1、平行探索型问题的解法平行探索型问题的解法江苏省高淳高级中学江苏省高淳高级中学 陈陈 辉辉 传统的立体几何考查主要以线面位置关系传统的立体几何考查主要以线面位置关系(平行、垂直平行、垂直)的证明和空间量的计算的证明和空间量的计算(角度、距离、角度、距离、体积等体积等)为主为主 随着新课程教学内容和教学要求的变化，江随着新课程教学内容和教学要求的变化，江苏省苏省08年考试说明的出台，立体几何中空间角、年考试说明的出台，立体几何中空间角、距离计算受到严格限制，复杂的垂直问题又难以距离计算受到严格限制，复杂的垂直问题又难以兼顾文、理科考生的公平性兼顾文、理科考生的公平性 因此，平行关系的重要性凸现出来
2、，考查要因此，平行关系的重要性凸现出来，考查要求有变难的趋势，并出现了一个新的热点：求有变难的趋势，并出现了一个新的热点：平行探索型问题平行探索型问题 如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD和正方形和正方形ABEF中，点中，点M、N分别在线段分别在线段BD、AE上上 若若AN:NEDM:MB1:2 求证：求证：MN平面平面BCEADCBEFNM一、利用线线平行一、利用线线平行在平面内找一直线与原直线在平面内找一直线与原直线平行平行平行投影平行投影中心投影中心投影操作方式操作方式:过直线作一平面过直线作一平面与原平面相交与原平面相交.ADCBEFNMPADCBEFNMGH线面平行的证法二、利用
3、面面平行二、利用面面平行操作方式操作方式:过直线作一平面与原平面平行过直线作一平面与原平面平行.ADCBEFNML线面平行的证法线面平行线面平行线线平行线线平行面面平行面面平行线面平行是平行推理中的核心、桥梁线面平行是平行推理中的核心、桥梁若若DM:MB1:2，问线段，问线段AE上是否存在点上是否存在点N，使使MN平面平面BCE？并证明你的结论？并证明你的结论解答方法：解答方法：先结论，再证明先结论，再证明ADCBEFNM如图，四棱锥如图，四棱锥SABCD的底面为平行四边形，的底面为平行四边形，E、F是线段是线段AB的三等分点，问：线段的三等分点，问：线段SC上是上是否存在点否存在点P，使，使
4、FP平面平面SED？并证明你的结？并证明你的结论论CSBADEF探究方法：探究方法：作相交平面，平行投影作相交平面，平行投影SBADCEFPQ解：当解：当P为为SC的三等分点的三等分点(靠近靠近S)时，时，FP平面平面SED 在棱在棱SD上取一点上取一点Q，使，使SQ:QD2:1，则，则PQ DC 且且DC3 PQ，又，又EFDC且且DC3 EF，EFPQ 且且DC PQ，四边形四边形EFPQ为平行四边形，为平行四边形，FPEQ，又，又 EQ 平面平面SED，FP 平面平面SED，FP平面平面SEDSBADCEFPG探究方法：探究方法：作相交平面，中心投影作相交平面，中心投影解：当解：当P为为
5、SC的三等分点的三等分点(靠近靠近S)时，时，FP平面平面SED 延长延长CF，DE相交于，连结相交于，连结SG EFDC且且DC3 EF，3 GFDC，又，又3 SPSC FP SG，又，又 SG 平面平面SED，FP 平面平面SED，FP平面平面SED SBADCEFPT探究方法：探究方法：作平行平面作平行平面简解：当简解：当P为为SC的三等分点的三等分点(靠近靠近S)时，时，FP平面平面SED 在在DC上取一点上取一点T，连结延长，连结延长TF，TP 先证明先证明TF、TP都平行于平面都平行于平面 SED，得到平面，得到平面SED平平 面面 FTP，两平面无公共点，两平面无公共点，直线直
6、线 FP与平面与平面SED无无 公共点，公共点，FP平面平面SED中心投影中心投影解答思路：先结论，后证明先结论，后证明(先定位，后证明先定位，后证明)定位定位猜测猜测探究，假设存在，作平面探究，假设存在，作平面相交平面相交平面平行平面平行平面平行投影平行投影平行投影，平行投影，选定投影方向选定投影方向中心投影，中心投影，选定投影中心选定投影中心作平面作平面平行关系转化平行关系转化线线平行线线平行 比例线段比例线段定位定位定位过程定位过程1线面平行的证明与探究两种问题本质上不同 探究问题包括有两个过程：探究，证明 探究时，线面平行是条件；证明时，线面平行是结论 值得注意的是：证明时所用的图形与
7、探究时完全一致2线面平行问题的探究程序：线面平行问题的探究程序：是逆向思维的过程，程序是：假设平行假设平行 作面作面 推理推理 定位定位 相交平面相交平面 平行关系转化平行关系转化 比例线段比例线段 平行平面平行平面3答题要求：先结论，后证明先结论，后证明 结论可猜测，可探究结论可猜测，可探究 表达：表达：定位定位 推理推理 确认确认 线线平行线线平行 线面平行线面平行 面面平行面面平行 1 1本节课中的点都是存在且唯一的所有情形都本节课中的点都是存在且唯一的所有情形都是存在且唯一的吗？是存在且唯一的吗？2本节课的各个问题都是通过平行来探究平行的，能通过垂直来探究此类平行探索型问题吗？能通过垂直来探究此类平行探索型问题吗？教育实践表明，数学能力强的学生能把推教育实践表明，数学能力强的学生能把推理或论证的模式记得很牢理或论证的模式记得很牢 国家考试中心数学测量的理论与实践 您想做数学能力强的学生吗？本节课中推理或论证的思维模式有哪些？您理解了吗？您记牢了吗？能在不同的情境中灵活地运用了吗？
