1、2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建1电动力学第10讲第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(4)2.4 讯变电磁场的矢势和标势 2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建2教学体系1.1 电荷与电场1.2 电流与磁场1.3 真空中的麦克斯韦方程组1.4 电磁场的能量和动量第1章 真空中的Maxwell方程组2.1 静电场的标势2.2 静电势的多极展开2.3 恒稳磁场的矢势2.4 讯变电磁场的矢势和标势2.5 谐变势的多极展开、电磁辐射第2章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建3Maxwell方程组00tt BEEBJEB 000
2、2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建4Maxwell方程组00lslssdldtdIdtQdQdVdId BESEBlSESBSJS 000s2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建5标势标势 的Poisson方程0200/EEE2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建6静电场的标势静电场的标势 若电荷连续分布，电荷密度为，设r为由源点xx 到场点x x的距离，则场点x x处的电势为 1()()4dVr0 xx2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建7(0)(1)(2)(0)0(1)0(2)0()()()().11()411()4111():46xQ
3、RRDR pxxxxxx2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建82()()()(3 1 )VVVQdVdVDrdVpxx xxx x2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建9静磁场的矢势静磁场的矢势 在稳恒电流（静磁场）情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的磁场部分为 00BJB2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建10静磁场的矢势静磁场的矢势 根据矢量分析的定理（附录.17式）,若 则 B B 可表为另一矢量的旋度A A 称为磁场的矢势。0BBA2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建11矢势微分方程矢势微分方程 对比静电势的解可得矢势方程的特解 式
4、中x 是源点，x是场点，r为由x 到x的距离。200 AJA（）0()()4xdVrAJ x2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建12矢势的多级展开矢势的多级展开 如果电流分布于小区域V内，而场点x又距离该区域比较远，我们可以把A（x）作多级展开。取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式得 01111()():.42!xxx xdVRRRAJ x2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建13矢势的多级展开矢势的多级展开(0)0()()4xdVRAJ x(1)003144RR mRAm1()2dVmxJ x2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建14本讲主要内容
5、用势描述电磁场 规范变换和规范不变性 dAlembert 达郎贝尔方程 推迟势2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建15用势描述电磁场用势描述电磁场 为简单起见，我们只讨论真空中的电磁场，麦克斯韦方程组为 00tt BEEBJEB 0002022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建16用势描述电磁场用势描述电磁场 在恒定场中，由B的无源性引入矢势A，使 在一般情况下，B仍然保持无源性，所以B与矢势A的关系式普遍成立的。矢势A的物理意义是：在任一时刻，A沿任意闭合回路的线积分等于该时可通过回路的磁通量。.BA2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建17用势描述电磁场用
6、势描述电磁场 在一般的变化情况中，电场E的特性与静电场不同。电场E一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建18用势描述电磁场用势描述电磁场 在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A在内。把 代入 得 .BA,t BE()0tAE2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建19用势描述电磁场用势描述电磁场 该式表示矢量 E+E+A/A/t t 是无旋场，因此它可以用标势描述，因此，一般情况下电场的表示式为 .t
7、 AE.t AE2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建20用势描述电磁场用势描述电磁场 把电磁场用矢势和标势表示出来。注意现在电场E E不再是保守力场，一般不存在势能的概念，标势失去作为静电场中势能的意义。因此，在高频系统中，电压的概念也失去确切的意义。在变化场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。.t BAAE2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建21规范变换和规范不变性规范变换和规范不变性 用矢势A和标势描述电磁场不是唯一的，即给定的E和B并不对应唯一的A和。这是因为对矢势A可以加上一个任意函数的梯度，结果不影响B，而这加在A上的
8、梯度部分在E式中有可以从-/t中除去，结果亦不影响E。2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建22规范变换和规范不变性规范变换和规范不变性 设为任意时空函数，作变换 AAA,t则，(A,)与(A,)对应于同一个(E,B)。2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建23规范变换和规范不变性规范变换和规范不变性 有.ttttt AEAAE,BAAABAAA,t2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建24规范变换和规范不变性规范变换和规范不变性 即(A,)与(A,)描述同一电磁场。变换 称为势的规范变换。每一组(A,)称为一种规范。AAA,t2022年7月28日星期四山东
9、大学物理学院 宗福建25规范变换和规范不变性规范变换和规范不变性 在经典电动力学中，由于表示电磁场可观属性的可测量的物理量为E和B，而不同规范有对应着同一的E和B，因此，如果用矢势来描述电磁场，客观规律应该和势的特殊的规范选择无关。当势作规范变换时，所有物理量和物理规律应该保持不变，这种不变性称为规范不变性。2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建26规范变换和规范不变性规范变换和规范不变性 从数学上来说，规范变换自由度的存在是由于在势的定义式中，只给出A A的旋度，而没有给出A A的散度。我们知道仅由矢场量的旋度是不足以确定这矢量场的。为了确定A A，还必须给定它的散度。电磁场E
10、E和B B本身对A A的散度没有任何限制。因此，作为确定势的辅助条件，我们可以取A A为任意的值。.t BAAE2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建27规范变换和规范不变性规范变换和规范不变性 每一种选择就对应一种规范。采用适当的辅助条件可以使基本方程和计算简化，而且物理意义也较明显。从计算方便考虑，在不同问题中可以采用不同的辅助条件。应用最广的是以下两种规范条件：2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建28规范变换和规范不变性规范变换和规范不变性 （1）库仑规范 辅助条件为 在这规范中A A为无源场，因而电场表示式 中第二项 A A/t是无源场（横场），而第一项 为无
11、旋场（纵场）。0At AE2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建29规范变换和规范不变性规范变换和规范不变性 这规范的特点是E E的纵场部分完全由描述。而横场部分由A A描述，A A/t项不含纵场部分。项对应于库仑场，A A/t项对应于感应电场。这种划分对于讨论某些问题是方便的。2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建30规范变换和规范不变性规范变换和规范不变性 （2）洛伦兹规范 辅助条件为 采用这种规范时，势的基本方程化为特别简单的对称形式，其物理意义也特别明显。因此，这种规范在基本理论研究以及解决实际辐射问题中是特别方便的。210ctA2022年7月28日星期四山东大
12、学物理学院 宗福建31达朗贝尔（达朗贝尔（dAlembert）方程）方程 由麦克斯韦方程组推导势A和所满足的基本方程。把 代入.t BAAE0t EBJE 0002022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建32达朗贝尔（达朗贝尔（dAlembert）方程）方程 得2000002(),tt AAJ20tA2()()AAA 2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建33达朗贝尔（达朗贝尔（dAlembert）方程）方程 应用00=1/c2并将两式加以整理后，得 这是适用于一般规范的方程组。2202222011()ctctt AAAAJ2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建
13、34达朗贝尔（达朗贝尔（dAlembert）方程）方程 若采用库仑规范，得 2202222011()(0)ctctt AAAAAJ2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建35达朗贝尔（达朗贝尔（dAlembert）方程）方程 若采用库仑规范，得 2202222011(0)ctct AAAJ2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建36达朗贝尔（达朗贝尔（dAlembert）方程）方程 这种规范的特点是标势所满足的方程与静电场情形相同，其解是库仑势。解出后代入第一式可解出A，因而可以确定电磁场。2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建37达朗贝尔（达朗贝尔（dAlem
14、bert）方程）方程 若采用洛伦兹规范，得 22022220211()1(ctcttct AAAAA)J2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建38达朗贝尔（达朗贝尔（dAlembert）方程）方程 若采用洛伦兹规范，得 称为达郎贝尔方程22022222202111(0)ctctct AAAJ2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建39达朗贝尔（达朗贝尔（dAlembert）方程）方程 用这种规范时，方程具有相同形式，其意义也特别明显。方程称为达郎贝尔方程，它是非齐次的波动方程，其自由项为电流密度和电荷密度。由该式，电荷产生标势波动，电流产生矢势波动。离开电荷电流分布区域后
15、，矢势和标势都以波动形式在空间中传播，由它们导出的电磁场E和B也以波动形式在空间中传播。当然E和B的波动性质是和规范无关的。2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建40推迟势推迟势 现在我们求达朗贝尔方程的解。标势的达朗贝尔方程为 式中=（x，t）是空间中的电荷密度。222201ct 2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建41推迟势推迟势 该式是线性方程，反映电磁场的叠加性。由于场的叠加性，可以先考虑某一体元内的变化电荷所激发的势，然后对电荷分布区域积分，即得总的标势。2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建42推迟势推迟势 设原点处有一假想变化电荷Q(t)，其
16、电荷密度为(x,t)=Q(t)(x)。这电荷辐射的势的达朗贝尔方程为 2222011()()Q tct x2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建43推迟势推迟势 由球对称性，只依赖于r，t，而不依赖于角变量。用球坐标表为:222220111()()()rQ trrrct x2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建44推迟势推迟势 除原点之外，满足波动方程 解是球面波。2222211()0,(0)rrrrrct2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建45推迟势推迟势 考虑到当r增大时势减弱，所以作如下代换 把（2.5）式代入（2.4）式，得u的方程(,)(,)u
17、r tr tr2222210uurct2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建46推迟势推迟势 这方程形式上是一维空间的波动方程，其通解为 式中f和g是两个任意函数。(,)()(),rru r tf tg tcc2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建47推迟势推迟势 可得除原点以外的解 这解的第一项代表向外发射的球面波，第二项代表向内收敛的球面波。函数f和g的具体形式应由物理条件定出。()()(,)rrf tg tccr trr2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建48推迟势推迟势 当我们研究辐射问题时，电磁场是由原点处的电荷发出的，它必然是向外发射的波。因此
18、在辐射问题中应取g=0而函数f的形式应由原点处的电荷变化形式决定。2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建49推迟势推迟势 在静电情形，我们知道电荷Q激发的电势为0,4Qr2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建50推迟势推迟势 推广到变化场情形，可以推想解为 0()1(,)4rQ tcr tr2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建51推迟势推迟势 由场的叠加性，对于一般变化电荷分布（x x,t），它所激发的标势为 0(,)1(,)4rtctdVrxx2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建52推迟势推迟势 由于矢势A A所满足的方程形式上与标势的达朗
19、贝尔方程一致，所以一般变化电流分布J J（x x,t）所激发的矢势为 可以验证A A和满足洛伦兹规范条件。0(,)(,)4rtcA x tdVrJ x2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建53达朗贝尔（达朗贝尔（dAlembert）方程）方程 称为达郎贝尔方程22022222202111(0)ctctct AAAJ2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建54推迟势推迟势 可以验证A A和满足洛伦兹条件。0(,)(,)4rtcA x tdVrJ x0(,)1(,)4rtctdVrxx2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建55推迟势推迟势 A和式的重要意义在于它反
20、映了电磁作用具有一定的传播速度空间某点x在某时刻t的场值不是依赖于同一时刻的电荷电流分布，而是决定于较早时刻 tr/c 的电荷电流分布、反过来说，电荷产生的物理作用不能够立刻传至场点，而是在较晚的时刻才传到场点，所推迟的时间r/c正是电磁作用从源点x 传至场点x所需要的时间，c是电磁作用的传播速度因此，A和式称为推迟势 2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建56推迟势推迟势 除了电磁作用之外，其它一切作用都通过物质以有限速度传播事物总是通过物质自身的运动发展而互相联系着的，不存在瞬时的超距作用在下一章中我们将看到这点正是相对论时空观的基础 2022年7月28日星期四山东大学物理学院
21、 宗福建57推迟势推迟势 当和J J 给定后，就可以算出势，再由 就可求得空间任意点的电磁场强度。当然，电磁场本身反过来亦对电荷电流发生一定的反作用，因而激发区内的电荷电流分布是不能任意规定的。.t BAAE2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建58看见与测量到 俗话说：“耳听是虚，眼见为实”但事实上，眼见也不为实。请看，眼睛是怎样欺骗大脑的眼睛是怎样欺骗大脑的2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建591.柱子是圆的还是方的？2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建602.那个女的是真的还是拼图里的？2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建613.1
22、2个人还是13个人？2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建624.有几个黑点？2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建63看见与测量到 可见，眼见也不为实。看见：由不同时间，不同地点发出的光，但同时到达人的视网膜。看见的景观是经过推迟了的。测量：某一确定时刻，测量者当地所发生事件的真实记录。测量的结果是未推迟的。同一个事件，不同地点的观察者可能看到不同的结果，但测量结果都是相同的。由看到的结果，经过科学的推论（处理），得到测量结果。2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建64看见与测量到 若A,B两灯，同时开始发光。不同地点将看到不同结果。2022年7月28日星
23、期四山东大学物理学院 宗福建65看见与测量到 若A,B两地时钟同步，相距 0.8 light-hour，一量机动车以0.8 c 的速度，在0:00开始由A驶向B，求A,B两地的观察者看到的结果，及测量结果。2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建66看见与测量到 A地的观察 者看到的结 果，及测量 结果。4/9 c2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建67看见与测量到 B地的观察 者看到的结 果，及测量 结果。4 c2022年7月28日星期四山东大学物理学院 宗福建68课下作业 教材第185页 习题1 补充题：补充题：根据麦可斯韦方程组，推导满足洛伦兹规范的达郎贝尔方程。给出其推迟势解。利用电荷守恒定律，验证A和的推迟势满足洛伦兹规范条件。
