1、教师教师“写作写作”促发展促发展 连春兴连春兴n我今天准备讲四个问题：我今天准备讲四个问题：n一一 、“写作写作”与教师专业发展的关系与教师专业发展的关系n二二 、认真学习、钻研，是、认真学习、钻研，是“写作写作”的的前提前提n三、数学教师如何捕捉值得研究的问三、数学教师如何捕捉值得研究的问题题n四、如何撰写一篇符合规范的文章？四、如何撰写一篇符合规范的文章？一一 “写作写作”与教师专业发展的关系与教师专业发展的关系n在许多同行眼里，对教师在许多同行眼里，对教师“写文章写文章”的的认识，有三个误区：认识，有三个误区：n（1 1）带有功利色彩的应景之作。）带有功利色彩的应景之作。n（2 2）认为
2、教师写文章是不务正业，）认为教师写文章是不务正业，n（3 3）写好文章与教好课没有必然的联）写好文章与教好课没有必然的联系系.这些认识正确吗？这些认识正确吗？n我我4040年的教师工作实践，给出了否定年的教师工作实践，给出了否定的回答的回答:n写好文章与教好课有必然联系，写好文章与教好课有必然联系，n以写作的心态进行教学研究，专业化以写作的心态进行教学研究，专业化水平就会突飞猛进的提高。水平就会突飞猛进的提高。n为什么有这样肯定的回答？我为什么有这样肯定的回答？我有四个有四个个理由：个理由：（1 1）写作过程是）写作过程是“学习与学习与研究研究”的过程的过程n没有研究的没有研究的“写作写作”只
3、能是文人墨客只能是文人墨客的闲情逸致，与教师的工作无缘。的闲情逸致，与教师的工作无缘。n动议的初始，动议的初始，需要笔者初步具备一些需要笔者初步具备一些不说不快的独到见解。不说不快的独到见解。n写作的酝酿，写作的酝酿，需要见解系统化、深刻需要见解系统化、深刻化、逻辑化。化、逻辑化。n写作的过程，写作的过程，新困惑、新发现、新研新困惑、新发现、新研究、新收获。究、新收获。n所以，写作前、中、后，是一个完整所以，写作前、中、后，是一个完整的的“学习与研究学习与研究”的过程，在这个过的过程，在这个过程中，需要反复酝酿、反复推敲，反程中，需要反复酝酿、反复推敲，反复修改。复修改。n如果写到中途，难以为
4、继，多半遇到如果写到中途，难以为继，多半遇到表述不清的问题。表述不清的问题。n而不能把自己的所思所想写清楚，就而不能把自己的所思所想写清楚，就有可能意味着对问题的研究不够透彻。有可能意味着对问题的研究不够透彻。所以，所以，写作可衡量对问题理解是否透写作可衡量对问题理解是否透彻。彻。（2 2）写作有助实现课堂教学的）写作有助实现课堂教学的“精致精致”n安徽临泉一中的王峰老师撰文称：安徽临泉一中的王峰老师撰文称：n写作是促进教学反思、提升教学水平写作是促进教学反思、提升教学水平的最佳途径，的最佳途径，有特色、有灵魂、大有特色、有灵魂、大气的气的数学教学，必定是数学教学，必定是研究有深度，研究有深度
5、，写作有力度写作有力度的教师所为。的教师所为。n我在帮助青年教师备课的实践中，也我在帮助青年教师备课的实践中，也发自内心的感受到，写作对提升教学发自内心的感受到，写作对提升教学能力十分有益能力十分有益。n写作能促进教师对教法的反思写作能促进教师对教法的反思n写作能促进教师对教材的反思写作能促进教师对教材的反思n写作能促进教师对技能成因的反思写作能促进教师对技能成因的反思n写作能促进教师对易混问题的反思写作能促进教师对易混问题的反思n写作有助于对学生认知基础的分析，对所写作有助于对学生认知基础的分析，对所授内容间逻辑关系的把握，对学生思维过授内容间逻辑关系的把握，对学生思维过程的合理预设，对教学
6、目标达成的评估，程的合理预设，对教学目标达成的评估，等。等。n这些往往在写文章的过程中，才这些往往在写文章的过程中，才“逼迫逼迫”自己有着更深入的研究。自己有着更深入的研究。（3 3）“写作写作”是是对社会极大的贡献对社会极大的贡献n教育事业要发展，就必须研究与创新。教育事业要发展，就必须研究与创新。n有创新，就需交流，要交流，就需写有创新，就需交流，要交流，就需写作。作。n文章能在国家级学术期刊上发表，除文章能在国家级学术期刊上发表，除本身体现出的工作创新外，还有便于本身体现出的工作创新外，还有便于更深入、更广泛交流的作用。更深入、更广泛交流的作用。n从这个意义上说，发表文章，促进教从这个意
7、义上说，发表文章，促进教育事业进步，就是对社会极大的贡献。育事业进步，就是对社会极大的贡献。（4 4）写作可促进个人与集体共同发展）写作可促进个人与集体共同发展n教学实践中，我们发现不争事实：教学实践中，我们发现不争事实：n大多富于创新精神、经常发表文章的大多富于创新精神、经常发表文章的教师，一定会以其高质量的工作惠及教师，一定会以其高质量的工作惠及他的学生；他的学生；n一所学校，如果能有一批富于研究能一所学校，如果能有一批富于研究能力、经常著书立说、把力、经常著书立说、把“科研兴校科研兴校”付诸实践的教师，这所学校一定会挟付诸实践的教师，这所学校一定会挟学术张力之威而发展成真正的名校。学术张
8、力之威而发展成真正的名校。n丰台某制定学校教师的发展目标时，订丰台某制定学校教师的发展目标时，订有有“人人写一手好文章人人写一手好文章”一条，实为远一条，实为远见卓识之举。见卓识之举。n这些也反映出人们对研究与写作初步有这些也反映出人们对研究与写作初步有了共识：了共识：n没有没有“研究研究”，绝不会产生富于创新性，绝不会产生富于创新性的文章，构思文章的呈现方式本身又确的文章，构思文章的呈现方式本身又确保了必须要有保了必须要有“研究研究”，尽享写文章的，尽享写文章的过程，换得过程，换得“腹有诗书气自华腹有诗书气自华”，是教，是教师专业发展的师专业发展的“快车道快车道”。n在我们的工作现实中，可敬
9、可爱的教在我们的工作现实中，可敬可爱的教师形象，往往是秉持师形象，往往是秉持“述而不作述而不作”的的古训，把全部的爱毫无保留的奉献给古训，把全部的爱毫无保留的奉献给学生，在学生的成长中依稀体验着自学生，在学生的成长中依稀体验着自己的生命价值，不追求留下什么文字。己的生命价值，不追求留下什么文字。n这样的教师非常值得尊敬，但作为自这样的教师非常值得尊敬，但作为自己的职业生涯来说，必有遗憾！己的职业生涯来说，必有遗憾！n遗憾在于没有通过遗憾在于没有通过“研究与写作研究与写作”来来提升自己的专业能力提升自己的专业能力。n“写作写作”是人类独有的情感外化形式，文是人类独有的情感外化形式，文人墨客写作虽
10、然不一定都有数学教师式的人墨客写作虽然不一定都有数学教师式的研究，但离不开体验生活、见景生情、情研究，但离不开体验生活、见景生情、情感的积蓄。感的积蓄。n为了各种为了各种“功利功利”而而“被迫被迫”的写作，往的写作，往往因学习、研究、情感积蓄不足，只能往因学习、研究、情感积蓄不足，只能“挤牙膏挤牙膏”、“无病呻吟无病呻吟”、东拼西凑、东拼西凑、复制粘贴。复制粘贴。n如此写作，玷污了如此写作，玷污了“写作写作”神圣，是对神圣，是对“写作写作”亵渎，虽然可能被亵渎，虽然可能被“盲试官盲试官”评评为为“等奖等奖”，但在核心期刊发表却断无，但在核心期刊发表却断无可能可能。二、认真学习、钻研，是写作的前
11、提二、认真学习、钻研，是写作的前提n“学习与钻研学习与钻研”，是一种习惯。，是一种习惯。n数学素养提升，是长期数学素养提升，是长期“学习与钻研学习与钻研”的结果。的结果。n随着数学素养的提升，随着数学素养的提升，“写作写作”是水是水到渠成。到渠成。n我们学习与钻研的目标（渐次实现）：我们学习与钻研的目标（渐次实现）：n1、力争、力争“读懂数学读懂数学”；n2 2、学会评价与欣赏，挖掘情感资源、学会评价与欣赏，挖掘情感资源1、什么叫读懂数学？、什么叫读懂数学？n“读懂数学读懂数学”是一个多层次、无止境的过程是一个多层次、无止境的过程n“读懂数学读懂数学”有如下几个重要标志：有如下几个重要标志：n
12、1 知其然知其然-清楚数学知识是什么、怎么样。清楚数学知识是什么、怎么样。n2知其何以然知其何以然-清楚支撑数学知识的思想方法。清楚支撑数学知识的思想方法。n3 知其所以然、所以不然知其所以然、所以不然-清楚数学知识为什么是这清楚数学知识为什么是这样，而不是那样，这样的合理性、优越性在哪里？样，而不是那样，这样的合理性、优越性在哪里？(如弧度制如弧度制)。n4 既见树木、又见森林既见树木、又见森林-清楚该知识的上位知识与下清楚该知识的上位知识与下位知识，从哪里来、到哪里去。位知识，从哪里来、到哪里去。实现结构化。实现结构化。n5 以简驭繁以简驭繁-能把握数学知识的本质与结构。能把握数学知识的本
13、质与结构。如反证法：如反证法：（1）知其然）知其然-反设、推矛盾、否假设、肯定原结论反设、推矛盾、否假设、肯定原结论（2）知其何以然）知其何以然-矛盾律：对一个事物互斥的判断至少一个是假的（不能矛盾律：对一个事物互斥的判断至少一个是假的（不能同真，可能同假）；同真，可能同假）；排中律：对一个事物对立的判断必有一个是真的（排除排中律：对一个事物对立的判断必有一个是真的（排除第三种可能）第三种可能）（3）知其所以然、所以不然）知其所以然、所以不然-否定结论的反面较易，否定结论的反面较易，正面证明结论不易正面证明结论不易（4）既见树木、又见森林）既见树木、又见森林-演绎推理包含直接证明演绎推理包含直
14、接证明（综合法、分析法）和间接证明（反证法）（综合法、分析法）和间接证明（反证法）（5）以简驭繁，把握本质）以简驭繁，把握本质-充足理由律（充足理由律（A是是B的充分的充分条件，才能条件，才能A推出推出B）再如函数知识结构再如函数知识结构几个名词解释：几个名词解释：n什么是什么是“回归回归”？n把把“相关的两个变量相关的两个变量”近似转化成近似转化成“两个变量间两个变量间的函数关系的函数关系”就是就是“回归回归”；n什么是（非）什么是（非）“线性回归线性回归”？n用（非）用（非）“一次函数关系一次函数关系”近似表示两个相关变近似表示两个相关变量的关系就是（非）量的关系就是（非）“线性回归线性回
15、归”；n为什么要评价函数模型拟合效果？为什么要评价函数模型拟合效果？n把把“相关关系相关关系”转化成转化成“函数关系函数关系”必然产生误必然产生误差，如果误差过大，所得差，如果误差过大，所得“函数关系函数关系”就意义不就意义不大，所以必须有相关的方法去进行函数模型拟合大，所以必须有相关的方法去进行函数模型拟合近似程度的评价。近似程度的评价。再如对向量知识结构的认识：再如对向量知识结构的认识：n向量是一个独立的运算系统，有自己的向量是一个独立的运算系统，有自己的运算法则、算率，与坐标法的三步曲有运算法则、算率，与坐标法的三步曲有异曲同工之妙。异曲同工之妙。n还兼备还兼备“形形”的直观，是的直观，
16、是“数形结合数形结合”的典范。与数集可类比：的典范。与数集可类比：n（1 1）运算）运算基本元是向量；基本元是向量；n（2 2）数集中，相同元素与位置无关，）数集中，相同元素与位置无关，向量向量平移不变自身；平移不变自身；n（3 3）数能倍乘，向量）数能倍乘，向量数乘不变共线；数乘不变共线；n（4 4）数集中，虽然不强调数字的相互表示）数集中，虽然不强调数字的相互表示，但列方程解题时，强调至少的量表示更，但列方程解题时，强调至少的量表示更多的量，与向量基本定理的理念完全一致多的量，与向量基本定理的理念完全一致。n向量知识的逻辑结构：向量知识的逻辑结构：n（1 1）“两个不变两个不变”推出推出“
17、基本定理基本定理”，实，实现运算基本元的简约；现运算基本元的简约；n（2 2）基向量规范化（模长取）基向量规范化（模长取1 1，垂直），垂直），实现向量的坐标表示（坐标运算）。实现向量的坐标表示（坐标运算）。n向量几何是不依赖于坐标系的解析几何向量几何是不依赖于坐标系的解析几何。n一个读懂数学的教师，才可能具备进一个读懂数学的教师，才可能具备进一步把成熟的、静态的、抽象的数学一步把成熟的、静态的、抽象的数学知识还原为发展的、动态的、有血有知识还原为发展的、动态的、有血有肉的知识的能力。肉的知识的能力。n也即张奠宙先生的观点：也即张奠宙先生的观点：把数学的学把数学的学术形态转化为数学的教育形态。
18、术形态转化为数学的教育形态。n这样的老师，以其开阔的学术视野，这样的老师，以其开阔的学术视野，极易把日复一日的工作和反思，转化极易把日复一日的工作和反思，转化为教育科研能力，把研究成果整理成为教育科研能力，把研究成果整理成文。文。n与之相反：与之相反：n如果教师心目中的数学是抽象的、枯燥的，如果教师心目中的数学是抽象的、枯燥的，学生心目中的数学不可能是鲜活的、生动学生心目中的数学不可能是鲜活的、生动的。的。n如果教师不是发自内心的亲近数学，学生如果教师不是发自内心的亲近数学，学生怎么可能发自内心的喜欢数学？怎么可能发自内心的喜欢数学？n如果教师自己不清楚数学知识发生过程与如果教师自己不清楚数学
19、知识发生过程与成长方法，那他如何有效的指导学生学会成长方法，那他如何有效的指导学生学会学习、学会探究？学习、学会探究？n如果教师自己不清楚数学知识本质与关键，如果教师自己不清楚数学知识本质与关键，那么，教学时怎能不那么，教学时怎能不“眉毛胡子一把抓眉毛胡子一把抓”？布置作业怎能不依靠布置作业怎能不依靠“狂轰滥炸狂轰滥炸”？n这样的老师怎能写出高水平的文章？这样的老师怎能写出高水平的文章？2 2、学会评价与欣赏，挖掘情感资源、学会评价与欣赏，挖掘情感资源n数学欣赏，古来有之，明代数学家徐光数学欣赏，古来有之，明代数学家徐光启为启为几何原本几何原本作序：作序：n此书有此书有四不必四不必：不必疑，不
20、必揣，不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改；此书有试，不必改；此书有四不可得四不可得：欲脱之：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。，欲前后更置之不可得。n“四不必、四不可得四不必、四不可得”表达了徐老先生表达了徐老先生浓烈的情感、态度、价值观。古人尚能浓烈的情感、态度、价值观。古人尚能如此，况今我们现代人？如此，况今我们现代人？n如何看待数学育人的价值观资源？如何看待数学育人的价值观资源？n从数学从数学推理方式推理方式看看，合情推理的思维方，合情推理的思维方式为数学的发展与创新注入了不竭式为数学的发展与创新注入了不竭动动力力，严谨的演
21、绎推理又赋予数学去伪存真，严谨的演绎推理又赋予数学去伪存真、至真至善的力量、至真至善的力量；n从数学的从数学的学科精神看学科精神看，数学追求不断创，数学追求不断创新与完善的学科精神，与人类对真善美新与完善的学科精神，与人类对真善美的追求，表现出高度的一致性，的追求，表现出高度的一致性，n这些无疑这些无疑为我们为我们挖掘挖掘学科育人功能，提学科育人功能，提供了丰厚的价值观资源。供了丰厚的价值观资源。n一个人如果不能从数学的一个人如果不能从数学的合情推理合情推理中获取发明创造、追求真理的勇气中获取发明创造、追求真理的勇气n如果不能从数学的如果不能从数学的演绎推理演绎推理中感悟中感悟到求真务实、谨慎
22、谦虚的品格，到求真务实、谨慎谦虚的品格，n就很难说他具备了现代人应有的素就很难说他具备了现代人应有的素质质。n教学中，挖掘情感资源，用评价与欣教学中，挖掘情感资源，用评价与欣赏的眼光教数学，素材比比皆是，如赏的眼光教数学，素材比比皆是，如n把一条定长的铁丝围城矩形，长短如把一条定长的铁丝围城矩形，长短如何，面积最大？何，面积最大？n观察二次函数图像的位置，直接写出观察二次函数图像的位置，直接写出二次不等式的解集，与不等式组方法二次不等式的解集，与不等式组方法的对比。的对比。n利用解三角形知识，不过河，测河对利用解三角形知识，不过河，测河对岸两棵树之间距离，表现数学令人向岸两棵树之间距离，表现数
23、学令人向往的神奇力量。往的神奇力量。利用基向量规范化，欣赏向量基本定理利用基向量规范化，欣赏向量基本定理 反思向量之反思向量之“魅力魅力”n向量向量基本定理基本定理决定了向量工具解决几何问决定了向量工具解决几何问题的完备性。题的完备性。n平移不变自身平移不变自身把等长同方向的把等长同方向的向量束向量束简约简约成同一向量。成同一向量。n数乘不变共线数乘不变共线解决了解决了“平行平行”的相关证明的相关证明问题（证明相关向量的数乘关系）；问题（证明相关向量的数乘关系）；n数量积为零数量积为零等价于等价于“垂直垂直”，圆满解决了，圆满解决了“垂直垂直”的相关证明问题；有时比斜率之的相关证明问题；有时比
24、斜率之积为积为-1-1好用；好用；n数量积运算（映射）的不封闭性，搭数量积运算（映射）的不封闭性，搭建了向量与实数的直通车，解决了模建了向量与实数的直通车，解决了模长（两点间距离）的计算问题；长（两点间距离）的计算问题；n数量积运算公式的逆用，解决了数量积运算公式的逆用，解决了“成成角角”问题。弥补向量无旋转变换的不问题。弥补向量无旋转变换的不足。足。n与与“综合法综合法”立足于从公理出发的演立足于从公理出发的演绎推理相比，绎推理相比，“向量法向量法”长于计算（长于计算（计算也是推理计算也是推理的一种形式），可以减的一种形式），可以减轻学生轻学生“构造图形构造图形”的负担。的负担。再如高一函数
25、的定义再如高一函数的定义n函数概念非常抽象，让学生真学懂，最好函数概念非常抽象，让学生真学懂，最好能解决如下问题：能解决如下问题：n（1 1）既然初中已学函数的概念，为什么高）既然初中已学函数的概念，为什么高中还要另起炉灶，重新定义函数？它是否中还要另起炉灶，重新定义函数？它是否说明说明初中定义的局限？初中定义的局限？n（2 2）两个定义有何异同？）两个定义有何异同？n（3 3）新定义有什么优势？）新定义有什么优势？n（4 4）在新定义中，为什么映入域非值域？）在新定义中，为什么映入域非值域？n（1 1）既然初中已学函数的概念，为什么高）既然初中已学函数的概念，为什么高中还要另起炉灶，重新定义
26、函数？它是否中还要另起炉灶，重新定义函数？它是否说明说明初中定义的局限？初中定义的局限？n例如：一枚炮弹发射后，炮弹距地面的高例如：一枚炮弹发射后，炮弹距地面的高度度h h(单位：单位：m)m)随时间随时间t t(单位：单位：s)s)变化的变化的规律是规律是h=130t-5th=130t-5t2 2.试求：当试求：当t=30st=30s时，时，h h的的值。值。n炮弹从发射到落地爆炸只经历炮弹从发射到落地爆炸只经历26s26s，当，当t=30st=30s时，炮弹早已爆炸，时，炮弹早已爆炸，h=-600mh=-600m是一个是一个荒唐的结果。从而认识到初中的函数定义，荒唐的结果。从而认识到初中的
27、函数定义，只强调变量只强调变量x x和和y y的对应关系，而没有给出的对应关系，而没有给出自变量的取值范围，是有缺陷的。自变量的取值范围，是有缺陷的。（2 2）两个定义有何异同？）两个定义有何异同？n相同点相同点-（关键词）对于（关键词）对于x x的每一个的每一个确定的值，确定的值，y y都有唯一的值与其对应；都有唯一的值与其对应；n不同点：不同点：n高中强调定义域（集合高中强调定义域（集合A),A),以法定形以法定形式确定下来，式确定下来，n初中定义称初中定义称y y是函数，高中定义称对是函数，高中定义称对应关系应关系“f”f”是函数。是函数。（3 3）新定义有什么优势？）新定义有什么优势？
28、n强调对应，不强调强调对应，不强调“变量变量”，更有，更有利于解释现实世界中，广泛存在的利于解释现实世界中，广泛存在的“多对一多对一”类函数（如类函数（如f(x)=1);f(x)=1);n把对应法则抽象为字母表示把对应法则抽象为字母表示,有利于有利于区别不同函数，如区别不同函数，如“f(x)”f(x)”“g(x)”;g(x)”;n有利于表达函数值，如有利于表达函数值，如f(2),g(-1)f(2),g(-1)等，（不论是否有解析式）。等，（不论是否有解析式）。（4 4）在新定义中，为什么映入域非值域？）在新定义中，为什么映入域非值域？n定义：定义：设设A A，B B是非空的数集是非空的数集，如
29、果按照某种确定的，如果按照某种确定的对应关系对应关系f f，使对于集合，使对于集合A A中的任意一个数中的任意一个数x x，在集，在集合合B B中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数f f（x x）和它对应，那么就）和它对应，那么就称称f f：A AB B为从集合为从集合A A到集合到集合B B的一个函数的一个函数，记作，记作y=f(x),xy=f(x),xA.A.其中，其中，x x叫做自变量，叫做自变量，x x的取值范围的取值范围A A叫做函数的定义域；与叫做函数的定义域；与x x的值相对应的的值相对应的y y值叫做函数值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。值，函数值的集合叫做函数的值域。
30、n对集合对集合B B要求宽泛（取实数集要求宽泛（取实数集R R），好处是无），好处是无需求值域，就可定义函数，需求值域，就可定义函数，方便数学家，方方便数学家，方便初学。便初学。n相当于打靶，靶子大点没关系。相当于打靶，靶子大点没关系。再如三角函数单位圆定义再如三角函数单位圆定义n广泛存在的两个问题：广泛存在的两个问题：n（1 1）选择）选择“锐角三角函数锐角三角函数”作为出发作为出发点。点。n（2 2）甚至在概念起始课上，两个定义）甚至在概念起始课上，两个定义齐头并举齐头并举n问题（问题（1 1）说明，许多人认为，任意角）说明，许多人认为，任意角三角函数是锐角三角函数的推广。三角函数是锐角三
31、角函数的推广。n其实，初中其实，初中锐角三角函数锐角三角函数只是计算，没只是计算，没有纳入函数系统；有纳入函数系统；n直角三角形框架阻遏，导致推广无门！直角三角形框架阻遏，导致推广无门！n章老师评价：章老师评价：以以“锐角三角函数锐角三角函数”为起为起点的教学，可能导致点的教学，可能导致“学生无法把三角学生无法把三角函数的概念纳入到函数系统函数的概念纳入到函数系统”。n问题（问题（2 2）的理由是：）的理由是：n单位圆定义法对解决单位圆定义法对解决“已知角已知角 终边上终边上一点坐标一点坐标P P（a,ba,b），求角），求角 的三角函数的三角函数值值”，不如终边定义法简捷。，不如终边定义法简
32、捷。n其实，反映出一些教师固守习惯，对其实，反映出一些教师固守习惯，对三角函数两个定义优劣不研究。三角函数两个定义优劣不研究。终边定义的劣势终边定义的劣势n对应关系不简捷。对应关系不简捷。n建立三角函数角建立三角函数角 与函数值的对应关系，与函数值的对应关系，需经过需经过“取点取点求距离求距离求比值求比值”，n从角的集合到从角的集合到“比值比值”的集合的对的集合的对应关系与学生固有经验不一致。应关系与学生固有经验不一致。n任意一个角对应比值的唯一性（即任意一个角对应比值的唯一性（即与终边上点的位置无关）需证明。与终边上点的位置无关）需证明。n“比值比值”的周期性变化规律不鲜明。的周期性变化规律
33、不鲜明。n终边定义法有可能造成建模困难终边定义法有可能造成建模困难n学习基本初等函数，大多都从生产实学习基本初等函数，大多都从生产实际中建模产生，为什么三角函数的教际中建模产生，为什么三角函数的教学，是个例外？学，是个例外？n终边定义法中，比值是角的函数，对终边定义法中，比值是角的函数，对应关系如此不简捷，是否为原因之一应关系如此不简捷，是否为原因之一？“单位圆定义法单位圆定义法”的优势的优势n对应关系简单清晰对应关系简单清晰nf(f()=sin)=sin=y(=y(单位圆上点单位圆上点P P的纵坐标的纵坐标)ng(g()=cos)=cos=x(=x(单位圆上点单位圆上点P P的横坐标的横坐标
34、)n直观显示了三角函数的性质直观显示了三角函数的性质n周期性：经过一周回到原位置；周期性：经过一周回到原位置；n有界性：有界性：x x-1,1-1,1，y y-1,1-1,1；n单调性：单调性：从从0 0，coscos，n 从从-/2/2 /2/2，sinsin.n有利于三角函数的知识建构有利于三角函数的知识建构ny=siny=sin、x=cosx=cos 中，中，x x、y y的特定含义的特定含义与三角函数线发生了直接的联系。与三角函数线发生了直接的联系。n方便采用数形结合的方法，讨论三角方便采用数形结合的方法，讨论三角函数的定义域、值域，函数值的符号函数的定义域、值域，函数值的符号变化规律
35、和单调性。变化规律和单调性。n从计算角度看，还包括讨论同角关系从计算角度看，还包括讨论同角关系（两个），不等量关系，诱导公式，（两个），不等量关系，诱导公式，等等。等等。n事实上，单位圆定义法可以帮我们把事实上，单位圆定义法可以帮我们把“刻画圆周运动，构建三角函数刻画圆周运动，构建三角函数”联联系起来。系起来。n但是，要想使三角函数的建构从刻画但是，要想使三角函数的建构从刻画圆周运动中产生，我们要克服两大困圆周运动中产生，我们要克服两大困难：难：n困难之一，困难之一，相关变量的确定；相关变量的确定；n困难之二，困难之二，函数关系的认同。函数关系的认同。n前面的设计就为突破两大难点。前面的设计就
36、为突破两大难点。三三 、数学教师应该如何捕捉值得研、数学教师应该如何捕捉值得研究的问题究的问题n数学教师教学研究的选题要与教学密数学教师教学研究的选题要与教学密切相关。切相关。n在教学中善于发现问题，解决问题，在教学中善于发现问题，解决问题，是教学的进取心使然。是教学的进取心使然。案例案例-导数复习课导数复习课课后研讨中的两种意见：课后研讨中的两种意见：授课老师阐述：本节课中专注于解决函数单调性，授课老师阐述：本节课中专注于解决函数单调性，下节课再来研究函数的极值、最值，这样的下节课再来研究函数的极值、最值，这样的“分解分解动作动作”有利于学困生的技能落实。有利于学困生的技能落实。n我的点评意
37、见：我的点评意见：n复习课要区别新课，利用导数研究函复习课要区别新课，利用导数研究函数的单调性、极值、最大（小）值是数的单调性、极值、最大（小）值是连续动作，不可拆分。连续动作，不可拆分。n更何况，参数的不同取值，既影响单更何况，参数的不同取值，既影响单调性，也影响极值，在特定区间上，调性，也影响极值，在特定区间上，还会影响最值。如果复习课上还在完还会影响最值。如果复习课上还在完成单调性讨论后即嘎然而止，必然使成单调性讨论后即嘎然而止，必然使学生饱尝学生饱尝“急刹车急刹车”的感觉的感觉.n重新设计题组（略）重新设计题组（略）再如，如何看待预习与否之争？再如，如何看待预习与否之争？n教学中，对是
38、否课前预习，争论已久。教学中，对是否课前预习，争论已久。n不主张学生预习的人，担心预习可能削弱学不主张学生预习的人，担心预习可能削弱学生好奇心，影响教师设置教学情境和把控教生好奇心，影响教师设置教学情境和把控教学环节。学环节。n主张学生预习的人，强调学生主张学生预习的人，强调学生“学会学习学会学习”，主动地构建知识，自主发展思维能力，凸，主动地构建知识，自主发展思维能力，凸显显“教是为了不教教是为了不教”的素质教育理念。的素质教育理念。n下面介绍我们的实践（下面介绍我们的实践（见中数参见中数参2014.52014.5期）期）（1 1）函数概念的建构）函数概念的建构n问题问题1 1 某细胞分裂时
39、，由某细胞分裂时，由1 1个分裂成个分裂成2 2个，个，2 2个分裂成个分裂成4 4个，个，4 4个分裂成个分裂成8 8个个请你用符号表达细胞的个数与分请你用符号表达细胞的个数与分裂次数的关系裂次数的关系,并并判断两者是否构成函判断两者是否构成函数关系？数关系？n问题问题2 2 某种放射性物质不断变化为其某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩余他物质，每经过一年，这种物质剩余的质量是原来的的质量是原来的84%84%。你能表达该物质。你能表达该物质的剩余量与经过的时间之间的关系吗的剩余量与经过的时间之间的关系吗？两者是否构成函数关系？两者是否构成函数关系？n问题问题3 3 请你
40、结合上例及课本请你结合上例及课本P48P48的问的问题题1 1（GDPGDP增长）和问题增长）和问题2 2（碳（碳1414衰减）衰减）的案例，分析比较这些函数的共同点的案例，分析比较这些函数的共同点,并再并再举一个与上述两例类似的例子举一个与上述两例类似的例子.n问题问题4 4 相信你经过思考，已发现了一相信你经过思考，已发现了一种以前没有见过的函数，请你给这个种以前没有见过的函数，请你给这个函数下个定义，然后与课本对照，检函数下个定义，然后与课本对照，检查是否一致，并尝试回答为什么要求查是否一致，并尝试回答为什么要求“a0a0且且a a 1 1”。课上研讨（预习成果）：课上研讨（预习成果）：
41、n问题问题1 1中，细胞分裂次数中，细胞分裂次数n n与细胞个数为与细胞个数为m m之间的函数关系之间的函数关系“m=2m=2n n”（也有用（也有用x,yx,y表表示的）示的）n问题问题2 2中，约三分之一的同学将物质原始中，约三分之一的同学将物质原始质量为质量为1 1，t t年后该物质的剩余量设为年后该物质的剩余量设为y y，并确认函数关系，并确认函数关系y=(84%)y=(84%)t t；n约有三分之二设原始质量为约有三分之二设原始质量为m m，得解析式，得解析式y=m(84%)y=m(84%)t t，但定义域的标注，但定义域的标注，出现了出现了“t tN N*”与与“t t0,+)0,
42、+)”的分歧；的分歧；n问题问题3 3中，学生所举的例子有银行存款、中，学生所举的例子有银行存款、“切西瓜切西瓜”（类比细胞分裂）、（类比细胞分裂）、y=5y=5x x等；等；n问题问题4 4中，学生在对新函数定义多有质朴缺中，学生在对新函数定义多有质朴缺陷，例如：陷，例如：“y=ay=ax x”、“因变量因变量=常数常数自变量自变量”、“y=ay=ax x(a0)(a0)，“y=may=max x”是指数函数是指数函数”。n至于为什么至于为什么“a0a0且且a a 1 1”，一些学生也给，一些学生也给出了一些出了一些“稚嫩稚嫩”的解释，如的解释，如“a=1a=1时，时，y=ay=ax x=1
43、=1x x=1(x=1(x R)R)是常函数是常函数”，“a=0a=0，则当，则当x=0 x=0时没意义时没意义”，“a0a0t0，而此时之前，而此时之前t0t0。n师：好！你举个具体数说明实际意义。师：好！你举个具体数说明实际意义。n生：比如生：比如t=-1t=-1时，即得一年前该放射性物质的时，即得一年前该放射性物质的量为量为(84%)(84%)-1-1。n师：非常好，置身于历史发展的长河，时间和师：非常好，置身于历史发展的长河，时间和放射性物质的剩余量都是连续变化的，故自变放射性物质的剩余量都是连续变化的，故自变量量tRtR。由此可见，构建一个定义域为。由此可见，构建一个定义域为R R的
44、指的指数函数是必要的，而要使定义域（数函数是必要的，而要使定义域（R R）整齐划）整齐划一，就必须限定函数解析式一，就必须限定函数解析式“y=ay=ax x ”中字母中字母a a的取值为（的取值为（0 0，1 1）（1 1，+），这是因为，），这是因为，当当a=0a=0时，当时，当x0 x0时，时，0 0 x x无意义；当无意义；当a0a0时，时，x x取最简分数取最简分数n/m n/m（m m为偶数）时，为偶数）时，a ax x无意义；无意义；当当a=1a=1时，虽然不影响定义域为时，虽然不影响定义域为R R的限定，但我的限定，但我们已经接触过们已经接触过“y=1y=1”之类常函数，此处定义
45、之类常函数，此处定义指数函数理应与之切割。指数函数理应与之切割。（2 2）图象与性质的探究）图象与性质的探究教师的主导作用教师的主导作用（3 3）函数模型的应用）函数模型的应用课后反思课后反思n（1 1）有预习课的）有预习课的主动、深刻主动、深刻，是长期，是长期训练的结果。训练的结果。n（2 2）无预习的课，一般较顺畅。但造）无预习的课，一般较顺畅。但造成学生独立思考的时间偏短，难以充成学生独立思考的时间偏短，难以充分活动。通常只能是削枝强干，突出分活动。通常只能是削枝强干，突出重点。重点。（3 3）预习后的课堂教学）预习后的课堂教学n不一定以概念的生成为起点，而以预不一定以概念的生成为起点，
46、而以预习过程中暴露出共同悬疑问题为起点习过程中暴露出共同悬疑问题为起点，把师生、生生之间思维的碰撞与对，把师生、生生之间思维的碰撞与对话不断引向深入。话不断引向深入。n如此组织预习后的学习，学生绝不会如此组织预习后的学习，学生绝不会冲淡知识新奇感和求知欲望，教师照冲淡知识新奇感和求知欲望，教师照样可以上出样可以上出引领教材阅读、引发认知引领教材阅读、引发认知冲突、激发求知欲望、以悬疑探究、冲突、激发求知欲望、以悬疑探究、问题解决为主线的好课。问题解决为主线的好课。n（4 4）在在不预习不预习的课堂上，一般而言，的课堂上，一般而言，教师的当面引领学习活动教师的当面引领学习活动，学生学生相对相对被
47、动被动，节外生枝少节外生枝少，一般比较一般比较顺畅。顺畅。n“顺畅顺畅”导致导致独立思考的独立思考的时间短时间短，难，难以充分调动自身数学活动经验，去经以充分调动自身数学活动经验，去经历观察比较、抽象概括、辨析质疑历观察比较、抽象概括、辨析质疑，催生知识催生知识。n由此导致研究问题可能没有有预习的由此导致研究问题可能没有有预习的课深入，学习成果也只能是削枝强干课深入，学习成果也只能是削枝强干，突出重点。，突出重点。n（5 5）但但“主动与深刻主动与深刻”并非并非是是有预习有预习上课的必然结果上课的必然结果。n因为预习引发的学习过程前置，对学因为预习引发的学习过程前置，对学生的知识基础、学习习惯
48、、思维品质生的知识基础、学习习惯、思维品质提出了提出了很高的要求很高的要求。n所以，学生的有效预习，应该是教师所以，学生的有效预习，应该是教师长期训练的结果，如果长期训练的结果，如果条件不具备条件不具备，一味地坚持有预习上课，学生照样可一味地坚持有预习上课，学生照样可以学得不主动、不深刻。以学得不主动、不深刻。n（6）同样的，不预习教学同样的，不预习教学按按如如下六字经进下六字经进行，可以弥补其不足：行，可以弥补其不足：n 问题引导学习问题引导学习教学重心前移教学重心前移丰富典型例证丰富典型例证提供概括时机提供概括时机保证思考力度保证思考力度加强思想联系加强思想联系使用变式训练使用变式训练强调
49、反思迁移强调反思迁移四、如何撰写一篇符合规范的文章？四、如何撰写一篇符合规范的文章？n1 1 、“标题标题”的确定的确定n“标题标题”是文章的是文章的“标签标签”-反映反映文章主旨，表述简捷明快。文章主旨，表述简捷明快。n如需要副标题说明，可加副标题。如需要副标题说明，可加副标题。n例如：例如：n追求自然朴实的数学教学追求自然朴实的数学教学以两角和与差的余弦公式教学为例以两角和与差的余弦公式教学为例（见数学通报见数学通报2014.112014.11期期）n注意：大标题说清楚了，没必要加小注意：大标题说清楚了，没必要加小标题，如，标题，如，n再谈椭圆及其标准方程的教学（再谈椭圆及其标准方程的教学
50、（数学数学通报通报2015.22015.2期期）n合情推理非演绎，演绎推理亦合情合情推理非演绎，演绎推理亦合情n数学解题教学应注意的几个问题数学解题教学应注意的几个问题n复数概念教学应注意的几个问题复数概念教学应注意的几个问题n数学高考北京卷对教学的启示数学高考北京卷对教学的启示2 2、摘要的撰写、摘要的撰写n要点摘录，观点概括要点摘录，观点概括-不读文章，就知不读文章，就知要义要义n不做自我评价，如不做自我评价，如收到收到效果效果n不用主语，用第三人称客观陈述不用主语，用第三人称客观陈述n3 3、关键词、关键词-文章核心概念文章核心概念n简单，常用，明确，具体简单，常用，明确，具体n一般三、
