1、第十章第十章 机构弹性动力学机构弹性动力学10-1 概述概述一、机构动力学的研究内容一、机构动力学的研究内容1、考虑到构件的弹性变形的机构分析与设计、考虑到构件的弹性变形的机构分析与设计2、考虑到运动副间隙时的机构运动与动力分析、考虑到运动副间隙时的机构运动与动力分析3、考虑到构件质量变化时的机构运动与动力分析、考虑到构件质量变化时的机构运动与动力分析4、考虑到运动副摩擦时的机构运动与动力分析、考虑到运动副摩擦时的机构运动与动力分析本书讨论第一类问题本书讨论第一类问题只要机构中含有一个以上的弹性元件，则认只要机构中含有一个以上的弹性元件，则认为该机构是弹性机构。为该机构是弹性机构。构件在外力作
2、用下发生较大弹性变形时，可构件在外力作用下发生较大弹性变形时，可看作弹性构件看作弹性构件,含弹性构件的机构是弹性机构含弹性构件的机构是弹性机构考虑到构件的弹性变形的机构动力学问题考虑到构件的弹性变形的机构动力学问题10-2 含有弹性构件机构的分析方法含有弹性构件机构的分析方法 只要机构中含有一个以上的弹性元件，只要机构中含有一个以上的弹性元件，则认为该机构是弹性机构。高速、重载，且含则认为该机构是弹性机构。高速、重载，且含有容易发生弹性变形的构件的机构，也应按弹有容易发生弹性变形的构件的机构，也应按弹性机构处理。性机构处理。含有弹性构件的机构动力学分析方法通常含有弹性构件的机构动力学分析方法通
3、常经历以下过程经历以下过程：把实际机构简化为相应的力学把实际机构简化为相应的力学模型；列出运动方程式；求解运动方程；对结模型；列出运动方程式；求解运动方程；对结果进行分析果进行分析 Kinetic equation，dynamic equation，Kinematic equation，1.1.建立机构的动力学模型建立机构的动力学模型力学模型的建立方法随机构构件不同而异，一力学模型的建立方法随机构构件不同而异，一般要经过一些适当简化。构件弹性一般用弹簧般要经过一些适当简化。构件弹性一般用弹簧表示，质量、转动惯量作为集中参量处理。表示，质量、转动惯量作为集中参量处理。齿轮传动轴系的动力学模型齿轮
4、传动轴系的动力学模型1k2k3kcyy ycy为凸轮轴的扭转刚度为凸轮轴的扭转刚度为推杆刚度为推杆刚度为压缩弹簧刚度为压缩弹簧刚度为凸轮廓线产生的位移为凸轮廓线产生的位移考虑到构件弹性时的推杆实际位移考虑到构件弹性时的推杆实际位移凸轮机构的动力学模型凸轮机构的动力学模型P 外载荷外载荷预紧力预紧力1Sm 推杆等效质量推杆等效质量连杆机构的动力学模型连杆机构的动力学模型构件的弹性运动看作刚性构件运动和弹性变形的构件的弹性运动看作刚性构件运动和弹性变形的叠加结果。叠加结果。黑线表示的为机构初始位置黑线表示的为机构初始位置红线表示发生变形后的弹性机构位置红线表示发生变形后的弹性机构位置虚线表示曲柄转
5、动虚线表示曲柄转动 的刚的刚性机构位置性机构位置)(在图示的四杆机构在图示的四杆机构ABCD中，可按中，可按单元单元 节节点点建立力学模型，如以构件建立力学模型，如以构件BC为一个单元为一个单元 ，两端铰链为节点，然后讨论节点位移与变形，两端铰链为节点，然后讨论节点位移与变形，该种力学模型常用有限元法求解。该种力学模型常用有限元法求解。UWcucwcUWcucwcBCBuBw为杆端为杆端B处的位移处的位移。为杆端转角为杆端转角cucw为杆为杆C端位移端位移构件也可以看作具有离散质量的弹性杆，如图构件也可以看作具有离散质量的弹性杆，如图所示的连杆所示的连杆ABAB，通过对各质量点变形的分析来，通
6、过对各质量点变形的分析来求解。这种力学模型一般用差分法求解。求解。这种力学模型一般用差分法求解。本书仅讨论按单元本书仅讨论按单元 节点法建立连杆机构的弹性动力学模型节点法建立连杆机构的弹性动力学模型运动方程的建立要在力学模型的基础上进行。运动方程的建立要在力学模型的基础上进行。常用方法有动静法和拉格朗日方程法。常用方法有动静法和拉格朗日方程法。2.2.建立运动方程的常用方法建立运动方程的常用方法(1)动静法动静法 (Dalember principle)(2)(2)拉格朗日方程法拉格朗日方程法 (Lagrange EquitionLagrange Equition)对于单自由度的机构，常采用动
7、静法对于单自由度的机构，常采用动静法对于多自由度的机构，常采用拉格朗日方程法对于多自由度的机构，常采用拉格朗日方程法(1)动静法动静法 (Dalember principle)22213)(dtydmyykspykc22222121dtydkmkkkkspyc以凸轮机构为例以凸轮机构为例maFi)(213cyykspykF(忽略凸轮轴的刚度忽略凸轮轴的刚度)3kiiiiFqUqEdtqEd)(2)(2)拉格朗日方程法拉格朗日方程法(Lagrange Equition)拉格朗日方程为拉格朗日方程为：iqiq iFE:E:为机构动能为机构动能U:U:为机构势能为机构势能:为广义坐标为广义坐标n:为
8、自由度数目为自由度数目:为对应广义坐标的广义力为对应广义坐标的广义力:为广义坐标对为广义坐标对t t的导数的导数i=1n以二自由度的刚性转子在弹性支撑上的振动以二自由度的刚性转子在弹性支撑上的振动模型为例模型为例刚性转子刚性转子弹性支撑弹性支撑1弹性支撑弹性支撑2M M 为转子质量为转子质量为转子绕质心且平行为转子绕质心且平行z z 轴的转动惯量轴的转动惯量sJ系统动能系统动能 E E为为222121ssJyME系统势能系统势能 U U=0=00EsJEiq0syEsiyq ssiyMyEqE广义坐标为广义坐标为广义坐标为广义坐标为),(21qq广义坐标为广义坐标为iq),(sy syq 1c
9、os)(21ukkskFFdtyMdcos)(2121hFlFlFdtJdukks)(111lykFsk1k弹性支承弹性支承 上恢复力上恢复力)(222lykFsk2k弹性支承弹性支承 上恢复力上恢复力2mrFu离心惯性力离心惯性力将其代入拉氐方程中将其代入拉氐方程中2q同理同理,kkk21lll21若转子结构对称，若转子结构对称，tmrkyyMsscos22 thmrklJcos222 上述方程将化简为下列微分方程上述方程将化简为下列微分方程3.3.运动方程的求解运动方程的求解机构动力学中的力学模型建立的运动方程一机构动力学中的力学模型建立的运动方程一般为微分方程，主要有以下三种。般为微分方
10、程，主要有以下三种。(1)(1)常系数线性微分方程组，这类方程一般常系数线性微分方程组，这类方程一般可通过求解特征值、特征向量和特解的方法可通过求解特征值、特征向量和特解的方法得以求解。得以求解。(3)3)具有变系数的线性微分方程，机构动力具有变系数的线性微分方程，机构动力学中有时遇到二阶变系数的线性微分方程，形学中有时遇到二阶变系数的线性微分方程，形式为式为(2)(2)非线性微分方程组，机构动力学中的这非线性微分方程组，机构动力学中的这种非线性微分方程，一般不易直接积分求解。种非线性微分方程，一般不易直接积分求解。常用四阶龙格一库塔法常用四阶龙格一库塔法(Runge-kuttaRunge-k
11、utta)进行数进行数值求解。值求解。这类方程一般用数值解法这类方程一般用数值解法)()()(22tFqtkqtnq 1.1.建立力学模型建立力学模型图为发动机配气凸轮机构简图和力学模型图为发动机配气凸轮机构简图和力学模型10-3 凸轮机构动力学凸轮机构动力学skfkp1smycy)(fyc与凸轮廓线有关的位移与凸轮廓线有关的位移 弹簧刚度弹簧刚度 推杆刚度推杆刚度 推杆外载荷推杆外载荷 推杆在起始位置时弹簧预紧力推杆在起始位置时弹簧预紧力 推杆的等效质量推杆的等效质量 推杆实际位移推杆实际位移 为凸轮转角为凸轮转角221)(dtydmspyykykFcfsi：2.2.建立运动方程建立运动方程
12、p 外载荷外载荷22dtydmFi微分方程的基本型为微分方程的基本型为yks 弹簧恢复力弹簧恢复力)(cfyyk 推杆发生弹性变形恢复力推杆发生弹性变形恢复力1s 弹簧预紧力弹簧预紧力221dtydkmykkkkspyffsffc222221,dyddtydkkkkrksprfsfafnnnn63606026060222236dtydnkmykryfracfkmnc236cyykryracfaksPr1称为推杆初始变形称为推杆初始变形fsfrkkkk为推杆当量弹簧刚度为推杆当量弹簧刚度fkmnc236为动力常数为动力常数 令：令：则有：则有：上述微分方程有两层含义上述微分方程有两层含义cy第一
13、，已知凸轮廓线，可由此求出第一，已知凸轮廓线，可由此求出 ，再，再求出推杆的真实运动求出推杆的真实运动y y。可求解凸轮机构的动。可求解凸轮机构的动力学响应。力学响应。cyykryrac第二，如已知推杆真实运动规律第二，如已知推杆真实运动规律y y，可求出，可求出 和凸轮廓线。由此可导出动力多项式高速凸轮和凸轮廓线。由此可导出动力多项式高速凸轮的设计方法。的设计方法。cy3.运动方程的求解运动方程的求解 cyykryrac cyykyrc cyykyrc由由两边对凸轮转角两边对凸轮转角 求导数求导数若保证的若保证的 四阶导数连续，需用四阶导数连续，需用5阶阶以上多项式的位移方程。以上多项式的位
14、移方程。)(fy（）设计高速凸轮（）设计高速凸轮nncccccy332210nccccc,32,10,最常用的有最常用的有3-4-53-4-5多项式和多项式和5-6-75-6-7多项式。多项式。待定系数待定系数可按机械原理中的方法求出。可按机械原理中的方法求出。例例:按按3-4-53-4-5次多项式设计高速凸轮机构。次多项式设计高速凸轮机构。已知条件如下：已知条件如下：=800N/cm，=510N/cm，P=500N,=750N，n=1000r/m，等效，等效质量质量m=1.97kgskfk1s回程运动角为回程运动角为60，推杆行程为，推杆行程为h=h=20mm。设：设：)(6)(15)(10
15、543hhsy解：解：3-4-53-4-5次多项式次多项式回程回程的位移方程为的位移方程为式中式中 h=2cm，=60543)60(12)60(30)60(202 sy432)60()60(2)60(y32)60(151)60(101)60(301y016.1fsfrkkkk025.01fakspr184.14362fkmnc2)60(4184.1)60(4728.0057.2cycy可解出凸轮廓线的推杆位移方程可解出凸轮廓线的推杆位移方程543)60(195.12)60(48.30)60(2556.21由可解出凸轮廓线的方程由可解出凸轮廓线的方程cy由于推杆的弹性变形，推杆真实运动由于推杆的
16、弹性变形，推杆真实运动y与凸轮与凸轮廓线所产生的理论推杆运动廓线所产生的理论推杆运动 不再相等，当不再相等，当然，推杆的真实运动速度、加速度与对应理论然，推杆的真实运动速度、加速度与对应理论值也不相等值也不相等 cy(2)(2)由已知廓线求解推杆真实运动规律由已知廓线求解推杆真实运动规律由于由于y y与与 、有关系，故按图所示力学模型有关系，故按图所示力学模型而建立的运动方程为而建立的运动方程为:skfk22)(dtydmyykykcfs22)(dtydmyykykcfscffsykykkdtydm)(22cffsymkymkkdtyd22cfnymkyy2 mkkfsn为无阻尼自由振动的固有
17、频率为无阻尼自由振动的固有频率)cos()(111 2sincos22nnmhknBnAyfnn 则该方程的通解为则该方程的通解为待定常数待定常数A A、B B可由边界条件确定可由边界条件确定)cos(1(2hyc设：设：式中：式中：00y0y1)(1222nmkhAf0B)cos(1)(1)cos()(111 2222nnnmkynf)sin(1)()sin()(12222nnnnmkhdtdyvnf)cos(1)()()cos()(1)(222222nnnnmkhdtdvanf当考虑到推杆弹性后，工作端的运动规律发生当考虑到推杆弹性后，工作端的运动规律发生改变，改变，。只有当。只有当n很大
18、时，也就是说，很大时，也就是说，当机构固有频率当机构固有频率 很大时很大时(刚度大刚度大)，而且凸，而且凸轮角速度很小时，轮角速度很小时，才接近才接近 y 值。值。cyy ncy（黑：理论值，（黑：理论值，红红：n=2，蓝：蓝：n=3，绿：绿：n=4）10-4 10-4 连杆机构弹性动力学连杆机构弹性动力学一一.构件的弹性运动构件的弹性运动弹性构件的运动可以看作为刚性构件的运弹性构件的运动可以看作为刚性构件的运动和弹性运动的叠加动和弹性运动的叠加。在研究弹性运动时，首先把机构刚化，然后再在研究弹性运动时，首先把机构刚化，然后再考虑在销轴处作用力的影响下构件的变形。考考虑在销轴处作用力的影响下构
19、件的变形。考虑到杆件纵向变形很小，可将其忽略虑到杆件纵向变形很小，可将其忽略。本节讨论用有限元法研究构件的弹性运动，本节讨论用有限元法研究构件的弹性运动，把构件看作为单元把构件看作为单元 节点系统。图中的节点系统。图中的BOABAOBA,杆为单元，杆为单元，BAOBAO、为节点。右侧图为节点。右侧图 bBOABAOBA,外，外，AS也作为一个单元。也作为一个单元。中，除中，除二、单元坐标与系统坐标二、单元坐标与系统坐标1、单元坐标系、单元坐标系固定在单元上的坐标系固定在单元上的坐标系和转角wu,如图所示的构件如图所示的构件称为单元坐标系称为单元坐标系u轴的正方向定义为节点轴的正方向定义为节点1
20、到到2 的方向的方向w轴的正方向为轴的正方向为u轴逆时针转过轴逆时针转过90度的指向度的指向的转向是逆时针为正方向的转向是逆时针为正方向 Twu,wu分别表示单元坐标系中的节点线变形分别表示单元坐标系中的节点线变形单元坐标可用向量单元坐标为单元坐标可用向量单元坐标为：和角变形和角变形利用单元坐标分析分析节点变形与节点力非常利用单元坐标分析分析节点变形与节点力非常方便，但是由于各单元位置不同，导致单元坐方便，但是由于各单元位置不同，导致单元坐标不统一，固引入系统坐标的概念。标不统一，固引入系统坐标的概念。2、系统坐标系、系统坐标系为研究整体结构，可建立一个统一的静坐标系，为研究整体结构，可建立一
21、个统一的静坐标系，如图所示的坐标系如图所示的坐标系 xoy 为系统坐标。为系统坐标。系统坐标中的节点变形用向量系统坐标中的节点变形用向量q表示表示：Tyxq由于去掉了机构刚性自由度，则认为曲柄固定由于去掉了机构刚性自由度，则认为曲柄固定不动，可视为悬臂梁不动，可视为悬臂梁,曲柄在曲柄在O点的线位移和角点的线位移和角位移为零，固该系统共有位移为零，固该系统共有9个变量。个变量。21,qq为为A点上的点上的x、y方向的弹性线位移变形方向的弹性线位移变形3q为为曲柄上曲柄上A点的转角变形点的转角变形74,qq为连杆为连杆A、B处的转角变形处的转角变形65,qq为为B点上的点上的x，y方向的弹性线位移
22、变形方向的弹性线位移变形98,qq系统中的系统中的4个线位移和个线位移和5个角位移变形个角位移变形为为摇杆上摇杆上B、C点的转角变形点的转角变形各节点用各节点用1，2表示。显然单元坐标与系统坐标表示。显然单元坐标与系统坐标存在可以相互转换的关系。存在可以相互转换的关系。3个单元坐标系中共有个单元坐标系中共有13个单元坐标，各单元坐个单元坐标，各单元坐标系中的标系中的u轴与系统坐标系的轴与系统坐标系的x轴夹角为轴夹角为3,2,1,ii设设M点在单元坐标系和系统坐标系中的坐标点在单元坐标系和系统坐标系中的坐标分别为分别为u，w和和 x，y，参照下图可以按前述的，参照下图可以按前述的坐标变换原理直接
23、写出两者之间的关系。坐标变换原理直接写出两者之间的关系。yxwu1000cossin0sincos简记为简记为 qRwuyx1000cossin0sincos简记为简记为 TRq 1000cossin0sincosR 矩阵矩阵R为一正交矩阵，为一正交矩阵，IRRT 因此，各单元坐标和系统坐标的变换关系可写为：因此，各单元坐标和系统坐标的变换关系可写为：qB Tmm.,.21321 Tnnqqqqqqqq.,.21321式中的矩阵式中的矩阵B为为nm矩阵矩阵 32111113211000cossin0sincosqqq对于构件对于构件1,根据方程根据方程1可有：可有：76542122222222
24、987654.1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosqqqqqq对于构件对于构件2：98653333131211101000010000cossin00sincosqqqq对于构件对于构件3：把构件把构件1、2、3的变换矩阵组合起来，从而的变换矩阵组合起来，从而形成形成B矩阵。矩阵。写成通式：写成通式：nnmmqB 987654321333322222222111113121110987654321100000000010000000000cossin0000000sincos0000001000000000cossin0000
25、000sincos00000000000000000000cossin0000000sincos0000001000000000cossin0000000sincosqqqqqqqqq瞬间作用在单元上外力称作单元力瞬间作用在单元上外力称作单元力，图示为，图示为各单元上受力情况。单元之间通过节点处的各单元上受力情况。单元之间通过节点处的作用力沿坐标方向的分力称为作用力沿坐标方向的分力称为节点力节点力。用。用if表示，记作：表示，记作：Tmiffff.21单元节点力单元节点力if与节点变形与节点变形i相对应。相对应。三、单元力和系统力三、单元力和系统力瞬间作用在机构上的外力、惯性力，称为瞬间作用在
26、机构上的外力、惯性力，称为系统力系统力i如作用在机构上的系统力有如作用在机构上的系统力有 s 个，可记作：个，可记作：1T为作用在构件为作用在构件1上的主动力矩上的主动力矩 Tsipppp.21系统力系统力ip为作用在构件为作用在构件 上的惯性力、惯性力矩上的惯性力、惯性力矩、阻抗、阻抗力矩力矩Pi-系统力系统力fi-节点力节点力以构件单元以构件单元1为例说明如下。为例说明如下。单元上除节点力单元上除节点力if外外这些力为这些力为非单元节点力非单元节点力。还有外力的作用，在单元坐标系中用还有外力的作用，在单元坐标系中用jwjujPPP,表示，表示，变换来实现。变换来实现。i非节点力与系统力之间
27、可通过角度非节点力与系统力之间可通过角度 的矩阵的矩阵11111113211000cossin0sincosPPPPPPwuT 或或 其它单元的换算关系可依此类推。其它单元的换算关系可依此类推。32111111111000cossin0sincosPPPPPPwu四、单元位移函数四、单元位移函数 利用拉格朗日方程列出机构的运动方程时，利用拉格朗日方程列出机构的运动方程时，需要计算动能和应变能，因此不仅要知道节点需要计算动能和应变能，因此不仅要知道节点变形，还要知道单元中某些点的变形。所以需变形，还要知道单元中某些点的变形。所以需要知道单元内任一点的变形和节点变形之间的要知道单元内任一点的变形和
28、节点变形之间的关系。关系。设节点变形为设节点变形为6.3,2,1,ii单元上任意点单元上任意点Q的变形为的变形为u，w。u，w为距离为距离x的函数，同时还和节点的变形有关。写成矩阵的函数，同时还和节点的变形有关。写成矩阵形式：形式：wue为了求出为了求出Q点的变形点的变形u、w 和和可采用待定系数法求解。可采用待定系数法求解。),(),(),(),(654321654321xwxwwxuxuuii654321,节点变形节点变形可用含有两个未知系数的一次多项式表示函数可用含有两个未知系数的一次多项式表示函数 uxccu21可用含有四个未知系数的三次多项式表示函数可用含有四个未知系数的三次多项式表
29、示函数w52,和两个转角变形和两个转角变形63,横向变形有横向变形有纵向变形纵向变形u只有只有41,两个边界条件，两个边界条件，362543xcxcxccwldxdwdxdw)(,)(603用边界条件求解未知系数用边界条件求解未知系数654321,cccccclclcuxccuulxcux142214214111,0；，可有；由，；把把21,cc代入一次多项式中，求出代入一次多项式中，求出u如下如下：41141)1(lxlxlu同样可求解同样可求解w26536362532543265403625433230232)(,32)()(,0lclcdxdwlclclwlxcxcxccdxdwxcxc
30、xccwcdxdwwxl，可求：由联立求解联立求解：)22(1)233(1253636362525lllclllc把系数把系数6543,cccc代入式代入式w。623253322323223322)()23()2()231(lxlxlxlxlxlxxlxlxw把式把式u和和w合并写成矩阵形式，则有下式：合并写成矩阵形式，则有下式：wuNNwu2100TwTu653241,其中：其中：141111NNlxlxN26252322232332223233222232231NNNNlxlxlxlxlxlxxlxlxN NNN2100称为单元位移函数称为单元位移函数。取节点变形为广义坐标，节点变形的数目
31、取节点变形为广义坐标，节点变形的数目就是弹性变形自由度的数目。应用拉格朗日方就是弹性变形自由度的数目。应用拉格朗日方程建立单元运动方程式。拉格朗日方程的基本程建立单元运动方程式。拉格朗日方程的基本形式为形式为：五、单元运动方程式五、单元运动方程式iiiFUEdtEd)(为求解拉格朗日方程，必须首先求解单元上为求解拉格朗日方程，必须首先求解单元上的动能、势能和广义力。的动能、势能和广义力。设单元杆的横截面是均匀的，单元长度的质量设单元杆的横截面是均匀的，单元长度的质量 ，则单元动能为：，则单元动能为：lllldxNNdxdtNNddxudxwuE024141112004141112220)()(
32、211、单元动能、单元动能lldxNNNNdxw0262652532322202)(dxwuEl)(21220)()(22626525323022202414111dxNNNNdxNNEll按按i的次序，分别把的次序，分别把654321,代入拉氏方程的前两项中，则有：代入拉氏方程的前两项中，则有：i=1，)()(11414011111dxNNNdtdEdtEdl41411104141101211 mmdxNNdxNlllldxNNmdxNm0141114021111,(1411,mm为等效质量为等效质量i=4，lllldxNmdxNNmmmdxNdxNNEdtEd021444014114144
33、41410421401141144,)(同理可求同理可求6532,对应的等效质量。对应的等效质量。6,5,3,2)(66553322immmmEdtEdiiiiii 65326,5,3,2,022，；jidxNNmljiij把拉氏方程的前两向写成统一的形式可有：把拉氏方程的前两向写成统一的形式可有：6,5,4,3,2,1)(61imEdtEdjjijii 当当i=1，4时，时，ijm为：为：6,5,3,204,1,011jmjdxNNmijljiij当当i=2，3，5，6时，时，ijm为：为：4,106,5,3,2,022jmjdxNNmijljiij从上式可以看出，积分值与从上式可以看出，积
34、分值与i，j次序无关，即次序无关，即jiijmm。把拉氏方程的前两项写成矩阵形式：把拉氏方程的前两项写成矩阵形式：65432166656362565553524441363533322625232214116622110000000000000000)(.)()(mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmEdtEdEdtEdEdtEd 66656362565553524441363533322625232214110000000000000000mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm m 为等效质量矩阵，该矩阵为对称矩阵。为等效质量矩阵，该矩阵为对称矩阵。把单元位移位移函数把单元位移位移函数
35、N代入其中，并整理可有：代入其中，并整理可有：22242203130221560135400014000703130422013540221560007000140420iiiiiiiiiiiiillllllllllllmm设杆件的长度为设杆件的长度为l截面积为截面积为A，材料的弹性摸量为，材料的弹性摸量为E。单元的单元的纵向变形能为纵向变形能为：2、单元势能、单元势能ldxxuEAU01)(21代入代入：414111414111,NNuxuNNu 式中：式中：I为截面惯性矩，为对于时间的二阶导数。为截面惯性矩，为对于时间的二阶导数。dxNNEAUL241410111)(21单元的单元的弯曲变
36、形能为弯曲变形能为：ldxwEIU0222把把626525323222NNNNwdxNNNNEIUL262652532320222)(2 626525323222NNNNw 代入弯曲变形能中，为：代入弯曲变形能中，为：2U单元的总势能为：单元的总势能为：21UUU将其代入拉氏方程的左边第三项，则有：将其代入拉氏方程的左边第三项，则有：6,5,3,2)(6655332226265253232022 ikkkkdxNNNNNEIUiiiiiLidxNkNEIkiiijij2202 写成通式写成通式653,24106532653204,141202101，否则，时，当，否则时，当 jdxNNEIkj
37、kijkjdxNNEAkijliijijijiljij6,5,4,3,2,1,61jikUjjiji按求解等效质量矩阵方式，写成矩阵方式：按求解等效质量矩阵方式，写成矩阵方式：kUiTiUUUU621.T621.66656362565553524441363533322625232214110000000000000000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk k为单元刚体矩阵为单元刚体矩阵把前述单元位移函数代入其中后，可有：把前述单元位移函数代入其中后，可有：lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEIlEAlEIlEIlEAlEIlEIlEIlEIlEAlEAk4602
38、60612061200000260460612061200000222323222323单元上的广义力分为节点力和非节点力。节点力的单元上的广义力分为节点力和非节点力。节点力的广义力为：广义力为：6,5,4,3,2,161iffFijijji3、广义力、广义力非节点力主要有作用在单元上的外力和惯性力，非节点力主要有作用在单元上的外力和惯性力，这些非节点力的广义力为这些非节点力的广义力为0iF其计算公式为：其计算公式为：)(10ijjijwjrjijujiPwPuPF把单元位移函数代入上式，把单元位移函数代入上式，6,5,3,2)()()()(21201144011110ixNPxNPFxNPF
39、xNPFjijrjjiwjirjjujrjjuj如果节点力和非节点力共同作用，则广义力为：如果节点力和非节点力共同作用，则广义力为：iiiFfF0写成矩阵形式：写成矩阵形式：0FfF TTTFFFFFFFfffffffFFFFFFF6050403020100654321654321常见的等效节点载荷见下表常见的等效节点载荷见下表把动能、势能、广义力全部代入拉氏方程中，可得把动能、势能、广义力全部代入拉氏方程中，可得到单元运动方程式。到单元运动方程式。Fkm OFfF 0Ffkm 4、单元运动方程式、单元运动方程式下面以前述的铰链四杆机构为例说明各单元的运动下面以前述的铰链四杆机构为例说明各单元
40、的运动方程式。方程式。1）曲柄：）曲柄：曲柄看作悬臂梁，在曲柄看作悬臂梁，在O节点的变形为零，即节点的变形为零，即0,wu，广义坐标仅剩有，广义坐标仅剩有3个。个。11111Fkm 1121121131111121111)(4)(60)(6)(12000)(422022156000140420lEIlEIlEIlEIlEAklllmm TTFFFF132113211,（2）摇杆：）摇杆：边界条件是边界条件是C点的点的u，w方向的变形为零。即方向的变形为零。即0,wu，仅有，仅有4个广义坐标。个广义坐标。33333Fkm 2332333233233342203221560130014003130
41、4420llllllllmm 33233332333332333333233333)(4)(60)(2)(6)(120)(600)(0)(2)(60)(4lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEIlEIlEIk T121110133 TFFFFF31211101333）连杆）连杆：连杆的边界条件均不能确定，故有：连杆的边界条件均不能确定，故有6个个 广义坐标。广义坐标。22222Fkm 22,km66阶矩阵阶矩阵。TFFFFFFF9876542进行机构动力分析时，如果一一求解单元运进行机构动力分析时，如果一一求解单元运动方程是非常不方便的。有时因为单元运动方动方程是非常不方便的。有时因为
42、单元运动方程中的未知数过多导致不能求解，需要利用机程中的未知数过多导致不能求解，需要利用机构中各节点的变形协调把各构件单元联合在一构中各节点的变形协调把各构件单元联合在一起求解求解，使得求解过程极为繁复。这时利起求解求解，使得求解过程极为繁复。这时利用系统方程可使问题简化。系统方程可通过单用系统方程可使问题简化。系统方程可通过单元方程的组合来得到，推导过程如下：元方程的组合来得到，推导过程如下：六、系统运动方程式六、系统运动方程式在图所示的四杆机构中，单元坐标中的节点变在图所示的四杆机构中，单元坐标中的节点变形形 组合如下：组合如下：T13321,.,为系统方便起见，把上式中的节点变形矩阵和广
43、义力为系统方便起见，把上式中的节点变形矩阵和广义力矩阵表达方式作如下变动：节点变形矩阵和广义力矩矩阵表达方式作如下变动：节点变形矩阵和广义力矩阵中第一行移到第四行，则有：阵中第一行移到第四行，则有：T131211103 TFFFFF3131211103把质量矩阵和刚度矩阵中的第一行移到第四行，第把质量矩阵和刚度矩阵中的第一行移到第四行，第一列移到第四列，则有：一列移到第四列，则有：23233232333334313034220013221560000140420llllllllmm 3333233333323323323333333)(4)(2)(60)(2)(4)(60)(6)(6)(120
44、000)(4lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIk经过这样组合后的方程形式可写为经过这样组合后的方程形式可写为：33333Fkm 进行整理后进行整理后 321321321321321000000FFFkkkmmm 简记为：简记为：Fkm 为把式中的单元节点变形为把式中的单元节点变形转化为系统变形转化为系统变形q可通过前述的可通过前述的 B矩阵实现。矩阵实现。qB注意注意 B矩阵中的各元素为各杆方向角的函数，机构固定后矩阵中的各元素为各杆方向角的函数，机构固定后 B的各元素为常数，即的各元素为常数，即 qB FqBkqBm 把上式两边同乘把上式两边同乘 B的转置矩阵，则有
45、：的转置矩阵，则有：FBqBkBqBmBTTT eFqKqM 该方程为系统的运动方程式。该方程为系统的运动方程式。整理后：整理后：式中：式中：BmBMT，称为系统刚度矩阵，为称为系统刚度矩阵，为nn阶对称方阵。阶对称方阵。BkBKT 0FBfBFBFTTTe阶对称方阵。阶对称方阵。nn，称为系统质量矩阵，为称为系统质量矩阵，为由于单元节点力为大小相等方向相反的一对力，由于单元节点力为大小相等方向相反的一对力，故故 0fBT 0FBFTe在求解系统运动方程时，可不必求出节点力，在求解系统运动方程时，可不必求出节点力，使系统方程的求节过程大大简化。使系统方程的求节过程大大简化。经过上述的分析与讨论
46、，研究弹性连杆机构经过上述的分析与讨论，研究弹性连杆机构动力学的基本步骤总结如下：动力学的基本步骤总结如下：（1）把机构看作刚性机构，求解机构在各个）把机构看作刚性机构，求解机构在各个位置时的各构件的瞬时惯性力或惯性力矩，作位置时的各构件的瞬时惯性力或惯性力矩，作为弹性动力分析的已知数据。为弹性动力分析的已知数据。nqqq,.,21m,.,21标出系统节点的变形标出系统节点的变形（2）把机构分别固定在前述动力分析的各位置）把机构分别固定在前述动力分析的各位置 划分单元，划分单元，标出各节点的变形标出各节点的变形（3）求解各位置的坐标变换矩阵）求解各位置的坐标变换矩阵 B（4）计算各位置的单元质
47、量矩阵）计算各位置的单元质量矩阵 m k0iF刚度矩阵刚度矩阵和等效节点载荷和等效节点载荷nqqq,.,21（5）计算各位置的系统质量矩阵）计算各位置的系统质量矩阵M K和广义力和广义力（6）求解微分方程组，解出各位置的）求解微分方程组，解出各位置的确定各节点的真实变形确定各节点的真实变形。刚度矩阵刚度矩阵eF 这里的简单机械系统指由定传动比齿轮机构这里的简单机械系统指由定传动比齿轮机构组成的轴系系统，受外载荷变化的影响，各轴组成的轴系系统，受外载荷变化的影响，各轴类构件会产生较大的弹性变形。以图所示的轧类构件会产生较大的弹性变形。以图所示的轧钢机系统为例说明此类机械系统的动力学分析钢机系统为
48、例说明此类机械系统的动力学分析方法。方法。10-5 简单机械系统的弹性动力学简单机械系统的弹性动力学电机1电机2联轴器3齿轮4齿轮9联轴器5扎棍6扎棍7联轴器8一、建立轧钢机的动力学模型一、建立轧钢机的动力学模型1J为电机为电机1转子和轴段转子和轴段1部分转动惯量之和。部分转动惯量之和。2J3J4J为联轴器为联轴器3右半部分和轴段右半部分和轴段3部分转动惯量之和。部分转动惯量之和。5J为齿轮为齿轮4和轴段和轴段3、4部分转动惯量之和。部分转动惯量之和。6J为联轴器为联轴器5左半部分和轴段左半部分和轴段4部分转动惯量之和部分转动惯量之和。7J为联轴器为联轴器8右半部分和轴段右半部分和轴段6部分转
49、动惯量之和。部分转动惯量之和。为扎辊为扎辊7和轴段和轴段6部分转动惯量之和。部分转动惯量之和。10J8J9J为扎辊为扎辊8和轴段和轴段5部分转动惯量之和部分转动惯量之和。为联轴器为联轴器3左半部分和轴段左半部分和轴段2部分转动惯量之和部分转动惯量之和。为联轴器为联轴器3右半部分和轴段右半部分和轴段3部分转动惯量之和部分转动惯量之和。为联轴器为联轴器5右半部分和轴段右半部分和轴段5部分转动惯量之和部分转动惯量之和。11J12J11975421,kkkkkkk分别为轴段分别为轴段1、2、3、4、5、6、7的扭转刚度；的扭转刚度；1063,kkk8k为齿轮为齿轮4、9的啮合扭转刚度。的啮合扭转刚度。
50、为联轴器为联轴器8左半部分和轴段左半部分和轴段7部分转动惯量之和。部分转动惯量之和。为联轴器为联轴器3、5、8的扭转刚度。的扭转刚度。为齿轮为齿轮9和轴段和轴段7部分转动惯量之和。部分转动惯量之和。21,aaMM为电机为电机1、2的稳态动力特性，可通过实验方法测出。的稳态动力特性，可通过实验方法测出。98,rrMM为扎辊的稳态负载特性，也可通过实验方法测出为扎辊的稳态负载特性，也可通过实验方法测出。设齿轮设齿轮4、9的基圆半径分别为的基圆半径分别为0904,rr针对针对12个集中质量（转动惯量）分别应用动态静力分个集中质量（转动惯量）分别应用动态静力分析的法则建立微分运动方程。析的法则建立微分
