1、 已知任一点P处坐标面上应力 ，求经过该点的任何斜面上的应力。问题的提出：2 25 5平面问题中一点的平面问题中一点的 应力状态应力状态问题问题xyyx,空间问题有6个独立的应力分量，平面问题有3个不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即，可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。求解：取出一个三角形微分体（包含 面，面，面），边长).,(),(nnyxppppn.,mdsPAldsPBdsAB问题问题xy斜面应力表示：斜面应力表示：yxxxyyxyxyyxyxPyxyyxxAPBppxpyNNn平平面问题中一点的应力状态面问题中一点的应力状态 几何参数：几何参数：cos(,),cos(,)
2、,n xln ym设设AB面面积面面积=ds，PB面积面积=lds，PA面积面积=mds。斜面上应力分解为：斜面上应力分解为：xyppp02/ldsmdsfmdsldsdspXxxyxx由由Y=0得：得：mlpxyxxlmpxyyy由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得(1)求求（,）xpyp,xyyyyxxxlmpmlp斜面应力斜面应力其中：其中：l=cos(n,x),m=cos(n,y)。平平面问题中一点的应力状态面问题中一点的应力状态 yxxxyyxyxyyxyxPyxyyxxAPBppxpy斜面上应力分解为：斜面上应力分解为：NNpNNyxNmplp xyyxNlmml222)32(xy
3、Nmplp xyxyNmllm)()(22)32(（2-4）（2-5）已知已知P点应力点应力xyxy可求出过可求出过P点任意斜面上的点任意斜面上的正应力和剪应力（正应力和剪应力（NN）利用（利用（2-4）（）（2-5）应力在应力在x，y轴上的投影（轴上的投影（px，py）利用（利用（2-3）n222Nxyxylmlm22()()Nyxxylmlm说明：说明：（1）运用了剪应力互等定理：）运用了剪应力互等定理：yxxy（2）的正负号规定：的正负号规定：将将 N 转动转动90而到达而到达 的方向是顺时针的，的方向是顺时针的，则该则该 为正；反之为负。为正；反之为负。（3）若）若AB面为物体的边界面
4、为物体的边界S，则，则ypYxpX()()()()xsxysysxyslmXmlY（2-18）平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件yxxxyyxyxyyxyxPyxyyxxAPBppxpyNNn,xyyyyxxxlmpmlpNNN主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面 主平面上的应力叫主应力。主平面上的应力叫主应力。pxpyyxyxyyxxAPBnlpxmpyxxxyplmyyxypmlmllxyxlmmxyymllxyxlmmxyyxyxlmyxylmxyxyxy2(x+y)+(xy2xy)=0222212xyyxyx pxpyyxyxyyx
5、xAPBn222212xyyxyx注意注意:平面应力状态下平面应力状态下,任一点一般都存在任一点一般都存在 两个主应力。二者方向互相垂直。两个主应力。二者方向互相垂直。1+2=x+y任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。最大剪应力所在平面与主最大剪应力所在平面与主平面相交平面相交45，其值为，其值为主平面上剪应力等于零，但主平面上剪应力等于零，但max 作用面上正应力一般不为零。而是：作用面上正应力一般不为零。而是：2221max22xyyx2yx将x，y放在 方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设 ）21,21.45 ,2,2121的
6、斜面上应力成发生在与主nmaxminnmaxmin求最大，最小应力求最大，最小应力最大，最小应力最大，最小应力说明：以上均应用弹力符号规定导出。(d)最大、最小剪应力最大、最小剪应力由由)(12 lmN)1(2lm122ml)(21411222lN)(1122llN)(1242llN显然，当显然，当)21(0212ll时，时，N为最大、最小值：为最大、最小值：max12min2 由由21l得，得，max、min 的方向与的方向与1 （2）成成45。xyOdxdydsPABN12sNN小结：小结：yyxypmlxxyxplm（2-3）（2-4）222Nxyxylmlm22()()Nyxxylml
7、m（2-5）（2-6）()()()()xsxysysxyslmXmlY（2-18）平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件2212Nlm21()Nlm2122()l（1）斜面上的应力）斜面上的应力1122tantanxxyxyy（2-8）表明：表明：1 与与 2 互相垂直。互相垂直。（2）一点的主应力、应力主向、最）一点的主应力、应力主向、最大最小应力大最小应力212222xyxyxy（2-7）max12min2 max、min 的方向与的方向与1 （2）成成45。1210,2,xyMPaMPa 注意：与的符号规定（主应力方向逆时针转到注意：与的符号规定（主应力方向逆时针转到x轴为正）轴为
8、正）例：已知平面一点的应力状态为例：已知平面一点的应力状态为。求该点的主应力和主平面方向。求该点的主应力和主平面方向。解：解：122222102102()()32222111xyxyxyMPa111 10tg33xxy 2231tg11 23xyy 171.57218.433xyMPa试证明：在发生最大和最小剪应力的面上,正应力的 数值都等于两个主应力的平均值。例题已知已知 X=q，y=0，xy=-2q，求：求：1，2，1 1=2.562q 2=-1.562q tg1=-0.781 1=-37.99o=-37o59问题：问题：平面问题中，平面问题中，(a)(a)已知一点的应力为已知一点的应力为
9、 ，那么任一，那么任一方向的正应力方向的正应力 n为为 n 为为 ;（b b）已知已知 那么那么 21bayx,?212-6 2-6 边界条件边界条件1.弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：00yxxxyyXxyYxy（2-2）（2）几何方程：）几何方程：xyxyuxvyvuxy（2-9）（3）物理方程：）物理方程：1()yyxE1()xxyE2(1)xyxyE（2-15）未知量数：未知量数：vuxyyxxyyx,8个个方程数：方程数：8个个结论：结论：在适当的在适当的边界条件边界条件下，上述下，上述8个方程可解。个方程可解。位移边界条件位移边界条件
10、 设在 部分边界上给定位移分量 和 ,则有),()(),()(svvsuuss（在 上)。（a）usus)(su)(sv 边界条件边界条件 表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。若为简单的固定边，则有位移边界条件的说明：sus,0 vu,0)(,0)(ssvuus（在 上）。（b）它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。它是函数方程，要求在 上每一点，位移与对应的约束位移相等。通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，应力边界条件应力边界条件设在 上给定了面力分 量 ,xyyyyxxxlmpmlp).(),(sfsfyxs（在A中）。（c）将此
11、三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件:()(),.(d)()(),xyxsxyxysylmfssmlfs（在 上）它是边界上微分体的静力平衡条件；说明应力边界条件的说明：式（c）在A中每一点均成立，而 式（d）只能在边界 s上成立；它是函数方程，要求在边界上每一点s 上均满足，这是精确的条件；所有边界均应满足，无面力的边界 （自由边）也必须满足。式（d）中，按应力符号规定，按面力符号规定；yfxf 位移,应力边界条件均为每个边界两 个，分别表示 ，向的条件；,0yxffxy说明xyyx,若x=a为正x 面，l=1,m=0,则式(d)成为(),().(e)x ax x axx
12、yyff当边界面为坐标面时当边界面为坐标面时，坐标面yxbaxfyfxxfyfxyxxy若x=-b为负x 面，l=-1,m=0,则式(d)成为(),().(f)xbx xbxxyyffyxbaxfyfxxfyfxyxxy应力边界条件的两种表达式：应力边界条件的两种表达式：两种表达式 在同一边界面上，应力分量应等于对 应的面力分量（数值相等，方向一 致）。即在同一边界面上,应力数值应 等于面力数值(给定),应力方向应同面 力方向(给定)。在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件，得式（d）或（e），（f）；在斜面上，在坐标面上，由于应力与面力的符号规定不同，故式（e），（f）有区别。例如：.)(,)
13、(yyxsxfpfps两种表达式lh/2h/2qyxoyyxxyyyxx例列出边界条件：1q如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1),0 x00ssvu0,0 xvyu(2),ax 0,1mlYlmXmlsxysysxysx)()()()(0,0 xxyss(3),hy1,0mlqsxysysxysx0)1(0)1(00,0yxyss(4),hy1,0ml00)1(0)1(0sxysysxysx,0yxyssq 0,0YXqYX,00,0YX例例2 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（段（y=0）：）
14、：1,0ml0)(,0plxxpYX代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有0)sin(cos0cos)sin(yxyxyx00)(plxxpyy00yxy(2)BC段（段（x=l）：）：0,1ml0|,0|lxlxvu0,0lxlxxvyu(3)AC段（段（y=x tan）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNm)(0)1(0)1(0 xpyxyxyxN例例3 图示水坝，试写出其边界条件。图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：sin,cosmlsinyY cosyX 由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(si
15、n)cos()sin(yxyycos)sin()cos(yxyx右侧面：右侧面：sin,cosmltanyxtanyx 0YX0cossinxyyx0sincosxyx例例4图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点证明在板中间突出部分的尖点A处无应处无应力存在。力存在。解：解：平面应力问题，在平面应力问题，在 AC、AB 边界上边界上无面力作用。即无面力作用。即0YXAB 边界：边界：111sin,cosml由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(1111cossin0sincos0 xxy
16、yxy （1）AC 边界：边界：12122sincoscosml代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有1111cossin0sincos0 xxyyxy （2）A 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边界，的边界，满足式（满足式（1）和（）和（2），解得），解得0 xyxy A 点处无应力作用点处无应力作用例例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。例例6例例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。0YXsin)90cos(lYlmXmlsxysysxysx)()()()(cos)1
17、80cos(m上侧：上侧：0cos)(sin)(0cos)(sin)(sysxysxysx下侧：下侧：,0X0l1mqYqsysxysxysx)1()(0)(0)1()(0)(0)(sxyqsy)(图示构件，试写出其应力边界条件。图示构件，试写出其应力边界条件。例例6上侧：上侧：,qX 0l1m0Y0)1()(0)()1()(0)(sysxysxysxqqsxy)(0)(syYlmXmlsxysysxysx)()()()(,0X,sin)90cos(lcosm下侧：下侧：NpYpsysxysxysxcos)(sin()(0cos)()sin()(（3）混合边界条件）混合边界条件(1)物体上的一
18、部分边界为位移边界，另一部为应力边界。物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：一为应力边界条件。如：图图(a)：0Ysxy 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件图图(b)：0sx0 uus0 vvs 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；混合边界条件混合边界条件：混合边界条件：同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。例3列出 的边界条件：ax.0)(,0)(,axxy
19、axuaxyxoa 弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 圣维南原理圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但 远处所受的影响可以不计。圣维南原理圣维南原理：圣维南原理：圣维南原理1.圣维南原理只能应用于一小部分边界 （小边界，次要边界或局部边界）；圣维南原理的说明：圣维南原理的说明：4.远处 指“近处”之外。3.近处 指面力变
20、换范围的一，二倍 的局部区域；2.静力等效 指两者主矢量相同，对 同一点主矩也相同；圣维南原理 圣维南原理表明，在小边界小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部近处（局部区域）区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。例1比较下列问题的应力解答：hFF/2 F/2F/2F/2FF/b3465421321 )(bh 6543214321 b举例：如何在局部边界上应用圣维南原理 局部边界，小边界或次要边界。举例：圣维南原理的应用举
21、例：圣维南原理的应用PPPP/2P/2P/2P/2P/2P/2P/AP/AP 例2比较下列问题的应力解答：推广0 0 0 03412 0 02 01 圣维南原理的应用：圣维南原理的应用：1.推广解答的应用；2.简化小边界上的边界条件。应用圣维南原理在小边界上的应用：圣维南原理在小边界上的应用：lx 精确的应力边界条件如图，考虑 小边界，上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。)(),(),(),(yfyxyfyxylxxyxlxx(a)在边界 上，lx 在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)的条件：在同一边界在同一边界 x=l 上，上，应力的主矢量 =
22、面力的主矢量（给定);应力的主矩(M)=面力的主矩（给定）.),(yxFF数值相等,方向一致.(b)圣维南原理圣维南原理的应用的应用积分的应力边界条件积分的应力边界条件 右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定；左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。具体列出具体列出3 3个积分的条件：个积分的条件：)(1)(1)()(1)(1)()(1)(1)(2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/ShhylxhhxyhhxlxhhxNhhxlxhhxFdyyfdyMydyyfydyFdyyfdy即：应力的主矢量、主矩的数值=面力的主矢量、主矩的数值；应
23、力的主矢量、主矩的方向=面力的主矢量、主矩的方向。式中应力主矢量，主矩的正方向应力主矢量，主矩的正方向,正负号正负号的确定：应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，应力的主矩的正方向，即（正应力）（正的矩臂）的方向。讨论：讨论：1.如果只给出面力的主矢量，主矩如图，则式(c)右边直接代入面力的主矢量，主矩；2.在负 x 面，由于应力，面力的符号规定不同，应在式(c)中右端取负号；3.积分的应力边界条件(b)或(c)虽是近似的，但只用于小边界，不影响整体解答的精度。lx 精确的应力边界条件精确的应力边界条件 积分的应力边界条件积分的应力边界条件 方程个数方程个数 2 3 方程性质方程性质 函数方程
24、（难满足）函数方程（难满足）代数方程（易满足）代数方程（易满足）精确性精确性 精确精确 近似近似 适用边界适用边界 大，小边界大，小边界 小边界小边界比较：比较：例例7图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：左侧面：0,1ml0YXYlmXmlsxysysxysx)()()()(代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式0 xxhxyxhy 右侧面：右侧面：0,1ml0,YyX代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有00 xx hxyx h上端面：上端面：为为次
25、要次要边界，可由圣维南原理求解。边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：0()hyhydxsinP 对对O点的力矩等效：点的力矩等效：0()hyhyxdxsin2hP x方向力等效：方向力等效：0()hyxhydxcosPyyx注意：注意：,yxy必须按正向假设！必须按正向假设！yyx上端面：上端面：（方法（方法2）取图示微元体，取图示微元体，0yFdxyhhy00sinhyyhdxP 0sinP 0OMxdxyhhy00sin2hP0()hyhyxdxsin2hP 0 xFdxyhhyx00cosP0()hyxhydxcosP可见，与前面结果相同。可见，与前面结果相同。注意：注意
26、：,yxy必须按正向假设！必须按正向假设！由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，yMP0y0b/2 b/2bq(1-x/b)xxP=qb/2M=qb/12hh2AA例：试问图所示的两个问题中OA边的面力是否是静力等效的（厚度设为1）并写出积分边界条件？例题例题试列出图试列出图(a)(b)a)(b)的边界条件的边界条件。解解:(a)(a)对于图对于图(a)(a)的问题的问题,在在主要边界主要边界 y=h/2 应精确满足应精确满足下列下列边界条件：边界条件：12 ,0 ,20 ,2qhylxqhyyxyyxyMdyyFdyFdyhhxxshhxxyhhxx2/2/02/2/02/2/0)()()
27、(次次要边界要边界(b)(b)在主要边界在主要边界 x=0,b,x=0,b,应应精确满足下列边界条件精确满足下列边界条件:qbxgyxyxxyxx ,0 ,0 ,0在小边界在小边界 y=0=02)(43)(23)(000000FdxFbxdxFdxbyyxbyybyy应用：PPA0222222hhxyhhxhhxdyMydyPdyA截面应力边界条件：近似满足注意：静力等效思考题思考题 1、为什么在大边界（主要边界）上，不能 应用圣维南原理？2、试列出负 面上积分的应力边界条件，设有各种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。x(1)对对复杂的力边界复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。，用静力等
28、效的分布面力代替。(2)有些有些位移边界位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：注意事项：(1)必须满足必须满足静力等效静力等效条件；条件；(2)只能在只能在次要边界上次要边界上用圣维南原理，在用圣维南原理，在主要边界主要边界上不能使用。上不能使用。如：如：AB主要边界主要边界PPA次要边界次要边界 平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此，两者的解答相似,只须将 进行变换。以下讨论平面应力问题平面应力问题。1.1.平面问题的基本方程及边界条件平面问题的基本方程及边界条件,E平面问题2 27 7按
29、位移求解平面问题按位移求解平面问题 平面应力问题0,0.yxxxyxyyfxyfyx 平面域平面域A内的基本方程内的基本方程:平衡微分方程（在（在A内）内）,.xyxyuvvuxyxy11(),(),2(1).xxyyyxxyxyEEE几何方程物理方程（在（在A内）内）（在（在A内）内）应力边界条件 位移边界条件 （在 上）（在 上）(),().xyxsxyxysylmfmlfs),(vuxyyxxyyxus(),().ssuuvvS上边界条件上边界条件:8个未知函数 必须满足上述方程和边界条件。按位移求解按位移求解（位移法）取 ，为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含 ，
30、的方程和边界条件，从而求出 ，；再求形变和应力。2.2.解法解法消元法消元法 uvuvuv解法 按应力求解按应力求解（应力法）取 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。xyyx,这是弹力问题的两种基本解法这是弹力问题的两种基本解法。3.按位移求解按位移求解uvu vu vu v 将其他未知函数用 ，表示：形变用 ，表示几何方程;应力先用形变来表示（物理方程），再代入几何方程，用 ，表示:取 ，为基本未知函数；按位移求解2222()(),11()(),(a)11().2(1)2(1)xxyyyxxyxyEEuvxyEEvuy
31、xEEvuxy 在A中导出求 ，的基本方程将式(a)代入平衡微分方程，22222222222211()0,122()(b)11()0.122xyEuuvfxyx yAEvvufyxx y u vu v上式是用 ，表示的平衡微分方程。位移边界条件 （在 上）(d)（在 上）(c).)(,)(vvuussus.)(21)(1,)(21)(122ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulEs应力边界条件将式(a)代入应力边界条件，在在S S上的边界条件上的边界条件 按位移求解时，按位移求解时，必须满足必须满足A A内的方内的方程程(b b)和边界条件和边界条件(c c)，(d d)。u
32、vuvuv归纳：归纳：式(b)，(c)，(d)是求解 ，的条件;也是校核 ，是否正确的全部条件。按位移求解（位移法）的优缺点：按位移求解（位移法）的优缺点：求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。适用性广可适用于任何边界条件。例1 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用，。试用位移法求解。gffyx,0 xoyloyxgg(a)(b)解：为了简化，设位移 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然满足，第二式成为,0).(,0yvvu.2222Egdyvdyvxoyloyxgg(a)(b)均属于位移边界条件，代入 ，.
33、22BAyyEgvly,00()0,yv0;B v得得()0,y lv.2gAlE解出).2(2),2(2),(22ylgylEgylyEgvyy在 处，2ly.0y代入 ，并求出形变和应力，v 按位移求解（位移法）的优缺点：适用性广可适用于任何边界条件。求函数式解答困难，但在近似解法（变分法、差分法、有限单元法）中有着广泛的应用。对于平面应变问题,须在上面的各个方程中将 E21E1在一般情况下,按位移求解平面问题,最后还须处理,而不能再简化为处理一个单独微分方程的问题(像按应力求解平面问题时那样)。这是按位移求解的缺点,也就是按位移求解并未能得出很多有用解答的原因。但是,在原则上,按位移求解可以不论体力是不是常量,问题是位移边界问题还是应力边界问题或混合边界问题。这是按应力求解时不可能做到的。此外,在有限单元法中,按位移求解也是比较简单而普遍适用的。思考题试用位移法求解图(b)的位移和应力。
