1、第八章 空间解析几何与向量代数8-1 向量及其线性运算例1已知的夹角为 ，求 58,aba b 3ab例2在平行四边形 中，设 ，试用 表示向量 。ABCD,ABaADb ab和MA MB MCMD ,和例3求解以向量为未知元的线性方 程组 其中 5332xyaxyb =2,1,2=1,1,-2ab例4已知两点以及实数 ，在直线上求点 ,使 。111222,A x y zB xyz和1 ABMAMMB 例5已知空间一点 的坐标为 ，试在直角坐标系 中描出它的位置。M3,4,5oxyz例6已知空间一点 的坐标为 ，试描出它关于坐标面 ，坐标轴 和坐标原点 的对称点。M3,3,2oxyoyo例7求
2、证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。1234,3,17,1,25,2,3MMM例8在 轴上求与两点等距离的点。Z4,1,73,5,2AB和例9已知两点 求与 方向相同的单位 向量 。4,0,57,1,3AB和AB e例10设已知两点 计算向量 的模，方向 余弦和方向角。122,2,21,3,0MM和12M M例11设已知两点 求方向和 一致的单位 向量。4,0,57,1,3A和BAB 例12设点 位于第 卦 限，向径 与 轴、轴夹角依次为 ，且 ，求点 的坐标。AIoAxy3和46oA A例13在 轴上取定一点 作 为坐标原点，设 是 轴上坐标依次为 的两个点，是与 轴同方向的单位向量。u
3、o,A Bu12,u ueu例14设立方体一条对角线为 一条棱为 ，且 ，求 方向上的投影 。OMOAOAaOAOM 在OMprjOA 8-2 数量积 向量积 混合积例1试用向量证明三角形的余弦 定理。例2在 坐标面上，求出与 向量 垂直的单位 向量。XOY=-4 3 7R，例3设质量为100kg的物体从点 沿直线移动到点 ，计算重力所作的 功（长度单位m）13,1,8M21 4 2M，例4已知三点 ，求 。1,1,12,2,12,1,2MAB和AMB例5设 ，计算 。2,1,1=1,1,2aba b例6已知 的顶点分别为求三角形 的面积。ABC1,2,33,4,52,4,7ABC和ABC例6
4、已知不在一平面上的四 点 求四面体 的体积 。111222,A x y zB xyz333444,C xy zxyzDABCD 8-3 曲面及其方程例1建立球心在点 半径为R的球面方程。0000,Mxyz例2设点 和 ，求线段 的垂直平分面的方程。1,2,3A2,1,4BAB例3方程表示怎样的曲面。222240 xyzxy例4试建立顶点在坐标原点O旋转轴为Z轴，半顶角为 的圆锥面的方程。例5将XOZ坐标面上的双曲线 分别绕 轴和Z轴 旋转一周，求所生成的旋转曲面的 方程。22221xzacx例6方程 表示怎样的曲面？222xyR例7画出方程 所表示的曲面 20zy例8说明下列旋转曲面是怎样形
5、成的？2221+z14yx 2222zaxy8-4 空间曲线及其方程例1方程组 表示怎样的曲线。221236xyxz例2方程组表示怎样的曲线。22222222axyaaxzy例3画出下列曲线在第一卦限 内的图形222222xyaxza例4如果空间一点M在圆柱面 上以角速度 绕Z轴旋转，同时又以线速度V沿平行于Z轴的正方向上升（其中 都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线，试建立其参数方程。222xya,v例5将曲线 化成参数方程。2229xyzy x例6已知两球面的方程为 （1）和 （2）求它们的交线C在 面上 的投影方程。2221xyz222111yzxxoy例7设一个立体由上半球面 和锥
6、面 所围成，求它 在 面上的投影。224xyZ223 xyZxoy例8求旋转抛物面在三坐标轴上的投影。2204zZxy例9求上半球与圆柱体的公共部分在 面和 面上的投影。2220zaxy220axyaxxoyxoz8-5 平面及其方程例1已知一个平面通过点 并且垂直于 与点 的连线，求平面方程。3,2,1p1p26,2,7p例2求过三点的平面的方程。1232,1,4,1,3,20,2,3MMM 和例3一个平面过两点且垂直于平面 ，求此平面方程。1,1,10,1,1AB和0 xyz例4求通过 轴和点 的平面的方程。x4,3,1M例5一平面通过原点，而且与平面都垂直，求此平面方程。25+30370
7、 xyzxyz 和例6求两平面的夹角。260250 xyzxyz和例7证明：（1）与平面 平行。（2）平面 垂直。1xyz22230 xyz0230 xyzxyz与例8设 是平面 外一点，求 到这平面的 距离。0000,xy zp0 xByCzDA0p例9试求平行平面 间的距离。6270 xyz362140 xyz38-6 空间直线及其方程例1用对称式方程及参数方程 表示直线 。1 0234 0 x y zx yz 例2 试求通过点且平行平面又与直线 相交的直线方程。01,0,4M34100 xyz13312xyz例3已知质点M以 为起点，以21米秒的速度，在向量 的方向上作直线运动，试求质点M的运动方程。01,1,1M2,3,6R 例4求直线 和 的夹角113:141xyzL22:221xyzL例5试证下列两条直线 和 重合。151321xyz511642xyz例6求过点 且与平面 垂直的直线方程。1,2,42340 xyz例7求与两平面的交线平行且过点的直线的方程4351xzxyz和23,2,5例8求直线与平面的交点。234112xyz260 xyz例9求过点 且与直线 垂直相交的直线方程。2,1,311321xyz例10求直线在平面上的投影直线的方程。1 01 0 x y zx y z 0 xyz
