1、1 八一中学八一中学:尼江声尼江声2二、课标、考试说明二、课标、考试说明三、教学建议及各节教材的分析三、教学建议及各节教材的分析一、本章地位及编排特点一、本章地位及编排特点3一、本章地位及编排特点一、本章地位及编排特点 1轴对称与全等三角形之间的联系轴对称与全等三角形之间的联系 引入轴对称知识，使得我们可以从引入轴对称知识，使得我们可以从轴对称的角度再认识有关全等三角形轴对称的角度再认识有关全等三角形的问题，体会用全等三角形来研究经的问题，体会用全等三角形来研究经过一次轴对称变换后的图形与原图形过一次轴对称变换后的图形与原图形之间的关系的作用之间的关系的作用4 建立两者的联系，可以加建立两者的
2、联系，可以加强轴对称等知识的运用，可强轴对称等知识的运用，可以为图形之间的图形变换提以为图形之间的图形变换提供除平移之后的第二种变换供除平移之后的第二种变换方式轴对称方式轴对称5一、本章地位及编排特点一、本章地位及编排特点 2.认识平移、对称、旋转认识平移、对称、旋转 作为作为数学课程标准数学课程标准规定的四个内容领域规定的四个内容领域之一，之一，“空间与图形空间与图形”主要研究现实世界中物体主要研究现实世界中物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换变换。那么，什么是变换？中学数学中所涉及的基本变那么，什么是变换？中学数学中所涉及的基本变换有哪些？各种不
3、同变换的数学内涵是什么？它换有哪些？各种不同变换的数学内涵是什么？它们之间又存在怎样的关系？们之间又存在怎样的关系？6（1）变换、保距变换、保角变换。）变换、保距变换、保角变换。通常，几何学家是按照集合的法则，通过在通常，几何学家是按照集合的法则，通过在原图形的点与新图形（称为映象）的点之间建立原图形的点与新图形（称为映象）的点之间建立一种对应关系来描述有关变换的概念的。如果一一种对应关系来描述有关变换的概念的。如果一个平面图形的每一个点只对应于它在此平面内的个平面图形的每一个点只对应于它在此平面内的映象中的一个点，并且映象中的每一个点也只对映象中的一个点，并且映象中的每一个点也只对应于原图形
4、中的一个点，这样的对应就叫做应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换变换。能够保持图形的大小和形状不变的变换称为能够保持图形的大小和形状不变的变换称为保距（合同）变换保距（合同）变换。7 在保距变换中，一个图形的映象中的任何两点在保距变换中，一个图形的映象中的任何两点之间的距离，等于原图形中对应的两点之间的距离，之间的距离，等于原图形中对应的两点之间的距离，映象总是全等于原图形。映象总是全等于原图形。保距变换主要有三种：平移变换、轴对称变换保距变换主要有三种：平移变换、轴对称变换和旋转变换。和旋转变换。而只改变图形的大小，不改变图形的形状的变而只改变图形的大小，不改变图形的形状的变换称为换称
5、为保角变换保角变换。在保角变换中，原图形中所有角。在保角变换中，原图形中所有角的大小都保持不变。得到一个图形的相似图形的过的大小都保持不变。得到一个图形的相似图形的过程本质上就是保角变换的应用。程本质上就是保角变换的应用。8（2）平移变换、旋转变换和轴对称变换。）平移变换、旋转变换和轴对称变换。平移变换是最简单的保距变换。平移变换是最简单的保距变换。如果原如果原图形中的点都沿着平行的途径运动一个恒等的图形中的点都沿着平行的途径运动一个恒等的距离而到达映象，这样的变换称为平移。对平距离而到达映象，这样的变换称为平移。对平移来说，原图形中所有的点到它的映象的距离移来说，原图形中所有的点到它的映象的
6、距离彼此相等。距离和方向是平移的两个要件。彼此相等。距离和方向是平移的两个要件。9 轴对称变换是第二种保距变换。轴对称变换是第二种保距变换。如果在一如果在一张纸上画一个图形，把一面平面镜的末端放在纸张纸上画一个图形，把一面平面镜的末端放在纸上，并且在镜子里看到这个图形，那么原图形就上，并且在镜子里看到这个图形，那么原图形就被反射了。由反射产生一个图形的映象的过程，被反射了。由反射产生一个图形的映象的过程，也叫轴对称变换。反射由一条反射线所确定，反也叫轴对称变换。反射由一条反射线所确定，反射线也叫对称轴。反射线是连接图形中的任意一射线也叫对称轴。反射线是连接图形中的任意一点与该点映象之间的所有线
7、段的垂直平分线。点与该点映象之间的所有线段的垂直平分线。轴对称图形，也可以用反射来定义。如果一轴对称图形，也可以用反射来定义。如果一个图形的一部分被某一条直线反射后，得到的映个图形的一部分被某一条直线反射后，得到的映象恰好等同于原图形的其余部分，这个图形即被象恰好等同于原图形的其余部分，这个图形即被称为轴对称图形。该直线叫做对称轴。称为轴对称图形。该直线叫做对称轴。10 图形的平移、旋转、折叠等活图形的平移、旋转、折叠等活动，可以使图形动起来，有助于动，可以使图形动起来，有助于在运动变化的过程中发现图形不在运动变化的过程中发现图形不变的几何性质，因此图形的变换变的几何性质，因此图形的变换是研究
8、几何问题、发现几何结论是研究几何问题、发现几何结论的有效工具的有效工具.本套教材在不同阶段本套教材在不同阶段安排了这些图形变换的内容安排了这些图形变换的内容.11 第五章第五章 相交线与平行线相交线与平行线 5.4平移平移（七年级下）（七年级下）第第 十二十二 章章 轴对称轴对称（八年级上）（八年级上）第二十三章第二十三章 旋旋 转转（九年级上）（九年级上）本套教材在不同阶段安排了图形变换的内容：本套教材在不同阶段安排了图形变换的内容：123.本章知识结构框图本章知识结构框图13 本章的主要内容是从生活中的图形入本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质手，学习轴对称及其基本性
9、质,欣赏、体欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用，并归验轴对称在现实生活中的广泛应用，并归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质。在此基础上，利用轴对称变换，探索质。在此基础上，利用轴对称变换，探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法，等腰三角形的性质，学习它的判定方法，并进一步学习等边三角形并进一步学习等边三角形.14 轴对称是全等三角形知识的拓展、轴对称是全等三角形知识的拓展、平面直角坐标系中点对称的延续，也平面直角坐标系中点对称的延续，也是今后学习图形的旋转的基础。是今后学习图形的旋转的基础。15本章的重点：本章的重点：轴对称的性质及等腰三角形的性质与
10、判定。轴对称的性质及等腰三角形的性质与判定。本章的难点：本章的难点：证明线段的垂直平分线的性质，等腰（边）三角证明线段的垂直平分线的性质，等腰（边）三角形的性质与判定等。形的性质与判定等。本章的关键：本章的关键：加强对问题的分析、理解，理清证明问题的思路。加强对问题的分析、理解，理清证明问题的思路。16课程学习目标课程学习目标:1.1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质；的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质；2.2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求作出探索简单图形之间
11、的轴对称关系，能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形；认识和欣赏轴简单图形经过一次或两次轴对称后的图形；认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案设计；设计；3.3.了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角的有关概念，探索并掌握它们的解等腰三角形、等边三角的有关概念，探索并掌握它们的性质以及判定方法；性质以及判定方法；4.4.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察
12、、操作、想象、论证、交流的过简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习空间与图形的兴趣。程中，发展空间观念，激发学习空间与图形的兴趣。二、课标、考试说明二、课标、考试说明17中考说明轴对称、等腰三角形轴轴对对称称 了解了解图形的轴对称，图形的轴对称，理解理解对应点所连的线对应点所连的线段被对称轴垂直平分段被对称轴垂直平分的性质；的性质；了解了解物体的物体的镜面对称镜面对称 能按能按要求作出简要求作出简单平面图形经过单平面图形经过一次或两次轴对一次或两次轴对称后的图形；称后的图形；掌掌握握简单图形之间简单图形之间的轴对称关系，的轴对称关系，并能指出对称轴；并能
13、指出对称轴；掌握掌握基本图形的基本图形的轴对称性及其相轴对称性及其相关性质关性质能能运用运用轴对轴对称的知识解称的知识解决简单问题决简单问题等等腰腰三三角角形形 了解了解等腰三角形、等等腰三角形、等边三角形的概念，会边三角形的概念，会识别识别这两种图形；这两种图形；理理解解等腰三角形、等边等腰三角形、等边三角形的性质和判定三角形的性质和判定 能能用等腰三角形、用等腰三角形、等边三角形的性等边三角形的性质和判定解决问质和判定解决问题题 会会运用运用等等腰三角形、腰三角形、等边三角等边三角形的知识形的知识解决有关解决有关问题问题181、联系实际，借助大量的实例理解轴、联系实际，借助大量的实例理解轴
14、对称的有关概念和特征。对称的有关概念和特征。2、有机整合相关内容，加强知识间的联系。、有机整合相关内容，加强知识间的联系。3、充分利用现代多媒体技术和学生的动手操、充分利用现代多媒体技术和学生的动手操作活动，让学生经历观察、实验、归纳、探作活动，让学生经历观察、实验、归纳、探究、论证的过程，满足学生的学习需求。究、论证的过程，满足学生的学习需求。三、教学建议及各节教材的分析三、教学建议及各节教材的分析19课时安排：课时安排：12.1 轴对称轴对称 3课时课时12.2 作轴对称图形作轴对称图形 3课时课时12.3 等腰三角形等腰三角形 5课时课时数学活动数学活动小结小结 2课时课时20 1.从现
15、实生活中的大量直观图形入手，让学生在从现实生活中的大量直观图形入手，让学生在 观察、动手操作的过程中掌握轴对称的概念观察、动手操作的过程中掌握轴对称的概念.12.1 轴对称轴对称 12.2 作轴对称图形作轴对称图形2.轴对称和轴对称图形本质上是一致的，是紧密联轴对称和轴对称图形本质上是一致的，是紧密联 系的，但又有区别。系的，但又有区别。21 22 在教学时，可根据实际情况取材，不必在教学时，可根据实际情况取材，不必拘泥于教材，关键是让学生在观察实践中感拘泥于教材，关键是让学生在观察实践中感受概念，探索性质。受概念，探索性质。要注意，这里举出的是一些广泛意义上要注意，这里举出的是一些广泛意义上
16、对称的例子，包括镜面对称、立体图形的对对称的例子，包括镜面对称、立体图形的对称等，并不仅仅是平面上的轴对称图形称等，并不仅仅是平面上的轴对称图形.2324 包括镜面对称、立体图形的对称包括镜面对称、立体图形的对称等，并不仅仅是平面上的轴对称图形等，并不仅仅是平面上的轴对称图形.253.轴对称的性质：轴对称的性质：（1）对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线）对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）关于某条直线对称的两个图形是全等的）关于某条直线对称的两个图形是全等的.（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交
17、点在对称轴上段或延长线相交，那么交点在对称轴上.4.线段垂直平分线的两个定理是互逆定理的关系，像线段垂直平分线的两个定理是互逆定理的关系，像角的平分线的两个定理一样角的平分线的两个定理一样.2.轴对称和轴对称图形本质上是一致的，是紧密轴对称和轴对称图形本质上是一致的，是紧密联系的，但又有区别。联系的，但又有区别。265.线段垂直平分线的性质推广到三角形中：线段垂直平分线的性质推广到三角形中：三角形的外心三角形的外心6.对称轴的作法：对称轴的作法：两个图形的对称轴；两个图形的对称轴；一个轴对称图形的对称轴一个轴对称图形的对称轴27教材教材P3728 教材教材P38/1229 教材教材P3430
18、线段垂直平分线的线段垂直平分线的作法的几何语言表示作法的几何语言表示.教材教材P3531CABDE用轴对称研究用轴对称研究几何最值问题几何最值问题7.加强对基本图形的认识加强对基本图形的认识:N NM MCABlCAAB32 1.1.如图，如图，RtRtABCABC中，中，BB9090，ABAB3cm3cm，BCBC4cm4cm，将，将ABCABC折叠，使点折叠，使点C C与与A A重合，得折重合，得折痕痕DEDE，则，则ABEABE的周长等于的周长等于_cm._cm.（江苏徐州江苏徐州）考察考察:轴对称性质的应用轴对称性质的应用1.1.求：求：AEAE的长？的长？2.2.求：求：DEDE的长
19、？的长？33 另外，学生证明问题时，一概依赖全等三角另外，学生证明问题时，一概依赖全等三角形的思维定势，虽然问题都可以利用全等三角形的思维定势，虽然问题都可以利用全等三角形来解决，但对于可以直接利用等腰三角形性形来解决，但对于可以直接利用等腰三角形性质、判定，垂直平分线的性质的问题，轴对称质、判定，垂直平分线的性质的问题，轴对称的性质应当让学生选择简便方法。的性质应当让学生选择简便方法。34CABDE用轴对称研究用轴对称研究几何最值问题几何最值问题7.加强对基本图形的认识加强对基本图形的认识:N NM MCABlCAAB35教材教材P4236 教材教材P47/937例例2.已知：如图，已知：如
20、图，A、B是直线是直线l同侧两定点，同侧两定点，在在l上求一点上求一点C，使，使ABC周长最短周长最短.lAB38例例2.已知：如图，已知：如图，A、B是直线是直线l同侧两定点，同侧两定点，在在l上求一点上求一点C，使，使ABC周长最短周长最短.39例例3.已知：如图，已知：如图，MON内有一定点内有一定点P，在，在OM、ON上各找出一点上各找出一点A、B使使PAB的周长最小的周长最小.40例例3.已知：如图，已知：如图，MON内有一定点内有一定点P，在，在OM、ON上各找出一点上各找出一点A、B使使PAB的周长最小的周长最小.41例例3.已知：如图，已知：如图，MON=900,MON内有内有
21、一定点一定点P，在，在OM、ON上各找出一点上各找出一点A、B使使PAB的周长最小的周长最小.poMN42例例3.已知：如图，已知：如图，MON内有一定点内有一定点P，在，在OM、ON上各找出一点上各找出一点A、B使使PAB的周长最小的周长最小.43 教材教材P47/944 等周问题（等周问题（周长一定，找出具有周长一定，找出具有最大面积的平面图形最大面积的平面图形）中的一些命题）中的一些命题的证明中，也经常用到此图形。的证明中，也经常用到此图形。lCAAB命题命题1：在一切同底边并且周长相等的三角形中，以：在一切同底边并且周长相等的三角形中，以等腰三角形中的面积最大等腰三角形中的面积最大.引
22、申引申1：周长一定的三角形中，面积最大的必为正三：周长一定的三角形中，面积最大的必为正三角形角形.命题命题2：在一切同底边并且面积相等的三角形中，以：在一切同底边并且面积相等的三角形中，以等腰三角形周长为最短等腰三角形周长为最短.引申引申2：面积一定的三角形中，周长最小的必为正三：面积一定的三角形中，周长最小的必为正三角形角形.457.加强对基本图形的认识加强对基本图形的认识N NM MCABCABDElCAAB体会在图形翻折、体会在图形翻折、作对称轴等作图操作对称轴等作图操作中作中线段垂直平分线段垂直平分线的工具性作用线的工具性作用；46对称轴对称基本图形：轴对称基本图形：47BADCOPO
23、ABPBADCOPBACDOP48 教材教材P58 在证明不等关系时，通过在证明不等关系时，通过轴对称轴对称，把，把“不等不等”的问题的问题转化成了转化成了“相等相等”的问题的问题.497.作一个图形的轴对称图形：作一个图形的轴对称图形：确定关键点，作关键点关于对确定关键点，作关键点关于对称轴的对应点，再连接。称轴的对应点，再连接。8.轴对称在坐标系中的应用轴对称在坐标系中的应用:点（点（x,y）关于）关于x轴对称的点的坐标是（轴对称的点的坐标是（x,-y），），点（点（x,y）关于）关于y轴对称的点的坐标是（轴对称的点的坐标是（-x,y），），点（点（x,y）依次关于）依次关于x轴、轴、y轴
24、对称的点的坐标是轴对称的点的坐标是（-x,-y）（即中心对称）（即中心对称）这里的关键是要让学生感受图形轴这里的关键是要让学生感受图形轴对称之后点的坐标的变化，对称之后点的坐标的变化，把把“形形”和和“数数”紧密的结合在一起，把坐标紧密的结合在一起，把坐标思想和图形变换的思想联系起来思想和图形变换的思想联系起来。5012.3 12.3 等腰三角形等腰三角形1、等腰三角形的等腰三角形的对称轴对称轴与与“三线合一三线合一”性质性质2、等腰三角形性质、判定与全等三角形等腰三角形性质、判定与全等三角形3、等边三角形与等腰三角形的关系及其轴对称、等边三角形与等腰三角形的关系及其轴对称性（直角三角形的性质
25、）性（直角三角形的性质）4、文字命题的证明步骤、文字命题的证明步骤5、三角形中边与角不等关系的探究：三角形中边与角不等关系的探究：“不等不等”问题转化成问题转化成“相等相等”的问题的问题5112.3 12.3 等腰三角形等腰三角形1、等腰三角形的等腰三角形的对称轴对称轴与与“三线合一三线合一”性质性质2、等腰三角形性质、判定与全等三角形等腰三角形性质、判定与全等三角形3、等边三角形与等腰三角形的关系及其轴对称、等边三角形与等腰三角形的关系及其轴对称性（直角三角形的性质）性（直角三角形的性质）4、文字命题的证明步骤、文字命题的证明步骤5、三角形中边与角不等关系的探究：三角形中边与角不等关系的探究
26、：“不等不等”问题转化成问题转化成“相等相等”的问题的问题52 实际上借助等腰三角形的相关问题的处理实际上借助等腰三角形的相关问题的处理给我们指明了学习几何知识的一般思路：给我们指明了学习几何知识的一般思路：即先即先学习一般图形，然后再学习具有某些特殊性质学习一般图形，然后再学习具有某些特殊性质的图形，进而借助特殊图形的特殊性去研究一的图形，进而借助特殊图形的特殊性去研究一般的图形问题般的图形问题53 54 5556 CAB5712.3 12.3 等腰三角形等腰三角形1、等腰三角形的等腰三角形的对称轴对称轴与与“三线合一三线合一”性质性质2、等腰三角形性质、判定与全等三角形等腰三角形性质、判定与全等三角形3、等边三角形与等腰三角形的关系及其轴对称、等边三角形与等腰三角形的关系及其轴对称性（直角三角形的性质）性（直角三角形的性质）4、文字命题的证明步骤、文字命题的证明步骤5、三角形中边与角不等关系的探究：三角形中边与角不等关系的探究：“不等不等”问题转化成问题转化成“相等相等”的问题的问题5812.1 轴对称轴对称12.2 作轴对称图形作轴对称图形 12.3 等腰三角形等腰三角形题型特点题型特点:59
