1、第二章第二章 电磁场基本方程电磁场基本方程 Electromagnetic field equations2.0 电磁场的源电磁场的源 2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量 2.2 法拉弟电磁感应定律和全电流定律法拉弟电磁感应定律和全电流定律 2.3 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量 2.6 唯一性定理唯一性定理 一、电荷与电荷密度一、电荷与电荷密度 Charge and charge density1 1、体电荷密度、体电荷密度v体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成
2、的电荷体。体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体。v体电荷密度体电荷密度 的定义：的定义：()r0()limVqdqrVdV在电荷空间在电荷空间V V内，任取体积元内，任取体积元 ，其中电荷量为，其中电荷量为Vq()Vqr dV2.0 电磁场的源量电磁场的源量 Source of Electromagnetic field 电荷和电流是产生电磁场的源电荷和电流是产生电磁场的源2 2、面电荷密度、面电荷密度v面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷。面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷。v体电荷密度体电荷密度 的定义：的定义：()sr0()limsSqdqrSdS
3、在面电荷上，任取面积元在面电荷上，任取面积元 ，其中电荷量为，其中电荷量为Sq()sSqr ds3 3、线电荷密度、线电荷密度v线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷。线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷。v线电荷密度线电荷密度 的定义：的定义：()lr0()limllqdqrldl 在线电荷上，任取线元在线电荷上，任取线元 ，其中电荷量为，其中电荷量为lq()llqr dl4 4、点电荷、点电荷000()lim0VrqrrVv点电荷：当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷：当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点电荷可看作是电量点电荷。点电荷可看作
4、是电量q q无限集中于一个几何点上。无限集中于一个几何点上。v运动的电荷形成电流。电流大小用电流强度运动的电荷形成电流。电流大小用电流强度I I描述。描述。0()limtqdqI ttdt v电流强度电流强度I I的定义：的定义：设在设在 时间内通过某曲面时间内通过某曲面S S的电量为的电量为 ，则定义通，则定义通过曲面过曲面S S的电流为：的电流为：qtv电流强度的物理意义：单位时间内流过曲面电流强度的物理意义：单位时间内流过曲面S S的电荷量。的电荷量。v恒定电流：电流大小恒定不变。即：恒定电流：电流大小恒定不变。即：()I tconst二、电流与电流密度二、电流与电流密度 Electro
5、nic current(density)v引入电流密度矢量引入电流密度矢量 描述空间电流分布状态。描述空间电流分布状态。J1 1、体电流密度、体电流密度 Volume Electronic current density v体电流：电荷在一定体积空间内流动所形成的电流体电流：电荷在一定体积空间内流动所形成的电流v体电流密度体电流密度 定义：定义：J Sje设正电荷沿设正电荷沿 方向流动，则在垂直方向流动，则在垂直 方向上取一面元方向上取一面元 ，若在，若在 时时间内穿过面元的电荷量为间内穿过面元的电荷量为 ，则：，则：jejeStq000limlimsstqIJtSS Jv为空间中电荷体密度，
6、为空间中电荷体密度，为正电荷流动速度。为正电荷流动速度。vqVSt v 2)2)()SIJ r ds()SJ rnds()J rnS()cosSJ rds2 2、面电流密度、面电流密度 Surface Electronic current density v当电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流当电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。v面电流密度面电流密度 定义：定义：sJ I lJS 电流在曲面电流在曲面S S上流动，在垂直于上流动，在垂直于电流方向取一线元电流方向取一线元 ，若通过，若通过线元的电流为线元的电流为 ，则定义，则定义lI0limslIdIJldl 1 1）的方
7、向为电流方向（即正电荷运动方向）的方向为电流方向（即正电荷运动方向）sJ讨论：讨论：2 2）若表面上电荷密度为）若表面上电荷密度为 ，且电荷沿某方向以速，且电荷沿某方向以速度度 运动，则可推得此时面电流密度为：运动，则可推得此时面电流密度为：svssJv注意：注意：体电流与面电流是两个独立概念，并非有体体电流与面电流是两个独立概念，并非有体电流就有面电流。电流就有面电流。3 3、线电流与电流元、线电流与电流元v电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。v电流元电流元 ：长度为无限小的线电流元。：长度为无限小的线电流元。Idl3 3）穿过任意曲线
8、的电流：）穿过任意曲线的电流：SlSlInd lJJnd l IsJnl证明2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量基本场矢量：基本场矢量：电场强度电场强度E电通量密度（电位移矢量）电通量密度（电位移矢量）D磁通量密度磁通量密度(磁感应强度磁感应强度)B磁场强度磁场强度H基本定律：基本定律：库仑定律库仑定律 高斯定理高斯定理毕奥毕奥-萨伐定律萨伐定律安培环路定律安培环路定律v静电场：静电场：恒定不变的电场，由静止电荷产生。即：恒定不变的电场，由静止电荷产生。即：v恒定电磁、场：恒定电磁、场：恒定电流所产生的电场和磁场。恒定电流所产生的电场和磁场。静态电磁场：静电
9、场、恒定电场、恒定磁场静态电磁场：静电场、恒定电场、恒定磁场图图 2-1 两点电荷间的作用力两点电荷间的作用力 库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律。库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律。一、库仑定律库仑定律 Coulombs Law 2.1.1 库仑定律和电场强度库仑定律和电场强度Coulombs Law and Electronic field indensity122q qFrKr式中式中,K是比例常数是比例常数,r是两点电荷间的距离是两点电荷间的距离,是从是从q1指向指向q2的单位的单位矢量。若矢量。若q1和和q2同号同号,该力是斥力该力是斥力,异号时为吸力。异
10、号时为吸力。在国际单位制中在国际单位制中,库仑定律表达为库仑定律表达为 r 1220()4q qFrNr式中式中,q1和和q2的单位是库仑的单位是库仑(C),r的单位是米的单位是米(m),0是真空的介电是真空的介电常数常数:mF/1036110854.89120说明说明：v2 2、库仑定律是在无限大的均匀、线性、各向同性介质中、库仑定律是在无限大的均匀、线性、各向同性介质中总结出的实验定律。总结出的实验定律。v1 1、静止点电荷之间的相互作用力称为静电力。两个点、静止点电荷之间的相互作用力称为静电力。两个点电荷之间静电力的大小与两个电荷的电量成正比、与电荷电荷之间静电力的大小与两个电荷的电量成
11、正比、与电荷之间距离的平方成反比，方向在两个电荷的连线上。之间距离的平方成反比，方向在两个电荷的连线上。v3 3、静电力遵从叠加原理，当有多个点电荷存在时，其中、静电力遵从叠加原理，当有多个点电荷存在时，其中任一个点电荷受到的静电力是其他各点电荷对其作用力的任一个点电荷受到的静电力是其他各点电荷对其作用力的矢量叠加矢量叠加 v4 4、对于连续分布的电荷系统（如体电荷、面电荷和、对于连续分布的电荷系统（如体电荷、面电荷和线电荷），静电力的求解不能简单地使用库仑定律，必线电荷），静电力的求解不能简单地使用库仑定律，必须进行矢量积分须进行矢量积分 v5)由库仑定律知由库仑定律知,在离点电荷在离点电荷
12、q距离为距离为r处的电场强度为处的电场强度为 204qErr二、电场强度二、电场强度单位正电荷在电场中所受的作用力称为该点的电场强单位正电荷在电场中所受的作用力称为该点的电场强度度，以以E E 表示表示。0limqqFE式中式中q 为试验电荷的电量，为试验电荷的电量，F F 为电荷为电荷q 受到的作用力。受到的作用力。说明：说明：v1 1）对）对q q取极限是避免引入试验电荷影响原电场；取极限是避免引入试验电荷影响原电场；v2 2）电场强度的方向与电场力的方向一致；）电场强度的方向与电场力的方向一致；v3 3）电场强度的大小与试验电荷）电场强度的大小与试验电荷q q的电量无关。的电量无关。v4
13、)4)电场的单位：牛顿电场的单位：牛顿/库仑库仑(N/C)(N/C)定义定义：2(/)DE C m24qDrr 是媒质的介电常数是媒质的介电常数,在真空中在真空中 0 0。这样这样,对真空对真空中的点电荷中的点电荷q,0r 除电场强度除电场强度E外外,描述电场的另一个基本量是电通量密度描述电场的另一个基本量是电通量密度D,又又称为电位移矢量。称为电位移矢量。在简单媒质中在简单媒质中,电通量密度由下式定义电通量密度由下式定义:一、电通量密度：一、电通量密度：Electronic flux电通量电通量:电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通
14、过该曲面的电通量二、高斯定理二、高斯定理2.1.2 高斯定理高斯定理,电通量密度电通量密度Gausss Law,Electronic fluxGausss Law 2244SqD dsrqrq此通量仅取决于点电荷量此通量仅取决于点电荷量q,而与所取球面的半径无关。而与所取球面的半径无关。q如果在封闭面内的电荷不止一个如果在封闭面内的电荷不止一个,则利用叠加原理知则利用叠加原理知,穿穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量 SD dsQ即穿过任一封闭面的电通量即穿过任一封闭面的电通量,等于此面所包围的自由电荷总电量等于此面所包围的自由电荷总电量取积分
15、曲面为半径为取积分曲面为半径为r的球面，电通量为的球面，电通量为：高斯定理：高斯定理：说明：说明：若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度v分布的分布的,则所包则所包围的总电量为围的总电量为 dvQVvvVVDdvdv上式对不同的上式对不同的V都应成立都应成立,因此两边被积函数必定相等因此两边被积函数必定相等,于是有于是有 vD高斯定理的微分形式高斯定理的微分形式三、利用高斯定理求解静电场三、利用高斯定理求解静电场v关键：高斯面的选择。关键：高斯面的选择。v高斯面的选择原则：高斯面的选择原则：v用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分用高斯定理求解电场
16、的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。布的电荷系统。1 1）场点位于高斯面上；）场点位于高斯面上；2 2）高斯面为闭合面；）高斯面为闭合面；3 3）在整个或分段高斯面上，）在整个或分段高斯面上，或或 为恒定值。为恒定值。EE dS求真空中半径为求真空中半径为a a，带电量为，带电量为Q Q的导体球在球外空间中产生的导体球在球外空间中产生E E。分析：分析：v电场方向沿半径方向：电场方向沿半径方向：v电场大小只与场点距离球心的距离相关。电场大小只与场点距离球心的距离相关。解：解：在球面上取面元在球面上取面元dsds，该面元在，该面元在P P点点处产生的电场径向分量为：处产生的电场径向分量为：
17、201cos4srdsdERsindsadad 式中：式中：coscosraR222sin(cos)Rara24sQa例题一例题一230cossin4srradEad dR 223000230020cossin4cossin24rrsssEdEaraddRaradRQr 说明：说明：与位于球心的点电荷与位于球心的点电荷Q Q在空间中产生的电场等效。在空间中产生的电场等效。已知真空中电荷分布函数为：已知真空中电荷分布函数为：200rarra式中式中r为球坐标系中的半径求空间各点的电场强度。为球坐标系中的半径求空间各点的电场强度。解：解：0ra由高斯定理由高斯定理()SD r dSQ 200()4
18、SVE r dSQrEr dV 2245000sin4sin5VVrr dVr rd d drddr drr ra 545Vr dVa5205raEer305rrEe例例2.1.3 毕奥毕奥-萨伐定律萨伐定律,磁通量密度磁通量密度The Biot-Savart Law,Magnetic flux density 运动电荷在磁场中受到的作用力的特点：运动电荷在磁场中受到的作用力的特点：与电荷量及运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方与电荷量及运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方向有关。向有关。电荷沿某一方向运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力电荷沿某一方向运动时受力最大，而垂直此方向
19、运动时受力为零。受力为零的方向为零线方向为零。受力为零的方向为零线方向如果最大作用力为如果最大作用力为 Fm，则实验发现沿偏离零线方向，则实验发现沿偏离零线方向 角度角度运动时，受力为运动时，受力为Fmsinv磁场的重要特性：磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷（电流）产生会对处于其中的运动电荷（电流）产生力的作用，称为磁场力。力的作用，称为磁场力。v磁感应强度矢量磁感应强度矢量 :描述空间磁场分布。描述空间磁场分布。B一、磁感应强度一、磁感应强度 Magnetic flux density mFqvB在磁场在磁场 空间中，以速度空间中，以速度 运动的电荷运动的电荷q0 0所受的作用力为所受
20、的作用力为vB0max00limmqFBq v说明：说明：称为称为磁感应强度或磁通密度磁感应强度或磁通密度，单位为，单位为T T（特斯拉）。（特斯拉）。Bmaxmax(/)()mmFFq dtv dtI dl其方向与电荷受磁场力为零时的运动方向相同。其方向与电荷受磁场力为零时的运动方向相同。mFIlB两个载流回路间的作用力两个载流回路间的作用力 真空中，两电流回路真空中，两电流回路C C1 1,C,C2 2，载流分别为载流分别为I I1 1,I,I2 2，则：，则：r是是电流元电流元I dl至至Idl的距离的距离,是由是由dl指向指向dl的单位矢量的单位矢量,0是真空的磁导率是真空的磁导率:r
21、 二、毕奥二、毕奥-萨伐定律萨伐定律The Biot-Savart Law两个电流回路之间的作两个电流回路之间的作用力为：用力为：q安培力定律安培力定律:Amperes force law03()4llIdlI dlrFr mH/10470 电流元电流元 在磁场在磁场 中受到的磁场力为：中受到的磁场力为：BIdlmdFIdlB若若 由电流元由电流元 产生，则由安培力定律产生，则由安培力定律B00I dl0003()4mIdlI dlrdFIdlBr可知，电流元可知，电流元 产生的磁感应强度为：产生的磁感应强度为：00I dl0003()4I dlrdBr毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律说明：说明：
22、、三者满足右手螺旋关系。三者满足右手螺旋关系。dlrB二、电流元产生的磁场的磁场强度二、电流元产生的磁场的磁场强度1 1、体电流、体电流03()()4VVJ r dVrB rdBr三、体电流与面电流产生的磁感应强度三、体电流与面电流产生的磁感应强度2 2、面电流、面电流03()()4SSSJr dSrB rdBr3 3、载流为、载流为I I的无限长线电流在空间中产生磁场的无限长线电流在空间中产生磁场0()2IB rer例题一例题一求半径为求半径为a a的电流环在其轴线上产生的磁场。的电流环在其轴线上产生的磁场。ddlxyzaR(0,0,)Pz分析：在轴线上，磁场方向沿分析：在轴线上，磁场方向沿
23、z z向向。电流分布呈轴对称。电流分布呈轴对称。解解：建立如图柱面坐标系。：建立如图柱面坐标系。在电流环上任取电流元在电流环上任取电流元 ，令其坐，令其坐标位置矢量为标位置矢量为 。Idlr034CIdlRBR22022 3/204()rzIaz eaedaz易知：易知：rraeIdlIadezrRrrz ea esincosryxeee22022 3/204()zIaedaz2022 3/22()zI aeaz例例 2.1 参看图参看图2-3,长长2l的直导线上流过电流的直导线上流过电流I。求真空中求真空中P点的点的磁通量密度磁通量密度。图图 2-3 载流直导线载流直导线 解解 采用柱坐标采
24、用柱坐标,电流电流Idz到到P点的距离矢点的距离矢量是量是22 1/2(),()()Rz zzRzzdlRzdzz zzdz解解 采用柱坐标采用柱坐标,电流电流Idz到到P点的距离矢量是点的距离矢量是22 1/2(),()()Rz zzRzzdlRzdzz zzdz03/222022224()4()()llIdzBzzIlzlzzlzl对无限长直导线对无限长直导线,l,有有02IB在简单媒质中在简单媒质中,磁场强度磁场强度H由下式定义由下式定义:(/)BHA m在恒定磁场中，磁场强度矢量沿任意闭合路径的环量等于其与在恒定磁场中，磁场强度矢量沿任意闭合路径的环量等于其与回路交链的电流之和，即：回
25、路交链的电流之和，即：称为媒质磁导率。称为媒质磁导率。0r 70410/H m为真空中的为真空中的lkH dlI磁场强度磁场强度 Magnetic field intensity安培环路定律安培环路定律 Amperes circuital law安培环路定律安培环路定律(积分形式积分形式)2.1.4 安培环路定律、磁场强度安培环路定律、磁场强度()sSHdsJ ds因为因为S面是任意取的面是任意取的,所以必有所以必有 HJ由斯托克斯定理，由斯托克斯定理，J为为电流密度，电流密度，是一个矢量，电流密度的方向为是一个矢量，电流密度的方向为正正电荷的电荷的运动方向，其大小为单位时间内运动方向，其大小
26、为单位时间内垂直垂直穿过单位面积的电穿过单位面积的电荷量。荷量。安培环路定律安培环路定律(微分形式微分形式)ddI JS dSI JS在静电场中在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零沿任何闭合路径的线积分恒为零:0lE dl利用斯托克斯定理得利用斯托克斯定理得 0ES由于电场强度的旋度为由于电场强度的旋度为0，可引入电位函数，可引入电位函数，使，使 E 物理意义：物理意义：静态电场是无旋场即保守场静态电场是无旋场即保守场在静态电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力在静态电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零做功为零静电场为保守场。（电力线不构成闭合回路）静电场为保守场
27、。（电力线不构成闭合回路）一、电场强度的旋度一、电场强度的旋度2.1.5 两个补充的基本方程两个补充的基本方程0SB ds0B二、磁场强度的散度：二、磁场强度的散度：在恒定磁场中，磁感应强度矢量穿过任意闭合面的磁通在恒定磁场中，磁感应强度矢量穿过任意闭合面的磁通量为量为0，即：，即：散度定理散度定理磁通连续性定律（积分形式）磁通连续性定律（积分形式）孤立磁荷不存在孤立磁荷不存在磁力线在空间任意位置是连续的。磁力线在空间任意位置是连续的。孤立磁荷不存在孤立磁荷不存在 (A)0A)0，故，故B B可用一矢量函数的旋度来表示。可用一矢量函数的旋度来表示。结论：结论：2.2.1 法拉第电磁感应定律法拉
28、第电磁感应定律(Faradays Law of Induction)静态场静态场:场大小不随时间发生改变场大小不随时间发生改变(静电场静电场,恒定电、磁场恒定电、磁场)时变场时变场:场的大小随时间发生改变。场的大小随时间发生改变。特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的统一的整特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的统一的整体，称为电磁场。体，称为电磁场。特性：电场和磁场相互独立，互不影响。特性：电场和磁场相互独立，互不影响。一、电磁感应现象与楞次定律一、电磁感应现象与楞次定律q电磁感应现象电磁感应现象实验表明：当穿过导体回路的磁通量发实验表明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中
29、会出现感应电流。生变化时，回路中会出现感应电流。q 楞次定律：楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回路自身回路总是企图以感应电流产生的穿过回路自身的磁通，去的磁通，去反抗反抗引起感应电流的磁通量的改变。引起感应电流的磁通量的改变。2.2 Time-varying Electromagnetic Fields法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律q 法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发生改变法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发生改变时，回路中产生的时，回路中产生的感应电动势感应电动势与回路与回路磁通量的时间变化率磁通量的时间变化率成成正比关系。数学表示
30、：正比关系。数学表示：说明：说明：“-”-”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻止回路磁通量的改变。止回路磁通量的改变。dtdm二、法拉第电磁感应定律二、法拉第电磁感应定律 lE dllSlBE dldsvBdlt 当回路以速度当回路以速度v运动时，运动时，()SSBEdsdst 斯托克斯定理斯托克斯定理BEt 法拉第电磁感应定律微分形式法拉第电磁感应定律微分形式物理意义：物理意义：1 1、某点磁感应强度的时间变化率的负值等于该点时某点磁感应强度的时间变化率的负值等于该点时变电场强度的旋度。变电场强度的旋度。2 2、感应电场是有旋场，其旋涡源为感
31、应电场是有旋场，其旋涡源为 ，即磁场随时间变化的，即磁场随时间变化的地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。dB dt说明：说明：感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时间变化在回路中间变化在回路中“感生感生”的电动势的电动势;第二部分是导体回路第二部分是导体回路以速度以速度v对磁场作相对运动所引起的对磁场作相对运动所引起的“动生动生”电动势电动势当回路静止时，当回路静止时，变化的电场变化的电场能产生磁场能产生磁场q电流连续性方程电流连续性方程 S V I dt 时间内，时间内，V V内流出内流出S
32、 S的电荷量为的电荷量为dq电荷守恒定律：电荷守恒定律：时间内，时间内，V V内电荷改内电荷改变量为变量为dtdq由电流强度定义：由电流强度定义：()SdqI dtJ rds dt()sdqJ r dsdt()Vdr dVdt()VVJ dVdVt Jt 0Jt电流连续性方电流连续性方程的微分形式程的微分形式电流连续性方程积分形式电流连续性方程积分形式2.2.2 位移电流和全电流定律位移电流和全电流定律0Jt 在时变情况下在时变情况下 0t另一方面，由另一方面，由 HJ0JH 得到了两个相互矛盾的结果。得到了两个相互矛盾的结果。q 位移电流位移电流 dHJJdJ在在 HJ的右端加一修正项的右端
33、加一修正项则则0dJJdJJtD dDJt是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称为为位移电流密度位移电流密度 dJ:q 全电流定律全电流定律 由积分形式：积分形式：物理意义：物理意义：该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流。上的全电流。ddHJJDJtDHJtdDJJJJt全()CSSDH dlJdS
34、JdSt全推广的安培环推广的安培环路定理路定理全电流定律全电流定律全电流全电流变化的电场变化的电场能产生磁场能产生磁场tcvdJJJJ()0cvdJJJ对任意封闭面对任意封闭面S有有()()0cvdcvdSVJJJdsJJJ dv0dvcIII2.2.3 全电流连续性原理全电流连续性原理 物理意义：物理意义：穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续性穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续性原理。原理。将它应用于只有传导电流的回路中将它应用于只有传导电流的回路中,得知节点处传导电流的代数得知节点处传导电流的代数和为零和为零(流出的电流取正号流出的电流取正号,流入取负号流
35、入取负号)。这就是基尔霍夫。这就是基尔霍夫(G.R.Kirchhoff,德德)电流定律电流定律:I=0。0sin()cos()yxEe Eztk xd例：在例：在z=0和和z=d位置有两个无限大理想位置有两个无限大理想导体板，在极板间存在时变电磁场，其导体板，在极板间存在时变电磁场，其电场强度为电场强度为求求：(1)(1)该时变场相伴的磁场强度该时变场相伴的磁场强度 ；H zyd例题例题解：解：(1)(1)由由法拉第电磁感应定律微分形式法拉第电磁感应定律微分形式BEt xyzyyzxxyzeeeEEBeetxyzxzEEE 00sin()sin()cos()cos()xxxzxE kztk x
36、dEztk xddBete BBdtt00sin()cos()cos()sin()zxxxxE kztk xdEzxdBtkdee00000cos()sin()sin()cos()xzxxxEztkBHexddEekztk xd设平板电容器两端加有时变电压设平板电容器两端加有时变电压U,试推导通过电容器的电流试推导通过电容器的电流I与与U的关系。的关系。图 2-4 平板电容器 例例 2.2tEAtDAAJIIdd解：解：设平板尺寸远大于其间距设平板尺寸远大于其间距,则板间电场可视为均匀则板间电场可视为均匀,即即E=U/d,从从而得而得 tUdAItUCI式中式中C=A/d为平板电容器的电容。为
37、平板电容器的电容。2.3.1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式 2.3 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组Maxwells Equations（推广的安培环路定律）（推广的安培环路定律）（法拉第电磁感应定律）（法拉第电磁感应定律）（磁通连续性定律）（磁通连续性定律）（高斯定律）（高斯定律）一、麦克斯韦方程组的微分形式一、麦克斯韦方程组的微分形式0DHJtBEtBD 时变电磁场的源：时变电磁场的源：1 1、真实源（变化的电流和电荷）；、真实源（变化的电流和电荷）；2 2、变化的电场和变化的磁场。、变化的电场和变化的磁场。时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。时
38、变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。物理意义：物理意义：时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。场是有旋有散场。在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。有旋无散的。电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。电磁波。()0CSCSSSVDH dlJdStBE dldStB dSD dSdVQ
39、麦克斯韦方程组的地位：麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间的基本关揭示了电磁场场量与源之间的基本关系，揭示了时变电磁场的基本性质，是系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础电磁场理论的基础。二、麦克斯韦方程组的积分形式二、麦克斯韦方程组的积分形式n 麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。00000DtBtDHJHJtBEEBtBDD n电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导
40、出。n在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦方程组的非限定形式方程组的非限定形式 本构关系本构关系DEBHJE 将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得()0()EHEtHEtHE 麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。三、麦克斯韦方程组的限定形式三、麦克斯韦方程组的限定形式麦克斯韦方程麦克斯韦方程组限定形式组限定形式Constitutive equations 若媒质参数与位置无关若媒质参
41、数与位置无关,称为称为均匀均匀(homogeneous)媒媒质质;若媒质参数与场强大小无关若媒质参数与场强大小无关,称为称为线性线性(linear)媒质媒质;若媒质参数与场强方向无关若媒质参数与场强方向无关,称为称为各向同性各向同性(isotropic)媒媒质质;若媒质参数与场强频率无关若媒质参数与场强频率无关,称为称为非色散媒质非色散媒质;反之称为色反之称为色散散(dispersive)媒质。媒质。四、媒质的分类四、媒质的分类在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中,由由麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组,=0,J=0=0,J=0dB
42、Edt()EHt 222()EEEt Dt2220EEt 无源区电场无源区电场波动方程波动方程同理，可以推得无源区磁场波动方程为：同理，可以推得无源区磁场波动方程为：2220HHt2.3.2 2.3.2 无源区的波动方程无源区的波动方程wave equations for source-free medium时变电磁场的电场场量和磁场场量在空间中是以波动形式变时变电磁场的电场场量和磁场场量在空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。化的，因此称时变电磁场为电磁波。建立波动方程的意义：通过解波动方程，可以求出空间中电建立波动方程的意义：通过解波动方程，可以求出空间中电场场量和磁场场量的
43、分布情况。但需要注意的是：只有少数特场场量和磁场场量的分布情况。但需要注意的是：只有少数特殊情况可以通过直接求解波动方程求解。殊情况可以通过直接求解波动方程求解。一、定义一、定义BABEt ()EAt()0AEt令：令：，()AEt()AEt 故：故：()AEtBA (,):(,):A r tr t动态矢量位动态标量位0B2.3.3 动态矢量位和标量位动态矢量位和标量位 dynamic Vector potential scalar potentialq 时变场电场场量和磁场场量均为时间和空间位置的时变场电场场量和磁场场量均为时间和空间位置的函数，因此函数，因此动态矢量位和动态标量位也为时间和
44、空间动态矢量位和动态标量位也为时间和空间位置的函数位置的函数。q 由于时变场电场和磁场为统一整体，因此由于时变场电场和磁场为统一整体，因此动态标量动态标量位和动态矢量位也是一个统一的整体。位和动态矢量位也是一个统一的整体。为了使时变电磁场场量和动态位之间满足一一对为了使时变电磁场场量和动态位之间满足一一对应关系，须引入额外的限定条件应关系，须引入额外的限定条件规范条件。规范条件。At 洛伦兹规范条件洛伦兹规范条件二、洛伦兹规范条件二、洛伦兹规范条件三、动态位满足的方程三、动态位满足的方程EEHJt1HA1EAJt2()()AAAJtt()At 2()At 222()AAJAtt At 引入洛伦
45、兹规范条件，则方程简化为引入洛伦兹规范条件，则方程简化为222222tAAJt 达朗贝尔方程达朗贝尔方程从达朗贝尔方程可以看出：从达朗贝尔方程可以看出：(,)(,)(,)(,)r tr tA r tJ r t的源是，的源是试用麦克斯韦方程组导出图试用麦克斯韦方程组导出图2-6所示的所示的RLC串联电路的电压方程串联电路的电压方程(电路全长远小于波长电路全长远小于波长)。图 2-6 RLC串联电路 例例2.3解解:沿导线回路沿导线回路l作电场作电场E的闭合路径积分的闭合路径积分,根据麦氏方程式根据麦氏方程式(a)有有 ldtddlE上式左端就是沿回路的电压降上式左端就是沿回路的电压降,而而是回路
46、所包围的磁通。将回是回路所包围的磁通。将回路电压分段表示路电压分段表示,得得 0dtdUUUUdacdbcab设电阻段导体长为设电阻段导体长为l1,截面积为截面积为A,电导率为电导率为,其中电场为其中电场为J/,故故 AlRIRlAIlJdlJUbaab111,电感电感L定义为定义为m/I,m是通过电感线圈的全磁通是通过电感线圈的全磁通,得得 dtdILdtdUmbc通过电容通过电容C的电流已由例的电流已由例2.2得出得出:IdtCUdtdUCIcd1设外加电场为设外加电场为Ee,则有则有 edaeadedaVdlEdlEU因为回路中的杂散磁通可略因为回路中的杂散磁通可略,d/dt0,从而得从
47、而得 eVIdtCdtdILIR1这就是大家所熟知的基尔霍夫电压定律。对于场源随时间作简这就是大家所熟知的基尔霍夫电压定律。对于场源随时间作简谐变化的情形谐变化的情形,设角频率为设角频率为,上式可化为上式可化为 CLjIIRUs1 2.4 证明导电媒质内部证明导电媒质内部v=0。;解解 利用电流连续性方程利用电流连续性方程(2-31),并考虑到并考虑到J=E,有有 0vvt其解为其解为)/(3)/(0mCetvv例例JtEJ vtDE 导体内的电荷极快地衰减导体内的电荷极快地衰减,使得其中的使得其中的v可看作零。可看作零。铜铜=5.8107S/m=0=1.510-19sv随时间按指数减小随时间
48、按指数减小驰豫时间驰豫时间:衰减至衰减至v0的的1/e即即36.8%的时间的时间,=/(s)一、一般媒质分界面上的边界条件一、一般媒质分界面上的边界条件()()0,2-4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件v在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数、发生突变，发生突变，因而分界面处的场矢量因而分界面处的场矢量E、H、D、B也会突变，麦克斯韦方程也会突变，麦克斯韦方程组的微分形式失去意义。此时，有限空间中场量之间的关系是组的微分形式失去意义。此时，有限空间中场量之间的关系是由积分形式的麦克斯韦方程组制约的，边界条件就由它导出。由积分形式的麦克斯韦方程组制约的，边界条
49、件就由它导出。1 1、的边界条件的边界条件H 212Hn1H()CsDH dlJdSt0h lsThe boundary conditions for time-varying fields 21SH lH lJs210limShDH lH lJs ls l ht 0lns12ttsHHJ12()SnHHJ 为表面传导电流密度。为表面传导电流密度。SJ式中：式中：为由媒质为由媒质2 211的法向。的法向。nr 特殊地，若介质分界面上不存在传导电流，则特殊地，若介质分界面上不存在传导电流，则120ttHH12()0nHH结论：当分界面上存在传导面电流时，结论：当分界面上存在传导面电流时，切向不连
50、续，其不切向不连续，其不连续量等于分界面上面电流密度。连续量等于分界面上面电流密度。当且仅当分界面上不存在传导面电流时，当且仅当分界面上不存在传导面电流时，切向连续。切向连续。HH 2 2、的边界条件的边界条件E 212En1E210h lslSBE dldSt结论：结论：只要磁感应强度的时间变化率是有限只要磁感应强度的时间变化率是有限的，的，切向连续。切向连续。E12()0nEE12ttEE 3 3、的边界条件的边界条件B11220B dSB dS120B nB n21nnBB0SB dS 212B1Bn0h Snn结论：在边界面上，结论：在边界面上，法向连续。法向连续。B 4 4、的边界条
