1、第六章 控制规律的模拟化设计第六章控制规律的模拟化设计6.1概述概述6.2基本数字基本数字PID控制控制6.3数字数字PID的改进的改进6.4模拟校正网络的数字滤波器实现模拟校正网络的数字滤波器实现6.5MATLAB语言在数字控制器模拟化设计中的应用语言在数字控制器模拟化设计中的应用6.6应用举例应用举例隧道窑计算机控制系统隧道窑计算机控制系统本章小节本章小节习题习题第六章 控制规律的模拟化设计 6.1 概概 述述在计算机控制系统中，计算机替代了模拟控制器，成为系统的数字控制器，通过软件编写算法实现对被控对象的控制运算。一般控制系统的被控对象多为实际的生产设备或模拟装置，具有连续的特性，而计算
2、机却是一种数字装置，具有离散的特性，因此计算机控制系统既含有连续部分又含有数字部分，是一种模拟、数字混合的系统。一般计算机控制系统如图6.1所示。第六章 控制规律的模拟化设计图6.1 一般计算机控制系统第六章 控制规律的模拟化设计可以从两个不同的角度来看待图6.1的计算机控制系统，或者说可以有两种不同的观念。当从A-A两点观察时，它是一个离散系统，因而可将右侧的连续部分数字化为G(z)，直接在z域设计数字控制器D(z)，这就是上一章讲过的离散化设计方法。如果从B-B两点观察时，则是一个模拟系统，在一定条件下可把B-B左侧也看做是连续系统的一部分。也就是说，在已知连续对象时，完全按照经典的模拟系
3、统设计方法，设计出连续控制器D(s)，然后将D(s)离散化并用计算机实现，这种方法称为模拟化设计方法，又称连续化设计方法。这也正是本章的主要内容。第六章 控制规律的模拟化设计6.1.1 模拟化设计方法的主要特点模拟化设计方法的主要特点(1)只有当系统的采样频率足够高时，才能忽略采样开关和保持器延时，将整个计算机控制系统看做连续系统，进而使用模拟化设计方法对控制系统进行设计。(2)模拟化设计方法的步骤是根据已有的连续系统的模型，利用s域设计方法设计出模拟控制器D（s），再对D（s）离散化，得到计算机控制算法。(3)模拟化设计方法的关键是将模拟控制器D（s）离散化，从而得到等价的数字控制器。所以这
4、种方法又叫做间接设计法。第六章 控制规律的模拟化设计6.1.2 模拟化设计方法的分类模拟化设计方法的分类 1 PID控制器数字化将PID(比例积分微分，Proportional-Integral-Derivative)控制规律用计算机程序来实现，则称为PID控制器数字化。在工业生产中，经过长期的工程实践，人们总结形成了一套PID控制方法，通过在线灵活改变它的参数和结构，以满足控制质量的要求。2 数字滤波器法将连续化方法设计出的模拟控制器D(s)或模拟校正网络看做模拟滤波器，然后利用电子工程中将模拟滤波器转换为数字滤波器的方法，实现模拟校正网络的数字化。第六章 控制规律的模拟化设计6.1.3 模
5、拟化设计方法的基本条件模拟化设计方法的基本条件为了使离散化后的D（z）能保持D（s）的性能，要求计算机运算速度和精度足够高，A/D和D/A转换速度及位数也要足够高，只有这样，才能使系统不损失信息精度，不产生大的滞后。通常这些条件都不难满足。但系统中的保持器会使信号发生幅值衰减和相位滞后，只有当采样周期足够小时，其影响才可忽略。只要采样周期足够小，则由于幅值量化引入的误差、ZOH(零阶保持器，Zero-Order Hold)延时和计算延时等对系统的动态和静态性能的影响就可以忽略，计算机控制系统可近似看做连续系统。这就是模拟化设计方法的基本条件。第六章 控制规律的模拟化设计6.2 基本数字基本数字
6、PID控制控制基本数字PID控制有三种算法：位置式、增量式和速率式。6.2.1 位置式位置式PID连续控制系统中的PID控制规律是 tteTdtteTtektutidd1d0p(6.1)或者第六章 控制规律的模拟化设计 ssETkssETksEksUdpipp ssEkssEksEkdip(6.2)控制器传递函数为 skskksEsUsDdip1(6.3)第六章 控制规律的模拟化设计上式中，Ti为积分时间常数，Td为微分时间常数，kp为比例系数，ki=kp/Ti为积分系数，kd=kpTd为微分系数。要将式(6.1)离散化为数字PID，只要将式中各项分别离散化即可，即 kTutu kTete k
7、jTjTeTtte00d，TTkTekTettedd第六章 控制规律的模拟化设计u(t)和e(t)的离散化值可以分别取最接近t的某离散时刻kT的值u(kT)和e(kT)代替；积分项的离散化可用矩形法(也称欧拉法或折线法)来确定数值(如图6.2所示)，也可用梯形法等；微分项离散化可用一阶后向差分来确定数值，如图6.3所示。由上可知，T（采样周期）越小，离散化精度越高。第六章 控制规律的模拟化设计图6.2 矩形法积分第六章 控制规律的模拟化设计图6.3 差分法替代微分第六章 控制规律的模拟化设计1.非递推算式非递推算式 将各项离散化结果代入式(6.1)，得 kjkekeTTjeTTkeKku0di
8、p1(6.4)取Z变换，得 TzEzzETzTzTEzEKzU1d1ip1(6.5)第六章 控制规律的模拟化设计数字PID的脉冲传递函数为 1d1ip111zKzKKzEzUzD(6.6)式中,T为采样周期；Kp为比例增益；为积分增益；为微分增益(注意数字PID中Ki、Kd与连续PID中Ki、Kd的区别，而Kp=Kp)。数字PID控制器的框图如图6.4所示。ipiTTKK TTKKdpd第六章 控制规律的模拟化设计图6.4 数字PID控制器框图第六章 控制规律的模拟化设计由式(6.4)求u(k)时，未使用上一时刻的u(k1)，而使用了该时刻 k 及 k 以前的所有e(j)，故是非递推形式。显然
9、，当k增大时，以前全部e(j)都要存放起来，占内存多，计算时间也长。2.递推形式递推形式将式(6.4)时间 k 变为k1，可得 10dip2111kjkekeTTjeTTkeKku(6.7)第六章 控制规律的模拟化设计从而可得 212 11dipkekekeKkeKkekeKkuku 11dipkekeKkeKkeKku(6.8)上式还可进一步写成 212 1ddpdipkeKkeKKkeKKKkuku 211eeekeCkeBkeAku(6.9)第六章 控制规律的模拟化设计其中：1kekeke211kekekedipeKKKAdpe2KKBdeKC 第六章 控制规律的模拟化设计式(6.8)及
10、式(6.9)为递推式，计算u(k)时能借用上一时刻的计算结果u(k1)，再加最近三次的偏差e(k2)、e(k1)、e(k)即可。递推法占内存少，计算时间短。上述各种表现形式可根据编程方法选用。由于利用式(6.4)或式(6.9)通过计算机所得的u(k)表示kT时刻执行机构所应到达的位置，故称此为位置式PID。第六章 控制规律的模拟化设计6.2.2 增量式增量式PID在许多情况下，执行机构有累加或记忆功能，如步进电机或多圈电位器等。此时，只要控制器给出一个增量信号，即可使执行机构在原来位置上前进或后退一步，达到新的位置，即只要控制器给出如下增量：u(k)=u(k)u(k1)(6.10)由式(6.8
11、)或式(6.9)可知第六章 控制规律的模拟化设计 1kukuku 212 1dipkekekeKkeKkekeK 1dipkekeKkeKkeK(6.11)第六章 控制规律的模拟化设计6.2.3 几种基本几种基本PID算法的比较算法的比较对于整个闭环系统来说，位置式PID与增量式PID两种算法无本质区别，只是增量式将原来全部由计算机完成的工作分出去一部分由其它元件完成。然而，虽然增量式只是算法上的一点改变，却带来了不少优点：（1）增量式算法只与最近几次采样值有关，不需要进行累加，因此，不易产生积累误差，控制效果较好。位置式则累积误差会较大。第六章 控制规律的模拟化设计（2）增量式算法中，计算机
12、只输出增量，误差动作（计算机故障或干扰）时影响小。位置式则相反。（3）增量式算法中，由于执行机构本身有保护作用，所以容易实现手动自动的无扰动切换。机器故障时，也可以把信号保持在原位。由于增量式计算法具有上述优点，所以在控制系统中的应用更为广泛。第六章 控制规律的模拟化设计6.3 数字数字PID的改进的改进如果在控制系统中引入数字计算机仅仅用于取代模拟控制器，那么，控制质量往往不如模拟控制器，达不到理想的控制效果。原因在于：模拟控制器进行的控制是连续的，而数字控制器采用的是采样控制，即只对采样时刻的信号值进行计算，控制量在一个采样周期内也不变化；而且由于计算机的数值运算和输入输出需要一定时间，控
13、制作用在时间上有延迟；另外，计算机的有限字长和A/D、D/A转换器的转换精度也使控制有误差，因此，必须发挥计算机运算速度快、逻辑判断功能强、编程灵活等优势，并建立模拟控制器难以实现的特殊控制算法，才能在控制性能上超过模拟控制器。人们对数字PID算法进行了许多改进，使其控制效果大大增强。下面介绍几种常用的改进措施。第六章 控制规律的模拟化设计6.3.1 抑制积分饱和的方法抑制积分饱和的方法 1.积分饱和的原因及影响积分饱和的原因及影响在实际控制过程中，控制器输出的控制量 u因受到执行元件机械和物理性能的约束而限制在有限的范围内，即uminu(k)umax，其变化率也有一定的限制范围，即|u(k)
14、u(k1)|umax。在自动调节系统中，由于负载的突变，如开工、停工或给定值的突变等，都会引起偏差的阶跃，即|e(k)|增大。因而，根据式（6.4）或式（6.9）计算出的位置式PID输出u(k)将急骤增大或减小，以至超过阀门全开（或全关）时的输入量umax（或umin）。此时的实际控制量只能限制在umax（或umin），而不是实际计算值。第六章 控制规律的模拟化设计这时，虽然系统输出u(k)在不断上升，但由于控制量受到限制，其增加速度减慢，偏差|e(k)|将比正常情况下持续更长的时间保持在正值，而使位置式PID输出u(k)中的积分项有较大的积累值。当被控量超过给定值r(t)后，开始出现负偏差，
15、但由于积分项累计值很大，还要经过相当一段时间之后，控制量u(k)才能脱离饱和区,这样就使系统的输出出现明显的超调。理想情况的控制与积分饱和情况下的控制曲线如图 6.5所示。很明显，在位置式PID算法中，饱和现象主要是由积分项引起的，所以称之为“积分饱和”。这种现象将引起大幅度的超调，使系统不稳定。第六章 控制规律的模拟化设计图6.5 积分饱和现象示意图第六章 控制规律的模拟化设计2 克服积分饱和作用的方法克服积分饱和作用的方法1)遇限削弱积分法这种修正方法的基本思想是一旦控制量进入饱和区，程序将只执行削弱积分项的运算而停止进行增大积分项的运算。即在计算u(k)值时，首先判断上一采样时刻的控制量
16、u(k1)是否已超过限制范围而取边界值，若已超出，将根据偏差的符号来判断系统的输出是否已进入超调区域，由此决定是否将相应偏差计入积分项。其程序设计流程如图 6.6所示。第六章 控制规律的模拟化设计图6.6 遇限削弱积分的PID算法流程图第六章 控制规律的模拟化设计2）积分分离法减小积分饱和的关键在于不能使积分项累积过大。积分分离法的思想为：规定偏差的门限值，当|e(kT)|时，采用PD控制，利用PD控制响应速度快的特点，迅速减小偏差而又不引起过大的超调；当|e(kT)|时，则采用PID控制，利用积分消除系统静差，提高稳态精度。遇限削弱积分法是一开始就积分，但当输出进入饱和区后即削弱积分项累积；
17、而积分分离法与其相似，但它不是判断积分累积项，而是判断偏差。当偏差小于某一门限值时才进行积分累积。这样，便显著降低了被控量的超调量及过渡过程时间，使调节的动态性能得以改善；同时又能减小静差，提高系统的稳态性能。第六章 控制规律的模拟化设计积分分离PID算式可表示为时当时当)(1)(0)()()()(d0ipkTekTeKTkTekTeKjTeKKkTeKkTukj(6.12)式中,为预定门限值。采用积分分离PID控制的效果如图 6.7所示，这种算法发挥PD控制和PID控制各自的优点，也称做PD-PID双模控制。第六章 控制规律的模拟化设计图6.7 采用积分分离作用的控制过程曲线第六章 控制规律
18、的模拟化设计图6.8 积分分离的PID算法流程图采用积分分离法的位置式PID算法程序流程如图 6.8所示。第六章 控制规律的模拟化设计3)变速积分法在基本PID算法中，积分增益Ki在整个调节过程中保持不变。而变速积分PID的基本思想是，改变积分项的累加速度，使其与偏差大小相对应，即偏差越大，积分越慢，以至减弱到全无；若偏差越小，则积分越快，以利于消除静差。变速积分算法如下：设置一个系数fe(k)，它是偏差e(k)的函数，当|e(k)|增大时，f减小，反之增大。每次采样后用fe(k)乘以e(k)，并记为e(k)，然后再进行累加，即积分项ui为第六章 控制规律的模拟化设计 11iikikekefi
19、eku(6.13a)f与e(k)的关系可以是线性或高阶的，例如，设其为 BAkeBAkeBABkeABkekef01(6.13b)第六章 控制规律的模拟化设计f值在01区间变化，当偏差大于所给分离区间A+B后，f=0，不再进行累加；而当偏差小于A+B时，偏差越小，则f越小，累加速度越快；当偏差小于B后，累加速度达到最大值1。以上关系如图6.9所示。将变速积分项ui代替基本的位置式PID中的积分项，可得 1d10ipkekeKkekefieKkeKkuki(6.13c)第六章 控制规律的模拟化设计图6.9 系数fe(k)与偏差e(k)的关系曲线第六章 控制规律的模拟化设计变速积分PID与基本PI
20、D相比，有如下优点：消除了积分饱和现象。大大减小了超调量，可以很容易地使系统稳定。适应能力强，某些用基本PID控制不理想的过程可以采用此种算法。整定容易，各参数间的相互影响减小了，而且对A、B两参数的要求不精确，可作一次性确定。变速积分法与积分分离法有相似之处，但调节方式不同。积分分离对积分项采用的是所谓“开关”控制，而变速积分则是缓慢变化，故后者的调节品质大大提高，它是一种新型的PID控制。第六章 控制规律的模拟化设计6.3.2 抑制干扰的方法抑制干扰的方法对于干扰，除了采用专门的硬件和软件抗干扰措施外，还可以通过对PID算法进行改进，进一步克服干扰的影响。在位置式PID算式中的差分项 1d
21、pkekeTTK和增量式PID算式中的二阶差分项 211dpkekekekeTTK第六章 控制规律的模拟化设计对数据误差和干扰特别敏感，因此在数字PID中，干扰主要是通过微分项起作用的，但是由于微分作用在调节中往往是必要的（它可以近似补偿对象的一个极点，扩大稳定域，改善动态性能），因此不能简单地把微分项放弃。所以应研究如何实现对干扰不过于敏感的微分项的近似算法。这里介绍两种方法：四点中心差分法和不完全微分的PID算法。1.四点中心差分法四点中心差分法在这种方法中，一方面将Td/T取得略小于理想情况，另一方面，在组成差分时，不是直接应用前后两次偏差，而是用平均差作基准，再用加权求和构成近似微分项
22、。可参照图6.10来推导四点中心差分法。第六章 控制规律的模拟化设计图6.10 四点中心差分法第六章 控制规律的模拟化设计用现在及过去共四个采样时刻的偏差的平均值作为基准，即 32141kekekekeke(6.14)再用加权平均和构成近似微分项 TkekeTkekeTkekeTkekeTkeTT5.135.025.015.14dd 323136dkekekekeTT 3213210keakeakeakea(6.15)第六章 控制规律的模拟化设计其中，a0=a3=Td/6T,a1=a2=Td/2T。用上式代替式(6.4)中的微分项，得修正后的PID位置算法为 kiikeakeakeakeake
23、TTkeKku03210p321(6.16)第六章 控制规律的模拟化设计 PID增量算式的修正形式，可用与式(6.15)相应的式子代替式(6.8)中的差分项和二阶差分项而得 )1(2)(63dipkekeTTkeTTkekeKku)4()3(2)2(6kekeke(6.17)第六章 控制规律的模拟化设计2.全微分的全微分的 PID 算法算法在上面介绍的标准PID算式中，当有阶跃信号输入时，微分项输出急剧增加，容易引起调节过程的振荡，导致调节品质下降。为了克服这一点，同时又要使微分作用有效，可以采用不完全微分的PID算法。其基本思想是：仿照模拟控制器的实际微分调节，加入惯性环节，以克服完全微分的
24、缺点。该算法的传递函数表达式为 sKTsTsTKsEsUdddip111(6.18)第六章 控制规律的模拟化设计式中,Kd为微分增益。将式（6.18）分成比例积分和微分两部分，则 U(s)=Up1(s)+Ud(s)其中,sEsTKsUipp111 sEsKTsTKsUdddpd1(6.19)(6.20)第六章 控制规律的模拟化设计Up1(s)的差分方程为 kiieTTkeKkU0ip1p(6.21)Ud(s)的差分方程推导较复杂，首先将其化成微分方程，即 ssETKsUsKTdpddd1 tteTKtuttuKTdddddpdddd第六章 控制规律的模拟化设计用一阶向后差分近似代替微分，设采样
25、周期t=T，则第 k次采样时，有 TkekeTKkuTkukuKT11dpddddd整理得 11ddpdddddddkekeTKTKTkuTKTKTku(6.21)第六章 控制规律的模拟化设计令 TKTTdds，TKTKTdddd，则 11sdpddkekeTTKkuku(6.22)于是，不完全微分的 PID 位置算式为 kiieTTkeKkekeTTKkuku1ipsdpd11第六章 控制规律的模拟化设计它与理想的PID算式相比，多一项k1次采样的微分输出量ud(k1)，由于 kiieTTkeKkekeTTKkuku1ipsdpd12121因此，不完全微分PID增量算式为 121sdippp
26、kekeTTKkeTTKkekeKku212ddkukuke(6.23)第六章 控制规律的模拟化设计在单位阶跃信号作用下，完全微分与不完全微分的输出特性的差异如图6.11所示。由图 6.11可见，完全微分的微分项对于阶跃信号只是在采样的第一个周期产生很大的微分输出信号，它不能按照偏差的变化趋势在整个调节过程中起作用，而是急剧下降为零，因而极易引起系统产生振荡。而在不完全微分系统中，微分输出信号按指数规律逐渐衰减到零，因而系统变化比较缓慢，故不易引起振荡。第六章 控制规律的模拟化设计图6.11 两种微分作用的比较第六章 控制规律的模拟化设计6.3.3 带死区的带死区的PID算法算法在控制精度要求
27、不高，控制过程要求尽量平稳的系统中，为了避免控制动作过于频繁所引起的振荡，可以采用带死区的PID控制系统。其控制思想为：人为地设置一个偏差信号的不灵敏区B，称为死区，只有偏差信号不在死区范围内时，才按PID算式计算控制量，如图 6.12所示。第六章 控制规律的模拟化设计图6.12 带死区的PID控制第六章 控制规律的模拟化设计带死区的PID控制算式为 BkekKuBkekuK当当(6.24)式中,K为死区增益，其数值可取为0，0.25，0.5，1等。在图 6.12中，死区B是一个可调的参数。其具体数值可根据实际控制对象由实验确定。B值太小，使调节动作过于频繁，不能达到稳定被调对象的目的。如果B
28、取得太大，则系统将产生很大的滞后。当B=0（或K=1）时，则为PID控制。该系统实际上是一个非线性控制系统，即当偏差绝对值|e(k)|B时，其控制输出为Ku（k）；当|e（k）|B 时，则输出值 u（k）以 PID（或 PD、PI）运算结果输出。其程序流程图如图 6.13所示。第六章 控制规律的模拟化设计图6.13 带死区PID控制算法流程图第六章 控制规律的模拟化设计6.3.4 阻尼阻尼PID算法算法给定值频繁升降时，通过微分造成控制量u(t)的频繁升降，从而产生对系统的频繁冲击，使系统产生剧烈的超调和振荡。为了克服这种情况，除了采用不完全微分PID方法外，还可以使用微分先行PID算法和给定
29、值的前置滤波法。1.微分先行微分先行PID算法算法微分先行PID算法的实质是将微分运算提前进行。它有两种结构：一种是对输出量的微分，如图 6.14(a)所示；另一种是对偏差的微分，如图 6.14(b)所示。在第一种结构中，只对输出量 c（t）进行微分，它适用于给定量频繁升降的场合，可以避免升降给定值时所引起的超调量过大，阀门动作过分剧烈地振荡。第六章 控制规律的模拟化设计图6.14 微分先行PID控制结构框图第六章 控制规律的模拟化设计第二种结构对偏差量先行微分，因此它对于给定值也有微分作用，适用于串级控制的副控制回路。因为副控制回路的给定值是由主控制器的输出给定的，也应对其做微分处理，因此，
30、应在副控制回路中采用对偏差先行微分的PID算法。第六章 控制规律的模拟化设计 2 给定值的前置滤波法给定值的前置滤波法这一方法是采用一前置滤波器（通常为一阶惯性环节）对给定值r(t)进行修改，使进入控制算法的给定值r(t)不突变，而是有一定惯性延时的缓变量，其结构如图6.15所示。其算法为 kkkrrr)1(1(6.25)其中,fTT e，Tf为滤波器sTf11的滤波时间常数。第六章 控制规律的模拟化设计图6.15 前置滤波的PID控制 第六章 控制规律的模拟化设计6.3.5 采样采样PID算法算法在采样周期很短时，断续控制的效果可以与连续调节相媲美。在某些特殊场合，例如成分调节系统中，因为工
31、业气相色谱分析仪的输出信号在时间上是断续的，对这类系统就不能使用连续PID控制。此外，有些对象的纯滞后时间L与惯性时间常数T之比很大，使用常规PID控制效果也不好。此外，在模拟仪表中早已研制了带采样动作的特种控制器，其中最常用的是采样PI控制器，其动作方式如图6.16所示。控制器每隔一定的时间改变一次输出的大小。第六章 控制规律的模拟化设计图6.16 采样PID控制器动作第六章 控制规律的模拟化设计显然用数字仪表很容易实现这样的动作，实际上只要把数字PI运算中采样周期取得足够长就行。在大滞后对象的控制中，采样周期大致取对象纯滞后时间L与惯性时间常数T之和。这样可以使控制器每次输出的效果充分显示
32、后，再进行一次调节，以得到较好的效果。第六章 控制规律的模拟化设计应该说明，这种调节方法属于稳态控制。对于大滞后对象，采用这种“调一调，等一等”的办法可以避免严重超调和不稳定。但这种方法只能说是一种粗糙的控制，如果在采样时刻之间发生较大的扰动，必须到下一次采样后才能作出反应，所以对扰动的响应速度是不好的。在SLPC(单回路可编程控制器，Single Loop Programmable Controller)中使用的采样PI算法如图6.17所示。它与图6.16的不同点仅在于图6.17中控制时间SW可以任意设定。顺便说明，采样周期取得很长时，由于微分控制已失去超前预报的作用，所以采样控制中都只用P
33、I算法。第六章 控制规律的模拟化设计图6.17 SLPC采样PI动作第六章 控制规律的模拟化设计 6.4 模拟校正网络的数字滤波器实现模拟校正网络的数字滤波器实现这里假定已按连续方法设计出了满足要求的D(s)，研究几种将D(s)离散化为D(z)的方法。每种方法的优劣主要看它对原D(s)性能的贴近程度及使用是否方便。6.4.1 冲激响应不变法冲激响应不变法 1.概念冲激响应不变法是使数字滤波器D(z)的单位冲激响应hD(kT)与连续系统D(s)的单位脉冲过渡函数hA(t)在kT时刻的采样值hA(kT)相等，即 hD(kT)=hA(kT)（6.26）如图6.18所示。第六章 控制规律的模拟化设计图
34、6.18 冲激响应不变法第六章 控制规律的模拟化设计我们知道，Z变换法的出发点就是采样点kT上的冲激响应函数值等于连续冲激响应函数在t=kT时的值。因此冲激响应不变法又称Z变换法。2.离散化的方法离散化的方法 设连续滤波器D(s)为niiiasAsD1)(其单位脉冲过渡函数为)()(1sDLthAtaniiiAe1第六章 控制规律的模拟化设计它的采样值为)(kThAkTaniiiAe1冲激响应不变法D(z)的单位冲激响应hD(kT)等于hA(kT)，即)(kThD)(kThAkTaniiiAe1(6.28)对上式两边取Z变换得TaniiAizzAkThZzDzDe)()()(1(6.29)第六
35、章 控制规律的模拟化设计记住下面对应关系，可以比较方便地由D(s)得到D(z)TaiiiizzAasAe(6.30)实际中，由冲激响应不变法求D(z)的方法，就是求Z变换的方法。主要有两种方法：(1)直接由D(s)或由D(s)的部分分式展开式查Z变换表得D(z)。(2)根据Z变换的定义求D(z)，过程是第六章 控制规律的模拟化设计3.举例举例例例6.1)()(bsascssD，用冲激响应不变法求D(z)。解解 按定义求得：)()(1sDLthAbtatbabcbacaeebkTakTbabcbacaee)(kThA)(kThD)()(kThZzDAbTaTzzbabczzbacaee请读者用查
36、表法验证。第六章 控制规律的模拟化设计4.冲激响应不变法的特点冲激响应不变法的特点(1)D(z)与D(s)的脉冲响应相同，即hA(kT)=hD(kT)，这正是本方法的出发点，也是这种方法的最大优点，本方法适用于要求D(z)的时域响应能模仿D(s)时域响应的情况。(2)若D(s)稳定，则D(z)也稳定。由z=esT可知，左半s平面映射到z平面的单位圆内，故极点在左半s平面内，则D(z)的极点必在z平面单位圆内。第六章 控制规律的模拟化设计(3)D(z)不保持D(s)的频率特性。这可以通过做出他们各自的频率特性图（幅频特性及相频特性）加以比较得知。事实上，连续信号的频谱在采样以后要以采样频率为周期
37、重复再现。(4)D(s)复杂时，其Z变换可能无现成表可查，这时只有将D(s)展成部分分式，这样会有些麻烦。第六章 控制规律的模拟化设计5.关于阶跃响应不变法和斜坡响应不变法关于阶跃响应不变法和斜坡响应不变法 与冲激响应不变法类似，还有阶跃响应不变法和斜坡响应不变法。阶跃响应不变法就是设计的数字滤波器在阶跃输入作用下的输出响应u(kT)与模拟滤波器在阶跃输入作用下的输出响应的采样值us(kT)相等。其方法为)()(1sssDLtuu(kT)=us(kT)U(z)=Zu(kT)=Zus(kT)第六章 控制规律的模拟化设计)()()(zEzUzD（E(z)为单位阶跃的Z变换）1)(szzkTuZ)(
38、)1(1kTuZzs(6.31)例例6.2 已知)()(bsasabsD，试用阶跃响应不变法求D(z)。第六章 控制规律的模拟化设计解解)(1)(1bsasabsLtubtatbaababee1111e11e1111)(zbaazbabzzUbTaT)()()(zEzUzD)111111)(1(1111zebaazebabzzbTaT当把对阶跃输入信号的响应作为一个重要指标，并且希望与模拟滤波器的阶跃响应尽可能一致时，阶跃响应不变法是一种好的办法。仿照阶跃响应不变法，不难得到用斜坡响应不变法设计数字滤波器的具体方法。第六章 控制规律的模拟化设计 6.4.2 零零极点匹配法极点匹配法 1 概念概
39、念零极点匹配法是将D(s)在s平面上的零点和极点，依z=esT的关系，一一对应地映射到z平面上的零点和极点。D(s)的增益可根据某种特性（如D(s)与D(z)稳态增益相等）映射到z域中D(z)的增益。因为这种方法是将D(s)分子等于零、分母等于零构成的方程的根对应映射到z平面，所以也称为“根匹配法”。又由于这种映射完全依照Z变换中的基本关系z=esT，所以也称为“匹配Z变化法”。第六章 控制规律的模拟化设计2.离散化的方法离散化的方法按下述4个步骤进行：(1)将D(s)因式分解为显根表达式：)()()()()(2121snmpskpspszszszsksD(6.32)(2)按照关系式z=esT
40、，将D(s)的零点zi和极点pi映射到z平面上。转换关系为第六章 控制规律的模拟化设计域中对应的因式域中的根应为知，则据域根为zTazZzasSiiTiasTsTizas)e()(eee）（Taize11若s域中为复数零点或复数极点，则)ecos2()j(22TaiTaiiiiTbzezbas)ecose21(221zTbzTaiTaii或第六章 控制规律的模拟化设计(3)若D(s)中nm，即极点数多于有限零点数，说明s平面上还有(nm)个无穷远处的零点。由z=esT=ejT可知z是的周期函数，周期为T=2。若系统工作在主频区，即TT，那么s，也可看做T，即相当于z1。这就是说，s平面上的无穷
41、零点，映射为z平面上的1点。对于(nm)个无穷零点，映射为z平面上的(z+1)nm因子。(4)D(s)的增益映射到z平面上，记为kz，可以由某个特征来求出。在控制系统中最常用的办法是使D(s)与D(z)的稳态增益相等。第六章 控制规律的模拟化设计当D(s)为有差环节时，稳态增益表示为00)(1)(limsssDssDs11)(11)()1(limzzzDzzDz令二者相等，得10)()(zszDsD(6.33)由此等式可求出kz。第六章 控制规律的模拟化设计当D(s)为一阶无差环节时，稳态增益表示为00)()(limsssDssDs11)()1()()1(limzzzDzzDz令二者相等，得1
42、0(z)1()(zsDzsDs(6.34)由此等式可求出kz。第六章 控制规律的模拟化设计当D(s)为二阶无差环节时，稳态增益表示为0220)()(limsssDssDs1221)()1()()1(limzzzDzzDz令二者相等，得(6.35)由此等式可求出kz。120s2)()1()(zzDzsDs第六章 控制规律的模拟化设计通过以上几步，可得到D(s)对应的D(z)，其形式为)e()e)(e()1)(e()e)(e()(2121TpTpTpmnTzTzTzznmzzzzzzzkzD(6.36)3 举例举例例例6.3 已知D(s)=1(s2+0.2s+1)，T=1 s，用零极点匹配法求D(
43、z)。解解 (1)D(s)有一对复极点s1,2=0.1j0.995和两个无穷极点nm=20=2。根据前面给出的转换关系及式(6.36)，可得第六章 控制规律的模拟化设计11.0211.022e)1995.0cos(e2)1()(zzzkzDz819.0985.0)1(22zzzkz(2)D(s)为有差环节，故使D(s)与D(z)稳态增益相等。根据式(6.33)应有1z0)()(zDsDs(6.37)第六章 控制规律的模拟化设计则0212212.01819.0985.0)1(szzsszzzk进一步演算有1819.0985.014zk所以 kz=0.209代入式(6.37)得819.0985.0
44、)1(209.0)(22zzzzD第六章 控制规律的模拟化设计4.零零极点匹配法的特点极点匹配法的特点(1)若D(s)稳定，则D(z)也稳定。(2)D(s)要因式分解求零、极点，比较麻烦，但由此求出的D(z)也为因式形式，故便于使用。(3)可保证D(z)和D(s)的稳态增益（即0或s0）相等。这对控制系统有利，因为大部分自动控制系统对低频特性的要求较高，保持低频时增益匹配是有益的。(4)它只考虑两平面上零、极点匹配映射，不考虑映射到z平面上零、极点的相对分布，因而有时会使z平面上零点和极点极为接近，造成频率响应不佳。第六章 控制规律的模拟化设计6.4.3 零阶保持器法零阶保持器法 1.概念概念
45、在设计出的D(s)前面加一保持器后，再按冲激响应不变法将其离散化，这就称为“具有保持器的冲激不变法”，或称为“具有零阶保持器的Z变换法”，简称“零阶保持法”。2.方法方法)()1()(e1)(1ssDZzsDszDsT(6.38)第六章 控制规律的模拟化设计3.举例举例例例6.4 D(s)=a(s+a)，用零阶保持器求D(z)。解解 根据零阶保持器法，D(s)对应的数字控制器为111e1)e1()()1()(zzassaZzzDaTaT 4.零阶保持器的特点零阶保持器的特点(1)若D(s)稳定，则D(z)也稳定。(2)D(z)不保持D(s)的脉冲响应和频率响应。(3)与冲激响应不变法类似，若无
46、现成表可查，则应将D(s)展开成部分分式后才能查表，使用不方便。第六章 控制规律的模拟化设计6.4.4 双线性变换法双线性变换法 1.概念概念在研究线性离散系统的稳定性及W变换设计法时，已碰到过双线性变换，这种变换可以看做z=esT展开式的Pade近似。尽管双线性变换法与W变换设计法在数学形式上相似，但设计出发点不同，故本质上是有差别的。双线性变换法公式为2121eee22TsTszsTsTsT2121TsTs(6.39)第六章 控制规律的模拟化设计从而1111 211 2zzTzzTs双线性变换，也称Tustin变换。这种变换关系也可由解微分方程的“梯形积分法”求出，故称为“梯形积分法”。2
47、.方法方法将D(z)中的s值直接用112zzT替换即可，即11 2)()(zzTssDzD(6.40)第六章 控制规律的模拟化设计3.举例举例例例6.5 已知D(s)=a(s+a)，用双线性变换法求D(z)。解解 由双线性变换定义有azzTaasszDzzTs112)(11 2TaTazTaza22)2()1(第六章 控制规律的模拟化设计对于双线性变换，即可以由D(s)经变换得到D(z)，同样也可以由D(z)经变换得到D(s)，方法是：2121)()(TsTszzDsD例例6.6 已知21213211)(zzzzzD，用双线性变换法求D(s)。解解 由双线性变换定义有2121)()(TsTsz
48、zDsD2222282412sTTssT第六章 控制规律的模拟化设计4 双线性变换法的特点双线性变换法的特点(1)双线性变换是一种线性代数变换，变换关系简单，使用方便。无论由D(s)求D(z)，还是由D(z)求D(s)，都可以用双线性变换得到。(2)双线性变换是将整个左半s平面一一对应地映射到z平面上的单位圆内，因而没有混叠效应。(3)若D(s)稳定，则D(z)也稳定。(4)双线性变换是一种近似变换。D(z)不保持D(s)的脉冲响应和频率特性。第六章 控制规律的模拟化设计6.4.5 差分变换法差分变换法 1.概念概念将微分方程离散化为差分方程的方法，就称为差分变换法。这种方法主要利用最简单的一
49、阶差分代替微分，并由此得出一个s与z的转换关系。差分变换法也称为“差分反演法”或“微分映射法”。事实上，PID数字化就是用的这种方法。差分变换法又有前向差分和后向差分两种方法，前向差分变换有可能产生不稳定的D(z)，故这种方法工程中不能使用。2.一阶后向差分法一阶后向差分法 将一阶微分用后向差分近似代替，则有第六章 控制规律的模拟化设计TTkTekTette)()(d)(d将微分用算子形式表示，则有TTkTekTetse)()()(令t=kT，并作Z变换，即TTkTekTeZkTseZ)()()(第六章 控制规律的模拟化设计)(1)(1zETzzsE由上式可得Tzs11或sTsz1因此Tzss
50、DzD11)()(此变换将左半s平面映射为z平面上的一个圆心在 ，半径为1/2的圆内，如图6.19所示。)0 j,21(第六章 控制规律的模拟化设计图6.19 一阶后向差分变换第六章 控制规律的模拟化设计3.举例举例例例6.7 已知，用后向差分法设计D(z)。解解 4.差分法的特点差分法的特点 使用方便，无需对D(s)作因式分解。若D(s)稳定，则D(z)也稳定。D(z)不保持D(s)的脉冲响应和频率响应。asasD)(aTzaasazDTzs111)(111zaTaT第六章 控制规律的模拟化设计 6.4.6 几种离散化方法的比较几种离散化方法的比较（1）除前向差分法外，其余方法都能保持D(s
