1、第三讲第三讲杆件结构有限元分析杆件结构有限元分析元计算技术部 本讲通过对一维杆件进行理论分析和ELAB1.0有限元实现两种方式来介绍有限元的思想，并给出用有限元方法求解实际问题的流程：u一维杆件有限元理论分析u一维杆件ELAB软件实现基本方程基本方程的最终弱形式建立有限元模型 确定杆单元的形函数确定单元刚度，总体刚度带入边界求解方程工程建模前处理求解计算及后处理 杆件从构造上说是长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结构力学中常常将承受轴力或扭矩的杆件统称为杆。根据桁架或者杆件承受的载荷不同，根据它们的变形不同可以将杆单元分为二维和三维桁架单元两种。承受轴向载荷等截面直杆的基本方程如下：0)(xf
2、dxdAx0()()0lxdAf xudxdx 其弱形式为：00llxjjjd uAdxf xudxP udx基本方程基本方程u一维杆件有限元理论分析一维杆件有限元理论分析 根据虚功原理，方程两边乘以虚位移u，平衡方程可以写为：其中，右端最后一项可以看作是节点力情况，所以可以不单独列出，同时 xduEdx所以上式可以继续写为：00lldu d uAEdxf xudxdx dx其中E表示弹性模量，A表示横截面积，方程左端得到单元的刚度矩阵。基本方程的最终弱形式基本方程的最终弱形式建立有限元模型建立有限元模型 现考虑一个由5个长度相同(le=1m)横截面积不同的杆件构成的一维杆件，各杆弹性模量都为
3、E=1.0e10pa，A1=0.5m2，A2=0.4 m2，A3=0.3 m2，A4=0.2 m2，A5=0.1 m2，如图1所示，右端给定位移u右=0.1，左端固定位移u左，分析杆件内位移分布：几何模型 将其划分为五个单元六个节点，即每根杆件作为一个单元，每个单元的节点关系如下图所示：单元拓扑关系确定杆单元的形函数确定杆单元的形函数考虑其中一个杆单元，其两个端点分别为节点1，节点2，基本变量为节点位移u1，u2:：设该单元的位移场为u(x)，这里要通过一个线性分布函数来进行插值以得到单元内的未知位移。定义一个局部坐标系：1212()1xxxx由该式可得，在节点x1 处，=-1，在节点x2处，
4、=1，如下图所示局部坐标系：基于上坐标系来定义用于位移插值的形状函数：121()21()2NN确定了形状函数后，单元内的线性位移场就可以用节点位移u1，u2来表示：1 122()u xN uN u通常来说形函数需满足以下条件：通常来说形函数需满足以下条件：在单元内，一阶导数必须存在；在单元之间的连接处，位移必须连续；推导该问题的单元刚度矩阵表达式推导该问题的单元刚度矩阵表达式对于基本方程的最终弱形式：00lldu d uAEdxf xudxdx dx在一个单元内：1 122()u xN uN u因此：1 1221212()d N uN udNdNduuudxdxdxdx由局部坐标系，与整体坐标
5、系的关系式及位移的插值函数可得：1121212221211211212112eedNdN ddxddxxxxxldNdN ddxddxxxxxl 21elxx11212211eeudNdNduuuudxdxdxll 11120121122111121111leeeeeeeeeeluldu d uAEdxu uAEdudx dxlllluu uAElulll由上面的关系式可得到：对u取与u相同的形函数，并将上面的关系式带入基本方程的最终弱形式中可得：确定该问题每个单元的刚度矩阵确定该问题每个单元的刚度矩阵222211111111111 1eeeeeeeeeeeelllAEkAElAEllllll
6、l656(1)5111.0 10 0.11 11uuueKu545(2)4111.0 10 0.21 11uuueKu434(3)3111.0 10 0.31 11uuueKu323(4)2111.0 10 0.41 11uuueKu212(5)1111.0 10 0.51 11uuueKu 将得到的各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可以形成整体刚度矩阵，同时将所有节点荷载也进行组装。刚度矩阵：(1)(2)(3)(4)(5)KKKKKK节点位移：123456Tuu u u u u u对于本问题没有节点力即：0 0 0 0 0 0Tf 整体刚度方程为：1234561234560.50.500.
7、50.50.40.400.40.40.30.301.0 100.30.30.20.200.20.20.10.100.10.10uuuuuuuuueuuu 确定该问题总体刚度矩阵确定该问题总体刚度矩阵边界处理及整体刚度方程求解边界处理及整体刚度方程求解边界条件u1=0，u2=0.1，带入方程中去掉第一条和第六条方程得到：1234562345000.50.50.40.400.40.40.30.301.0 100.30.30.20.200.20.20.10.1000.1uuuuuuuueuu 求解上方程得到：23450.00875910.0197080.0343070.056204uuuu则所有的节
8、点位移为：T0.00.00875910.0197080.0343070.0562040.1umu一维杆件一维杆件ELAB1.0ELAB1.0软件实现软件实现工程建模工程建模1、点击“工程向导”进入公式库2、选择“结构力学”“桁架”“二维直角坐标”3、选择“坐标系”5、选择“问题类型”4、选择“单元类型”6、定义工程名和工程路径，完成工程设置定义材料参数定义材料参数点击工具栏“参数设置”“材料参数”，如下图所示：材料参数对话框中设定相应的材料参数，如下图所示：前处理前处理 进入GID后要进行FELAC的数据转化dataproblemtypeFELAC，如下图所示。几何建模：几何建模：点击工具栏中
9、“前处理”按钮进入GID，建立该工程的几何模型。确定问题类型 点击左侧菜单中 ，在GID下方command命令行中输入（5,0）回车，再输入（4,0）回车，再输入（3,0）回车，再输入（2,0）回车,再输入（1,0）回车,再输入（0,0）回车,单击鼠标中键结束，此时杆件创建完毕如下图所示。赋予材料属性：赋予材料属性：选择dataconditions，弹出图示对话框。选择 ，在下拉菜单中选择Line trull2，在Mate num中输入数值1，点击assign，选择左边第一条线，按鼠标中键结束。依次在Mate num中输入2、3、4、5，分别为另外四条线赋材料，如下图所示。几何模型建立步骤几何
10、模型建立步骤：一维杆件模型材料属性 在conditions对话框中选择 ，在下拉菜单中选择point lea，在对应的输入框中输入：u-l:-1，u-D:0，点击assign，选择模型左端点，点击鼠标中键结束，在输入框中输入：u-l:-1，u-D:0.1，选择模型左端点，点击鼠标中键结束，即为模型添加边界(左端位移固定为0，右端位移为0.1)。如下图所示。划分网格：划分网格：选择Mesh Structured Lines Assign size，此时弹出Enter value window对话框，将值改为10(该值大于所有线中的最大长度，使每一杆件为一个单元)，点击assign选择所有线，按鼠
11、标中键结束。选择Mesh generate mesh，对弹出的窗口保持默认设置，划分网格，弹出网格划分信息的对话框，单击View mesh，效果图如下图所示。添加边界条件：添加边界条件：边界设定选择calculate calculate，在弹出的对话框，点击OK，保存，前处理完毕。工程求解工程求解点击工具栏中“求解计算”按钮，完成模型的求解计算。网格尺寸设置网格划分信息网格划分后处理后处理 点击工具栏中的“后处理”按钮进入GID，查看计算结果，如下图所示。结果分析：结果分析：本章针对一个变截面一维杆件，通过理论分析和ELAB1.0软件实现两种方式来分析，一方面对有限元的分析思路进行整理，一方面对ELAB1.0的操作过程进行介绍，对比两种方式的计算结果，其结果一致，且通过软件可以比较直观的看到结果云图，而对于复杂的模型，大家可以采用ELAB1.0方便的实现，对于结构力学问题来说，因为桁架和梁的基本理论都是建立在一维空间上，因此对于平面二维问题及空间三维问题，需进行坐标变换，此点在ELAB1.0软件中大家可以方面的使用,对于结构力学中其他结构的分析将在下讲进行！
