各控制截面的比值 中，中，1MMu以截面以截面D的比值为最小，的比值为最小，即为第一阶段终结荷载：即为第一阶段终结荷载：lMlMMMPuuDu2222.245.011111MPM第一个塑性铰出现在截面第一个塑性铰出现在截面D。(图图c)2M（2）第二阶段计算）第二阶段计算把截面把截面D改为铰结点，改为铰结点
18、，P=1，作出新的单位弯矩图作出新的单位弯矩图（图（图a-图）图）在各控制截面中在各控制截面中以截面以截面E的比值为最小，的比值为最小，12min2()1 0.77780.64520.3444uuuMMPMMlMl这个比值就是第二阶段的荷载增量，即这个比值就是第二阶段的荷载增量，即lMPu3444.02弯矩增量为弯矩增量为222MPM荷载和弯矩的累加值分别为：荷载和弯矩的累加值分别为：lMuPPP5666.2212212MMM第二个塑性铰在截面第二个塑性铰在截面E出现出现(图图c)（3）第三阶段计算）第三阶段计算除截面除截面D外，外，再把截面再把截面E改为铰结点，改为铰结点，P=1，作出新的单
19、位弯矩图作出新的单位弯矩图（图图a-图）图）3M求各控制截面的比值求各控制截面的比值32MMMu其中以截面其中以截面A的比值为最小的比值为最小lMlMMMMMPuuuAu4778.05222.0323P3作用下的弯矩增量为作用下的弯矩增量为333MPM荷载和弯矩的累加值分别为荷载和弯矩的累加值分别为lMPPPu0444.3323323MMM第三个塑性铰在截面第三个塑性铰在截面A处出现处出现(图图c)4M （4）第四阶段计算）第四阶段计算再把截面再把截面A改为铰结点，改为铰结点，P=1，新的单位弯矩图（，新的单位弯矩图（)求各控制截面的比值求各控制截面的比值43MMMu其中以截面其中以截面C的比
20、值为最小的比值为最小3441.51.04440.4556uCuuuMMPMMMMllM4=M4P4（图（图b）u3.5uMPl （5）极限状态）极限状态除除D、E、A处，处，再把截面再把截面C改为铰结点，改为铰结点，刚架已变为机构，刚架已变为机构，处于极限状态处于极限状态M4，于是于是P4就是极限荷载，即就是极限荷载，即荷载和弯矩的累加值分别为荷载和弯矩的累加值分别为lMPPPu5.3434434MMM第四个塑性铰在截面第四个塑性铰在截面C处出现。处出现。使用使用SMSolver计算计算Mi图图VB程序设计程序设计变刚度法变刚度法131 概述概述结构设计结构设计强度验算：最基本的和必不可少的强
21、度验算：最基本的和必不可少的稳定验算：在某些情况下显得重要稳定验算：在某些情况下显得重要薄壁结构薄壁结构高层建筑：剪力墙、筒中筒结构高层建筑：剪力墙、筒中筒结构高强度材料结构高强度材料结构钢结构：钢结构：钢框架、大跨屋架、桥梁钢框架、大跨屋架、桥梁受压比较容易丧失稳定受压比较容易丧失稳定结构稳定计算：结构稳定计算：小挠度理论小挠度理论方法简单，结论基本正确。方法简单，结论基本正确。大挠度理论大挠度理论结论精确，方法复杂。结论精确，方法复杂。结构失稳：结构失稳：原始的平衡状态，随荷载增大，丧失其稳定性原始的平衡状态，随荷载增大，丧失其稳定性（由稳定平衡（由稳定平衡不稳定平衡状态）不稳定平衡状态）
22、两类稳定问题两类稳定问题两种基本形式：两种基本形式：第一类稳定问题第一类稳定问题分支点失稳分支点失稳第二类稳定问题第二类稳定问题极值点失稳。极值点失稳。结构的平衡状态结构的平衡状态稳定性稳定性（以直杆受压为例）（以直杆受压为例）设结构：设结构：原来处于某个平衡状态，原来处于某个平衡状态，受到轻微干扰受到轻微干扰而稍微偏离其原来位置；而稍微偏离其原来位置；干扰消失后：干扰消失后：稳定平衡状态稳定平衡状态恢复平衡位置：恢复平衡位置：直线平衡形式，只受压力直线平衡形式，只受压力不稳定平衡状态不稳定平衡状态继续偏离，不能回到原来位置；继续偏离，不能回到原来位置；弯曲平衡形式，受压、弯弯曲平衡形式，受压
23、、弯中性平衡状态（随遇平衡）中性平衡状态（随遇平衡）由稳定平衡到不稳定平衡过渡的由稳定平衡到不稳定平衡过渡的 中间状态。中间状态。P PP PP PcrcrP P 1分支点失稳（第一类稳定问题）分支点失稳（第一类稳定问题）以简支压杆为例。（图以简支压杆为例。（图a）完善体系（理想体系）完善体系（理想体系）:杆轴理想直线杆轴理想直线荷载理想中心受压荷载（无偏心）荷载理想中心受压荷载（无偏心）微小干扰微小干扰发生弯曲（图发生弯曲（图b）随压力随压力P增大，增大，考查考查F与中点挠度与中点挠度之间的关系曲线之间的关系曲线F-曲线（平衡路径）（图曲线（平衡路径）（图c）：）：OAFFcr，0，直线平衡
24、，直线平衡A点点FFcr，直线平衡，直线平衡 弯曲平衡弯曲平衡（力不增加，位移可以增加）（力不增加，位移可以增加）直线形式的平衡状态直线形式的平衡状态稳定：稳定：单纯受压，无弯曲单纯受压，无弯曲原始平衡状态：原始平衡状态：路径路径I原始平衡路径：原始平衡路径：曲线由直线曲线由直线OA表示。表示。（受到干扰，偏离平衡位置；（受到干扰，偏离平衡位置；干扰消失，恢复平衡位置）干扰消失，恢复平衡位置）原始平衡状态是稳定的。原始平衡状态是稳定的。（唯一的平衡形式）；（唯一的平衡形式）；22crEIFFl（欧拉临界值）F2 Fcr：两种不同形式的平衡状态：两种不同形式的平衡状态：直线形式直线形式路径路径I
25、（AD段）段）弯曲形式弯曲形式路径路径II（AC段：大挠度理论）段：大挠度理论）（AB段：小挠度理论）段：小挠度理论）点点D 对应的平衡状态对应的平衡状态是不稳定的：是不稳定的：受到干扰而弯曲，受到干扰而弯曲，干扰消失，继续弯曲（偏离）干扰消失，继续弯曲（偏离）直到直到CD分支点：分支点：两条平衡路径两条平衡路径和和的交点的交点A分支点失稳：分支点失稳：平衡形式的二重性：平衡形式的二重性：OA稳定平衡稳定平衡AD不稳定平衡不稳定平衡 稳定性的转变。稳定性的转变。分支点分支点A对应的荷载对应的荷载临界荷载临界荷载对应平衡状态对应平衡状态临界状态。临界状态。结构结构分支点失稳分支点失稳特征：分支点
26、特征：分支点 F Fcr原始平衡形式原始平衡形式由稳定转为不稳定，由稳定转为不稳定，并出现新的平衡形式。并出现新的平衡形式。DI I（稳定）稳定）I I（不稳定）不稳定）IIII丧失第一类稳定的现象可在其他结构中发生。丧失第一类稳定的现象可在其他结构中发生。图示承受荷载的结构：图示承受荷载的结构：a所示承受均布水压力的圆环：园所示承受均布水压力的圆环：园非园非园b承受均布荷载的抛物线拱承受均布荷载的抛物线拱c刚架：轴向受压刚架：轴向受压压缩和弯曲压缩和弯曲d悬臂工字梁：平面弯曲悬臂工字梁：平面弯曲斜弯曲和扭转斜弯曲和扭转丧失第一类稳定性的特征：丧失第一类稳定性的特征：结构的平衡形式结构的平衡形
27、式即内力和变形状态即内力和变形状态发生质的突变：发生质的突变：原有平衡形式成为不稳定，原有平衡形式成为不稳定，同时出现同时出现新的有质的区别的新的有质的区别的平衡形式。平衡形式。2极值点失稳极值点失稳（第二类稳定问题）（第二类稳定问题）以简支压杆为例以简支压杆为例（图（图133）非完善体系非完善体系（图（图a）：具有初曲率具有初曲率承受偏心荷载承受偏心荷载加载加载处于受压和弯曲平衡状态处于受压和弯曲平衡状态F曲线曲线（图（图b）小挠度理论（小挠度理论（-）F Fe(欧拉临界值欧拉临界值)挠度挠度 大挠度理论（大挠度理论（-）F Fcr（极值点（极值点A）极值点后荷载下降极值点后荷载下降不稳定不
28、稳定 Pe大挠度理论：大挠度理论：F 0Y”0 xy通解：通解：ycossin()SFAnxBnxlxF已知边界条件：已知边界条件：x 0，y 0，y 0，x l，y 0代入通解，可得关于代入通解，可得关于A、B、FS/F 的齐次方程：的齐次方程：00cossin0SSFAlFFBnFAnlBnl零解零解原始直线平衡形式原始直线平衡形式非零解非零解新的平衡形式新的平衡形式系数行列式应等于零系数行列式应等于零10010cossin0lnnlnltgnlnl特征方程：特征方程：D0y1 nl 和和 y2 tgnl 的函数图线，的函数图线，其交点横坐标即为方程的根。其交点横坐标即为方程的根。3/2=
29、4.71，nl=4.7左右左右试算法：（表试算法：（表131）特征值：特征值：nl 4.493224.49320.19()crFn EIEIEIll133 具有弹性支座的压杆稳定具有弹性支座的压杆稳定1113EIkl（图（图138）刚架刚架 压杆压杆 弹性支座弹性支座（图（图a）AB压杆，压杆，BC杆对杆对AB杆的杆的 转动约束作用转动约束作用（图（图b）简化为弹性支座的压杆简化为弹性支座的压杆（图（图c）转动刚度：转动刚度：图图138坐标系坐标系xy分支点失稳分支点失稳新的平衡形式：新的平衡形式：y1 B端反力矩：端反力矩：111MkA端反力端反力FS：1110,BSMkMFll取截面取截面
30、x，杆段，杆段Ax：平衡微分方程：平衡微分方程：2211()()SMEIyFyF lxFnEIkyn ylxEIl 令:得：FFSM式中三个待定常数式中三个待定常数A、B、1，由边界条件确定：由边界条件确定：x=0,y=0;y=1 x=l,y=0 通解通解11cossin()kyAnxBnxlxFl11110(1)0cossin0kAFkBnFlAnlBnl11100(1)0cossin0kFknFlnlnl特征方程：特征方程：1111221111cossin(1)011()1kknlnlFFlknnlknlnlFtgnlkEI FEIkFllnlk l EIk lFln+弹簧刚度弹簧刚度 k
31、1已知已知可由超越方程求解可由超越方程求解nl 其最小正根即可求得临界荷载其最小正根即可求得临界荷载Fcr 2min222()()crFnllEIEIFnll211()nltgnlEInlk l特殊情况：特殊情况：k1 0，即两端铰支，即两端铰支，sin0nl k1 ，即一端铰支，一端固定，即一端铰支，一端固定tgnlnl11122233HMkMkFk一般情况（图一般情况（图139c）压杆压杆三个弹性支座三个弹性支座坐标系坐标系xy分支点失稳分支点失稳新的平衡形式新的平衡形式y：边界条件：边界条件：杆端杆端0、1、2杆杆端反力：端反力：FFH3M1M2FFH3MFM1FH3任取截面任取截面x，
32、杆段，杆段1x任取截面任取截面x，杆段，杆段1x：平衡微分方程：平衡微分方程：31311221131131()1cossin()HMFyFxMEIyFykxkFnEIyn ykkxEIyAnxBnxkkxF 令:得：通解：MFM1FH3式中式中4个待定常数个待定常数A、B、1，由边界条件确定：，由边界条件确定：x=0,y=0;y=1 x=l l ,y=;y=-211331cossin()1sincosyAnxBnxkkxFyAnnxBnnxkF 11311133210111cossin1sincosAkFBnkFAnlBnlkk lFFAnnlBnnlkF 5个待定常数，其中个待定常数，其中1
33、个为不独立的，由整个为不独立的，由整体平衡条件可得其它体平衡条件可得其它常数表示常数表示11211223223110,0()0()HmMMF lFkkk lFkk lFk3223112233122331132()10()10()11cossin(1)01sincos0kk lFAkFkkk lFBnkFkkk lFAnlBnlk lkFFkAnnlBnnlkF整体：整体：2233232113322321()01()0111cossin(1)()0sincos0Akk lFFk lFkBnkFkkAnlBnlk lk lFkFFFkAnnlBnnlF223112233122331132()10(
34、)10()11cossin(1)01sincos0kk lFAkFkkk lFBnkFkkk lFAnlBnlk lkFFkAnnlBnnlkF22232332111232(1)0()0cossin0sincos0ABAk lkFFk lkkFnkFkkknlnlFknnlnBAnFBl2233232113322321()01()0111cossin(1)()0sincos0Akk lFFk lFkBnkFkkAnlBnlk lk lFkFFFkAnnlBnnlF322332111310(1)cossin000()sincos1k lkFFknlnlFDkk lkFnFkkkknnlnnlF关
35、于关于A、B、2 2的的齐次方程齐次方程非零解：非零解：特征方程特征方程稳定方程稳定方程:（136）弹性支座压杆弹性支座压杆稳定方程的稳定方程的一般情形一般情形22232332111232(1)0()0cossin0sincos0ABAk lkFFk lkkFnkFkkknlnlFknnlnBAnFBl（图（图138b）一端弹性固定，另一端铰支。）一端弹性固定，另一端铰支。k2=0，k3=（=0），），2 不作为独立参数不作为独立参数333110100cossin0k lFkk lFnFknlnlk2=0322332111310(1)cossin000()sincos1k lkFFknlnlF
36、Dkk lkFnFkkkknnlnnlF000整体平衡，整体平衡，k2011211223221111330,0()0HmMMF lFkkk lFkkkk lFFk l333133111333101100010cossin0cossin01limkk lkFFkk lFkknnFkFk lFlnlnlnlnlkFk ll（133）（图（图139a）一端弹性固定，另一端自由。）一端弹性固定，另一端自由。k2=0，k3=011112110100cossin0(sin)cos0FnknlnlFnlnnlknknktgnlPn EIk lnl tgnlEI 322332111310(1)cossin00
37、0()sincos1k lkFFknlnlFDkk lkFnFkkkknnlnnlF（图（图139a）一端弹性固定，另一端自由。）一端弹性固定，另一端自由。k2=0，k3=011112110100cossin0(sin)cos0FnknlnlFnlnnlknknktgnlPn EIk lnl tgnlEI（134）333333333310100cossin0sincos(1)0()k lFknFnlnlkk lnlnnlFFnFk nlnFtgnlnlkkEI nltgnlnlk l（图（图139b）一端固定，另一端侧向弹性约束。）一端固定，另一端侧向弹性约束。k2=0，k1=32233211
38、1310(1)cossin000()sincos1k lkFFknlnlFDkk lkFnFkkkknnlnnlF333333333310100cossin0sincos(1)0()k lFknFnlnlkk lnlnnlFFnFk nlnFtgnlnlkkEI nltgnlnlk l（图（图139b）一端固定，另一端侧向弹性约束。）一端固定，另一端侧向弹性约束。k2=0，k1=（135）【例【例132】（图（图1310）对称刚架对称刚架对称荷载（图对称荷载（图a）失稳形式失稳形式正对称（图正对称（图b）反对称（图反对称（图c）22122222211()1()43.83()3.8314.67c
39、rnlnltgnlEInlnlk lnlEIFn EInllEIEIll试算法：最小正根，故正对称正对称取半跨（图取半跨（图d）弹性转动约束：弹性转动约束：k1 2i1 22EI/l 4EI/l由式（由式（133）2i11222222121.45()1.452.10crk lnltgnlEInlEIFn EInllEIEIll试算法：最小正根，故反对称反对称取半跨（图取半跨（图e）与（图与（图139a）相同）相同 （水平位移无约束）（水平位移无约束）弹性转动约束：弹性转动约束：k1 32i1 322EI/l 12EI/l由式（由式（154）与典型压杆形式相比：与典型压杆形式相比：正对称失稳比两
40、端简支增加弹性约束正对称失稳比两端简支增加弹性约束 Fcr 14.67EI/l2 Fe 2EI/l2（9.87）反对称失稳比一端固定，一端自由减少约束反对称失稳比一端固定，一端自由减少约束Fcr 2.10EI/l2 Fcr 2EI/（4l2）（）（2.47）所以结构必以反对称形式失稳。所以结构必以反对称形式失稳。13-4 用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载基本方法有两类：基本方法有两类：根据临界状态的静力特征而提出的方法，称为静力法；根据临界状态的静力特征而提出的方法，称为静力法；根据临界状态的能量特征而提出的方法，称为能量法。根据临界状态的能量特征而提出的方法，称为能量法。静力法问题：
41、静力法问题：微分方程具有变系数，不能积分为有限形式微分方程具有变系数，不能积分为有限形式边界条件较复杂，微分方程为髙阶行列式边界条件较复杂，微分方程为髙阶行列式不易展开和求解不易展开和求解能量法能量法较为简便较为简便结构失稳时平衡的二重性为依据结构失稳时平衡的二重性为依据应用能量形式表示平衡条件应用能量形式表示平衡条件确定临界荷载。确定临界荷载。势能驻值条件势能驻值条件用位移表示的平衡方程用位移表示的平衡方程在分支点失稳问题中，在分支点失稳问题中，临界状态的能量特征是：临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。势能为驻值，且位移有非零解。势能势能是位移是位移y1的二次式，其关系曲线是抛
42、物线。（图）的二次式，其关系曲线是抛物线。（图）F Fcr，势能是负定的。，势能是负定的。原始平衡状态是不稳定平衡状态。原始平衡状态是不稳定平衡状态。F=Fcr，体系处于中性平衡状态，即临界状态体系处于中性平衡状态，即临界状态荷载即临界荷载荷载即临界荷载临界状态的能量特征还可表述为：临界状态的能量特征还可表述为：在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。对于单自由度体系，则由正定过渡到负定。对于单自由度体系，则由正定过渡到负定。EPy y1 1PEPE势能驻值原理势能驻值原理能量形式表示的平衡条件：能量形式表示的平衡条件：对于弹性结构，对于
43、弹性结构，在满足支承条件和位移连续条件的在满足支承条件和位移连续条件的一切虚位移中，一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移同时又满足平衡条件的位移（即真实位移），（即真实位移），使结构的势能为驻值。使结构的势能为驻值。即结构势能的一阶变分对于零即结构势能的一阶变分对于零EEP P0 0结构势能结构势能 结构应变能结构应变能 外力势能外力势能 E EP P=VE+V应变能应变能 E EP P=ky2i（按材料力学公式计算）按材料力学公式计算）外力势能外力势能 V=Fii（外力虚功的负值）（外力虚功的负值）有限自由度结构有限自由度结构12(,)00(1,2,)nPP a aaPPiiiPiEEEE
44、aaaEina为任意的一组关于一组关于a ai i的齐次方程组，的齐次方程组，要使要使a ai i不全为零，不全为零，则方程组的系数行列式应等于零则方程组的系数行列式应等于零稳定方程稳定方程临界荷载临界荷载结构的势能结构的势能势能驻值原理势能驻值原理【例【例13133 3】单自由体系单自由体系(图图a a)失稳时微小偏移失稳时微小偏移（图图b b）122212122211222221(1)1(1)22(1 cos)2sin212()()222yllylllyyllllllyllll 或：弹簧应变能为弹簧应变能为21111122EVkyyky荷载势能为荷载势能为212yVFFl 为杆端竖向位移为
45、杆端竖向位移体系的势能为体系的势能为2221111122200PEPcryklFEVVkyFylldEklFydylklFFkly10，临界荷载临界荷载【例【例134】（图】（图1312a）具有两个变形自由度的体系。具有两个变形自由度的体系。能量法能量法222211()2yyyl 弹性支座弹性支座应变能应变能2212()2EkVyy荷载势能荷载势能22221)2FVFyyyl +（-在图在图b中，中，1点的竖直位移为点的竖直位移为结构势能结构势能 E EP PV VE EV VPE结构势能结构势能222212221221122()()221()2(2)2PEkFEVVyyyyylklF yFy
46、 yklF yl应用势能驻值条件：应用势能驻值条件：1211221()01(2)0PPEklF yFyylEFyklF yyl得势能驻值条件的解包括全零解和非零解。得势能驻值条件的解包括全零解和非零解。求非零解，建立特征方程求非零解，建立特征方程()0(2)klFFFklF展开式得展开式得223()0Fklkl解得两个特征值：解得两个特征值：2.618350.3822klFklkl最小的特征值叫做临界荷载，即最小的特征值叫做临界荷载，即0.382crFkl无限自由度结构无限自由度结构势能势能22200011()1222lllEMEIyVdxdxEIy dxEIEI应变能：应变能：荷载作用点下降
47、荷载作用点下降取微段取微段dsds与投影与投影dxdx之差之差dxyydxydxdxydxdxds222122)(21 1)(211 1)(1()(1积分积分ldxy02)(21外力势能：外力势能：VF 外力势能外力势能20()2lFVFydx 结构势能结构势能22001()()22llPEFEVVEI ydxydx其中挠曲线函数其中挠曲线函数 y y 未知未知无限多独立参数。无限多独立参数。结构势能为挠曲线函数结构势能为挠曲线函数y y的函数的函数泛函泛函求极值问题求极值问题变分法问题变分法问题瑞利瑞利李兹法李兹法近似为有限多自由度近似为有限多自由度2012lEVEIy dx应变能应变能瑞利
48、瑞利李兹法：李兹法：假设挠曲线假设挠曲线为有限个已知函数的线性组合为有限个已知函数的线性组合niiixay1)(i i(x)(x)满足位移边界条件的已知函数满足位移边界条件的已知函数表表132（p34）ai任意参数，共任意参数，共n个个原体系被近似地看作有原体系被近似地看作有n个自由度的体系。个自由度的体系。求解求解Fcr 为近似解（按有限自由度求解）为近似解（按有限自由度求解）*Fcr Fcr(精确解精确解)（p34）因为所假设的挠曲线与真实的曲线不同，因为所假设的挠曲线与真实的曲线不同，故相当于加入了某些约束，故相当于加入了某些约束，从而增大了压杆抵抗失稳的能力从而增大了压杆抵抗失稳的能力
49、 弯曲应变能弯曲应变能2200111()()22nllEiiiVEI ydxEIaxdx再求与再求与F F相应的位移相应的位移（压杆顶点的竖向位移）。（压杆顶点的竖向位移）。为此，先取微段为此，先取微段ABAB进行分析。进行分析。2211()22iidydxadx 荷载势能荷载势能2011()2nliiiVFFaxdx 体系势能体系势能22001111()()22nnllPEiiiiiiEVVEIaxdxFaxdx势能驻值条件势能驻值条件0PE即即0PiEa（i1,2,.n）sinxyal【例【例13135 5】图示两端简支的中心受压柱，图示两端简支的中心受压柱，试用能量法求其临界荷载。试用能
50、量法求其临界荷载。简支压杆的位移边界条件为：简支压杆的位移边界条件为：当当x=0 x=0 和和x=x=l l 时，时，y=0y=0（1 1）假设挠曲线为正弦曲线：）假设挠曲线为正弦曲线：满足压杆两端的边界条件满足压杆两端的边界条件应变能及应变能及外力势能外力势能:2242222001a()sin224llEEIxEIVEI ydxdxalll222200(y)(cos)224llFFaxVdxdxFalll 结构势能：结构势能：422E3423V()44()022PPEIEVF alldEEIF adall423220:022craEIFllEIFl与静力法的精确解相同，与静力法的精确解相同，
