1、返回到目录1 返回到目录2 在自然界和人类社会中，人们会遇到许多千差万别的在自然界和人类社会中，人们会遇到许多千差万别的现象，但就其结果是否唯一而言，可分为两类，而这现象，但就其结果是否唯一而言，可分为两类，而这些现象反映在数学上就是随机现象和确定性现象。请些现象反映在数学上就是随机现象和确定性现象。请看下面的例子：看下面的例子：引例引例 (1)“标准大气压下，水加热到标准大气压下，水加热到100时，就会沸腾时，就会沸腾”。(2)“在地球上抛一个石块，就会下落在地球上抛一个石块，就会下落”。(3)“在常温下，铁溶化了在常温下，铁溶化了”。(4)“在没有水分的条件下，种子发芽在没有水分的条件下，
2、种子发芽”。(5)“某人射击一次，结果命中靶心某人射击一次，结果命中靶心”。(6)“掷一枚硬币，反面向上掷一枚硬币，反面向上”。(7)“某地某地4月月18日，下雨了日，下雨了”。(8)“购买一张福利彩票，发现中奖了购买一张福利彩票，发现中奖了”。返回到目录3 1 随机现象的含义随机现象的含义 不难看出，引例中的不难看出，引例中的(1)、(2)、(3)、(4)这四种情况，属这四种情况，属于在一定的条件下，可事先预知只有一种确定结果的于在一定的条件下，可事先预知只有一种确定结果的现象（包括必然要发生或不可能发生两种情况），这现象（包括必然要发生或不可能发生两种情况），这类现象叫做确定性现象；而类现
3、象叫做确定性现象；而(5)、(6)、(7)、(8)这四种情这四种情况属于在一定的条件下，具有多种可能的结果，不能况属于在一定的条件下，具有多种可能的结果，不能事先预知会出现哪一种结果的现象，这类现象叫做随事先预知会出现哪一种结果的现象，这类现象叫做随机现象。机现象。随机现象在现实世界中广泛存在，对随机现象进行观随机现象在现实世界中广泛存在，对随机现象进行观察，每次的结果都具有不确定性，但是如果在相同的察，每次的结果都具有不确定性，但是如果在相同的条件下进行大量的重复试验，结果又会具有某种规律条件下进行大量的重复试验，结果又会具有某种规律性，这种规律性称之为统计规律性。性，这种规律性称之为统计规
4、律性。概率就是研究随机现象的这种规律性的。为了研究随概率就是研究随机现象的这种规律性的。为了研究随机现象的统计规律必须进行大量的重复试验，这就是机现象的统计规律必须进行大量的重复试验，这就是我们要讨论的随机试验。我们要讨论的随机试验。返回到目录42.随机试验的含义随机试验的含义定义定义 进行一次观察或测验，称为一次试验。如果一进行一次观察或测验，称为一次试验。如果一次试验满足以下条件：次试验满足以下条件：(1)可以在相同的条件下重复进行。可以在相同的条件下重复进行。(2)每次试验所有的可能结果是已知的，并且不只一每次试验所有的可能结果是已知的，并且不只一个。个。(3)每次试验一定会出现这些可能
5、结果中的一个，但每次试验一定会出现这些可能结果中的一个，但在每次试验之前，不能确定会出现哪一个结果。我在每次试验之前，不能确定会出现哪一个结果。我们将这样的试验称之为随机试验。们将这样的试验称之为随机试验。例如，某人掷一枚均匀的硬币，观察落在桌面上究例如，某人掷一枚均匀的硬币，观察落在桌面上究竟是正面朝上还是反面朝上，此事件满足上述三个竟是正面朝上还是反面朝上，此事件满足上述三个条件，（条件，（1）可以在相同的条件下重复进行投掷；）可以在相同的条件下重复进行投掷；(2)每次投掷的结果是已知的，且不只一个，可能是每次投掷的结果是已知的，且不只一个，可能是“正面朝上正面朝上”或者是或者是“反面朝上
6、反面朝上”；（；（3）投掷前不）投掷前不能确定哪面朝上，因此该项试验是随机试验。能确定哪面朝上，因此该项试验是随机试验。返回到目录5 1 随机事件的含义随机事件的含义 定义定义 在一定条件下，对随机现象进行试验的每一个可在一定条件下，对随机现象进行试验的每一个可能的结果，称之为一个随机事件，常用大写字母能的结果，称之为一个随机事件，常用大写字母A，B，C，表示。表示。例如，对一件产品进行检验时，例如，对一件产品进行检验时，“产品合格产品合格”是一个是一个事件；事件；“产品不合格产品不合格”也是一个事件，可表示为也是一个事件，可表示为 A=产品合格产品合格，B=产品不合格产品不合格。又如，投掷一
7、枚骰子，观察出现的点数。则可能出现又如，投掷一枚骰子，观察出现的点数。则可能出现下列事件：下列事件：A=掷出掷出1点点 B=掷出掷出2点点 C=掷出掷出3点点 D=掷出掷出4点点 E=掷出掷出5点点 F=掷出掷出6点点 返回到目录6 例例7-1 从一批含有合格品与不合格品的从一批含有合格品与不合格品的产品中，任意抽取产品中，任意抽取3件检验，则可能出现件检验，则可能出现下列事件：下列事件：解解 A=全是合格品全是合格品 B=恰有一件是合格品恰有一件是合格品 C=有三件是不合格品有三件是不合格品 D=至少有一件是不合格品至少有一件是不合格品等等。等等。返回到目录72.必然事件与不可能事件必然事件
8、与不可能事件在一定条件下，必然要发生的事件，称之为必然事在一定条件下，必然要发生的事件，称之为必然事件，记作件，记作。例如，从五个白球中任取一个，例如，从五个白球中任取一个，“取到白球取到白球”是必是必然事件。然事件。又如，投掷一枚均匀的硬币，出现又如，投掷一枚均匀的硬币，出现“正面向上或反正面向上或反面向上面向上”就是一个必然事件。就是一个必然事件。在一定条件下，不可能发生的事件，称之为不可能在一定条件下，不可能发生的事件，称之为不可能事件，记作事件，记作。例如，从五个白球中任取一个，例如，从五个白球中任取一个，“取到黑球取到黑球”是不是不可能事件。可能事件。再如，投掷一枚均匀的硬币，再如，
9、投掷一枚均匀的硬币，“正面向上或反面向正面向上或反面向上都不发生上都不发生”就是一个不可能事件。就是一个不可能事件。必然事件和不可能事件都是确定性现象的表现形式，必然事件和不可能事件都是确定性现象的表现形式，我们为了研究问题方便，把这两种我们为了研究问题方便，把这两种事件都看作是随机事件的特殊情况。事件都看作是随机事件的特殊情况。返回到目录8 例例7-2 判断下列事件是必然事件、不可能事件，判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件。还是随机事件。(1)“从一副扑克牌中，任意抽取一张，恰巧是从一副扑克牌中，任意抽取一张，恰巧是红心红心A”。(2)“在一批产品中，任意抽取在一批产品中，任意
10、抽取5件进行检验，其件进行检验，其中的次品数超过中的次品数超过6”。(3)“如果如果a，b都是实数，则都是实数，则a+b=b+a”。(4)“篮球运动员投篮，不中篮球运动员投篮，不中”。解解 事件事件(2)为不可能事件，事件为不可能事件，事件(3)为必然事件，为必然事件，事件事件(1)、（、（4）为随机事件）为随机事件 返回到目录91 包含关系包含关系在一次射击中，在一次射击中，A=命中命中7环环，B=至少命中至少命中4环环，显然，事件，显然，事件A发生时发生时B一定发生，这就叫做事件一定发生，这就叫做事件B包含了事件包含了事件A。定义定义 如果事件如果事件A发生必定导致事件发生必定导致事件B发
11、生，则称之为事件发生，则称之为事件B包含包含了事件了事件A，或称之为事件，或称之为事件A包含于事件包含于事件B，记作，记作 或或 。为了直观起见，我们用图示的方法来表示事件之间的关系。用一为了直观起见，我们用图示的方法来表示事件之间的关系。用一个矩形表示必然事件个矩形表示必然事件，用矩形内的一些封闭图形表示随机事件，用矩形内的一些封闭图形表示随机事件A或或B的发生。的发生。(见下图见下图)该图就表示事件间的包含关系，该图就表示事件间的包含关系，。如例如例1中中B=恰有一件是合格品恰有一件是合格品，D=至少有一件是不合格品至少有一件是不合格品，则则 B ABAABBABD返回到目录10 2.相等
12、关系相等关系定义定义 如果如果 ，同时，同时 ，则称为事，则称为事件件A与事件与事件B相等，记作相等，记作A=B。例如，投掷一枚骰子，观察出现的点数，事例如，投掷一枚骰子，观察出现的点数，事件件A=出现的点数不小于出现的点数不小于5点点，事件，事件B=出现出现的点数为的点数为5点或点或6点点，则，则A=B。3.事件的并（和）事件的并（和）甲、乙二人同时回答一道题，如果甲、乙二人同时回答一道题，如果A=甲答甲答对问题对问题，B=乙答对问题乙答对问题，C=问题被答对问题被答对，那么那么“事件事件C发生发生”就意味着就意味着“事件事件A与与B至至少有一个发生。少有一个发生。”ABBA返回到目录11
13、定义定义 事件事件A与事件与事件B至少有一个发生，这样的事件叫做事至少有一个发生，这样的事件叫做事件件A与事件与事件B的并的并(或和或和)，记作，记作AB(或或A+B)下图中的阴下图中的阴影部分即表示影部分即表示AB。AB意味着或者事件意味着或者事件A发生，或者发生，或者事件事件B发生，或者事件发生，或者事件A与与B同时发生。同时发生。(见下图见下图)如果如果n个事件个事件A1，A2，An中至少有一个发生，这个事中至少有一个发生，这个事件叫做事件件叫做事件A1，A2，An的并，记作的并，记作121niniAAAA A B返回到目录124.事件的交（积）事件的交（积）投掷一枚骰子，观察出现的点数
14、，事件投掷一枚骰子，观察出现的点数，事件A=出现的出现的点数不小于点数不小于5点点，事件，事件B=出现的点数为奇数点出现的点数为奇数点，事件事件C=出现的点数为出现的点数为5点点，那么，那么“事件事件C发生发生”就就是是“事件事件A与事件与事件B同时发生同时发生”。定义定义 事件事件A与事件与事件B同时发生，这样的事件叫做事同时发生，这样的事件叫做事件件A与事件与事件B的交的交(或积或积)，记作记作AB或或AB(见下图见下图)。A AB B返回到目录13 5.互不相容事件互不相容事件 投掷一枚骰子，观察出现的点数，事件投掷一枚骰子，观察出现的点数，事件A=出现的出现的点数不小于点数不小于5点点
15、，事件，事件B=出现的点数为出现的点数为2点点，那么，那么“事件事件A与事件与事件B不能同时发生。不能同时发生。”定义定义 如果事件如果事件A与事件与事件B不能同时发生，这样的不能同时发生，这样的事件称为事件事件称为事件A与事件与事件B互不相容互不相容(或互斥或互斥)，记作，记作AB=或或AB=(见下图见下图)。A B返回到目录14 6.对立事件对立事件 向一个目标射击，设向一个目标射击，设A=击中目标击中目标，B=没击中目标没击中目标，显然事件，显然事件A与事件与事件B不能同不能同时发生，但其中必然会有一个事件发生。时发生，但其中必然会有一个事件发生。定义定义 如果事件如果事件A与事件与事件
16、B不能同时发生，不能同时发生，但必然发生其中之一，即但必然发生其中之一，即AB=且且AB=，这样的事件叫做事件，这样的事件叫做事件A与事件与事件B互为对立事件（或互逆事件），记互为对立事件（或互逆事件），记作作 或或 ，称，称B是是A的对立事件。的对立事件。A BBA 返回到目录15 A B AB7.事件的差事件的差 投掷一枚骰子，观察出现的点数，事件投掷一枚骰子，观察出现的点数，事件A=出现的出现的点数不小于点数不小于5点点，事件，事件B=出现的点数为奇数点出现的点数为奇数点，事件事件C=出现的点数为出现的点数为6点点，那么，那么“事件事件C发生发生”就就是是“事件事件A发生而事件发生而事件
17、B不发生不发生”。定义定义 如果事件如果事件A发生而事件发生而事件B不发生，这样的事件不发生，这样的事件叫做事件叫做事件A与事件与事件B的差，记作的差，记作A-B。即。即 (见见下图下图)图中的阴影部分就表示事件图中的阴影部分就表示事件A与事件与事件B的差。的差。A B AB B返回到目录168.事件的运算事件的运算事件之间的运算满足以下规律事件之间的运算满足以下规律（1）交换律）交换律 （2）结合律）结合律 （3）分配律）分配律 （4）摩根律）摩根律 A B B AA B B A()()ABCAB C()()A BCAB C()()()A B CA CB C ()()()A B CA CB
18、C ABABA BA B 返回到目录17 例例7-3 一种产品长度指标或宽度指标不合格，则称该一种产品长度指标或宽度指标不合格，则称该产品不合格。现从一批这种产品中任取一件产品，设产品不合格。现从一批这种产品中任取一件产品，设A=产品长度不合格产品长度不合格，B=产品宽度不合格产品宽度不合格，C=产产品不合格品不合格。则事件间有如下关系。则事件间有如下关系。解解 （1）C A，C B（2）=产品长度合格产品长度合格,=产品宽度合格产品宽度合格，=产品合格产品合格。(3)(4)CABCAB ABC返回到目录18 随机事件在每次试验中有可能发生也可能不发随机事件在每次试验中有可能发生也可能不发生，
19、但在大量重复试验的情况下，它的发生呈生，但在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，这种规律性就是事件发生现出一定的规律性，这种规律性就是事件发生的可能性的大小，比如，从只有一个黑球的的可能性的大小，比如，从只有一个黑球的100个球中任取一个，取到的是黑球的可能性个球中任取一个，取到的是黑球的可能性就非常小，如果从有就非常小，如果从有80个黑球的个黑球的100个球中任个球中任取一个，取到的是黑球的可能性就非常大，这取一个，取到的是黑球的可能性就非常大，这就需要我们对事件发生的可能性的大小进行数就需要我们对事件发生的可能性的大小进行数量性的描述，用一个数值来表示这种可能性，量性的描述，
20、用一个数值来表示这种可能性，这就是概率。这就是概率。返回到目录19 1.事件的频率事件的频率定义定义 在大量重复进行同一试验时，事在大量重复进行同一试验时，事件件A发生的次数称之为事件发生的次数称之为事件A的频数，的频数，记作记作m。频数。频数m与试验次数与试验次数n的比叫做的比叫做事件事件A的频率，记作的频率，记作 即即大量的重复试验下，事件发生的频率具大量的重复试验下，事件发生的频率具有一定的稳定性。有一定的稳定性。例如：历史上曾经有人做过大量抛掷硬例如：历史上曾经有人做过大量抛掷硬币的试验，试验的结果记录如表币的试验，试验的结果记录如表7-1：()nf A()nmfAn返回到目录20 我
21、们可以看出，随着抛掷硬币次数的增加，正面向上我们可以看出，随着抛掷硬币次数的增加，正面向上这一事件出现的频率在一个确定的常数这一事件出现的频率在一个确定的常数0.5上下摆动，上下摆动，且幅度越来越小，逐渐趋近于且幅度越来越小，逐渐趋近于0.5。综上所述，随着重复试验次数综上所述，随着重复试验次数n的不断增大，事件出现的不断增大，事件出现的频率逐渐趋近于一个确定的常数，这就是频率的稳的频率逐渐趋近于一个确定的常数，这就是频率的稳定性。定性。()mn抛掷次数（n）正面向上次数（频数m）频率2048404012000240003000072088105120486019120121498436124
22、0.51810.50690.50160.50050.49960.5011返回到目录21 事件的频率具有如下三个性质：事件的频率具有如下三个性质：（1）（2）（3）这是因为在这是因为在n次重复试验中，事件次重复试验中，事件A发生的频数必定有；发生的频数必定有；而对于必然事件来说，在而对于必然事件来说，在n次重复试验中，每次都发生；次重复试验中，每次都发生；而对于不可能事件来说，在而对于不可能事件来说，在n次重复试验中，一次都不次重复试验中，一次都不发生，所以有如上三个性质。发生，所以有如上三个性质。事件的频率计算有一些缺点，它是建立在经验基础上，事件的频率计算有一些缺点，它是建立在经验基础上，语
23、言描述模糊，不准确，同时计算频率时需要大量的语言描述模糊，不准确，同时计算频率时需要大量的试验观测统计，可操作性较差。在实际问题中，我们试验观测统计，可操作性较差。在实际问题中，我们不可能采用频率来研究每一个问题，所以我们引入了不可能采用频率来研究每一个问题，所以我们引入了概率的定义。概率的定义。0()1nf A()1nf ()0nf 返回到目录22 概率的统计定义定义概率的统计定义定义 在大量重复进行同一试验时，在大量重复进行同一试验时，如果事件如果事件A发生的频率总是接近于某个确定的常数，发生的频率总是接近于某个确定的常数，并在这个常数附近摆动，我们就把这个常数并在这个常数附近摆动，我们就
24、把这个常数p叫做事叫做事件件A的概率，记作的概率，记作常数常数p就是在大量重复试验中对事件就是在大量重复试验中对事件A发生的可能性发生的可能性大小的数量性的描述。大小的数量性的描述。如抛硬币的实验中，设事件如抛硬币的实验中，设事件A=正面向上正面向上，则出现，则出现正面向上的概率为正面向上的概率为 。由此不难看出，概率的统计定义只是一种描述，它由此不难看出，概率的统计定义只是一种描述，它表明事件的概率是客观存在的，在实际的问题中，表明事件的概率是客观存在的，在实际的问题中，很难求出事件频率的稳定值很难求出事件频率的稳定值p，因此在，因此在n充分大的时充分大的时候就用事件发生的频率作为概率的近似
25、值。候就用事件发生的频率作为概率的近似值。P Ap 0.5P A 返回到目录23 由于概率的统计定义是从频率引入，所以由频由于概率的统计定义是从频率引入，所以由频率的性质可以得出相应概率的性质：率的性质可以得出相应概率的性质：（1）（2）（3）概率的统计定义虽然没有给出计算事件概率的概率的统计定义虽然没有给出计算事件概率的具体方法，但却提供了具体方法，但却提供了n充分大时，可用事件充分大时，可用事件发生的频率发生的频率fn（A）去近似估计事件概率）去近似估计事件概率 P（A）的依据。）的依据。0()1P A()1P ()0P 返回到目录24 1 基本事件与复合事件基本事件与复合事件 在随机事件
26、中，有的事件是由一些事件组合而成的，而在随机事件中，有的事件是由一些事件组合而成的，而有的事件则不能再分解为其他的多个事件。有的事件则不能再分解为其他的多个事件。定义定义 我们把不能再分解的事件称之为基本事件。把由我们把不能再分解的事件称之为基本事件。把由多个基本事件组合而成的事件称之为复合事件。一个随多个基本事件组合而成的事件称之为复合事件。一个随机试验中出现的所有的基本事件的全体，称为基本事件机试验中出现的所有的基本事件的全体，称为基本事件空间，也称为样本空间。空间，也称为样本空间。很明显，当我们把样本空间作为一个事件时，因为在每很明显，当我们把样本空间作为一个事件时，因为在每次试验时，它
27、必然会发生，所以样本空间是一个必然事次试验时，它必然会发生，所以样本空间是一个必然事件，而不包含任何基本事件的空集则是一个不可能事件。件，而不包含任何基本事件的空集则是一个不可能事件。例例7-4 写出写出“连续三次掷一枚硬币连续三次掷一枚硬币”试验的所有基本事试验的所有基本事件。件。解解 所有基本事件为所有基本事件为（正正正），（正正反），（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）（反正反），（反反正），（反反反）。返回到目录25 2 古典概型的含义我们利用概率的统计定义古典概型的含义我们利用概率的统计定义
28、得出了近似计算概率的一般方法，但在实际问得出了近似计算概率的一般方法，但在实际问题中，很难用统计定义来计算事件的概率，因题中，很难用统计定义来计算事件的概率，因为不可能每种情况都进行大量的重复试验，所为不可能每种情况都进行大量的重复试验，所以在一些特殊的情况下，可以不进行大量的重以在一些特殊的情况下，可以不进行大量的重复试验，只需根据事件的特点，进行分析，就复试验，只需根据事件的特点，进行分析，就可以直接计算出事件的概率。可以直接计算出事件的概率。例如：投掷一枚均匀的硬币，有两种可能的结例如：投掷一枚均匀的硬币，有两种可能的结果，果，“正面向上正面向上”或者是或者是“反面向上反面向上”。因为。
29、因为硬币是均匀的，我们可以分析出这两种结果的硬币是均匀的，我们可以分析出这两种结果的可能性是相等的，即可以认为可能性是相等的，即可以认为“正面向上正面向上”的的概率是概率是0.5，同样，同样“反面向上反面向上”的概率也是的概率也是0.5。这与前面大量重复试验的结果是一致的。这与前面大量重复试验的结果是一致的。返回到目录26 3.概率的古典定义概率的古典定义 定义定义 如果试验的基本事件总数为如果试验的基本事件总数为n个，事件个，事件A中包含中包含其中的其中的m个基本事件，则事件个基本事件，则事件A的概率为的概率为 概率的古典定义同样具有概率统计定义的三个性质。概率的古典定义同样具有概率统计定义
30、的三个性质。例例7-5 从从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字中，随九个数字中，随机地取出一个数字，求这个数字是奇数的概率。机地取出一个数字，求这个数字是奇数的概率。解解 设设A=取出的是一个奇数取出的是一个奇数，则基本事件总数为，则基本事件总数为n=9，事件事件A包含了包含了5个基本事件（抽到个基本事件（抽到1，3，5，7，9），即），即m=5，所以，所以，P（A）=。()mAP An事件中包含的基本事件数基本事件总数95nm 返回到目录27 上面的例题中我们是通过列举基本事件的方法来确定上面的例题中我们是通过列举基本事件的方法来确定n和和m的，这种方法直观，清楚，对于简单问题十分方
31、的，这种方法直观，清楚，对于简单问题十分方便，但在很多问题中，由于基本事件总数较大，一一便，但在很多问题中，由于基本事件总数较大，一一列举比较麻烦，所以一般不采用这种方法，我们通常列举比较麻烦，所以一般不采用这种方法，我们通常采用排列和组合的方法来计算同类问题。采用排列和组合的方法来计算同类问题。例例7-6 从二件一等品和三件二等品中任取两件，问从二件一等品和三件二等品中任取两件，问“恰有两件二等品恰有两件二等品”这一事件发生的概率是多少？这一事件发生的概率是多少？“至少有一件一等品至少有一件一等品”这一事件发生的概率是多少？这一事件发生的概率是多少？解解 基本事件总数基本事件总数n=10，设
32、，设B=恰有两件二等恰有两件二等品品，则，则 ，设设C=至少有一件一等品至少有一件一等品，那么，那么 所以所以 。25C2133mC13()10mP Bn27()10mP Cn，11223227mC CC返回到目录28 1 互不相容事件概率的加法公式互不相容事件概率的加法公式 引例引例 在一个书架上放有在一个书架上放有10本书，其中有本书，其中有4本英本英语书，语书，3本审计书，本审计书，2本会计书，本会计书，1本小说，试本小说，试求从中任取一本是经济类书的概率。求从中任取一本是经济类书的概率。解解 设设 A=取到的是一本审计书取到的是一本审计书 B=取到的是一本会计书取到的是一本会计书 C=
33、取到的是一本经济类书取到的是一本经济类书 则由概率公式则由概率公式 ，则则3()10P A 2()10P B 5()10P C()()()P CP AP B 返回到目录29 我们再来分析一下事件我们再来分析一下事件C与事件与事件A、B是什么关是什么关系呢？我们不难发现，事件系呢？我们不难发现，事件C是事件是事件A与与B的并，的并，即，因为书架上只有审计书与会计书属于经济即，因为书架上只有审计书与会计书属于经济类，而且一本书不可能又是审计书又是会计书，类，而且一本书不可能又是审计书又是会计书，即即A与与B之间是互不相容关系，则不难得出如之间是互不相容关系，则不难得出如下结论：下结论：互不相容事件
34、的加法公式：如果事件互不相容事件的加法公式：如果事件A，B互互不相容，则事件发生（即事件不相容，则事件发生（即事件A与与B中至少有中至少有一个发生）的概率，等于事件一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生分别发生的概率的和。的概率的和。()()()P ABP AP B返回到目录30 该公式可以推广到有限个互不相容的事件中，如果该公式可以推广到有限个互不相容的事件中，如果n个个事件事件A1，A2，An互不相容，则事件互不相容，则事件 发生（即发生（即n个事件中至少有一个个事件中至少有一个发生）的概率，等于这发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和。个事件分别发生的概率的和。即即 （7-2）
35、公式（公式（7-2）我们称之为概率的有限的可加性。）我们称之为概率的有限的可加性。2任意事件概率的加法公式任意事件概率的加法公式 设设A、B是任意两个随机事件，则有是任意两个随机事件，则有 （7-3）或或12nAAA1212()()()()nnP AAAP AP AP A ()()()()P ABP AP BP AB()()()()P ABP AP BP AB返回到目录31 对立事件的概率公式对立事件的概率公式 通过对立事件的定义可知：事件通过对立事件的定义可知：事件 有如下有如下关系关系A =且且A =，则根据概率加法，则根据概率加法公式得到：公式得到：（7-5）计算某事件的概率可以采用多种
36、方法，当直接计算某事件的概率可以采用多种方法，当直接计算概率较复杂时，而该事件的对立事件的概计算概率较复杂时，而该事件的对立事件的概率又容易计算时，我们可以运用对立事件的概率又容易计算时，我们可以运用对立事件的概率公式来简化计算。率公式来简化计算。AA与()()()1P A AP AP A()1()P AP A AA返回到目录32 我们前面的研究都是站在某种试验的全我们前面的研究都是站在某种试验的全部基本事件的角度的，但在实际问题中，部基本事件的角度的，但在实际问题中，我们除了要讨论某个事件发生的概率外，我们除了要讨论某个事件发生的概率外，还需要加入附加的限制条件，求在某一还需要加入附加的限制
37、条件，求在某一个事件发生的条件下，另一个事件发生个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，这就是条件概率。的概率，这就是条件概率。定义定义 事件事件A、B是同一个试验条件下的是同一个试验条件下的两个随机事件，在事件两个随机事件，在事件A发生的条件下，发生的条件下，事件事件B发生的概率称之为在发生的概率称之为在A发生条件下发生条件下B的条件概率，记作的条件概率，记作(/)P BA返回到目录33引例引例 有有10个灯泡，其中有个灯泡，其中有7个是合格品，有个是合格品，有8个是甲厂生产的，个是甲厂生产的，甲厂生产的有甲厂生产的有6个是合格品。现从个是合格品。现从10个灯泡中任取一个，求个灯泡中任取一
38、个，求（1）已知取到的是合格品，问它是甲厂生产的概率。）已知取到的是合格品，问它是甲厂生产的概率。（2）已知取到的是甲厂生产的，问它是合格品的概率。）已知取到的是甲厂生产的，问它是合格品的概率。解解 设设A=取到的灯泡为合格品取到的灯泡为合格品B=取到的灯泡为甲厂生产的取到的灯泡为甲厂生产的则则AB=取到的灯泡甲厂生产的合格取到的灯泡甲厂生产的合格品品（1）由已知得）由已知得 ，而由古典概型知，合格品只有而由古典概型知，合格品只有7个，甲厂生产的有个，甲厂生产的有6个是合格品，个是合格品，所以已知取到的是合格品，则它是甲厂生产的概率所以已知取到的是合格品，则它是甲厂生产的概率 ，此题还可以有另
39、一种思考方法即此题还可以有另一种思考方法即 7()10P A 8()10P B 6()10P AB 6(/)7P B A 66/10()(/)77/10()P ABP B AP A 返回到目录34（2）同理，已知取到的是甲厂生产的，）同理，已知取到的是甲厂生产的，则它是合格品的概率为则它是合格品的概率为 上述分析问题的方法可以推广到一般情上述分析问题的方法可以推广到一般情况，则条件概率有如下公式况，则条件概率有如下公式 （7-6）66/10()3(/)88/10()4P ABP A BP B()(/),()0()()(/),()0()P ABP B AP AP AP ABP A BP BP B
40、或返回到目录35 1 概率的乘法公式概率的乘法公式 我们通过条件概率的公式可以直接得出概率的乘法公我们通过条件概率的公式可以直接得出概率的乘法公式。式。定义定义 事件事件A与事件与事件B交的概率等于其中任一个事件交的概率等于其中任一个事件（其概率不为零）的概率乘以另一个事件在已知前一（其概率不为零）的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即个事件发生下的条件概率。即 P（AB）=P（A）P（BA）（）（P（A）0）P（AB）=P（B）P（AB）（）（P（B）0）(7-7)概率的乘法公式，可以推广到有限个积事件的情形，概率的乘法公式，可以推广到有限个积事件的情形，下面给出三个事件积
41、的概率公式：下面给出三个事件积的概率公式：P（ABC）=P（A）P（BA）P（CAB）(7-8)相应地，关于相应地，关于n个事件个事件A1，A2，An的乘法公式为的乘法公式为 (7-9)1 212131 211()()(/)(/)(/)nnnP AAAP A P A A P A AAP A AA返回到目录36 例例7-7 设在一个盒子中装有设在一个盒子中装有10只晶体管，只晶体管，4只是次品，只是次品，6只是正品，从中接连取两次，每次任取一只，取后不只是正品，从中接连取两次，每次任取一只，取后不再放回。问两次都取到正品晶体管的概率是多少？第再放回。问两次都取到正品晶体管的概率是多少？第二次才取
42、到正品晶体管的概率是多少？二次才取到正品晶体管的概率是多少？解解 设设A=第一次取到的是正品晶体管第一次取到的是正品晶体管，B=第二次取第二次取到的是正品晶体管到的是正品晶体管。则则AB=两次都取到正品晶体管两次都取到正品晶体管。=第二次才取到第二次才取到正品晶体管正品晶体管 因为因为 P（A）=，P（BA）=，P（）=，P（B ）=所以，所以，P（AB）=P（A）P（BA）=。P（）=P（）P（B ）=。AB10695A410A693195106ABAA46410 915返回到目录37 2 事件的独立性事件的独立性 通常，条件概率通常，条件概率P（BA）并不等于）并不等于P（B），这是因），
43、这是因为事件为事件A的发生对事件的发生对事件B的发生可能是有影响的，但在的发生可能是有影响的，但在有些实际问题中，一个事件的发生并不影响另一个事有些实际问题中，一个事件的发生并不影响另一个事件发生的概率。如甲乙两个人各自射击，甲是否射中件发生的概率。如甲乙两个人各自射击，甲是否射中对乙没有任何影响。又如在一批含有不合格品的产品对乙没有任何影响。又如在一批含有不合格品的产品中，有放回的连续抽取产品，则第一次抽取的是合格中，有放回的连续抽取产品，则第一次抽取的是合格品这一事件对第二次抽取的结果没有任何影响。品这一事件对第二次抽取的结果没有任何影响。定义定义 如果事件如果事件A、B中的一个事件的发生
44、不影响另一中的一个事件的发生不影响另一事件发生的概率，即事件发生的概率，即 P（BA）=P（B）或）或P（AB）=P（A），那么事件），那么事件A、B叫做相互独立事件。叫做相互独立事件。在实际问题中，我们只需要根据具体情况分析事件间在实际问题中，我们只需要根据具体情况分析事件间是否有明显的联系，如果事件间没有明显的联系，或是否有明显的联系，如果事件间没有明显的联系，或者联系非常微小，我们就可以认为两事件是相互独立者联系非常微小，我们就可以认为两事件是相互独立的。的。返回到目录38 我们由条件概率的公式可以得出独立事件的乘我们由条件概率的公式可以得出独立事件的乘法公式。法公式。P（AB）=P（A
45、）P（B）(7-10)反过来，如果上述公式成立，那么事件反过来，如果上述公式成立，那么事件A、B一定相互独立。一定相互独立。若事件若事件A、B是相互独立的，则是相互独立的，则A与与 也是相互独立的。也是相互独立的。若事件若事件 中任一事件中任一事件 （i=1，2，n）发生的概率不受其他一个或多个事）发生的概率不受其他一个或多个事件发生的影响，那么事件件发生的影响，那么事件 叫做相互独立事件，并且有叫做相互独立事件，并且有 P（）=P (7-11),B AB AB与，与nAAA，,21iAnAAA，,21nAAA21）（）（）（nAAPA21 返回到目录39 例例7-8 掷甲、乙两枚硬币，事件掷
46、甲、乙两枚硬币，事件A表示甲硬币表示甲硬币出现出现“正面向上正面向上”，事件，事件B表示乙硬币出现表示乙硬币出现“正面向上正面向上”，计算，计算P（A），），P（B），），P（BA）和）和P（AB）。）。解解 根据题意，根据题意，=（正正），（正反），（反（正正），（正反），（反正），（反反）正），（反反），所以所以 P（A）=，P（BA）=，P（AB）=。由此题可以看出，由此题可以看出，P（BA）=P（B），），P（AB）=P（A），即事件），即事件A、B相互独立。相互独立。,2142)(,2142BP2121 返回到目录40 对于较复杂的事件，用简单的公式已经不能满足需要，对于较复杂的事件
47、，用简单的公式已经不能满足需要，我们先看下面的例子。我们先看下面的例子。例例7-9 某市场出售灯泡是由甲、乙、丙三个厂家生产某市场出售灯泡是由甲、乙、丙三个厂家生产的，每个厂家的产量分别占市场供应量的的，每个厂家的产量分别占市场供应量的45%，35%，20%，又知这三个厂家生产产品的次品率分别为，又知这三个厂家生产产品的次品率分别为5%，4%，3%。某人在该市场买到一个灯泡，问这个灯泡。某人在该市场买到一个灯泡，问这个灯泡是次品的概率。是次品的概率。解解 设设 ，依次表示买到的这个灯泡是由甲、依次表示买到的这个灯泡是由甲、乙、丙三个厂家生产的，则乙、丙三个厂家生产的，则 ，是两两互不是两两互不
48、相容的，并且相容的，并且 +=，设，设A=买到的这个买到的这个灯泡是次品灯泡是次品，则，则A=A=A（+）=A +A +A 。其中。其中A ，A ，A 也是两两也是两两互不相容的，这就是说，互不相容的，这就是说，“买到的这个灯泡是次品买到的这个灯泡是次品”，它必定是它必定是“甲厂家的产品甲厂家的产品”或或“乙厂家的产品乙厂家的产品”或或“丙厂家的产品丙厂家的产品”。1H2H3H 1H2H3H1H2H3H1H2H3H1H2H3H1H2H3H返回到目录41 由概率的加法公式得由概率的加法公式得 P（A）=P（A +A +A ）=P（A ）+P（A ）+P（A ）根据乘法公式得根据乘法公式得 P（A
49、）=P（）P（A ）+P（）P（A ）+P（）P（A ）=1H2H3H1H2H3H1H2H3H1H2H3H4553542034.25%100100100100100100返回到目录42 一般地，若一般地，若 ，是两两互不相容是两两互不相容的事件，而且它们的并是必然事件，即的事件，而且它们的并是必然事件，即 +=，又事件，又事件A能且仅能能且仅能与与 ，中的一个同时发生，中的一个同时发生，则则 P（A）=P（A ）+P（A ）+P（A ）=P（）P（A ）+P（）P（A ）+P（）P（A ）=P（A ）(7-12)上述公式叫全概率公式。上述公式叫全概率公式。1H2HnH1H2HnH1H2HnH1
50、H2HnH1H2HnH1H2HnH)(niiiHPiH返回到目录43 4.n次独立试验次独立试验 在实际研究中，我们常会遇到只有两种结果的随机试在实际研究中，我们常会遇到只有两种结果的随机试验。例如，某射手射击一次，不是击中目标，就是没验。例如，某射手射击一次，不是击中目标，就是没击中目标；一个篮球运动员在一次投篮中不是投中就击中目标；一个篮球运动员在一次投篮中不是投中就是投不中。这种只有两种结果的试验称为贝努里试验。是投不中。这种只有两种结果的试验称为贝努里试验。对于另外一些随机现象，可能结果不止两种，例如电对于另外一些随机现象，可能结果不止两种，例如电子管的寿命可以是不小于零的任意数值。但
