1、第三章第三章连续时间系统的频域分析连续时间系统的频域分析本章将学习从频域对信号与系统进行分析本章将学习从频域对信号与系统进行分析,也称为傅立叶也称为傅立叶分析分析.傅立叶分析的研究与应用已经经历了一百余年傅立叶分析的研究与应用已经经历了一百余年.18221822年数学家傅立叶提出并证明了将周期函数展开为正弦年数学家傅立叶提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，其后泊松、高斯等人将其应用到电学中级数的原理，其后泊松、高斯等人将其应用到电学中.1919世纪末世纪末,人们制造出电容器人们制造出电容器,到到2020世纪初世纪初,谐振电路、滤谐振电路、滤波器、正弦振荡器等的实现为傅立叶分析的进一步应
2、用开波器、正弦振荡器等的实现为傅立叶分析的进一步应用开辟了广阔前景辟了广阔前景.2020世纪世纪7070年代年代,傅立叶分析逐步应用到通信、数字信号处傅立叶分析逐步应用到通信、数字信号处理等领域理等领域,出现了快速傅立叶变换出现了快速傅立叶变换.如今傅立叶技术不仅应用于电力工程、通信和控制领域，如今傅立叶技术不仅应用于电力工程、通信和控制领域，而且还应用于力学、光学、量子物理等其他领域。而且还应用于力学、光学、量子物理等其他领域。本章的主要内容本章的主要内容3.1 3.1 傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱3.2 3.2 非周期信号的频谱非周期信号的频谱-傅里叶变换傅里叶变换
3、3.3 3.3 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质3.4 3.4 周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理3.5 LTI3.5 LTI系统的频域分析系统的频域分析3.6 3.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱第一节第一节 傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱3.1.1 3.1.1 信号正交与正交函数集信号正交与正交函数集1.1.正交定义正交定义定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足:210d)()(21ttttt(两函数的内积为两函数的内积为0)0)则称则称 1(t)和和 2(t)在区间在区间(t
4、1，t2)内内正交正交.2.2.正交函数集：正交函数集：若若n个函数个函数 1(t),2(t),n(t)构成一个函数集构成一个函数集,当这些当这些函数在区间函数在区间(t1，t2)内满足内满足 傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱21,0,0d)()(ttijijiKjittt则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集.3.3.完备正交函数集：完备正交函数集：如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t),2(t),n(t)之外之外,不存在不存在函数函数(t)(0）满足满足 则称此函数集为则称此
5、函数集为完备正交函数集完备正交函数集.例如例如:三角函数集三角函数集1,cos(nt),sin(nt)，n=1,2,和和虚指数函数集虚指数函数集ejnt,n=0,1,2,是两组典型的在区是两组典型的在区间间(t0,t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集上的完备正交函数集.),2,1(0d)()(21nittttti傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱4 4 信号的正交分解信号的正交分解设有设有n n个函数个函数 1(t),2(t),n(t)在区间在区间(t1,t2)构成一构成一个正交函数空间个正交函数空间.将任一函数将任一函数f(t)用这用这n个正交函数的线个正交函数的线性组
6、合来近似性组合来近似,可表示为可表示为 f(t)C1 1+C2 2+Cn n 如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在区间与近似函数之间误差在区间(t1,t2)内为最小。内为最小。通常使误差的方均值通常使误差的方均值(称为称为均方误差均方误差)最小最小.均方误差均方误差:ttCtfttttnjjjd)()(12121122傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱现求使得均方误差最小的线性组合系数现求使得均方误差最小的线性组合系数Ci(第第i个系数个系数)0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展开上被积函数并求导展开上被积函数并求导.上式中只有两
7、项不为上式中只有两项不为0,0,写为写为 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即即:21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系数所以系数212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱代入代入,得最小均方误差得最小均方误差(推导过程见教材推导过程见教材)0d)(112212221njjjttKCttftt在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)f(t)时时,所取得项数越多所取得项数越多,即即n n越大越大,则均方误差越小则均方误差越小.当当n时时,均方误差
8、为零均方误差为零.此时有此时有 12221d)(jjjttKCttf上式称为上式称为(Parseval)巴塞瓦尔巴塞瓦尔(帕塞瓦尔帕塞瓦尔)公式公式,表明表明:在在区间区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和解的各正交分量能量的总和.1)()(jjjtCtf函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和3.1.2 3.1.2 周期函数的傅里叶级数周期函数的傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱1 1 傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式设周期信号设周期信号
9、f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率=2/T，当满足，当满足狄里赫利狄里赫利(狄利克雷狄利克雷)(Dirichlet)条件时，它可分解为三条件时，它可分解为三角级数角级数-称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatfan,bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb 可见可见,an 是是n的偶函数的偶函数,bn是是n的奇函数的奇函数.傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱10)cos(2)(nnntnAAtf式中式中,A0=a022nnnba
10、Annnabarctan因此周期信号可分解为直流分量和许多余弦分量因此周期信号可分解为直流分量和许多余弦分量.其中其中,A0/2 2为为直流分量直流分量；A1cos(t+1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波,它的角频率与原周期它的角频率与原周期信号相同信号相同;A2cos(2 t+2)称为称为二次谐波二次谐波,它的频率是基波的它的频率是基波的2 2倍倍;Ancos(n t+n)称为称为n n次谐波次谐波.可见可见An是是n的偶函数的偶函数,n是是n的奇函数的奇函数.将上式同频率项合并将上式同频率项合并,可写为可写为an=Ancos n，bn=-Ansin n，n=1,2,傅里叶级数及周期信
11、号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱2 2 波形的对称性与谐波特性波形的对称性与谐波特性(1)(1)f(t)为偶函数为偶函数-对称纵坐标对称纵坐标22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn=0,展开为余弦级数。(2)(2)f(t)为奇函数为奇函数-对称于原点对称于原点an=0,展开为正弦级数。实际上,任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分,即 f(t)=fo(t)+fe(t)其中2)()()(tftftfo2)()()(tftftfe傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱(3)(3)f(t)为奇谐函数为奇谐函数-f(t)=-f(
12、tT/2),也称半波对称也称半波对称.此时其傅里叶级数中只含奇次此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量谐波分量,而不含偶次谐波分量而不含偶次谐波分量即即a0=a2=b2=b4=0 f(t)t0TT/2 表示对称区间上表示对称区间上f(t)包含的包含的面积面积,可见面积为零可见面积为零,因此说明没有直流分量因此说明没有直流分量.220)(12TTdttfTa简单证明简单证明:设设f1(t)为函数为函数f(t)在区间在区间 上的部分上的部分,而而f2(t)为区间为区间 上的部分上的部分,则有则有:），02 T20T，)2()(21Ttftf)2()(12Ttftf或者或者22cos)(2TTntdtn
13、tfTa傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱222221cos)(2cos)(2TTTTtdtntfTtdtntfT202022cos)(2cos)2(2TTtdtntfTtdtnTtfT2002,22TTddtTtTt202202cos)(2)2(cos)(2TTtdtntfTdTnfTt202202cos)(2)2(cos)(2TTtdtntfTdtTtntfT202202cos)(2)cos()(2TTtdtntfTdtntntfT20202cos)(4cos)(40TTntdtntfTtdtntfTn为奇数时为偶数时换元换元:可见可见,an只有奇次项只有奇次项,对于对于
14、bn的证明大家按相同的方法可的证明大家按相同的方法可以证明以证明,此处不再证此处不再证.傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱例题例题1 1 求周期锯齿波的三角函数傅里叶级数求周期锯齿波的三角函数傅里叶级数.22 )(TtTtTAtf2200d1TTttTATa220dcos2TTnttntTATa22dsin2TTnttntTATb 3,2,1 )1(1nnAn tAtAtf2sin2sin0直流直流基波基波谐波谐波T2傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱例题例题2 2 将将f(t)展开为傅立叶级数展开为傅立叶级数.110)sin()cos(2)(2nnnntn
15、btnaatfT，解：,.1,0)cos()(222ndttntfTaTTn，20)cos()(4TdttntfT)cos()cos(42440TTTdttndttnT)cos()cos(42440TTTndttndttnTa2440sin4sin4TTTtnTntnTn傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱2sinsin2sin2nnnn,.7,34,.5,14,.4,2,002sin4nnnnnnn，0.2,1)sin()(222nTTnbndttntfTb，.5cos513cos31cos4)(ttttf例题例题3 3 将将f(t)展开展开为傅立叶级数为傅立叶级数.傅里叶级
16、数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱110)sin()cos(2)(2nnnntnbtnaatfT，解：0)cos()(,.1,0)cos()(222nTTnatntfndttntfTa是奇函数，是偶函数，)cos()(.2,1)sin()(222tntfndttntfTbTTn2020)sin(4)sin()(22TTndttnTdttntfTb)2cos(1 4)cos(420TnTntnTnT,.3,14,.4,20)cos1(2nnnnn，,.5,3,14,.1,00nnbnann，；，傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱110)sin()cos(2)(nnnn
17、tnbtnaatf,.5,3,1.sin1.3sin31sin4ntnntt，为奇谐函数。奇次谐波分量，；只含有基波)(,.5312tfT2 2 傅立叶级数的指数形式傅立叶级数的指数形式wtjwtewtjwtejwtjwtsincossincos)(2/1sin)(2/1cosjwtjwtjwtjwteejwteewt)sin()cos(2)(10tnbtnaatfnnn10222ntjntjnntjntjnneejbeeaa傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱10)()(212ntjnnntjnnnejbaejbaantjnnnnntjnnnejbaejbaa)(21)(21
18、2,00nnTTnnnTTnbbndttntfTbaandttntfTa的奇函数是的偶函数是2222)sin()(2)cos()(2)()(212110nntjnnntjnnnejbaejbaa)()(212110nntjnnntjnnnejbaejbaa)(21nnnjbaF令)sin()cos(2)(10tnbtnaaeFtfnnnntjnn则)sin()()cos()(1)(212222TTTTnnndttntfjdttntfTjbaF22)sin()cos(1TTdttnjtntfT22)(1TTtjndtetfT2)0()(1)()(022aFdtetfTnFFeFtfTTtjnnn
19、tjnn其中：傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱)()3(sincos )2(2121 )1(21)(21 22nnnnnnnnnnnnnnnnnjnnnjnnFFjbFFaAbAanbaAFeAjbaeFFnn，是奇函数是偶函数，是奇函数的偶函数，是3 3 周期信号的功率周期信号的功率-Parseval-Parseval等式等式nnnnTFAAdttfT2122002|21)2()(1直流和直流和n n次谐波分量在次谐波分量在1 1 电阻上消耗的平均功率之和电阻上消耗的平均功率之和.n0 时时,|Fn|=An/2.4 4
20、周期函数的有限傅立叶级数周期函数的有限傅立叶级数要用傅立叶级数准确表示周期函数f(t),则n.但是在工程实际应用中,往往用有限多项来近似表示.取n=N,N越大,越逼近f(t).设:)sincos()(10tbtaatSnNnnN一般采用误差的概念来衡量近似表示的逼近程度.误差函数:)()()(tStftNN均方误差:TttNNNdttTtE00)(1)(22)(21)(212202nNnnbaatf傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱可以看出当可以看出当N N越大越大,均方误差越小均方误差越小,近似近似表示越逼近表示越逼近f(t).傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号
21、的频谱例如对称方波:偶函数且奇谐函数 只有奇次谐波的余弦项.2sin2nnEan)5cos3cos(cos)(51312ttttfE21105.0)(cos21EEtEtSN）（时傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱22202.0)3cos31(cos22EEttESN23301.0)5cos513cos31(cos23EEtttESN时N=1,一次谐波或基波N=2,二次谐波N=3,三次谐波傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱有限项的N越大，误差越小例如:N=11)11cos1115cos513cos31(cos211ttttES一般从合成波形当中可以看出有个波
22、峰,则近似表示当中就有几次谐波分量.例如图中有6个波峰,则表明由六个谐波组成.傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱3.1.3 3.1.3 周期信号的频谱周期信号的频谱1 1 什么叫周期信号的频谱什么叫周期信号的频谱从广义上说,信号的某种特征量随信号频率变化的关系,称为信号的频谱,所画出的图形称为信号的频谱图.周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即 将An和n的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图,分别称为振幅频谱图和相位频谱图.因为n0,所以称这种频谱为单边谱.也可画|Fn|和n的关系,称为双边谱.若Fn为实数,也可直接画Fn.傅里叶级数及周期信
23、号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱单边谱0)cos(2)(10ntnAAtfnnn幅度谱nbaAnnn22相位谱nabnnnarctan双边谱，),()(neFFeFtfnjnnntjnn的偶函数幅度谱的谱线图形nnFn的奇函数相位谱的谱线图形nnn 幅度谱和相位谱合起来称为信号f(t)的频谱,当然信号的频谱还有其他的形式,例如功率谱,能量谱等等.可以看出对于任意周期信号的频谱有一些共同特点,下面我们来看周期信号频谱的特点.傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱2 2 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点例题例题1:1:周期信号周期信号f(t)=63sin41324cos211t
24、t263cos41324cos211)(tttf34cos21t的周期的周期T1=8=8323cos41的周期的周期T2=6=6所以所以f(t)的周期的周期T=24T=24，基波角频率，基波角频率=2/T=/12=2/T=/12根据帕斯瓦尔等式根据帕斯瓦尔等式,其功率为其功率为P=P=323741212121122试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T T,基波角频率基波角频率,画出它的画出它的单边频谱图单边频谱图,并求并求f(t)的平均功率。的平均功率。解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即显然显然1 1是该信号的直流分量是该信号的直流分量
25、.傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱34cos21t是是f(t)的的/4/12=3 3次谐波分量；次谐波分量；323cos41是是f(t)的的/3/12=4 4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱例题例题2 2 有一幅度为有一幅度为E,E,脉冲宽度为脉冲宽度为 的周期矩形脉冲的周期矩形脉冲,其其周期为周期为T,T,如图所示如图所示,求频谱求频谱.22de)(1TTtjnnttfTFnnTEjnTEtjn)2sin(2e22tTEtjnde22令令 Sa(x)
26、=sin(x)/x (取样函数）取样函数）,3,2,1,0)()2(nTnSaTEnSaTEFnFn为实数为实数,可直接画成一个频谱图可直接画成一个频谱图,设设T=4画图画图.傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱零点为零点为mn2所以所以,m为整数。为整数。mn2特点特点:(1)离散频谱,谱线间隔为基波频率,谱线位置是基频的整数倍；(2)各谐波分量的大小与脉幅(E)成正比,与脉宽()成正比,与周期T成反比;(3)幅度谱有收敛性,n时,谐波大小逼近于0,此处谐波大小(谱线)按 包络线收敛.)/(TnSa傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信号的频谱(4)信号能量主要集中在第
27、一个零点 内,因此定义信号带宽为 ./2/1B/2fB或谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a)T一定,变小,此时(谱线间隔)不变.两零点之间的谱线数目:1/=(2/)/(2/T)=T/增多.(b)一定,T增大,间隔减小,频谱变密.幅度减小.如果周期T无限增长(就成为非周期信号),那么,谱线间隔将趋近于零,周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱.各频率分量的幅度也趋近于无穷小.作业作业P P160-164160-1643-3,3-4,3-7(ace),3-12,3-133-3,3-4,3-7(ace),3-12,3-13傅里叶级数及周期信号的频谱傅里叶级数及周期信
28、号的频谱第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换3.2.1 3.2.1 傅立叶变换傅立叶变换前面已经学习了周期信号的傅立叶级数以及频谱:22)(1)()(TTtjnnntjnndtetfTnFFeFtf那么非周期信号的频谱呢那么非周期信号的频谱呢?当周期信号的周期T时,则周期信号变为非周期信号.是否简单的将上述变换式中的是否简单的将上述变换式中的T T取取的极限就可以得到的极限就可以得到非周期信号的频谱呢非周期信号的频谱呢?前已指出当周期T趋近于无穷大时,谱线间隔趋近于无穷小,从而信号的频谱变为连续频谱.但各频率分量的幅度 也趋近于无穷小!)(nFFn傅里叶变换傅里叶变换考虑到:T,无穷小,记为d;
29、n(由离散量变为连续量),而22de)(TTtjnnttfTF根据傅里叶级数ntjnnTTFtf1e)(F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数,简称频谱.f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数.2d21T同时,于是de)(21)(de)(lim)(tjtjnTjFtfttfTFjF傅里叶变换式傅里叶变换式傅里叶反变换式傅里叶反变换式傅里叶变换傅里叶变换也可简记为:F(j)=Ff(t)f(t)=F 1F(j)或或 f(t)F(j)ttfd)(dttfF)()0(d)(21)0(jFf说明说明(2)用下列关系还可方便计算一些积分(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤.可证明,函数f(t)
30、的傅里叶变换存在的充分条件:傅里叶变换傅里叶变换3.2.2 3.2.2 典型非周期信号的傅立叶变换典型非周期信号的傅立叶变换(3)F(j)一般是复函数,写为 F(j)=|F(j)|e j ()=R()+jX()其中:|F(j)|幅度谱(幅度频谱)()相位谱(相位频谱)(4)非周期信号的频谱是连续谱.1 1 单边指数函数单边指数函数 f(t)=e tu(t),0实数实数jjtj1e10)(0)(ede)(e)(dtttujFtjtjt傅里叶变换傅里叶变换2 2 双边指数函数双边指数函数f(t)=et ,0 dtetfjFtj)()(00deedeetttjttjt22211jj0101)()(t
31、jatjaejej3 3 直流信号直流信号 f(t)=1构造 f(t)=e-t，0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以0,0,02lim)(lim)(2200jFjF傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换又d2202lim1212()da20/12lim2arctan2lim0 4 4 冲激函数冲激函数(t)、(t)1de)()(ttttjttttjde)()(tjtttjtjd)e)(e)(jttjttjd)(e0)(de21ttj将t，t-)(de21ttj再根据傅里叶变换定义式，得)(2)(2de1ttj(t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有直流信号傅立叶变
32、换的另一种求法直流信号傅立叶变换的另一种求法：nnjtjtt)()()(1)()(结论及推论结论及推论傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换5 5 门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)2,02,1)(tttgjtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(22,02,)(ttEtgjEtEjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(2EE傅里叶变换傅里叶变换6 6 符号函数符号函数0,10,1)sgn(ttt10tsgn(t)-1)(e)(e)(tututftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(2200
33、7 7 阶跃函数阶跃函数u(t)jttu1)()sgn(2121)(10t(t)8 8 sint 以及以及cost?归纳记忆：1.F 变换对变换对2.常用函数常用函数 F 变换对：变换对：t域域域域tetfjFtjd)()(tejFtftjd)(21)(t)u(t)j1)(e-t u(t)j1g(t)2Sasgn(t)j2e|t|222 1 12()傅里叶变换傅里叶变换第三节第三节 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质1 1 线性线性(Linear Property)若若 f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)af1(t)+bf2(t)aF1(j)+bF2(j)证明证明:Faf1(t)
34、+bf2(t)ttbftaftjde)()(21ttfttftjtjde)(bde)(a21=aF1(j)+bF2(j)傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题1 1 已知信号波形如右图已知信号波形如右图,求求F(j)=?=?0f(t)t1-11解解:f(t)=f1(t)g2(t)=1-g2(t)f1(t)=1 2()g2(t)2Sa()F(j)=2()-2Sa()0f 1(t)t1傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质2 2 时移性质时移性质(Timeshifting Property)若若 f(t)F(j)则则)(e)(00jFttftj证
35、明证明:F f(tt0)tttftjde)(00ede)(tjjf)(e0jFtj积分限不变设,00ttdtdtt傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题2 2 已知信号波形如图已知信号波形如图,求求F(j).解解:令 f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)则有 f(t)=f1(t)+f2(t)g6(t-5)g2(t-5)F(j)=5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f(t)t2-1214680f1(t)t221468+0f2(t)t221468傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题3 3 求如图所示三脉冲信号的频谱求如图所示三脉冲
36、信号的频谱.,00Ftf信号，其频谱函数表示矩形单脉冲令 2Sa0EF解：解：则 f(t)=f0(t+T)+f0(t)+f0(t-T)傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质=+TTFFjj0ee1TEcos212Sa 脉冲个数增多脉冲个数增多,频谱包络频谱包络不变不变,带宽不变带宽不变.傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质3 3 对称性质对称性质(Symmetrical Property)若若 f(t)F(j)则则证明证明:de)(21)(tjjFtf（1）(1)t，ttjtFftjde)(21)(（2）(2)-thentjtFftjde)(21)(F(j t)2f()F(jt)2f()
37、傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题4 4 依据对称性质求下列函数的傅立叶变换依据对称性质求下列函数的傅立叶变换.11)()4()()()3(1)()2(1)()1(22321ttftSatfttftf解解:(1):(1),1t 221tF(2)(2),j2)sgn(tF已知t j2则)sgn(2t1即)sgn(j(3)(3)2Sa22)(EFtutuEtEgtf2Sa)(EtEg即是：)(2)(22SaEgEgtEtF tSa2SaE傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质)(22Sagt)(2Sa22gt )(Sa2gt 例题例题4 4 依据对称性质求下列函数的傅立叶变换依据对
38、称性质求下列函数的傅立叶变换.11)()4()()()3(1)()2(1)()1(22321ttftSatfttftf2傅立叶变换傅立叶变换2,1E傅立叶变换傅立叶变换傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质(4)(4)22|2et2|12et|2e212 t|2e11ta=1例题例题4 4 依据对称性质求下列函数的傅立叶变换依据对称性质求下列函数的傅立叶变换.11)()4()()()3(1)()2(1)()1(22321ttftSatfttftf2232)(22tttttfF(j)=?思考题傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质4 4 频移性质频移性质(Frequency Shifting
39、 Property)若若 f(t)F(j)则则)()(e00jFtftj证明证明:F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0=F j(-0)例题例题5 5 f(t)=e j3tF(j)=?解解:1 2()ej3t 1 2(-3)傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题5 5 试计算下列信号的傅立叶变换试计算下列信号的傅立叶变换.(1)f1(t)=cos0t (2)f2(t)=sin0t (3)f3(t)=f(t)cos0t (4)f4(t)=f(t)sin0t 解解:tjtjtf00e21e21)()1(1则得:F(j)=(+0)+(-0)21)(001
40、tjtjeeFtfF)(21)()3(003tjtjeetfFtfF)(21)(2100tjtjetfFetfF)(21)(2100jFjF例题例题6 6 已知调幅信号已知调幅信号f(t)=Eg(t)cos0t,试求其频谱试求其频谱?解解:已知矩形脉冲Eg(t)的频谱为:2SaEG tttGtf00jjee21 002121GGF因为:所以2Sa22Sa2 00EE可以看出,信号f(t)的频谱就是将G()一分为二并向左,向右各平移0而得到.傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质若若 f(t)F(j)则则 ajFaatf|1)(5 5 尺度变换性质尺度变
41、换性质(Scaling Transform Property)teatftjd)(证明证明:当当 a 0,Ff(at)d1e)(afajatajFa1当当a 0,Ff(at)ajFa1ajFaatf|1)(de)(1d1e)(ajajatfaafjFtfa)(1傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题7 7 已知已知f(t)F(j),求求f(at b)的傅立叶变换的傅立叶变换.解解:f(tb)e-jbF(j)则f(atb)ajFabaje|1orf(at)ajFa|1f(atb)=)(abtafajFeabaj|1例题例题8 8 求函数求函数f(t)=1/(jt-1)的傅立叶变换的傅立
42、叶变换.解解:)/(1)(eajtuat)(e2)/(1uajta)(e2111ujta提问提问:如果如果f(t)=1/(t-1)呢呢?傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题9 9 已知已知 ,求信号求信号 的傅的傅立叶变换立叶变换.2SaEFtf52 tf解解:方法一：先尺度变换，再时延,2a因为 4Sa22212EFtf所以（向右）时移，对因为255tb25j4Sa252eEtf所以5je2Sa55Etft（向右）：时移对25je4Sa2522Etf：压缩对所有方法二：先时延再尺度变换傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质6 6 卷积性质卷积性质(Convolution Pro
43、perty)时域卷积时域卷积(Convolution in time domain)若若 f1(t)F1(j),f2(t)F2(j)则则 f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)频域卷积频域卷积(Convolution in frequency domain)若若 f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)则则 f1(t)f2(t)F1(j)*F2(j)21傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题10 10 求信号求信号f(t)=(sint/t)2的傅立叶变换的傅立叶变换.解解:两个完全相同的门函数卷积可以得到三角脉冲.即:)Sa(2)(122tg”的”幅值为“脉宽为“使用对称性质(
44、Using symmetry)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt)(*)(21/sin222ggtt卷积卷积=)(*)(222gg)|1()()(0)()(t)()()(t0)()()(0t0)()(t00)2()2()2()2()2()2()2()2(2()2()2()2()()(22222222222222tEtEgtEgtEgtEgtEtEgtEgtEtEgtEgtEgtEgttttddddEdtuudtuudtuudtuuEtutututuEtEgtEgtttt当当当当相同矩形脉冲卷积得到三角脉冲的证明过程如下相同矩形脉冲卷积得到三角脉冲的证明过程如下:傅里叶变换的基本性质傅里叶变
45、换的基本性质例题例题11(11(例题例题6)6)已知调幅信号已知调幅信号f(t)=Eg(t)cos0t,试求试求其频谱其频谱?解解:已知矩形脉冲Eg(t)的频谱为:2SaEG而cos0t的频谱为:（后面会讲）（）（00利用频域卷积定理得:21)(00）（）（）（GjF2Sa22Sa2 00EE傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质7 7 时域的微分和积分性质时域的微分和积分性质(Differentiation and Integration in time domain)若若 f(t)F(j)则则 ttfjFFjjFFxxfjFjtftnnd)()()
46、0()()()0(d)()()()(0)(时域积分时域微分证明证明:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)(j)nF(j)jjFFjFj)()()0()(1)(f(-1)(t)=u(t)*f(t)时域积分性质的另一种证明时域积分性质的另一种证明傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 tfttdedj ttuftdedj ddejttuft dej1jf dej1jf常数，移到积分外为而言对积分变量 交换积分顺序 ，即先求时移的单位阶跃信号的傅里叶变换后先t变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为 tutf傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 dej1jf Fj1 FFj1 j0F
47、F 则第一项为零如果,00 F j0j1dFFFft傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题12 12 信号信号f(t)=1/t2 的频谱函数的频谱函数.解解:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt|)sgn(12t例题例题1313 已知已知f (t)F1(j),求信号求信号f(t)的频谱的频谱.)()()()(11ffjFj)(dd)(d)(1dd)(d)()(1tttfjFjtttfftft)()()()(1)()(21ffjFjfjF）（)()()()(11ffjFjjF）（傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质若若 f(n)(
48、t)Fn(j)且且 f(-)+f()=0 则则 f(t)Fn(j)/(j)n例题例题13 13 求三角函数的频谱密度函数求三角函数的频谱密度函数(傅立叶变换傅立叶变换).).o tft2 2 Eo tf t2 2 E2解解:将三角函数两次微分,如下过程,可得三个冲激函数,再利用微分性质则可得到原三角函数的傅立叶变换.傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 ttEtEtEtfFtde22422j2j2je24e2EEE FF22j 2j2j2e24e21EEEF2j2j2e2e21E2224j4j24sinj22ee2EE4Sa2444sin822222EE注意注意:du(t)/dt=(t)1
49、u(t)1/(j)4(24/4sin24sin)(8)(1)(1)(1)()0()()(0)0(4sin8)(1)(1)()0()()(0)0(4sin84sin22ee 2e2e 2e24e2de22422)()(2222211112222122224j4j2j2j2j2jj 2SaEEjEjFjFjjFjFtfFjFFjEjFjjFjFtfFjFFEjEEEEEEttEtEtEtfFjFt傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质也可以用积也可以用积分性质来求分性质来求解可得到一解可得到一样的结果样的结果傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质8 8 频域的微分和积分频域的微分和积分(Dif
50、ferentiation and Integration in frequency domain)频域微分性质:若 f(t)F(j)则(jt)nf(t)F(n)(j)d)(21)0(d)()(1)()0(jFfxjxFtfjttf其中频域积分性质：证明：证明：频域微分频域微分dtetfjFtj)()(取微分得两边对dtetjtfdtetjtfdjdFtjtj)()()()()()()(jFtjtfdjdFtjtfF或者傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 dFtfjttfdFtfjttfFdtejtttfdtjttetfdtjtttetfdFjttuFujttFjtuFtdedtdeude
