1、首先，什么是数字控制器？首先，什么是数字控制器？控制系统的四大要素是什么？控制系统的四大要素是什么？被控对象、检测变送器、执行机构、控制器被控对象、检测变送器、执行机构、控制器计算机控制系统的结构框图：计算机控制系统的结构框图：这是一个采样系统的框图：控制器这是一个采样系统的框图：控制器D(Z)D(Z)的输入量是的输入量是偏差，偏差，U(k)U(k)是控制量是控制量H(S)H(S)是零阶保持器是零阶保持器G(S)G(S)是被控对象的传递函数是被控对象的传递函数 22)21(2)(111)(TssTTeTsTssTsTsesH sesHsT1)(222sin22sin)(1)(TTTTeTTTj
2、eeejejHjjjjTj2T2T2T2T2222)21(2)(111)(TssTTeTsTssTsTsesH其中C是连续控制系统的剪切频率。按上式的经验法选择的采样周期相当短。因此，采用连续化设计方法，用数字控制器去近似连续控制器，要有相当短的采样周期。22)21(2)(111)(TssTTeTsTssTsTsesH2121212122sTsTsTsTeeezsTsTsT112zzTs112)()(zzTssDzDS与Z之间互为线性变换双线性变换或塔斯廷（Tustin）近似tdttetu0)()(ssEsUsD1)()()(ssEsUsD1)()()()()()()(121 kekeTkuk
3、u1z1zT2s)s(D1z1zT21)z(E)z(U)z(DTzs1TzssDzD1)()(dttdetu)()(ssEsUsD)()()(Tkekeku)()1()(TzssDTzzEzUzD1)(1)()()(利用级数展开还可将Z=esT写成以下形式 sTeeZsTsT111Tzzs1TzzssDzD1)()(请给出证明过程！数字控制器D(Z)的一般形式为下式，其中nm,各系数ai,bi为实数，且有n个极点和m个零点。U(z)=(-a1z-1-a2z-anz-n)U(z)+(b0+b1z-1+bmz-m)E(z）上式用时域表示为 u(k)=-a1u(k-1)-a2u(k-2)-anu(k
4、-n)+b0e(k)+b1e(k-1)+bme(k-m)nnmmzazazbzbbzEzUzD111101)()()(1s110ssD)(这是典型的微分校正这是典型的微分校正同时，我们可以容易的求得闭环传递函数，可以验证闭环连同时，我们可以容易的求得闭环传递函数，可以验证闭环连续系统满足性能指标的要求。续系统满足性能指标的要求。第二步：选择采样周期第二步：选择采样周期T T。闭环系统的无阻尼振荡的频率为闭环系统的无阻尼振荡的频率为wnwn=1Hz=1Hz，阻尼系数，阻尼系数从而求得阻尼振荡频率从而求得阻尼振荡频率 ，即振荡周期即振荡周期1SS1SGSD1SGSDSH2)()()()()(50.
5、2312nd25s72Tdd.第三步：计算离散等效传递函数第三步：计算离散等效传递函数D(z)D(z)。第四步：设计计算机实现的控制算法。第四步：设计计算机实现的控制算法。第五步：仿真，校验。第五步：仿真，校验。校准前后控制输出曲线对应的模拟对应的模拟PIDPID调节器的传递函数为调节器的传递函数为 PIDPID控制规律为控制规律为 K KP P为比例增益，为比例增益，K KP P与比例带与比例带成倒数关系即成倒数关系即K KP P=1/=1/，T TI I为积分时间，为积分时间，T TD D为微分时间，为微分时间，u(t)u(t)为控制量，为控制量，e(t)e(t)为偏差。为偏差。tDIPd
6、ttdeTdtteTteKtu0)()(1)()()11()()()(sTsTKsEsUsDDIP控制规律：控制规律：u(t)=Kpu(t)=Kp*e(t)+ue(t)+u0 0 其中，其中，KpKp为比例系数，为比例系数，u u0 0是控制量的基准，也就是是控制量的基准，也就是e=0e=0时的控时的控制作用（比如阀门的起始开度、基准的信号等）制作用（比如阀门的起始开度、基准的信号等）特点：有差调节，特点：有差调节，只要偏差出现，就能及时地产生与之成比只要偏差出现，就能及时地产生与之成比例的调节作用，具有调节及时的特点。例的调节作用，具有调节及时的特点。偏差偏差e e的大小，受比例系数的影响。
7、的大小，受比例系数的影响。e(t)y00ttKP e(t)阶跃响应特性曲线阶跃响应特性曲线控制规律：控制规律：其中，其中，S S0 0为积分速度。为积分速度。特点：特点：无差调节；无差调节；稳定性变差：积分引入了稳定性变差：积分引入了-90-90度相角。度相角。tdtte00)(S)t(u所谓积分作用是指调节器的输出与输入偏差的积分成比例的作用所谓积分作用是指调节器的输出与输入偏差的积分成比例的作用e(t)y00tt积分作用响应曲线积分作用响应曲线 综合了综合了P,I两种调节的优点，利用两种调节的优点，利用P调节快速的抵消干扰的调节快速的抵消干扰的影响，同时利用影响，同时利用I调节消除残差。调
8、节消除残差。控制规律：控制规律：T Ti i 为积分时间。为积分时间。可以利用积分时间来衡量积分作用所占的比重，积分时间可以利用积分时间来衡量积分作用所占的比重，积分时间越大，积分作用所占的比重越小；积分时间越小，积分作用所越大，积分作用所占的比重越小；积分时间越小，积分作用所占的比重越大。占的比重越大。dte(t)T1)t(e kdte(t)Se(t)ku(t)t0ipt00p dttdeTKtuDP)()(微分作用响应曲线微分作用响应曲线 比例控制能迅速反应误差，偏差一旦产生，控制器立即产比例控制能迅速反应误差，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，从而减小误差，但比例控制不能消除稳态误差
9、，生控制作用，从而减小误差，但比例控制不能消除稳态误差，K KP P的加大，会引起系统的不稳定；的加大，会引起系统的不稳定；积分控制主要用于消除静差，提高系统的无差度。只要系积分控制主要用于消除静差，提高系统的无差度。只要系统存在误差，积分控制作用就不断地积累，输出控制量以消除统存在误差，积分控制作用就不断地积累，输出控制量以消除误差，因而，只要有足够的时间，积分控制将能完全消除误差，误差，因而，只要有足够的时间，积分控制将能完全消除误差，积分作用太强会使系统超调加大，甚至使系统出现振荡；积分作用太强会使系统超调加大，甚至使系统出现振荡；微分环节能反映偏差信号的变化趋势，并能在偏差信号值微分环
10、节能反映偏差信号的变化趋势，并能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，加快变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，加快系统的动态响应速度，减小调整时间，系统的动态响应速度，减小调整时间，同时可以减小超调量，同时可以减小超调量，克服振荡，使系统的稳定性提高克服振荡，使系统的稳定性提高从而改善系统的动态性能。从而改善系统的动态性能。tDIPdttdeTdtteTteKtu0)()(1)()(e(t)y00tt KP e(t)KP K1 e(t)KP KD e(t)PIDPID调节器对阶跃响应特性曲线调节器对阶跃响应特性曲线 由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据
11、采样时刻的由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量。偏差值计算控制量。在计算机控制系统中，在计算机控制系统中，PIDPID控制规律的实现必须用数值逼近控制规律的实现必须用数值逼近的方法。当采样周期相当短时，用求和代替积分、用后向差分的方法。当采样周期相当短时，用求和代替积分、用后向差分代替微分，使模拟代替微分，使模拟PIDPID离散化变为差分方程。离散化变为差分方程。(1)(1)数字数字PIDPID位置型控制算法位置型控制算法 (2)(2)数字数字PIDPID增量型控制算法增量型控制算法 怎么得来的呢？T1kekeTieTTkeKkuDk0iIP)()()()()(T
12、1)e(ke(k)dtde(t)kitiTedtte0)()(0)2()1(2)()()1()()1()()(kekekeKkeKkekeKkukukuDIPTkekeTieTTkeKkuDkiIP)2()1()()1()1(10(1)(1)积分分离积分分离 (2)(2)抗积分饱和抗积分饱和 (3)(3)梯形积分梯形积分 (4)(4)消除积分不灵敏区消除积分不灵敏区 积分的作用？消除残差，提高精度在过程的启动、结束或大幅度增减设定值时，短时间内系统输出在过程的启动、结束或大幅度增减设定值时，短时间内系统输出有很大的偏差，会造成有很大的偏差，会造成PIDPID运算的积分积累。由于系统的惯性和滞运
13、算的积分积累。由于系统的惯性和滞后，在积分累积项的作用下，往往会产生较大的超调和长时间的后，在积分累积项的作用下，往往会产生较大的超调和长时间的波动。特别对于温度、成份等变化缓慢的过程，这一现象更为严波动。特别对于温度、成份等变化缓慢的过程，这一现象更为严重。为此，可采用积分分离措施：重。为此，可采用积分分离措施：偏差偏差e(k)e(k)较大时，取消积分作用；较大时，取消积分作用；偏差偏差e(k)e(k)较小时较小时,将积分作用投入。将积分作用投入。对于积分分离，应该根据具体对象对于积分分离，应该根据具体对象及控制要求合理的选择阈值及控制要求合理的选择阈值 。若若值过大，达不到积分分离值过大，
14、达不到积分分离的目的；的目的；若若值过小，一旦被控量值过小，一旦被控量y(t)y(t)无法跳出各积分分离区，只进行无法跳出各积分分离区，只进行PDPD控制，将会出现残差。控制，将会出现残差。因长时间出现偏差或偏差较大，计算出的控制量有可能溢出，因长时间出现偏差或偏差较大，计算出的控制量有可能溢出，或小于零。或小于零。所谓溢出就是计算机运算得出的控制量所谓溢出就是计算机运算得出的控制量u(k)u(k)超出超出D/AD/A转换器所转换器所能表示的数值范围。能表示的数值范围。一般执行机构有两个极限位置，如调节阀全开或全关。设一般执行机构有两个极限位置，如调节阀全开或全关。设u(k)u(k)为为FFH
15、FFH时，调节阀全开；反之，时，调节阀全开；反之，u(k)u(k)为为00H00H时，调节阀全关。时，调节阀全关。如果执行机构已到极限位置，仍然不能消除偏差时，由于积如果执行机构已到极限位置，仍然不能消除偏差时，由于积分作用，尽管计算分作用，尽管计算PIDPID差分方程式所得的运算结果继续增大或减小，差分方程式所得的运算结果继续增大或减小，但执行机构已无相应的动作，这就称为但执行机构已无相应的动作，这就称为积分饱和积分饱和。当出现积分饱和时，势必使超调量增加，控制品质变坏。作当出现积分饱和时，势必使超调量增加，控制品质变坏。作为防止积分饱和的办法之一，可对计算出的控制量为防止积分饱和的办法之一
16、，可对计算出的控制量u(k)u(k)限幅，同限幅，同时，把积分作用切除掉。若以时，把积分作用切除掉。若以8 8位位D/AD/A为例，则有为例，则有 当当u(k)u(k)00H00H时，取时，取u(k)=0u(k)=0 当当u(k)u(k)FFHFFH时，取时，取u(k)=FFHu(k)=FFH矩形积分梯形积分kitTieieedt002)1()()(ieTedtk0it0积分不灵敏区产生的原因积分不灵敏区产生的原因：由于计算机字长的限制，当运算结果小于字长所能表示的数的精度，计算机由于计算机字长的限制，当运算结果小于字长所能表示的数的精度，计算机就作为就作为“零零”将此数丢掉。当计算机的运行字
17、长较短，采样周期将此数丢掉。当计算机的运行字长较短，采样周期T T也短，而积也短，而积分时间分时间T TI I又较长时，又较长时，u uI I(k(k)容易出现小于字长的精度而丢数，此积分作用消容易出现小于字长的精度而丢数，此积分作用消失，这就称为积分不灵敏区。失，这就称为积分不灵敏区。（举例）某温度控制系统，温度量程为（举例）某温度控制系统，温度量程为0 0至至12751275，A/DA/D转换为转换为8 8位，并采用位，并采用8 8位位字长定点运算。设字长定点运算。设KP=1,T=1S,TI=10s,e(k)=50 KP=1,T=1S,TI=10s,e(k)=50 为了消除积分不灵敏区，通
18、常采用以下措施：为了消除积分不灵敏区，通常采用以下措施：增加增加A/D转换位数，加长运算字长，这样可以提高运算精度。转换位数，加长运算字长，这样可以提高运算精度。当积分项当积分项uI(k)连续连续n次出现小于输出精度次出现小于输出精度的情况时，不要把的情况时，不要把它们作为它们作为“零零”舍掉，而是把它们一次次累加起来，直到累加值舍掉，而是把它们一次次累加起来，直到累加值SI大于大于时，才输出时，才输出SI，同时把累加单元清零，同时把累加单元清零。1)501275255(101)()(keTTKkuIPI如果偏差如果偏差e(k)e(k)5050，则，则uuI I(k(k)1 1，计算机就作为，
19、计算机就作为“零零”将此将此数丢掉，控制器就没有积分作用。只有当偏差达到数丢掉，控制器就没有积分作用。只有当偏差达到5050时，才会时，才会有积分作用。有积分作用。PIDPID调节器的微分作用对于克服系统的惯性、减少超调、抑制振调节器的微分作用对于克服系统的惯性、减少超调、抑制振荡起着重要的作用。但是在数字荡起着重要的作用。但是在数字PIDPID调节器中，微分部分的调节调节器中，微分部分的调节作用并不是很明显，甚至没有调节作用，这是为什么呢？作用并不是很明显，甚至没有调节作用，这是为什么呢？我们可以从离散化后的计算公式中分析出微分项的作用。我们可以从离散化后的计算公式中分析出微分项的作用。相反
20、，对于频率较高的干扰，信号又比较敏感，容易引起控制过程振荡，相反，对于频率较高的干扰，信号又比较敏感，容易引起控制过程振荡，降低调节品质，因此，我们需要对微分项进行改进。降低调节品质，因此，我们需要对微分项进行改进。主要有以下两种方法：主要有以下两种方法：(1)(1)不完全微分不完全微分PIDPID控制算法控制算法 (2)(2)微分先行微分先行PIDPID控制算式控制算式TkekeTKkuDP)1()()(d当当e e（k k）为阶跃函数时，微分输出依次为）为阶跃函数时，微分输出依次为K KP PT TD D/T,0,0/T,0,0即微分项的输出仅在第一个周期起激励作用，对于时间常数较大的系统
21、，即微分项的输出仅在第一个周期起激励作用，对于时间常数较大的系统，其调节作用很小，不能达到超前控制误差的目的。而且在第一个周期微其调节作用很小，不能达到超前控制误差的目的。而且在第一个周期微分作用太大，在短暂的输出时间内，执行器达不到应有的相应开度，会分作用太大，在短暂的输出时间内，执行器达不到应有的相应开度，会使输出失真。使输出失真。作用：消除高频干作用：消除高频干扰，延长微分作用扰，延长微分作用的时间的时间11)(sTsDff如何来实现的呢？)()()()()()()()()(1kekeTTieTTkeKkudttdeTdtteT1teKtuDk0iIPDt0IP将将其其离离散散化化取取拉
22、拉氏氏反反变变换换)()()()()()()()()()(kukuT1kukuTtutudttduT1sT1sususDffff由联立可得：)()1()1()()()(kukukukukuTTT1TTTfff其中：TTTff)()()()()()()()()(1-kykyTTK2-ky1-k2ykyTTKkeTTK1kekeKkuIDpDpIpp3 3时间最优时间最优+PID+PID控制控制 控制控制PIDBangBangkykrke,)()()(最大值原理是庞特里亚金最大值原理是庞特里亚金(Pontryagin(Pontryagin)于于19561956年提出的一种最优控制理论，年提出的一种
23、最优控制理论，最大值原理也叫快速时间最优控制原理，它是研究满足约束条件下获得允许最大值原理也叫快速时间最优控制原理，它是研究满足约束条件下获得允许控制的方法。用最大值原理可以设计出控制变量只在控制的方法。用最大值原理可以设计出控制变量只在u(t)u(t)11范围内取值范围内取值的时间最优控制系统。而在工程上，设的时间最优控制系统。而在工程上，设u(t)u(t)11都只取都只取1 1两个值，而且两个值，而且依照一定法则加以切换使系统从一个初始状态转到另一个状态所经历的过依照一定法则加以切换使系统从一个初始状态转到另一个状态所经历的过渡时间最短，这种类型的最优切换系统，称为开关控制渡时间最短，这种
24、类型的最优切换系统，称为开关控制(Bang-Bang(Bang-Bang控制控制)系统。系统。工业控制应用中，最有发展前途的是工业控制应用中，最有发展前途的是Bang-BangBang-Bang控制与反馈控控制与反馈控制相结合的系统，这种控制方式在给定值升降时特别有效。具制相结合的系统，这种控制方式在给定值升降时特别有效。具体形式为：体形式为：应用开关控制（应用开关控制（Bang-BangBang-Bang控制）让系统在最短过渡时间内从控制）让系统在最短过渡时间内从一个初始状态转到另一个状态；一个初始状态转到另一个状态；应用应用PIDPID来保证线性控制段内的定位精度。来保证线性控制段内的定位
25、精度。4 4带死区的带死区的PIDPID控制算法控制算法 )()()(,0)()()(),()(kekykrkekykrkekP当当为了避免控制动作过于频繁，以消除由于频繁动作所引起的振为了避免控制动作过于频繁，以消除由于频繁动作所引起的振荡，有时采用所谓带有死区的荡，有时采用所谓带有死区的PIDPID控制系统。控制系统。死区死区是一个可调参数，其具体数值可根据实际控制对象由实验确定。是一个可调参数，其具体数值可根据实际控制对象由实验确定。值太小，使调节过于频繁，达不到稳定被调节对象的目的；值太小，使调节过于频繁，达不到稳定被调节对象的目的；如果如果取得太大，则系统将产生很大的滞后；取得太大，
26、则系统将产生很大的滞后；当当=0=0，即为常规，即为常规PIDPID控制。控制。该系统实际上是一个非线性控制系统。该系统实际上是一个非线性控制系统。即当偏差绝对值即当偏差绝对值e(k)时，时，P(k)为为0；当；当e(k)时，时，P(k)=e(k)，输，输出值出值u(k)以以PID运算结果输出。运算结果输出。(1)(1)首先要考虑的因素首先要考虑的因素 根据根据香农香农采样定理，采样周期上限应满足：采样定理，采样周期上限应满足：T/T/maxmax,其中其中maxmax为被采样信号的上限角频率。为被采样信号的上限角频率。采样周期的下限为计算机执行控制程序和输入输出所耗费的采样周期的下限为计算机
27、执行控制程序和输入输出所耗费的时间，系统的采样周期只能在时间，系统的采样周期只能在T Tminmin与与T Tmaxmax之间选择（在允许范围之间选择（在允许范围内，选择较小的内，选择较小的T T）。）。(2)(2)其次要考虑以下各方面的因素其次要考虑以下各方面的因素 给定值的变化频率给定值的变化频率:变化频率越高，采样频率就应越高变化频率越高，采样频率就应越高;被控对象的特性：被控对象是快速变化的还是慢变的被控对象的特性：被控对象是快速变化的还是慢变的;执行机构的类型：执行机构的惯性大，采样周期应大执行机构的类型：执行机构的惯性大，采样周期应大;控制算法的类型：采用太小的控制算法的类型：采用
28、太小的T T会使得会使得PIDPID算法的微分积算法的微分积分作用很不明显；控制算法也需要计算时间。分作用很不明显；控制算法也需要计算时间。控制的回路数。控制的回路数。njjTT1TjTj指第指第j j回路控制程序执行回路控制程序执行时间和输入输出时间。时间和输入输出时间。模拟控制度0202)()(dttedtteDDCK=4.7PIDPID控制模拟框图控制模拟框图05010015020025000.511.5K=3050100150200250-0.500.511.52K=4.7050100150200250-6-4-20246K=5.5(2)(2)扩充响应曲线法扩充响应曲线法 在模拟控制系
29、统中，可用响应曲线法代替临界比例度法一在模拟控制系统中，可用响应曲线法代替临界比例度法一样，在样，在DDCDDC中也可以用扩充响应曲线法代替扩充临界比例度法。中也可以用扩充响应曲线法代替扩充临界比例度法。用扩充响应曲线法整定用扩充响应曲线法整定T T和和K KP P、T TI I、T TD D的步骤如下。的步骤如下。数字控制器不接入控制系统，让系统处于手动操作状态数字控制器不接入控制系统，让系统处于手动操作状态下，将被调量调节到给定值附近，并使之稳定下来。然后突然下，将被调量调节到给定值附近，并使之稳定下来。然后突然改变给定值，给对象一个阶跃输入信号。改变给定值，给对象一个阶跃输入信号。用记录
30、仪表记录被调量在阶跃输入下的整个变化过程曲用记录仪表记录被调量在阶跃输入下的整个变化过程曲线，此时近似为一个一阶惯性加纯滞后环节的响应曲线。线，此时近似为一个一阶惯性加纯滞后环节的响应曲线。在曲线最大斜率处作切线，求得滞后时间在曲线最大斜率处作切线，求得滞后时间，被控对象，被控对象时间常数时间常数T T以及它们的比值以及它们的比值T TT T，查表，查表4 42 2，即可得数字控，即可得数字控制器的制器的K KP P、T TI I、T TD D及采样周期及采样周期T T。(3)(3)归一参数整定法归一参数整定法 除了上面讲的一般的扩充临界比例度法而外，除了上面讲的一般的扩充临界比例度法而外，R
31、oberts,P.DRoberts,P.D在在19741974年提出一种简化扩充临界比例度整定法。由于该方法只需整年提出一种简化扩充临界比例度整定法。由于该方法只需整定一个参数即可，故称其归一参数整定法。定一个参数即可，故称其归一参数整定法。已知增量型已知增量型PIDPID控制的公式为：控制的公式为：如令如令T=0.1TT=0.1Tk k;T;TI I=0.5T=0.5Tk k;T;TD D=0.125T=0.125Tk k。式中。式中T Tk k为纯比例作用下的临界为纯比例作用下的临界振荡周期。振荡周期。则则:u(k)=u(k)=K KP P 2.45e(k)-3.5e(k-1)+1.25e
32、(k-2)2.45e(k)-3.5e(k-1)+1.25e(k-2)这样，整个问题便简化为只要整定一个参数这样，整个问题便简化为只要整定一个参数K KP P。改变。改变K KP P，观，观察控制效果，直到满意为止。该法为实现简易的自整定控制带来察控制效果，直到满意为止。该法为实现简易的自整定控制带来方便。方便。)2()1(2)()()1()()(kekekeTTkeTTkekeKkuDIP05010015020025000.10.20.30.40.50.60.705010015020025000.20.40.60.8105010015020025000.20.40.60.81050100150
33、20025000.10.20.30.40.50.60.70.805010015020025000.20.40.60.811.21.405010015020025000.20.40.60.811.21.405010015020025000.511.5010020030000.20.40.60.811.21.405010015020025000.511.52KI系数值比较大,引起振荡05010015020025000.20.40.60.811.21.4 KD=0.1KD=0.3 KD=0.6 调节微分系数连续化设计技术的弊端：连续化设计技术的弊端：要求相当短的采样周期！因此只能实现较简单的控制算法
34、。要求相当短的采样周期！因此只能实现较简单的控制算法。)(1)()()()()(sGSeZsGsHZzAzBzGCTsC1.1.根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确定所根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确定所需的闭环脉冲传递函数需的闭环脉冲传递函数(z)(z)2.2.求广义对象的脉冲传递函数求广义对象的脉冲传递函数G(z)G(z)。3.3.求取数字控制器的脉冲传递函数求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)D(z)。4.4.根据根据D(z)D(z)求取控制算法的递推计算公式求取控制算法的递推计算公式D(z)G(z)1D(z)G(z)(z)(1)()(1)(zzzGzD)(,1)()
35、()(10mnzazbzEzUzDniiimiiiG Gc c(s(s)由数字控制器由数字控制器D(z)D(z)的一般形式：的一般形式：)mn(,za1zb)z(E)z(U)z(Dn1iiim0iiiniiimiiizUzazEzbzU10)()()(niimiiikuaikebku10)()()(则：数字控制器的输出则：数字控制器的输出U(z)U(z)为为因此，数字控制器因此，数字控制器D(z)D(z)的计算机控制算法为的计算机控制算法为按照上式，就可编写出控制算法程序。按照上式，就可编写出控制算法程序。NNzzzz2211)(工程应用背景：随动系统，伺服系统，运动控制，工程应用背景：随动系
36、统，伺服系统，运动控制，由上图可知，误差由上图可知，误差E(z)的脉冲传递函数为的脉冲传递函数为)(1)()()()()()(zzRzYzRzRzEze(z)R(z)E(z)eG Gc c(s(s)对应的对应的z z变换变换 B(z)是不包含是不包含(1-z-1)因子的关于因子的关于z-1的多项式。的多项式。1)!1(1)(qtqtrqzzBzR)1()()(1111)(zzR111)(zzR21-1)1(Tz)(zzR21-1)1(Tz)(zzR31-1-12)1(2)z1(zT)(zzR 典型输入类型典型输入类型 对应的对应的z z变换变换 q=1 q=1 单位阶跃函数单位阶跃函数 q=2
37、 q=2 单位速度函数单位速度函数 q=3 q=3 单位加速度函数单位加速度函数 由于由于B(z)B(z)没有没有(1-z(1-z-1-1)因子，因此要使稳态误差因子，因此要使稳态误差e()e()为零，必须有为零，必须有 e e(z)=1-(z)=(1-z(z)=1-(z)=(1-z-1-1)q qF(z)F(z)(z)=1-(z)=1-e e(z)=1-(1-z(z)=1-(1-z-1-1)q qF(z)F(z)这里这里F(z)F(z)是关于是关于z z-1-1的待定系数多项式。为了使的待定系数多项式。为了使(z)(z)能够实现，能够实现，F(z)F(z)中的首项应取为中的首项应取为1 1，
38、即，即 F(z)=1+fF(z)=1+fz z-1-1+f+f2 2z z-2-2+f+fp pz z-p-p )()1()()1(lim)()()1(lim)()1(lim)(1111111zzzBzzzRzzEzeeqzezz可以看出，可以看出，(z)(z)具有具有z z-1-1的最高幂次为的最高幂次为N=p+qN=p+q，这表，这表明系统闭环响应在采样点的值经明系统闭环响应在采样点的值经N N拍可达到稳态。拍可达到稳态。特别当特别当P=0P=0时，即时，即F(z)=1F(z)=1时，系统在采样点的输出可时，系统在采样点的输出可在最少拍在最少拍 (N(Nminminn n=q=q拍拍)内达
39、到稳态，即为最少拍控制。内达到稳态，即为最少拍控制。因此最少拍控制器设计时选择因此最少拍控制器设计时选择(z)(z)为为 (z)=1-(1-z(z)=1-(1-z-1-1)q q 最少拍控制器最少拍控制器D(z)D(z)为为 qqzzGzzzzGzD)1)()1(1)(1)()(1)(11由最少拍控制器设计时选择的由最少拍控制器设计时选择的(z)=1-(1-z-1)q=z-1 可以得到可以得到进一步求得进一步求得 以上两式说明，只需一拍以上两式说明，只需一拍(一个采样周期一个采样周期)输出就能跟踪输入，输出就能跟踪输入，误差为零，过渡过程结束。误差为零，过渡过程结束。111)(zzR21011
40、0011)1(11)(1)()()()(zzzzzzzRzzRzEe3211111)()()(zzzzzzzRzY(2)(2)单位速度输入单位速度输入(q=2)(q=2)输入函数输入函数r(t)=tr(t)=t的的z z变换为变换为 由最少拍控制器设计时选择的由最少拍控制器设计时选择的 (z)=1-(1-z-1)q=1-(1-z-1)2=2z-1-z-2 可以得到可以得到进一步求得进一步求得 以上两式说明，只需两拍以上两式说明，只需两拍(两个采样周期两个采样周期)输出就能跟踪输入，输出就能跟踪输入，达到稳态，过渡过程结束。达到稳态，过渡过程结束。211)1()(zTzzR121211)21()
41、1()(1)()()()(TzzzzTzzzRzzRzEe432432)()()(TzTzTzzzRzY(3)单位加速度输入单位加速度输入(q=3)单位加速度输入单位加速度输入r(t)=r(t)=（1/21/2）t t 的的Z Z变换为变换为 由最少拍控制器设计时选择的由最少拍控制器设计时选择的 (z)=1-(1-z-1)3=3z-1-3z-2+z-3 可以得到可以得到上式说明，只需三拍上式说明，只需三拍(三个采样周期三个采样周期)输出就能跟踪输入，达输出就能跟踪输入，达到稳态。到稳态。31112)1(2)1()(zzzTzR22122121)(zTzTzE432)()()(zTzTzTzzR
42、zY2222162923(1)最少拍控制器对典型输入的适应性差最少拍控制器对典型输入的适应性差(2)最少拍控制器的可实现性问题最少拍控制器的可实现性问题(3)最少拍控制的稳定性问题最少拍控制的稳定性问题 最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最少拍，但对于其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大的少拍，但对于其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大的超调和静差。超调和静差。主要介绍下面三个内容：主要介绍下面三个内容：例如，当例如，当(z)(z)是按等速输入设计时，有是按等速输入设计时，有(z)=2z(z)=2z-1-1-z-z-2-2
43、，则三种不同输入时对应的输出如下：则三种不同输入时对应的输出如下：阶跃输入时阶跃输入时r(t)=1(t)；R(z)=1/（1-z-1）(1)最少拍控制器对典型输入的适应性差最少拍控制器对典型输入的适应性差等速输入时等速输入时 r(t)=t 等加速输入时等加速输入时 r(t)=（1/2）t 321121212)()()(zzzzzzzzRzY211)1()(zTzzR43221211432)2()1()(TzTzTzzzzTzzY 31112)1(2)1()(zzzTzR5242322221311125.1175.3)2()1(2)1()()()(zTzTzTzTzzzzzTzzRzY画出三种输
44、入下的输出图形，与输入进行比较画出三种输入下的输出图形，与输入进行比较012345600.511.5202460123456024602468101214从图形可以看出，对于阶跃输入，直到从图形可以看出，对于阶跃输入，直到2拍后，输出才达到稳拍后，输出才达到稳定，而在上面单独设计控制器，只需要一拍；这样，过渡时间定，而在上面单独设计控制器，只需要一拍；这样，过渡时间延长了，而且存在很大的超调量，在延长了，而且存在很大的超调量，在1拍处！拍处！对于加速度输入，输出永远都不会与输入曲线重合，也就是说对于加速度输入，输出永远都不会与输入曲线重合，也就是说按等速输入设计的控制器用于加速度输入会产生误差
45、。按等速输入设计的控制器用于加速度输入会产生误差。一般来说，针对一种典型的输入函数一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)R(z)设计，设计，得到系统的闭环脉冲传递函数得到系统的闭环脉冲传递函数(z)(z)，用于次数较低的，用于次数较低的输入函数输入函数R(z)R(z)时，系统将出现较大的超调，响应时间时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增，但在采样时刻的误差为零。也会增，但在采样时刻的误差为零。反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。误差。由此可见，
46、一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数(z)(z)只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。结论：结论：设数字控制器设数字控制器D(z)D(z)为为 要使要使D(z)D(z)物理上是可实现的，则必须要求物理上是可实现的，则必须要求 degP(z)degQ(zdegP(z)degQ(z)最少拍系统设计的物理可实现性指将来时刻的误差值，是还最少拍系统设计的物理可实现性指将来时刻的误差值，是还未得到的值，不能用来计算现在时刻的控制量。要求数字控未得到的值，不能用来计算现在时刻的控制量。要求数字控制器的脉冲传递函数中，不能有
47、制器的脉冲传递函数中，不能有z z的正幂项，即不能含有超前的正幂项，即不能含有超前环节。环节。为使为使D(z)D(z)物理上可实现，物理上可实现，(z)(z)应满足的条件是：若广义应满足的条件是：若广义脉冲传递函数脉冲传递函数G(z)G(z)的分母比分子高的分母比分子高N N阶，则确定阶，则确定(z)(z)时必须时必须至少分母比分子高至少分母比分子高N N阶。阶。)()()(zPzQzD若被控对象有滞后特性（假设给定连续被控对象有若被控对象有滞后特性（假设给定连续被控对象有d d个采样周个采样周期的纯滞后）需要对闭环脉冲传递函数期的纯滞后）需要对闭环脉冲传递函数(z)(z)分子多项式要进分子多
48、项式要进行处理。行处理。dzzAzBzG)()()(则所设计的闭环脉冲传递函数则所设计的闭环脉冲传递函数(z)(z)中必须含有纯滞后，且滞中必须含有纯滞后，且滞后时间至少要等于被控对象的滞后时间。否则系统的响应超前后时间至少要等于被控对象的滞后时间。否则系统的响应超前于被控对象的输入。于被控对象的输入。只有当只有当G(z)G(z)是稳定的是稳定的(即在即在z z平面单位圆上和圆外没有极点平面单位圆上和圆外没有极点)，且不含有纯滞后环节时，式且不含有纯滞后环节时，式(z)=1-(1-z(z)=1-(1-z-1-1)q q才成立。才成立。如果如果G(z)G(z)不满足稳定条件，则需对设计原则作相应
49、的限制。不满足稳定条件，则需对设计原则作相应的限制。原因：原因：在在(z)(z)中，中，D(z)和和G(z)总是成对出现的，但却不允许它总是成对出现的，但却不允许它们的零点、极点互相对消。这是因为，简单地利用们的零点、极点互相对消。这是因为，简单地利用D(z)的零点的零点去对消去对消G(z)中的不稳定极点，虽然从理论上可以得到一个稳定中的不稳定极点，虽然从理论上可以得到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。当系统的参数产生漂移，或辩识的参数有误差时，这上的。当系统的参数产生漂移，或辩识的参数有误差时，这种零极点对消
50、不可能准确实现，从而将引起闭环系统不稳定。种零极点对消不可能准确实现，从而将引起闭环系统不稳定。解决方法：解决方法：在选择在选择(z)(z)时必须加一个约束条件，这个约时必须加一个约束条件，这个约束条件称为稳定性条件。束条件称为稳定性条件。1.考虑广义脉冲传递函数的稳定性考虑广义脉冲传递函数的稳定性考虑被控对象含有滞后的情况：考虑被控对象含有滞后的情况：Gc(s)=Gc(s)e-s，GGc c(s)(s)是不含滞后部分的传递函数，是不含滞后部分的传递函数，为纯滞后时间。为纯滞后时间。令令 d=/T 对上式进行对上式进行z变换变换并设并设G(z)G(z)有有u u个零点个零点b b1 1、b b
