1、 00dH ssc6.4 双线性变换法双线性变换法脉冲响应不变法存在的缺点是频谱混叠。这是由于从s(6.4-1)(6.4-2)换正是克服这一缺陷的变换。平面到z平面的标准变换是多值对应关系。而双线性变1、双线性变换映射关系、双线性变换映射关系一阶微分方程的一般形式系统函数的LTya(t)+c0 ya(t)=d0 x(t)TnynynTtdttdya1如图(6.4-1)所示对式(6.4-1)的时间变量量化，且时间间隔T足够小，则有 121nynynTttya图（6.4-1）y(n-1)y(t)y(n)(n-1)T nTt0 y(t)112t nTx tx nx n 12121100nxnxdny
2、nycnynyT对式(6.4-3)两边取z变换同理代入式（6.4-1）（6.4-3）zXzdzYzczYzT10101121211 011010110112121112czzTdzczTzdzXzYzH 11112zzTssHzH(6.4-4)系统函数H(s)得到数字滤波器的系统函数H(z)(6.4-5)式(6.4-4)与(6.4-2)式比较，可以直接由模拟滤波器的11112zzTssszTT2211由 式(6.4-5)得到将s平面映射到z平面的关系为由(6.4-6)式还可以解出(6.4-6)(6.4-7)式(6.4-6)与(6.4-7)的变换都是单值对应的，其分子和分母均为自变量的线性函数，
3、双线性变换法也因此得名。jj2 1e1eT2tan2T(6.4-8)(6.4-8)等式两边相等，由此得到(6.4-9)将 z=e j(单位圆)代入(6.4-6)式，并设 s=+j，有+jjj/2j/2j2j/2j/212ee22jtan2eeTT=0由(6.4-8)看到双线性变换法的映射关系使s平面的虚轴映射为z平面的单位圆。而(6.4-9)式频率正切变换关系实现了频率压缩，使模拟域从的变化，压缩为数字域频率从-变化。正因如此，双线性变换法克服了脉冲响应不变法频谱的混叠效应。2222221111TTTTTTjjssz2222222211TTTTz(6.4-10)稳定的模拟系统映射为稳定的数字系
4、统。将 s=+j代入(6.4-7)，有=0 0|z|=1|z|1|z|1(1+T/2)2 (1T/2)2由于双线性变换法映射关系是单值对应的，克服了脉与关系是非线性的，使得模拟滤波器与数字滤波器在冲响应不变法频谱混叠现象。但是 由(6.4-6)表示的响应与频率的对应关系上会产生畸变，如图6.4-2所示。即原来的s/p=k 由双线性变换后s/p k ps|H(j)|H(ej)|ps经过双线性变换后，DF仍具有片段常数的频响特性，仅通带截止频率、过渡带边缘频率、频响的峰、谷点对应频率发生变化。这可由“预畸”的方法加以校正，即将AF的临界频率加以预畸，再通过双线性变换得到所需要的DF。采用预畸后 s
5、/pk 但s/p=k ps ps|H(j)|H(ej)|2tan2T11112zzTs原型低通滤波器的预畸通带截止频率f p。预畸的做法就是由的关系，找出相应的例6.4-1 设计一个一阶低通滤波器，已知采样频率s、p，根据这个s、p设计AF，再利用fs=2000Hz，通带截止频率f p=400Hz，求模拟的关系求出H(z)。2/tan2ppT解则低通滤波器，而不是f p=400Hz，的模拟低通滤波器。用双线性变换法，我们要做的是截止频率为f p的模拟p=pT=p/fs =2400/2000=0.4=72=4000tan36=2906rad/s=925f p=2906/2=462.5Hz2000
6、2375.02/Tfpp若不预畸：则实际的实际 p=2400=800 =2513.3rad/sp=2tan-1(pT/2)=2tan-1(0.2)64.284=0.375375Hz 400Hz1)确定DF性能要求，确定数字滤波器各临界频率k。传递函数H(s)。这个模拟低通滤波器也称为模拟原型(归一化)滤波器。2.双线性变换法设计数字滤波器四个步骤：2)由双线性变换关系将k变换为模拟域临界频率k。3)按k、衰减指标求出模拟低通滤波器的(归一化)(4)由双线性变换关系将H(s)转变为数字滤波器的系统函数H(z)。与脉冲不变法一样，设计过程中除了的第一步求数字临界频率k时，要用到取样间隔T或取样频率
7、 fs 以外，最后的结果与其它各步骤中T 或 f s的取值无关。所以为了简化运算，在实际计算时，除了第一步，通常取T=1或T=2。pppsssH1/1例6.4-2：H(s)的一阶原型低通系统函数为：(1)预畸后 将T=1/2000代入，得p=2906 rad/s 29062906H ss 111211129061400029061zsTzH zH szz1094690612906129061400012906111zzzzz 1584.01421.0zzzH7265.02/tan pp 7265.07265.0 sssHpp 一般H(z)系数1，则(2)预畸后 令T=2代入，得 7265.01
8、17265.01121111zzzzTssHzHa2735.07265.117265.017265.0117265.0111zzzzz 1584.01421.0zzzH (1)与(2)的结果相同。一般H(z)系数1，则1器，设计指标为例6.4-3 用双线性变换法设计一巴特沃思数字低通滤波通带截止频率p =0.2，通带最大衰减p 1dB；阻带边缘频率s=0.3，阻带最小衰减s 15dB；|Hd(e j)|1-120.20.3解：解：与例6.2-4相同，仍用三种方法求解此题。(1)按照设计的一般步骤作第二步开始。为方便直接取T=1，则由双线性频率变因为给出的频率条件已经是数字临界频率 k，应从换
9、=2 tan(/2)，得到预畸校正频率分别为p=2 tan(0.2/2)=2 tan(0.1)s=2 tan(0.3/2)=2 tan(0.15)，这样模拟滤波器的设计指标为通带截止频率p=0.65，通带最大衰减p 1dB；阻带边缘频率s=1.019，阻带最小衰减s 15dB；10lg|H(jp)|2 1，|H(j 2 tan(0.1)|2 10-0.1；lg|H(jp)|2 0.1，10lg|H(js)|2 15，|H(j 2 tan(0.15)|2 10-1.5。lg|H(js)|2 1.5，1）求N、c221/1jHNcNcjH22/11由巴特沃思滤波器的数学模型得到由此可得：整理 1+
10、2 tan(0.1)/c2N=100.1(6.4-11a)1+2 tan(0.15)/c2N=101.5(6.4-11b)(6.4-11c)(6.4-11d)2 tan(0.1)/c2N=100.1 1=1.2598-1=0.25982 tan(0.15)/c2N=101.51=31.6228-1=30.622832104547.86228.302589.015.0tan21.0tan2114.6114.6Ndc304.51954.020729.25095.0/3249.0lg104547.8lg213N由将这个N代入(6.4-11c)式，解出c0=0.738。但N必须取整数，所以取N=6，同
11、时取c=0.76622c0这与冲激不变法相反，由保证阻带指标，改善通带指标。成对的，且均在s左）求Ha(s)N=6，为偶数，极点间隔为/N=/6=30，起点/2N=15，实轴上无极点；H(s)的系数均为实数，H(s)的复极点都是共轭半平面。S平面平面j /6c-c15 sHa6161kkkksss由此得到：s1,6=c(cos75 jsin75)=0.198j0.742s2,5=c(cos45 jsin45)=0.5415j0.5415s3,4=c(cos15 jsin15)=0.742j0.198 18637.34641.71416.94641.78637.3123456ssssss去归一化
12、后2024.00204.15727.21123.43821.49604.22024.023456ssssss也可以查表6.2得到N=6的归一化Ha(s)为 Ha(s)=Ha(s)=11112zzTssHzHa212161-3585.00108.112154.09042.01z10.00073794zzzz21705.02687.111zz数字滤波器振幅频响（dB）如图6.4.4所示。3）求H(z)00.20.310.17780.89131Magnitude Responsefrequency in pi units|H|0 21934.7628-0.035100.1291analog siga
13、l ha(t)time in secondsha(t)00.20.31-30-15-1Magntide in dbfrequency in pi unitsdecibels06102030-0.100.10.2impluse respondse h(n)h(n)双线性变换法s=2 tan(0.3/2)=2 tan(0.15)=1.019，例例6.4-4 指标同例6.4-3，用双线性变换法设计数字切比雪夫滤波器。通带截止频率p=0.2，通带最大衰减p 1dB；阻带边缘频率s =0.3，阻带最小衰减s 15dB；解：令T=1，则p=2 tan(0.2/2)=2 tan(0.1)=0.6511111
14、212pajH50885.01101.03 3）psN/cosh111cosh12211.0tan/15.0tancosh1101cosh15.1165.0/019.1cosh50885.05338.5cosh11016.30207.10783.32）1）p=c=0.65 取 N=4，与脉冲不变法相同。1702.4205.29652.1121NNa11213645.07.0429.121214141NNb11210645.17.0429.121214141 则：=0.36450.65cos(3/8)j1.06450.65sin(3/8)s1,4=ac cos(2k-1)/2N jbc sin(
15、2k-1)/2N=0.36450.65cos(/8)j1.06450.65sin(/8)=0.2189j0.2647=0.0907j0.639s2,3=ac cos3/2N jbc sin3/2N 1111NkkNkkassssH118.04378.04166.01814.004381.022ssss4）确定模拟低通系统函数H(s)可以利用表6.2得到归一化H(s)，再去归一化得到H(s)。系统函数5)由由模拟低通系统函数经双线性变换法确定数字低通 11112zzssHzHa2121416493.05548.118482.04996.111001836.0zzzzz与用冲激不变法设计数字切比雪
16、夫滤波器相比，基本步骤一样，只是模拟低通原型p=c=0.65。切比雪夫数字滤波器振幅频响（dB）如图6.4.6所示。00.20.30.5-30-15-1Magntide in dbfrequency in pi unitsdecibels由图6.4.6与图6.4.5巴特沃思滤波器振幅频响相比，在保证通带指标的前提下，阻带指标改善很多。这是因为切比雪夫数字滤波器实际阶数N取4，比计算所需的理论阶数3.016有较大的富余量。作业7、8、96.5 原型变换法原型变换法前面两节讨论的是由巴特沃思、切比雪夫模拟原型低通滤波器设计数字低通的方法。而实际待求的数字滤波器重讨论由模拟低通原型设计实际数字滤波器
17、的方法。如图6.5.1所示，一般有三种方法可以由模拟低通原型设计所需的数字滤波器。有各种不同的低通、高通、带通、带阻滤波器，本节着HL(j)Hd(j)HL(ej)Hd(ej)1、sz3、szzZ2、sssz图中HL(j)表示模拟低通原型滤波器，Hd(e j)表示所需设计的数字滤波器。图6.5.1 原型变换的三种设计方法示意图由图可见，由模拟低通原型滤波器出发，设计数字滤波器的第一种方法是由模拟低通原型滤波器HL(j)，用冲激不变法或双线性变换法得到数字低通滤波器的HL(ej)；再由数字低通得到所需的数字滤波器的Hd(e j)。这种方法的第一步，实际就是前面两节讨论的s平面与z平面的映射变换。关
18、键是第二步，第二步实质是数字域z平面之间的变换，这种变换也称z平面变换法。设计数字滤波器的第二种方法是由模拟低通原型滤波器HL(j)，设计所需的模拟低通、高通、带通、带阻滤波器Hd(j)，再由Hd(j)经冲激不变法或双线性变换法得到所需的数字滤波器的Hd(ej)。这种方法的第二步，是前面两节讨论的s平面与z平面的映射变换。关键是第一步，第一步的实质是模拟域s平面之间的变换，这种变换也称s平面变换法。设计数字滤波器的第三种方法是由模拟低通原型滤波器冲激不变法频谱的混叠效应，应用受到一定限制，所以此法适用双线性变换法。因为这种方法直接由模拟原型滤波器变换到数字滤波器所以也称原型变换法。HL(j)，
19、直接设计所需的数字滤波器的Hd(e j)。由于由模拟低通原型设计任意的DF三种可以选择方法1、模拟低通原型数字低通 所需数字滤波器即所需数字滤波器 2、模拟低通原型所需模拟即3、模拟低通原型所需数字滤波器即(只适用双线性变换)HL(j)Hd(e j)sz HL(j)HL(e j)Hd(e j)szHL(j)Hd(j)Hd(e j)s 下面分别讨论与这三种方法相关的z平面变换法、s平面变换法以及原型变换法。z平面变换或s平面变换的作用都是改变原滤波器的频率特性，其实质是频率变换，所以统称频率变换法。6.5.1 z平面变换法数字域的频率变换前面两节讨论了由模拟原型低通设计数字低通的方法。频率变换，
20、设计其它所需数字滤波器Hd(Z)的方法。以属于频率变换法。现在讨论以已知数字低通 Hl(z)为原型，通过适当的量，所以称z平面变换法。z平面变换的作用是改变原滤波器的频率特性，其实质是数字域的频率变换，所因为这种变换的Hl(z)与Hd(Z)的自变量都是数字域变11zG Z(6.5-2)为了区分变换前后的两个不同的z平面，我们设变换前为小z平面，变换后为大Z平面，其映射关系为：z1=G(Z 1)z平面变换可以表示为Hd(Z)=Hl(z)(6.5-1)z平面的单位圆e j Z平面的单位圆e j）具有相应的频率关系z平面的单位圆内 Z平面的单位圆内；）稳定性不变对映射关系的要求，或G(Z 1)应满足
21、的条件：将满足z域频率变换的两个条件，代入(6.5-1)式有(6.5-3)(6.5-4)(6.5-5)一个全通函数。ej=G(ej)=|G(ej)|ej()|G(ej)|=1 =()由式(6.5-4)可见，函数G(Z 1)在单位圆上恒为1，是11111ZZZGiiNi任意一个全通函数可以表示为（6.5-6）由(6.5-6)分析全通函数特点：第一，只要有一个极点i，就有一个零点i/1，零、极点成对出现。由于在单位圆内(|i|1)。第二，当由0 时，全通函数的G(Z 1)要满足映射后稳定性不变，所以这些极点一定相位=()变化量为0N，N是全通函数的阶数。下面根据全通函数特点，具体讨论数字域的频率变
22、换法。低通 1、低通于0及 分别代入(6.5-3)式，我们有 从低通到低通的变换，Hl(e j)、Hd(e j)均为低通，但 变化时，Hl(e j)的相位=()也是由0变到。()的变化量为，G(Z-1)应为一阶全通函数。将与 等是截止频率各不相同。所以当Hd(e j)的相位由0到11ZGz111ZZ通到低通的变换。（6.5-7）这是从低通到低通变换的一阶全通函数应满足的两个条件，满足上述关系的映射函数为e j|=G(e-j|=)G(-1)=1e j|=0=G(e-j|=0)G(1)=1即当为实数，且|0时，变换频率压缩，即原截止频率c高，变换后的截止频率c低；1，就取其倒数为例6.5.1设计一
23、个数字切比雪夫高通滤波器，数字高通滤波器指标：截止频率p=0.6，通带最大衰减1dB；阻带最小衰减15dB。38197.02cos2cos1212由已知条件图6.5-41示的数字高通滤波器Hd(z)。解：在上节例6.4.4曾设计了一个截止频率为0.2的数字切比雪夫低通滤波器。现在就用它做数字高通滤波器的原型Hl(z)，经过平面变换法，设计出如图6.5-4所p=0.2 ，p=0.6 1-120.6 Hd(ej)1110.3819710.38197ZzZ 1110.381971 0.38197dlHZHzZzZ 1114112120.381971 0.381970.001836 11 1.4996
24、0.84821 1.55480.6493ZzZzzzzz代入(6.5-11)式，得数字切比雪夫高通滤波器应有“”号（书上有错）123412120.02313 0.10210.17510.17510.17510.10210.2650.2760.10651.3120.72971.003ZZZZZZZZ123412340.002360.004050.004050.004050.002360.347680.555740.60690.35450.1068ZZZZZZZZ低通带通的变换就是要将截止频率为c的数字低通3、低通带通数字域低通带通频率变换示意图如图6.5.5 所示。Hl(ej)，变换为以中心频率
25、为0的数字带通Hd(ej)。00Hd(ej)Hl(ej)-021c-c-11由图可见，数字带通的中心频率0 对应数字低通原型的中心，即=0点；当带通频率由0时，低通由0。当带通频率由00时，低通由0；相应变换关系的全通函数阶数N=2。即从0时，由相应的变化是2，1111111ZZZZZG(6.5-14)因此低通到带通变换的映射关系为 2121211112111kkZZkkkkZZkk2/cos2/cos1221 将数字域频率变换的对应关系 1 c、2c代入(6.5-14)，可以确定G(Z-1)为k=cot(21)/2 tan(c/2)(6.5-15)G(Z-1)=式中以上z平面变换法的映射关系
26、及参数见见表6.5-11121111121212ZkZkkkkZkZ2/cos2/cos1221低通带阻的变换，也可以利用带通旋转的关系完成。4、低通带阻由此可得G(Z-1)G(Z-1)(6.5-16)其中k=tan(21)/2 tan(c/2)6.5.2、s平面变换法模拟域的频率变换拟原型低通设计所需数字滤波器第二种方法的第一步。性变换法。所以这种方法的关键就是第一步模拟域的s平面变换法实质是模拟域的频率变换，是由归一化模该方法的第二步是前面已经讨论过的sz平面映射，既可以用冲激不变法（有一定限制），也可以用双线频率变换。关系可以实现所需要的模拟域频率变换。归一化的模拟原型低通的设计简便、通
27、用。尤其是利用归一化的模拟原型低通，经适当的频率变换可以求得实际（非归一化）低通、高通、带通、带阻滤波器。与数字域的频率变换法类似，有一组变换用s表示变换前的自变量，s表示变换后的自变量，Hl(s)表示归一化的模拟原型低通的系统函数，归一化的模拟原型低通的截频为p。则s平面变换法的变换关系有 2/LlssHsHs1、低通低通 s=s/2 (6.5-17)式中 2是低通的截止频率则非归一化的模拟低通的系统函数为(6.5-18)(6.5-18)实际也是模拟原型低通去归一化公式。HH(s)=Hl(s)2/ssHH(s)=Hl(s)|s=1/s归一化的模拟高通的系统函数为s=1/s(6.5-19)2、低通高通 s=2/s，式中2是高通的截止频率非归一化的模拟高通的系统函数为特别当2=1时1220212212sssss 2220122121BlsssssHsHs (6.5-21）(6.5-20）210是带通的中心频率。非归一化的模拟带通的系统函数为式中 1是带通的下截止频率；2是带通的上截止频率；3、低通带通 2121222120sssss 210 2121222120SlsssssHsHs 是带阻的中心频率，非归一化的模拟带阻的系统函数为(6.5-22）(6.5-23)4、低通带阻 式中 1是带阻的下截止频率；2是带阻的上截止频率；
