1、第三章第三章流体运动的基本概念和基本方程流体运动的基本概念和基本方程 流体运动的描述方法流体运动的描述方法 流场的基本概念流场的基本概念 连续方程连续方程 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程1教学目的和任务1 1）教学目的）教学目的 使学生掌握研究流体运动的方法，了解使学生掌握研究流体运动的方法，了解流体流动的基本概念。流体流动的基本概念。通过分析得到理通过分析得到理想流体运动的基本规律，想流体运动的基本规律，为后续流动阻为后续流动阻力计算、管路计算打下牢固的基础。力计算、管路计算打下牢固的基础。2 2）基本内容）基本内容（1）正确使用流体流动的连续性方程式；）正确使用流体流动的连续性方
2、程式；（2）弄清流体流动的基本规律）弄清流体流动的基本规律伯努利方程，得伯努利方程，得出比较符合客观实际的计算出比较符合客观实际的计算 公式；掌握伯努利方公式；掌握伯努利方程的物理意义、几何意义、使用条件及其应用程的物理意义、几何意义、使用条件及其应用（3）动量方程的应用）动量方程的应用2 2重点、难点重点、难点重点：连续性方程、伯努利方程和动量方程。重点：连续性方程、伯努利方程和动量方程。难点：应用三大方程联立求解工程实际问题。难点：应用三大方程联立求解工程实际问题。一、流体运动要素一、流体运动要素 Conception：表征流体运动状态的物理量，一般包表征流体运动状态的物理量，一般包括括
3、等。等。研究流体的运动规律，就是要确定这些运动要素。研究流体的运动规律，就是要确定这些运动要素。1）每一运动要素都随空间与时间在变化；）每一运动要素都随空间与时间在变化；2）各要素之间存在着本质联系。）各要素之间存在着本质联系。,aF 流体运动的描述方法流体运动的描述方法*流场充满运动的连续流体的空间。在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等周问题”的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成
4、为当时欧洲公认的第一流数学家。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了分析力学一书，建立起完整和谐的力学体系。1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人
5、物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，无穷小分析引论、微分学原理、积分学原理等都成为数学中的经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。流体质点流体质点 着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点的运动历程，通过着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点的运动历程，通过综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体运动的规律。综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体运动的规律。（“跟踪跟踪”的方法）的方
6、法）拉格朗日法是拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象，研究每将流场中每一流体质点作为研究对象，研究每一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加速度及密度、一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加速度及密度、重度、压强等物理量随时间的变化规律。然后将所有质点的重度、压强等物理量随时间的变化规律。然后将所有质点的这些资料综合起来，便得到了整个流体的运动规律。即将整这些资料综合起来，便得到了整个流体的运动规律。即将整个流体的运动看作许多流体质点运动的总和。质点的运动要个流体的运动看作许多流体质点运动的总和。质点的运动要素是初始点坐标和时间的函数。素是初始点坐标和时间的函数。用于研究流体的波动和
7、震用于研究流体的波动和震荡等荡等 二、研究流体运动的两种方法二、研究流体运动的两种方法 拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的位置可表示为：X=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t)(3-1)式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉格
8、朗日变量，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号。将式（3-1）对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度和加速度为：(3-2)(3-3),(tcbautxu),(tcbavtyv),(tcbawtzw),(22tcbaatxtuaxx),(22tcbaatytvayy),(22tcbaatztwazz同样，流体的密度、压强和温度也可写成a、b、c、的函数，即=（a，b，c，），P=P(a，b，c，)，t=t(a，b，c，)。着眼于着眼于流场中各空间点流场中各空间点时的运动情况，通过综合流场中所有时的运动情况，通过综合流场中所有被研究空间点上流体质点的运动变化规律，来获得整个流场的被研究空
9、间点上流体质点的运动变化规律，来获得整个流场的运动特性。运动特性。流场流场充满运动流体的空间。充满运动流体的空间。（“站岗站岗”的方法）的方法）欧拉法是欧拉法是以流场中每一空间位置作为研究对象以流场中每一空间位置作为研究对象流速场：流速场：压强场：压强场：),(),(),(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx),(tzyxpp 密度场：密度场：),(tzyx其他物理量（其他物理量（N N）场：）场：),(NNtzyx(3-4)（1 1）加速度）加速度 dtdzzvdtdyyvdtdxxvtvdtdvaxxxxxxdtdzzvdtdyyvdtdxxvtvadtdzzvdtdyyvdt
10、dxxvtvadtdzzvdtdyyvdtdxxvtvazzzzzyyyyyxxxxxvvtva)(或或(3-5)（1 1）加速度）加速度 vvtva)(当地加速度。表示通过固定空间点的流体质点速度随时间的当地加速度。表示通过固定空间点的流体质点速度随时间的变化率；变化率；迁移加速度。表示流体质点所在空间位置的变化所引起的速迁移加速度。表示流体质点所在空间位置的变化所引起的速度变化率。度变化率。：tv：vv)(（2 2）其他物理量的时间变化率）其他物理量的时间变化率 vttdd密度：密度：）（vttddzvyvxvttxyydd在研究工程流体力学时主要采用在研究工程流体力学时主要采用欧拉法欧拉
11、法（比拉格朗日法好比拉格朗日法好）。由上述可知，采用欧拉法欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法优越，其原因有三。一是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。二是采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。三是在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中还是方便的。【例例3-1】已知用拉格朗日变量表示得速度分布为 u=(a+2)et-2，v=(b+2)
12、et-2，且t=0时，x=a，y=b。求（1）t=3时质点分布；（2）a=2，b=2质点的运动规律；（3）质点加速度。【解解】根据（3-2）式得 将上式积分，得 上式中c1、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。利用t=0时，x=a，y=b得c1=-2，c2=-22)2(teatx2)2(tebty12)2(cteaxt22)2(ctebyt2)2(teatx2)2(tebty12)2(cteaxt22)2(ctebyt X=(a+2)et-2t-2 y=(b+2)et-2t-2 （1）将t=3代入上式 得 X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8 （2）a=2，b=2时 x=4et
13、-2t-2 y=4et-2t-2 (3)teatu)2(tebtv)2(【例例3-2】在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方向的分量为多少？【解解】根据式（3-4）得 由式（3-5）得ttttxu10)5(dddd2txxxttvdd12525ddddy23221010)5(125ttt10tuax430ttvayttttxu10)5(dddd2txxxttvdd12525ddddy23221010)5(125tttttttxu10)5(dddd2txxxttvdd12525ddddy210tuax430ttvay流场的基本概念流场的基本概
14、念按照流体性质分：按照流体性质分：理想流体的流动和粘性流体的流动理想流体的流动和粘性流体的流动 不可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动不可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动按照流动状态分：按照流动状态分：定常流动和非定常流动定常流动和非定常流动 有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动 层流流动和紊流流动层流流动和紊流流动按照流动空间的坐标数目分：按照流动空间的坐标数目分：一维流动、二维流动和三维流动一维流动、二维流动和三维流动一、定常流动和非定常流动一、定常流动和非定常流动1.1.定常流动定常流动流动参量流动参量不随不随时间变化的流动。时间变化的流动。),(),(),(zyxzyxppzyxvv
15、特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而与时间无关。数，而与时间无关。0（）t即：即：2.2.非定常流动非定常流动流动参量流动参量随随时间变化的流动。时间变化的流动。特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且与时间有关。数，而且与时间有关。0t（）即：即：),(),(),(tzyxtzyxpptzyxvv二、一维流动、二维流动和三维流动二、一维流动、二维流动和三维流动流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。)(xvv),
16、(zyxvv),(yxvv一维流动一维流动二维流动二维流动三维流动三维流动1.1.定义定义实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以简化。体情况加以简化。一）、迹线一）、迹线流体质点的运动轨迹。是流体质点的运动轨迹。是拉格朗日方法拉格朗日方法研究的内容。研究的内容。1.1.定义定义迹线：迹线：某一液体质点在运动过程中，不同时刻某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线称为迹线，即液体所流经的空间点所连成的线称为迹线，即液体质点运动时所走过的轨迹线。质点运动时所走过的轨迹线。三、流线和迹线三、流线和迹线twzvyuxdd
17、dd迹线微分方程，是自变量。(3-6)二）、流线二）、流线在同一瞬间，位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此在同一瞬间，位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此线在该点的切线重合，则这条线称为流线。适于线在该点的切线重合，则这条线称为流线。适于欧拉方法欧拉方法。1.1.定义定义u21uu2133u6545u46u流线流线2.2.流线微分方程流线微分方程u21uu2133u6545u46u流流线线0d svdsdvvzvdsdyvvyvdsdxvvxvzyx),cos(),cos(),cos(zyxvdzvdyvdx(3-7)3.3.流线的性质流线的性质（1 1）流线彼此不能相交。）流线彼
18、此不能相交。（2 2）流线是一条光滑的曲线，）流线是一条光滑的曲线，不可能出现折点。不可能出现折点。（3 3）定常流动时流线形状不变，）定常流动时流线形状不变，非定常流动时流线形状发生变化。非定常流动时流线形状发生变化。v1v2s1s2交点v1v2折点s【例例3-33-3】有一流场，其流速分布规律为：u=-ky，v=kx，w=0，试求其流线方程。【解解】由于w=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为 将两个分速度代入流线微分方程得到：xdx+ydy=0 即 积分上式得到 x2+y2=c 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。一）、流管一）、流管 流束流束1.1.流管流管 流束流束流管：在流
19、场内任意作一封闭曲线（不是流线），通过封闭曲线流管：在流场内任意作一封闭曲线（不是流线），通过封闭曲线 上所有各点作流线，所形成的一个封闭的管状曲面称为流管。上所有各点作流线，所形成的一个封闭的管状曲面称为流管。流束：流束：流管内部的流体称为流束。流管内部的流体称为流束。封闭曲线封闭曲线无限小无限小时所形成的流管时所形成的流管2.2.微元流管微元流管 微元流管：封闭曲线微元流管：封闭曲线无限小无限小时所形成的流管时所形成的流管微元流管的极限为微元流管的极限为流线流线二）、缓变流二）、缓变流 急变流急变流缓缓变变流：流线平行或接近平行的流动流：流线平行或接近平行的流动缓变流急变流缓变流急变流缓变
20、流急变流缓变流急变流缓变流急变流急急变变流：流线间相互不平行，有夹角的流动流：流线间相互不平行，有夹角的流动三）、有效截面三）、有效截面 流量流量 平均流速平均流速 1.1.有效截面有效截面处处与流线相垂直的流束的截面处处与流线相垂直的流束的截面单位时间内流经某一规定表面的流体量单位时间内流经某一规定表面的流体量2.2.流量流量dAxvvqAv),cos(dAvqAv3.3.平均流速平均流速流经有效截面的体积流量除以有效截面积而得到的商流经有效截面的体积流量除以有效截面积而得到的商Aqvva有效截面：有效截面：四）、湿周四）、湿周 水力半径水力半径 1.1.湿周湿周在有效截面上，流体同固体边界
21、接触部分的周长在有效截面上，流体同固体边界接触部分的周长2.2.水力半径水力半径R=2R=AB+BC+CDABCD=ABCABC有效截面积与湿周之比称为水力半径有效截面积与湿周之比称为水力半径XARh 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。在这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭
22、曲面内的空间；体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分方程，称为连续性方程。一、直角坐标系下连续性微分方程式一、直角坐标系下连续性微分方程式 设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、dy和dz，如图所示。假设微元平行六面体形心的坐标为x、y、z，在某一瞬时t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为u、v、w，流体的密度为。现讨论流体经六面体各面的流动情况。先分析x轴方向，由式欧拉法可知，u和都是坐标和时间的连续函数，即u=u(x，y，z，t)和=(x，y，z，t)。根据泰勒级数展开式，略去高于一阶
23、的无穷小量，得在d时间内，沿轴方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为图 流场中的微元平行六面体 同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为 上述两者之差为在dt时间内沿x轴方向流体质量的变化，即 tzytzyxxutzyxxddd,2d,2dtzyxtuuxttzyxtutzyxuxttzyxddd2d2dddd2d),(2d),(tzyxtuuxtddd2d2dtzyxuxtzyxxuxxudddd)(ddddd 同理可得，在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为：因此，在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为由于流体是作为连续介质来研究的，所以上式所表示的六
24、面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此上式应和由于流体密度的变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。设开始瞬时流体的密度为，经过dt时间后的密度为tzyxvydddd)(tzyxwzdddd)(tzyxzwyvxuddddttttzyxd)d,(则可求出在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为根据连续性条件，经简化得到（3-8）式为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。）式为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。若流体是定常流动，则 ，上式成为式为可压缩流体定常三维流动的连续性方程。若流体是不可压缩的，不论是定常或非定常流动均tzyxtzyxz
25、yxttddddddddddd0zwyvxut0t0zwyvxu(3-8)(3-9)为常数，故上式成为 上式为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。物理意义：物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。在流体力学中时常讨论所谓平面（二维）流动，即平行任何一个坐标平面的流动。若这种流动的流动参数（如速度、压强）只沿x、y两个坐标轴方向发生变化，则上式可以写成 由于在推导上述连续性方程时，没有涉及作用力的问题，所以不论是对理想流体还是实际流体都是适用的。0zwyvxu0yvxu(3-10)(3-11)二、微元流束和总流的连续
26、性方程二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题，所谓一维流动：一维流动：是指流动参数仅在一个方向上有显著的是指流动参数仅在一个方向上有显著的变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。计。例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一微元流束。假定流体的运动是连续的、定常的，则微元流管的形状不随时间而改变。又根据流管的特性，流体质点不能穿过流管表面，因此在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的流体质量都应相等流体质量都应相等，即 1V1dA1=2V2d
27、A2=VdA=常数 式中 dA1、dA2分别为1、2两个有效截面的面积，m2；图 流场中的微元流束 V1 、V2分别为dA1和dA2上的流速，也称为真实流速，m/s；1 、2分别为和处的流体密度，kg/m3。对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管道中的流动），可对式进行积分得 式中 A1 和A2分别为总流1和2两个有效截面的面积，m2。为一维流动积分形式总流的连续性方程。设 和 是总流两个有效截面l和2上的平均流速，则上式可写成 常数AAAAVAVAVddd212221111V2V222111AVAV(3-12)(3-13)式中1和2分别代表截面和上的平均密度，kg/m3。(3-13)
28、式表示当流动为可压缩流体定常流体动时，沿流动方向的质量流量为一个常数。对不可压缩均质流体常数，则上式成为 (3-14)式为不可压缩流体一维定常流动的总流连续性方程。该式说明一维总流在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比，即有效截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地方平均流速就大。2211AVAV(3-14)【例例3-4】假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。试分析该流动是否连续。【解解】根据(3-10)式 所以 故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的 3xu4yv2zw09
29、 zwyvxu 【例例3-5】有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。【解解】根据(3-10)式 所以 故此流动是连续的。yxxusin2yxyvsin20)sin2(sin2yxyxyvxu 【例例3-6】有一输水管道，如图所示。水自截面1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速 m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，试求截面2-2处的平均流速 为多少？【解解】由(3-14)式得 (m/s)2V2V22221144dVdV5.015.02222112ddVV图 输水管道一、连续方程（积分形式）一、连续方程（积分形式）本质：
30、质量守恒定律本质：质量守恒定律CVCSndAvdVtdtdNmdVNV10dtdmCVCSndAvdVt0单位质量单位质量系统的质量系统的质量总结总结二、连续方程的其它形式二、连续方程的其它形式定常流动：定常流动：CSndAv0定常流动条件下，通过控定常流动条件下，通过控制面的流体质量等于零制面的流体质量等于零一维定常流：一维定常流：2121AnAndAvdAv常数2211AvAvaa不可压缩一不可压缩一维定常流：维定常流：常数Ava在定常流动条件下，通过在定常流动条件下，通过流管的任意有效截面的流管的任意有效截面的质质量流量量流量是常量是常量。在定常流动条件下，通过在定常流动条件下，通过流管
31、的任意有效截面的流管的任意有效截面的体体积流量积流量是常量是常量。在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为dx、dy和dz，如图所示。由于是理想流体，没有黏性，运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六面体形心的坐标为x、y、z，压强为p。先分析x方向的运动，在垂直于x轴的左右两个平面中心点上的压强各等于 由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面上的2dxxpp2dxxpp图 推导欧拉运动微分方程用图 平均压强。设在六面体形心上的单位质量的质量力分量为fx、fy和fz，则作用在微元
32、平行六面体的流体微团上的质量力在轴方向的分量为 fxdxdydz 又流体微团的加速度在x轴上的投影为 ，则根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程 将上式各项除以流体微团的流体质量dxdydz，化简后得：同理 DtDuDtDuzyxzyxxppzyxxppzyxfxddddd2ddd2ddddDtDuxpfx1DtDvypfy1DtDwzpfz1(3-16)(3-15)这就是理想流体的运动微分方程，早在1755年就为。对于静止的流体u=v=w=0，则由式可以直接得出流体平衡微分方程，即欧拉平衡微分方程式（2-3）。因此欧拉平衡微分方程只是欧拉运动微分方程的一个特例。如果把加速度写成展开式，可将
33、欧拉运动微分方程写成如下形式 zwwywvxwutwzpfzvwyvvxvutvypfzuwyuvxuutuxpfzyx111(3-17)在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、fy和fz 是已知的，对理想不可压缩流体其密度为一常数。在这种情况下，上式中有四个未知数u、v、w和p，而上式中有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程，就从理论上提供了求解这四个未知数的可能性。一、理想流体微元流束的伯努利方程一、理想流体微元流束的伯努利方程 理想流体的运动微分方程上式只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下：(1)不可压缩理想流体的定常流动；(2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；(3
34、)质量力只有重力。即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。假定流体是定常流动，则有 ，0t0zwyvxu 因此式可写成 (3-18)假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz。现用dx、dy和dz分别乘以式（3-18）的第一式、第二式和第三式，则可得到zwwywvxwuzpfzvwyvvxvuypfzuwyuvxuuxpfzyx111 (3-19)由流线微分方程有 udy=vdx ydz=wdy wdx=udz 将式（3-19）代入式（3-18）中的对应项，则得zzwwzywvzxwuzzpzfyzvwyyvvyxvuyypyfxzuwxyuvxxuuxxpxfzyx
35、dddd1ddddd1ddddd1d(3-20)(3-21)将式（3-21）的三个方程相加，得到 由于式（3-22）中的dx、dy和dz是流体微团沿流线微小位移ds的三个分量，所以要沿流线（或微元流束）进行积分。wwzzwwyywwxxwwzzpzfvvzzvvyyvvxxvvyypyfuuzzuuyyuuxxuuxxpxfzyxddddd1dddddd1dddddd1dwwvvuuzzpyypxxpzfyfxfzyxdddddd1)ddd(3-22)式（3-22)中的 假设质量力只有重力，fx=0，fy=0，fz=-g，即z轴垂直向上，oxy为水平面。则式(3-22)可写成 又假设为不可压缩
36、均质流体，即=常数，积分后得 或 式（3-23）称为理想流体微元流束的伯努利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围pzzpyypxxpdddd2222d21)(d21dddVwvuwwvvuu0d21d1d2Vpzg常数22Vpgz常数gVgpz22(3-23)是：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）。若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则式（3-23）也可写成 在特殊情况下，绝对静止流体V=0，由式(3-24)可以得到静力学基本方程 二、方程的物理意义和几何意义二、方程的物理意义和几何意义 为了进一步理解理想流体微元流束的伯
37、努利方程，现来叙述该方程的物理意义和几何意义。1、物理意义 理想流体微元流束的伯努利方程式（3-24）中，左端gVgpzgVgpz2222222111常数gpz(3-24)前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即第一项z表示单位重量流体所具有的位势能；第二项p/(g)表示单位重量流体的压强势能；第三项V2/(2g)理解如下：由物理学可知，质量为m的物体以速度V运动时，所具有的动能为Mv2/2，则单位重量流体所具有的动能为V2/(2g)即(mV2/2)/(mg)=V2/(2g)。所以该项的物理意义为单位重量流体具有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。因此，伯努利方程可叙述为：理想不可压
38、缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。2、几何意义图 理想流体微元流束的伯努利方程式（3-24）中，左端前两项的几何意义，同样在静力学中已有阐述，即第一项z表示单位重量流体的位置水头，第二项p/(g)表示单位重量流体的压强水头，第三项V2/(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所研究流体由于具有速度V，在无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头。位置水头、
39、压强水头和速度水头之和称为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系，如图所示。因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，即总水头是一常数。图 总水头线和静水头线皮托管测速仪皮托管测速仪 在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流速的大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量，要测量管道中流体的速度，可采用皮托管来进行，其测量原理如图所示。在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端理想流体恒定元流能量方程的应用理想流体恒定元流能量方程的应用
40、VBAZZ 皮托管测速原理图 开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。将测速管（又称皮托管）的一端正对着来流方向，另一端垂直向上，这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h。这是由于当液流流到测速管入口前的A点处，液流受到阻挡，流速变为零，则在测速管入口形成一个驻点A。驻点A的压强PA称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例如B点）的液体压强为 PB，速度为V。应用伯努利方程于同一流线上的、两点，则有 则 022gpzgVgpzABgVgpgphBA22ghppvBA22 上式表明，只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰
41、，实际流速比用该式计算出的要小，因此，实际流速为 式中 流速修正系数，一般由实验确定，=0.97。如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来，必须把两根管子连接到一个形差压计上，从差压计上的液面差来求得流速，如图所示，则 则得 ghV2)(液液ghppBA122液液液液ghhgV图 用皮托管和静压管测量气体流速 考虑到实际情况，在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件，称为皮托静压管，又称动压管，习惯上常简称它为皮托管，其示意图如图所示。图中1点为总压测点，2点为静压测点，将总静压孔的通路分别连接于差压计的两端，则差压计的指示为总压和静压的差值，从而可由上式求得测点的流速。皮
42、托-静压管的构造及使用方法。12液液ghV图 皮托-静压管 实际液体恒定元流的能量方程式实际液体恒定元流的能量方程式2211221222pupuZZggggwhwh单位重量液体从断面单位重量液体从断面1-11-1流至断面流至断面2-22-2所损失所损失的能量，称为水头损失。的能量，称为水头损失。001Z2Z12wh 将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来，将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来，即为总流的能量方程式。即为总流的能量方程式。22112212()()22wQQpupuZgdQZhgdQgggg22112212()()22wQQQQQpupuZgdQgdQZgdQgdQh
43、gdQgggg()QpZgdQg均匀流或渐变流过水断面上()pZCg()QpZg dQg()pZgQg22QugdQgdQudA32Agu dAg33Au dAV A动能修正系数,1.051.132gV Ag22VgQgwQhgdQ取平均的hwwQhgdQwhgQ11()pZgQg2112VgQg22()pZgQg2222VgQgwhgQVu，2211 12221222wpVpVZZhgggg3.5实际液体恒定总流的能量方程实际液体恒定总流的能量方程221112221222wpVpVZZhgggg2001Z2Z1wh12 实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头实际液体恒定
44、总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。12wHHh12wEEh总水头线测压管水头线22Vg 实际液体总流的总水头线必定是一条实际液体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是下降的线也可能是上升的线甚至可能是一下降的线也可能是上升的线甚至可能是一条水平线。条水平线。水力坡度水力坡度J J单位长度流程上的水头损失，单位长度流程上的水头损失，wdhdHJdLdL测管坡度测管坡度()ppd ZgJdL方程式的物理意义：应用能量方程式的
45、条件：应用能量方程式的条件：221112221222wpVpVZZhgggg（1）恒定流；（2）质量力只有重力；(3)不可压缩流体；（4）在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流；（5）在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加入或分出。若有分支，则应对第一支水流建立能量方程式，例如图示有支流的情况下,能量方程为：（6）流程中途没有能量H输入或输出。若有，则能量方程式应为：Q1Q2Q311223322333111131 322wpVpVZZhgggg22333222232 322wpVpVZZhgggg221112221222twp
46、VpVZHZhgggg2211 12221222wpVpVZZhgggg应用能量方程式的注意点：应用能量方程式的注意点：（1 1）选取高程基准面；）选取高程基准面；（2 2）选取两过流断面；）选取两过流断面；所选断面上水流应符合渐变流的条件，但所选断面上水流应符合渐变流的条件，但两个断面之间，水流可以不是渐变流。两个断面之间，水流可以不是渐变流。（3 3）选取计算代表点；）选取计算代表点；（4 4）选取压强的计算基准；）选取压强的计算基准；（5 5）方程中各项单位的统一。）方程中各项单位的统一。能量方程式的应用能量方程式的应用 例例1.1.如图所示，一等直径的输如图所示，一等直径的输水管，管径
47、为水管，管径为d=100mmd=100mm，水箱水位，水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心点恒定，水箱水面至管道出口形心点的高度为的高度为H=2mH=2m，若不水流运动的水，若不水流运动的水头损失，求管道中的输水流量。头损失，求管道中的输水流量。H分析：分析：Q=VAQ=VA；A=dA=d2 2/4/4所以需要用能量方程式求出所以需要用能量方程式求出V V；221100解：对解：对1-11-1、2-22-2断面列能量方程式：断面列能量方程式：22122000022VVgg其中：其中：2102Vg所以有：所以有：2222Vg可解得：可解得：246.26/Vgms则：则：22323.140.16.
48、260.049/44dQVms答：该输水管中的输水流量为答：该输水管中的输水流量为0.049m0.049m3 3/s/s。文丘里流量计（文丘里量水槽）文丘里流量计（文丘里量水槽）1 12 2收缩段喉管扩散段hh1h2h1h2B1B2111222h以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失，以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失，对对1-11-1、2-22-2断面列能量方程式：断面列能量方程式：221212022VVhhgg整理得：整理得：2221122VVhhhg由连续性方程式可得：由连续性方程式可得：21222211VAdVAd或或21212()dVVd代入能量方程式，整理得：代入能量方程式，整理得
49、：14122()1ghVdd则则211 141224()1dghQ AVK hdd当水管直径及喉管直径确定后，当水管直径及喉管直径确定后，K为为一定值，可以预先算出来。一定值，可以预先算出来。若考虑水头损失，实际流量会减小，则若考虑水头损失，实际流量会减小，则QKh称为文丘里管的流量系数，称为文丘里管的流量系数，一般约为一般约为0.950.98 伯努利方程应用时特别注意的几伯努利方程应用时特别注意的几个问题个问题 伯努利方程是流体力学的基本方程之一，与连续性方程和流体静力学方程联立，可以全面地解决一维流动的流速(或流量)和压强的计算问题，用这些方程求解一维流动问题时，应注意下面几点：文丘里流量
50、计实验 (1)弄清题意，看清已知什么，求解什么，是简单的流 动问题，还是既有流动问题又有流体静力学问题。(2)选好有效截面，选择合适的有效截面，应包括问题中所求的参数，同时使已知参数尽可能多。通常对于从大容器流出，流入大气或者从一个大容器流入另一个大容器，有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面，因为该有效截面的压强为大气压强，对于大容器自由液面，速度可以视为零来处理。(3)选好基准面，基准面原则上可以选在任何位置，但选择得当，可使解题大大简化，通常选在管轴线的水平面或自由液面，要注意的是，基准面必须选为水平面。(4)求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努利方程的p1和p
