1、结构随机振动01教材:1.Stochastic Structural Dynamics In Earthquake Engineering G.D.Manolis P.K.Koliopoulos2.结构随机振动 欧进萍欧进萍 王光远王光远第一章第一章 工程系统中的随机性工程系统中的随机性1.1 随机结构动力学的研究对象随机结构动力学的研究对象我们知道有这样一类载荷我们知道有这样一类载荷:作用在楼房和桥梁上的风载荷作用在楼房和桥梁上的风载荷;作用作用在海洋平台和船舰上的水动力荷载在海洋平台和船舰上的水动力荷载;作用在楼房和坝体上的地震作用在楼房和坝体上的地震荷载荷载.这类荷载的特点是随时间在强度
2、和频率含量有很大的变化这类荷载的特点是随时间在强度和频率含量有很大的变化.对于这类载荷中的一条记录对于这类载荷中的一条记录,它是确定的它是确定的,用在以前的结构动力用在以前的结构动力学的课程中知识我们可以求得数值觧学的课程中知识我们可以求得数值觧.但是这样的一个觧很少有实用价值但是这样的一个觧很少有实用价值,原因是我们用的一条记录原因是我们用的一条记录,那是以前发生的那是以前发生的,将来发生的记录是不会和过去的记录一样的将来发生的记录是不会和过去的记录一样的.这样这样,我们不能知道将来的精确的情况我们不能知道将来的精确的情况,但还要但还要估计一个大估计一个大概可能的结果概可能的结果.这就是随机
3、动力学要解决的问题这就是随机动力学要解决的问题.如果如果结构本身的参数结构本身的参数也存在不确定性也存在不确定性,这更是随机结构动力这更是随机结构动力学要解决的问题学要解决的问题.我们把这类载荷称为随机过程我们把这类载荷称为随机过程,我们知道这类我们知道这类载荷的输入具有载荷的输入具有一定的统计特性一定的统计特性,即均值即均值,方差等等方差等等,我们想知道输出的统我们想知道输出的统计特性计特性.这就是随机结构动力学要研究的对象这就是随机结构动力学要研究的对象,显然它不同于我们显然它不同于我们已经学过的结构动力学课程已经学过的结构动力学课程.这门课程的先修课程为概率论这门课程的先修课程为概率论,
4、随随机过程机过程,和确定性振动理论和确定性振动理论.1.2 问题的分类问题的分类按随机性的来源分按随机性的来源分:一个是一个是激励过程激励过程的随机性的随机性,这是随机振这是随机振动理论主要解决的问题动理论主要解决的问题;一个是一个是振动系统的参数振动系统的参数的随机性的随机性,这是参数随机振动理论这是参数随机振动理论.正问题和反问题正问题和反问题:已知输入和系统求输出这是正问题已知输入和系统求输出这是正问题,称为响称为响应确定问题应确定问题;已知输入和输出求系统的参数这是反问题已知输入和输出求系统的参数这是反问题,称为称为系统识别问题系统识别问题,我们这门课程不涉及我们这门课程不涉及,有专门
5、课程有专门课程.1.非线性的来源分非线性的来源分:一个是一个是振荡系统的力学参数的非线性振荡系统的力学参数的非线性,对于地震工程来说对于地震工程来说,一般是指一般是指迟滞行为迟滞行为,这样的系统常常显这样的系统常常显示复杂的非线性现象示复杂的非线性现象,例如多吸引子例如多吸引子,跳跃现象跳跃现象,分岔和混沌分岔和混沌;3.(续上续上)另一个非线性来源于另一个非线性来源于力函数机理力函数机理,指指输入输入的非线性的非线性.4.最后最后,另一个分类准则是基于动力问题的力和响应的统计特性另一个分类准则是基于动力问题的力和响应的统计特性,例如高斯分布例如高斯分布,平稳性等等平稳性等等.第二章第二章 随
6、机变量和随机过程随机变量和随机过程2.1 引论引论这一章的目的是介绍概率论的基本概念这一章的目的是介绍概率论的基本概念,随机变量的统计特征随机变量的统计特征和随机过程和随机过程.这些知识和结构动力学知识在一起就可以了解以这些知识和结构动力学知识在一起就可以了解以后的章节的内容后的章节的内容.这一章具体要掌握这一章具体要掌握:1.什么是随机变量和随机向量什么是随机变量和随机向量?怎样描述它们的统计特性怎样描述它们的统计特性?2.作用在随机变量和随机向量的算子怎样改变它的统计特性作用在随机变量和随机向量的算子怎样改变它的统计特性?3.哪些统计分布通常利用于描述物理现象哪些统计分布通常利用于描述物理
7、现象?4.什么是随机过程什么是随机过程?它与随机变量怎样不同它与随机变量怎样不同?5.平稳的平稳的,非平稳的和各态历经的随机过程的差别是什么非平稳的和各态历经的随机过程的差别是什么?6.从设计者的角度来看从设计者的角度来看,描述结构动力学涉及的随机过程的必要描述结构动力学涉及的随机过程的必要的统计测量是什么的统计测量是什么?2.2 概率论的概念概率论的概念 在自然界或社会活动的许多方面存在着不确定性参数在自然界或社会活动的许多方面存在着不确定性参数.它们都它们都是一些可测的量是一些可测的量(一场地每天最大的温度一场地每天最大的温度,机场乘客数机场乘客数,某种股票某种股票交易指数交易指数,一指定
8、场地期望出现的下一次严重地震的震级一指定场地期望出现的下一次严重地震的震级)和不和不可测的量可测的量(下一次选举的赢者下一次选举的赢者,某一任务的后果某一任务的后果).对于这些不确定对于这些不确定性参数的可能取值性参数的可能取值(或可能后果或可能后果)需要用概率来描述需要用概率来描述.我们把某一不确定性参数说成一个事件我们把某一不确定性参数说成一个事件,这个事件的一个可能这个事件的一个可能后果为后果为 ,所有可能后果组成一个集合所有可能后果组成一个集合 ,把它称为样本空间把它称为样本空间;样本空间的每个元素称为样本点样本空间的每个元素称为样本点.现在我们对某个事件做试验现在我们对某个事件做试验
9、,试验次数是一个大数试验次数是一个大数 ,那么可能的样本点那么可能的样本点 出现的次数为出现的次数为 那么有那么有 jNjjN1njjNN 为样本空间的样本点数为样本空间的样本点数n每一个可能后果出现的相对频率为每一个可能后果出现的相对频率为/NjjRNN很清楚有很清楚有 和和01NjR1111nnNjjjjRNN 概率概率 在相对频率中在相对频率中 趋于无穷大时趋于无穷大时,那么某一后果那么某一后果 出现的出现的概率为概率为NjPrjNjRBernoulli大数定理可以证明上面的式子大数定理可以证明上面的式子,即有即有lim PrPr0NjjNR2.3 随机变量随机变量 定义随机变量定义随机
10、变量 是一个是一个函数函数,是样本空间到实是样本空间到实数域的映射数域的映射.这样就可这样就可以用代数来运算概率以用代数来运算概率.样本空间样本空间实数域实数域Rx映射映射 X Xx我们用大写字母来表示随机变量我们用大写字母来表示随机变量,用相应的小写字母表示它的用相应的小写字母表示它的一个实现一个实现,并且为了简单随机变量并且为了简单随机变量 写成写成 .随机变量分随机变量分为离散的和连续的为离散的和连续的.XX2.3.1 随机变量的概率分布随机变量的概率分布 在概率意义上如何完整描述一个随机变量在概率意义上如何完整描述一个随机变量?它依赖于确定控它依赖于确定控制样本空间中每一样本点实现的相
11、对频率的概率分布制样本空间中每一样本点实现的相对频率的概率分布.对于离散对于离散随机变量的概率分布一般是根据随机变量的概率分布一般是根据概率函数概率函数来表示来表示.而连续随机而连续随机变量是利用变量是利用概率密度函数概率密度函数来表示来表示.这两类随机变量都可以用这两类随机变量都可以用累累积分布积分布来表示来表示.定义累积分布定义累积分布(cumulative distribution).考虑事件考虑事件 ,Xx这个可能事件是对应这个随机变量这个可能事件是对应这个随机变量X的许多值的许多值(或无穷多个值或无穷多个值)成为现实成为现实,并且这个不等式实现的概率包括随机变量并且这个不等式实现的概
12、率包括随机变量X的这些的这些值的每一个实现的概率值的每一个实现的概率.因此我们定义累积分布为因此我们定义累积分布为 Pr,F xXxxR这是这是x的单调增加函数的单调增加函数,具有具有0,1.FF 对于离散随机变量对于离散随机变量,假定实现值假定实现值 ,那么相应的累那么相应的累积分布定义为积分布定义为12,.,nx xx Pr,jjjF xxxx 对于连续随机变量对于连续随机变量,定义累积分布定义累积分布 的导数为的导数为概率密度函数概率密度函数p(x)(the probability density function).即有即有 F x ,1xF xp r drFp r dr 2.3.2
13、随机向量的概率分布随机向量的概率分布 许多物理现象是被许多物理现象是被随机向量随机向量所描述所描述.这个向量是由两个或两这个向量是由两个或两个以上的随机变量所组成个以上的随机变量所组成,这些随机变量在统计意义上可能是这些随机变量在统计意义上可能是互相独立互相独立,也可能是互相不独立也可能是互相不独立.随机向量的统计描述是这些随机变量的随机向量的统计描述是这些随机变量的联合概率分布联合概率分布(the joint probability distribution).假定有两个随机变量假定有两个随机变量12,XXR描述一个随机事件描述一个随机事件.定义定义联合累积概率函数联合累积概率函数 为为12
14、,F x x121122,PrF x xXxXx很清楚很清楚,这个函数要满足下面的边界条件这个函数要满足下面的边界条件:21,0FxF xF ,1F 1122,F xF xFxF x 随机向量随机向量 的的联合概率密度函数联合概率密度函数定义为定义为 的偏导数的偏导数:12,XX12,F x x2121212,p x xF x xx x 因此因此12121212,xxF x xp r r drdr 1212,1Fp r r drdr 边缘一维概率函数边缘一维概率函数(the marginal one-dimensional probability functions)可以从相应的联合概率密度函
15、数导出可以从相应的联合概率密度函数导出,即即112121,xF xdrp r r dr111221,p xF xp r r drx 条件概率条件概率.定义为在已知随机变量定义为在已知随机变量 取一个值取一个值 的条件下的条件下,另一个随机变量另一个随机变量 取一个值取一个值 的概率的概率.条件概率密度函数条件概率密度函数为为 1X1x2X2x12122|,/p xxp x xp x上式要求上式要求 .进一步当进一步当 ,那么那么20p x20p x12,0p x x 如果两个随机变量如果两个随机变量统计独立统计独立,那么那么 1212,p x xp xp x和和121|p xxp x N维概率
16、密度函数维概率密度函数,边缘概率密度函数和条件概率密度函数边缘概率密度函数和条件概率密度函数分分别为别为(mn):121212,.,.,.nnnnp x xxF x xxx xx 12121,.,.,.,.mnmnp x xxp x xxdxdx121121,.,|,.,.,/,.,mmnnmnp x xxxxp x xxp xx2.3.2.1数值例子数值例子.如果两个随机变量如果两个随机变量 的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为,exp 0,p x yxyx y,X Y证明证明 是统计独立的是统计独立的.,X Y因为因为 ,expexpexpp x yxyxyp x p y所以所以 是统
17、计独立的是统计独立的.,X Y2.3.3 统计矩统计矩(Statistical Moment)引言引言 实际上想要确定一个概率函数是很困难的实际上想要确定一个概率函数是很困难的,甚至是不甚至是不可能的可能的,有时也不是绝对需要的有时也不是绝对需要的.例如例如,混凝土的强度的实验估混凝土的强度的实验估计几乎不可能确定支配样本强度值的精确概率法则计几乎不可能确定支配样本强度值的精确概率法则.通常实验通常实验室试验的目的是室试验的目的是估计平均强度值和偏离这个平均强度值估计平均强度值和偏离这个平均强度值的程度的程度.从设计的观点看从设计的观点看,确定某些统计参数确定某些统计参数-所谓所谓统计矩统计矩
18、-是足够的是足够的,因为因为这些参数包含了概率函数形状和性质的重要信这些参数包含了概率函数形状和性质的重要信息息.平均平均(期望期望)值值 mean(expected)value 为了定义统计矩为了定义统计矩,我我们需要介绍随机变量们需要介绍随机变量 或随机变量或随机变量 的函数的函数 的平均的平均(期望期望)值的概念值的概念,它被定义为以下的一个线性操作它被定义为以下的一个线性操作.XXg X1Prnjjjg XE g Xg xx对于离散随机变量对于离散随机变量 :X对于连续随机变量对于连续随机变量 :X g xE g xg x p x dx 如果如果 ,那么函数那么函数 的平均值被称为的平
19、均值被称为n-阶统计矩阶统计矩,记为记为 .最有用的统计矩是最有用的统计矩是一阶矩一阶矩和和二阶矩二阶矩,分别称为分别称为均均值值和和均方值均方值:ng XXg XnX,Xxp x dx 222,Xx p x dx如果如果 ,那么函数那么函数 的平均值被称为的平均值被称为n-阶中心阶中心统计矩统计矩,记为记为 .最有用的中心统计矩是最有用的中心统计矩是二阶中心矩二阶中心矩,被称为被称为方差方差(variance),即即ng XXg X2X2 222XXp x dx方差和它的根方差和它的根 (标准差标准差standard deviation)是测量随机变量是测量随机变量偏离均值的离散程度偏离均值
20、的离散程度.变异系数变异系数(coefficient of variation)定义为定义为:/它是无量纲测量随机变量偏它是无量纲测量随机变量偏离均值的离散程度离均值的离散程度.偏度系数偏度系数(skewness)定义为定义为:33/X0 p x12这个无量纲系数提供概率这个无量纲系数提供概率密度函数形状的对称性信密度函数形状的对称性信息息.概率密度函数概率密度函数 是是对称于平均值对称于平均值.概概率密度函数集中在左边率密度函数集中在左边,而而 概率密度函数概率密度函数集中在右边集中在右边.00010.5200.63 峰度系数峰度系数(kurtosis)定义为定义为:44/X这个系数提供随机
21、变量的概率密度函数离开均值接近于零的速这个系数提供随机变量的概率密度函数离开均值接近于零的速率率.值大表明分布的值大表明分布的尾部厚度增加尾部厚度增加,这样在离平均值一定这样在离平均值一定距离的距离的极值极值实现的概率比较高实现的概率比较高.01035值得注意值得注意,了解了解 对于一个随机变量的统计特性往往对于一个随机变量的统计特性往往是足够的是足够的,并不要求概率密度函数的完整的描述并不要求概率密度函数的完整的描述.,把上面的关系推广到把上面的关系推广到 个随机变量的情况个随机变量的情况,函数函数 的平均值定义为的平均值定义为12,.,ng XXXn 12121212,.,.,.,.,.n
22、nnng XXXg x xxp x xxdx dxdx 假定有两个随机变量假定有两个随机变量 和和 的均值分别为的均值分别为 和和 ,那么定那么定义两个随机变量的义两个随机变量的相关相关(corelation)和和协方差协方差(covarince)jXkXjkjkRjkKjkjkjkjkjkRX Xx x p x x dx dx jkjjkkjkjkKXXR 定义两个随机变量的无量纲的定义两个随机变量的无量纲的相关系数相关系数jkjkjkK 可以证明可以证明11jk 如果两个随机变量的均值为零如果两个随机变量的均值为零,那么那么jkjkRK 如果如果 ,那么两个随机变量那么两个随机变量 的被称
23、为的被称为不相关不相关.0jkK 如果如果 那么两个随机变量那么两个随机变量 被被称为称为统计独立统计独立,因此有因此有,jkXX,jkjkp x xp xp x,jkXXjkjkX XXX2.3.3.1 数值例子数值例子 求证求证222证明证明:2222222222XXXXX2.3.3.2 数值例子数值例子 求证求证|X YyX 证明证明:|,X Yyxp x y dxxp x y dx p y dyxp x y dxdyxp x y dy dxxp x dxX 2.3.3.3 数值例子数值例子 求证两个随机变量求证两个随机变量 的相关系数的相关系数 的的范围为范围为00,X Y1,1证明证
24、明:假定这两个随机变量假定这两个随机变量 的均值分别为的均值分别为 ,那么我们那么我们定义两个新随机变量定义两个新随机变量00,X Y,xy00,xyXXYY 对于任何实数对于任何实数 ,两个随机变量取任意值两个随机变量取任意值,不等式不等式 都成立都成立.因此有因此有20XY2222020XYXXYY 要使上面的右边的不等式要使上面的右边的不等式,即关于即关于 的一元二次方程的不等式的一元二次方程的不等式,成立成立,那么它的判别式一定要小于等于零那么它的判别式一定要小于等于零.即有即有22224011XYXY我们来进一步证明上面推理成立我们来进一步证明上面推理成立,上面左式得到上面左式得到2
25、2224XYXY2221XYXY2211XYXY 00220011xyxyXYXY 0 00011x yxyK 即得到上面右式即得到上面右式11 2.3.4 特征函数特征函数 特征函数特征函数定义为定义为 i xi xMeep x dx特征函数或矩生成函数可以用来确定统计矩的另外一种方法特征函数或矩生成函数可以用来确定统计矩的另外一种方法.对特征函数做泰勒级数在对特征函数做泰勒级数在 处的展开处的展开:0 010|!nnnnd MMMnd 10!nnniMx p x dxn 11!nnniMXn 01|nnnnd MXid其中其中:所以所以,对特征函数的对数也做泰勒级数在对特征函数的对数也做泰
26、勒级数在 处的展开处的展开:0 10lnln0ln!nnnndMMMnd 1ln!nnniMn 01lnnnnndMid所以所以:其中其中:系数系数 被称为被称为半不变量或累积量半不变量或累积量(semi-invariants),它与统计矩它与统计矩有关有关,即即n221234434,3XXXX 无量纲系数无量纲系数 可以用半不变量来表示可以用半不变量来表示:,2343/22122,3 上面的关系也可以推广到上面的关系也可以推广到n个变量的情况个变量的情况.这里给出前三个这里给出前三个联合半不变量联合半不变量,定义如下定义如下:12jjXjjkjXjkXkXXX XXX 3jkmjXjkXkm
27、XmX X XXXX 2.3.5 车比雪夫不等式车比雪夫不等式(Chebyshevs Inequality)引入车比雪夫不等式的目的引入车比雪夫不等式的目的.在结构分析和设计中在结构分析和设计中,目的是目的是估估计应力或应变响应超过某一极限的概率计应力或应变响应超过某一极限的概率.为了完成这个为了完成这个目的目的,我们需要确定感兴趣的随机响应量的分布我们需要确定感兴趣的随机响应量的分布.如果这样的确如果这样的确定不能达到定不能达到,人们就要利用近似技术来计算它们超过某一极限人们就要利用近似技术来计算它们超过某一极限的概率的概率.这个技术是基于车比雪夫不等式并考虑均值这个技术是基于车比雪夫不等式
28、并考虑均值 和标准和标准 差差 .车比雪夫不等式车比雪夫不等式为为2Pr1/,0Xnnn来证明这个不等式来证明这个不等式:(a)根据定义有根据定义有 PrnnXnp x dxp x dx(b)另外有另外有 2222 nnxp x dxxp x dxxp x dx(c)考虑到积分极限有考虑到积分极限有222xn 222nnnp x dxp x dx所以所以:比较比较(a)和和(c)车比雪夫不等式得到证明车比雪夫不等式得到证明.结构随机振动022.4 随机变量的变换随机变量的变换 问题的提出问题的提出 感兴趣的工程中的许多量是随机变量感兴趣的工程中的许多量是随机变量 的线的线性或非线性的变换性或非
29、线性的变换 .假定假定 定义为定义为 的的一一对应一一对应.的任一值是一个随机事件的任一值是一个随机事件,因为它联系随机变量因为它联系随机变量 的一个指定值的实现的一个指定值的实现.问题是问题是:已知已知 的累积分布的累积分布 和概率和概率密度函数密度函数 ,随机变量随机变量 的累积分布的累积分布 和概率密度函和概率密度函数数 是什么是什么?条件是随机变量条件是随机变量 是连续的是连续的,函数函数 是单调增加是单调增加(或减少或减少)的的,并且可微的并且可微的,我们得到我们得到XX F x p xY G y g yXfXYfXXYYYfXX 11dfydxg yp xp fydydy 证明上式
30、证明上式(a)假定假定 是增函数是增函数,那么那么YfX 11Pr PrPrG yYyfXyXfyFfyF x对上式求导数得到概率密度函数对上式求导数得到概率密度函数:11dG ydF xdF xdfydxdxg yp xpfydydydxdydydy(b)如果如果 是递减的是递减的,那么那么YfX 111PrPrPr 1 Pr11G yYyf XyXfyXfyFfyF x 对上式求导得到概率密度函数对上式求导得到概率密度函数:11 =dG ydF xdF x dxg ydydydxdydfydxp xp fydydy (a)和和(b)考虑在一起就考虑在一起就证明了上面的问题证明了上面的问题:
31、11dfydxg yp xp fydydy 如果如果 不是一一对应不是一一对应 假定随机变量假定随机变量 的的 个值个值 满足方程满足方程 ,那么这个变换关系为那么这个变换关系为 YfXYfXXm12,.,mx xx 1mjjjdxg yp xdy例题例题2.4.1 如果随机变量如果随机变量 有零均值概率密度函数有零均值概率密度函数 ,我们我们来确定随机变量来确定随机变量 的概率密度函数的概率密度函数.X p x2YX我们知道随机变量我们知道随机变量 的每一值的每一值 对应随机变量对应随机变量 的两个值的两个值YXyXy那么有那么有 dydyg yp xyp xydydy 考虑对称性考虑对称性
32、 上式变为上式变为 p xpx p xyg yy 一个随机向量一个随机向量 的一一对应的的一一对应的n-维变量的映射维变量的映射 :那么概率密度函数变换为那么概率密度函数变换为Xf Y=f x ngpJYX其中其中 是雅克比是雅克比(Jacobian)变换变换1212,.,det,.,nnnx xxJy yynJ 如果如果 是是 维维,并且并且 ,这种情况可以把这种情况可以把 扩充为扩充为 维维,方法如下方法如下:Ymm nYn1111,.,.,.,.,mmnmmnmg yyxxp xxxxJ利用边缘概率密度函数的概念有利用边缘概率密度函数的概念有1111,.,.,.,.,.mmmnmmng
33、yyp xxxxJdxdx如果如果 我们有我们有 ,那么有那么有1,2mn12,YfXX 1122,xg yp x xdxy2.5 一些有用的概率分布一些有用的概率分布2.5.1 正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)Normal(or Gaussian)Distribution 随机变量随机变量 的正态分布标记为的正态分布标记为 ,概率密度函数为概率密度函数为,N X 211exp22xp xx 正态分布是关于平均值正态分布是关于平均值 对称的对称的,并且并且 .另外另外半不变量半不变量 .标准状态分布为标准状态分布为0,30 (2)jj0,1N 211exp,22p sss 正态随机变量
34、有些很有用的性质正态随机变量有些很有用的性质.在工程应用中最重要有在工程应用中最重要有:如果如果 是正态随机变量是正态随机变量 的线性变换的线性变换,那么那么 也是正态分布也是正态分布的随机变量的随机变量.如果如果 ,那么那么 .也就是高阶统计矩都可以用也就是高阶统计矩都可以用 和和 来表示来表示.如果如果 是统计独立的随机变量是统计独立的随机变量,并且有有限均值和并且有有限均值和标准差标准差,那么随机变量那么随机变量 当当 时它时它的分布趋于正态分布的分布趋于正态分布.这个性质就是这个性质就是中心极限定理中心极限定理.任何具有均值任何具有均值 方差方差 的非正态随机变量的概率密度函数的非正态
35、随机变量的概率密度函数可以近似用标准正态分布可以近似用标准正态分布 ,高阶半不变量高阶半不变量 和和Hermite多项式多项式 来表示来表示.令令 ,这个非正这个非正态随机变量的概率密度函数表示为态随机变量的概率密度函数表示为YYX:,X N 1221nnnXXnX 12,.,nXXX12.nYXXXn 0,1N3,4,5,.jj.jH/sX 2343411exp1.23!4!2p ssHsHs其中其中 343343,1015Hsss Hsss n-维正态分布随机向量维正态分布随机向量 的概率密度函数为的概率密度函数为 1/21/211exp22TnpXXKXK12,.,TnXXXX其中其中:
36、12,.,Tn TK=称为称为协方差矩阵协方差矩阵 正态随机向量正态随机向量 的一个极其有用的性质是的一个极其有用的性质是:Tff X XXXX12,.,TnXXXX其中其中12/,/,.,/TnXXX 例题例题2.5.1.1 如果随机变量如果随机变量 ,相关系数为相关系数为 求证求证12:0,1,:0,1XNXN322212123,1 2.X XX X 我们取我们取 21212,TX XfX XXX有有 32121211222221221222X XX XXX XfXX XX XXX X21231112证毕证毕.2.5.2 瑞利瑞利,韦布尔韦布尔,泊松泊松,平均分布平均分布 瑞利瑞利(Ray
37、leigh)分布分布:222exp/2 00 0 xxaxp xax在研究随机振动的在研究随机振动的振幅值振幅值,以及在噪以及在噪声理论中很有用声理论中很有用.韦布尔韦布尔(Weibull)分布分布:1exp 0,0 0 0bbabxaxxa bp xx许多产品的寿命许多产品的寿命(如轴承的疲劳寿如轴承的疲劳寿命命)服从这个分布服从这个分布.泊松泊松(Poisson)分布分布,它是离散型随机变量的一种重要分布它是离散型随机变量的一种重要分布,它的概率分布为它的概率分布为:Pr 0,1,2,.!maaXmemm其中其中 .泊松分布的均值和方差都等于泊松分布的均值和方差都等于 .0a a 平均分布
38、平均分布(uniform distribution):1 0 axbp xbaxa or xb一般随机初相角被认一般随机初相角被认为是在为是在 区间区间内是平均分布的内是平均分布的.0.2)课堂练习课堂练习:1.如果如果 和和 是两个统计独立的是两个统计独立的,概率分布分别为概率分布分别为 的随机变量的随机变量,确定随机变量确定随机变量 的概率密度函数的概率密度函数.1X2X 1122,pxpx12YXX2.确定随机变量确定随机变量 的概率密度函数的概率密度函数,假定假定2YX:0,1.X N3.如果两个随机变量如果两个随机变量 和和 都服从标准正态分布都服从标准正态分布N(0,1),相关相关
39、系数为系数为 ,求求 .可以利用例题可以利用例题2.5.1.1的结果的结果.XY42X Y2.6 随机过程随机过程(Stochastic Process)什么是随机过程什么是随机过程?我们回忆一下随机变量的定义我们回忆一下随机变量的定义.它是概率空它是概率空间到实数域的一个映射间到实数域的一个映射,即即 ,简写为简写为 .如果概率如果概率空间的每一元素被映射为与时间有关的一条随机变化的记录空间的每一元素被映射为与时间有关的一条随机变化的记录,即即 ,简写为简写为 ,这被称为随机过程这被称为随机过程.这实际上这实际上随机过程是这些随时间变化的记录的集合随机过程是这些随时间变化的记录的集合.那么那
40、么如何描述一个随机过程如何描述一个随机过程?每给一个时刻每给一个时刻 ,那么每一条记那么每一条记录在这一时刻对应的值录在这一时刻对应的值,构成一个随机变量构成一个随机变量 .如果在如果在 个个时刻时刻 ,那么有那么有 个这样的随机变量个这样的随机变量 即即 ,简写为简写为 XxX,Xtx t X tit iX t12,.,nt ttnn 12,.,nX tX tX t所以随机过程也可以定义为一组随机变量的集合所以随机过程也可以定义为一组随机变量的集合.就可以用描就可以用描述随机向量的方法来描述这个随机过程述随机向量的方法来描述这个随机过程.完整地描述一个随机完整地描述一个随机过程需要确定过程需
41、要确定 阶的联合概率密度函数阶的联合概率密度函数.即即12,.,.nXXXn;,;,;iijijkp xp x xijp x xxijk(,.1,2,.,)i j kn12,.,np x xx2.7 非平稳非平稳,平稳和各态历经随机过程平稳和各态历经随机过程这一节来处理随机过程的两个基本性质这一节来处理随机过程的两个基本性质.第一是关于指定时第一是关于指定时刻刻 的随机变量的随机变量 的统计特性的依赖性的统计特性的依赖性;第二是关于前面通过集合分析得到的统计特性是否可以通过第二是关于前面通过集合分析得到的统计特性是否可以通过对每一条记录的统计特性分析来代替对每一条记录的统计特性分析来代替.非平
42、稳和平稳非平稳和平稳(Non-stationary and stationary)随机过程随机过程12,.,nt tt12,.,nXXX如果指定时刻有一个延迟如果指定时刻有一个延迟 时间时间,下面的关系成立下面的关系成立,那么那么这个随机过程就是平稳随机过程这个随机过程就是平稳随机过程.11p x tp x t 1212,p x tx tp x tx t 1212,.,.,nnp x tx tx tp x tx tx t不满足这个关系就是非平稳随机过程不满足这个关系就是非平稳随机过程.强地面运动就是属于强地面运动就是属于非平稳随机过程非平稳随机过程.各态历经随机过程各态历经随机过程(Ergod
43、ic Stochastic Processes)平稳随机过程依赖于时间的统计特性是通过样本空间的不同平稳随机过程依赖于时间的统计特性是通过样本空间的不同实现的实现的“竖向竖向”分析得到的分析得到的,如果它们和任意一条记录如果它们和任意一条记录(实现实现)的的“横向横向”分析的统计特性一致分析的统计特性一致,那么这个平稳随机过程被称那么这个平稳随机过程被称为各态历经的随机过程为各态历经的随机过程.平稳和各态历经随机过程的关系平稳和各态历经随机过程的关系.一个各态历经的随机过程一个各态历经的随机过程一定是平稳的一定是平稳的;而平稳的随机过程不一定是各态历经的而平稳的随机过程不一定是各态历经的.弱平
44、稳和弱各态历经弱平稳和弱各态历经上面的随机过程的数学分类是很严格的上面的随机过程的数学分类是很严格的.要求要求 阶的联合概阶的联合概率密度函数是很少能做到率密度函数是很少能做到.一般就要放松这个定义一般就要放松这个定义,只需平均只需平均值和相关函数保持平稳就可以值和相关函数保持平稳就可以.这样就有所谓弱平稳随机过这样就有所谓弱平稳随机过程程,也称为广义平稳随机过程也称为广义平稳随机过程.如果如果n /2/21limTTTX tx t dtT /2/21limTTTX t X tx t x tdtT那么这个弱平那么这个弱平稳随机过程是稳随机过程是弱各态历经的弱各态历经的.2.7.1 数值例子数值
45、例子证明随机过程证明随机过程 是平稳和各态历经的随机是平稳和各态历经的随机过程过程.其中其中 是正常数是正常数,而而 在区间在区间 中均匀分布中均匀分布.cosX tat,a0,2(a)垂直垂直分析分析:20coscos0X tatatpd 2221201 coscoscos22XXRX t X taaatatd(b)横向横向分析分析:1cos sinlimcoslim02TTTTaTX tatdtTT 221 limcoscos()cos22XXTTTRX t X tattdtaT证毕证毕.2.8 平稳平稳-各态历经随机过程的统计描述各态历经随机过程的统计描述 各态历经过程是被假定的各态历经
46、过程是被假定的,没有经过数学证明没有经过数学证明.在各态历经的在各态历经的假定下假定下,一条记录分析得到的统计特性可以被认为是整个随机一条记录分析得到的统计特性可以被认为是整个随机过程的特性过程的特性.让我们假定一个各态历经随机过程让我们假定一个各态历经随机过程 有一条足够长的总有一条足够长的总持时为持时为 秒记录秒记录 .一个随机过程一个随机过程 的第一水准分析包括均值的第一水准分析包括均值,方差方差,和变异和变异,偏偏度和峰度等无量纲系数度和峰度等无量纲系数.这些统计特性的计算足够近似估计随这些统计特性的计算足够近似估计随机过程机过程 包括一阶统计描述的分布包括一阶统计描述的分布.很自然很
47、自然,第一水准统计描述是有限的第一水准统计描述是有限的,并且是不够的并且是不够的.它没有关它没有关于这个随机过程的相邻值的相关和依赖程度的信息于这个随机过程的相邻值的相关和依赖程度的信息.两个具有两个具有相同一阶统计特性的随机过程可以显示不同的形状相同一阶统计特性的随机过程可以显示不同的形状(如图如图2-7).这这个差别不是局限于时域变化个差别不是局限于时域变化,它是反映这两个记录的频率含量它是反映这两个记录的频率含量.前者有比较宽的频率含量前者有比较宽的频率含量,后者有比较窄的频率含量后者有比较窄的频率含量.X tT x t X t X t 上面的例子说明需要了解关于随机过程的时间进程和频率
48、含上面的例子说明需要了解关于随机过程的时间进程和频率含量量.也就是需要引入统计分析的二阶或高阶项也就是需要引入统计分析的二阶或高阶项.2.8.1 自相关函数自相关函数(Autocorrelation Function)一个平稳一个平稳/各态历经的随机过程各态历经的随机过程 的时间进程的一个非常的时间进程的一个非常有用的统计特性被表示为自相关函数有用的统计特性被表示为自相关函数 ,它揭它揭示了随机过程的不同的两个时刻示了随机过程的不同的两个时刻 的值的值 的相的相关程度关程度.是时间延迟是时间延迟 .自相关函数定义为自相关函数定义为:X t 12,xxxxRt tR12,t t 12,X tX
49、t21tt 1212120,1 limxxTtRX t X tx x p x xdx dxx t x tdtT 自协方差函数自协方差函数(Cross-correlation Function)定义为定义为:2xxxxKX tX tR 自相关函数的性质自相关函数的性质 2200,/0,limxxxxxxxxxxxxRRXtRRdRdR 互相关函数互相关函数,互协方差函数与其性质互协方差函数与其性质1.互相关函数互相关函数:XYYXRX t Y tRY t X t2.互协方差函数互协方差函数 XYXYKX tY t YXYXKY tX t3.主要特性主要特性 XYYXRR 00XYXYYXRRR
50、1002XYXYYXRRRa)不是偶函数不是偶函数,但有但有b)极大值不在极大值不在 处处,但有但有02.8.2 功率谱密度函数功率谱密度函数(Power Spectrum Density Function)随机过程的二阶统计信息是在时间域中求得的随机过程的二阶统计信息是在时间域中求得的,在频率域中也在频率域中也有相应的表示有相应的表示,即功率谱密度函数即功率谱密度函数.对于对于 平稳随机过程的功率谱平稳随机过程的功率谱密度函数它是和这个平稳随机过程的相关函数形成密度函数它是和这个平稳随机过程的相关函数形成Fourier变换变换对对.12iixxxxxxxxSRedRSed 功率谱密度函数是偶
