1、第五章定积分 积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分目录 上页 下页 返回 结束 第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义三、三、定积分的近似计算定积分的近似计算定积分的概念及性质 第五五章 四、四、定积分的性质定积分的性质目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成,求其面积 A.?A)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bahyOxab目录 上页 下页 返回 结束 1xix1ixxabyO解决步骤解决步骤:1)大化
2、小大化小.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2,1,nii目录 上页 下页 返回 结束 3)近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4)取极限取极限.令,max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyOi目录 上页 下页 返回 结束 2.变速直线运动的路程变速直线运动的路
3、程设某物体作直线运动,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.,1iiitt任取将它分成,),2,1(,1nittii在每个小段上物体经2)常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2,1(nisi),2,1(ni已知速度n 个小段过的路程为目录 上页 下页 返回 结束 3)近似和近似和.iniitvs1)(4)取极限取极限.iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘
4、积和式的极限目录 上页 下页 返回 结束 Oab x二、定积分定义二、定积分定义(P225),)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f(x)在 a,b 上可积可积.记作目录 上页 下页 返回 结束 baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数
5、及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(目录 上页 下页 返回 结束 定积分的几何意义定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和AO目录 上页 下页 返回 结束 O1 xyni可积的充分条件可积的充分条件:nix1,nii取),2,1(ni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点(证明略)例例1.利用定义计算定积分.d
6、102xx解解:将 0,1 n 等分,分点为niix),1,0(ni.,)(可积在baxf2xy iiiixxf2)(则32ni目录 上页 下页 返回 结束 iinixf)(1niin1231)12)(1(6113nnnn)12)(11(61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11(61nn注注注 O1 xyni2xy 注.当n 较大时,此值可作为 的近似值xx d102注注 利用,133)1(233nnnn得133)1(233nnnn1)1(3)1(3)1(233nnnn1131312233两端分别相加,得1)1(3n)21(3nn即nnn3323nii12332)1
7、(nnnnii1261)12)(1(nnn)21(3222n目录 上页 下页 返回 结束 121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2.用定积分表示下列极限:ninnin111lim)1(121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim)1(nninin11lim1iixxxd110Ox1ni 1ni目录 上页 下页 返回 结束 三、定积分的近似计三、定积分的近似计算算,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:),1,0(nixiaxi,nabx),1,0()(niyxfii记baxxfd)(xyxyxyn1
8、10)(110nnabyyy将 a,b 分成 n 等份:Oabxyix1ix1.左矩形公式)(21nnabyyybaxxfd)(xyxyxyn21例12.右矩形公式目录 上页 下页 返回 结束 baxxfd)(xyyii211)()(21110nnyyyynab11niabxOyix1ixayObx12 ixix222 ixmx20 xbaxxfd)(imiimimyyyymab21112120246推导推导3.梯形公式4.抛物线法公式抛物线法公式的推导抛物线法公式的推导baxxfd)(等分，分成将mnba2,xyyyiii2)4(6121222)4(621222iiiyyymab上作抛物线(
9、如图)4(6212221iiimiyyymabimiimimyyyymab21112120246,222iixx在ayObx12 ixix222 ixmx20 x则以抛物线为顶的小曲边梯形面积经推导可得：目录 上页 下页 返回 结束 例例3.用梯形公式和抛物线法公式xxId14102解解:计算yi(见右表)的近似值.13993.3I14159.3Iixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.000
10、00(取 n=10,计算时取5位小数)用梯形公式得用抛物线法公式得积分准确值为1204d3.14159261Ixx计算定积分目录 上页 下页 返回 结束 四、定积分的性质四、定积分的性质(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(.10d)(aaxxfbaxd.2xxfkxxfkbabad)(d)(.3(k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(.4证证:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010=右端ab目录 上页 下页 返回 结束 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(.5证证:当bca时,因)(
11、xf在,ba上可积,所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点,于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixf0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(abc目录 上页 下页 返回 结束 abc当 a,b,c 的相对位置任意时,例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(目录 上页 下页 返回 结束 6.若在 a,b 上0)(1iinixf则.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1.若在 a,b 上,)()(xgxf则xxf
12、bad)(xxgbad)(目录 上页 下页 返回 结束 推论推论2.xxfbad)(xxfbad)(证证:)(xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7.设,)(min,)(max,xfmxfMbaba则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.试证:.2dsin120 xxx证证:设)(xf,sinxx则在),0(2上,有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2,1)(xf),0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin
13、120 xxx目录 上页 下页 返回 结束 8.积分中值定理积分中值定理,)(baCxf若则至少存在一点,ba使)(d)(abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质性质7 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.性质7 目录 上页 下页 返回 结束 Oxbay)(xfy 说明说明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(
14、1lim1niinfn目录 上页 下页 返回 结束 例例5.计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.解解:已知自由落体速度为tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01TOtgv vTt221TgS 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.定积分的定义 乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算抛物线法公式目录 上页 下页 返回 结束 OxO1xn1n2nn 1思考与练习思考与练习1.用定积分表示下述极限:nnnnnIn)1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnkI1n0ds
15、in1xxnn2nn)1(或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:如何用定积分表示下述极限 nnnnnnIn)1(sinsin2sin1lim提示提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnnn)1(sin1lim0dsin1xx极限为 0!目录 上页 下页 返回 结束 2.P235 题33.P236 题13(2),(4)题13(4)解解:设,)1ln()(xxxf则xxf111)(1,0(x,0)(xf 1,0(,0)0()(xfxf0d)(10 xxf即xxxxd)1(lnd1010目录 上页 下页 返回 结束 作业作
16、业 P235 *2(2);6 ;7;10(3),(4);12(3);13(1),(5)第二节 目录 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 一、引例一、引例 第二节微积分的基本公式 第五五章 目录 上页 下页 返回 结束 一、引例一、引例 在变速直线运动中,已知位置函数)(ts与速度函数)(tv之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔,21TT内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.)()(的原函数是这里tvts目录 上页 下页 返回 结束)(xxhx
17、二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数,)(baCxf则变上限函数xattfxd)()(证证:,bahxx则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理定理1.若.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxf)(xfy xbayO目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2)其他变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.)()(d)(ddxxtt
18、fx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx目录 上页 下页 返回 结束)sin(e2cosxx例例1.求0limxtxtde1cos22x解解:原式0limx00 x2e21说明 例例2.确定常数 a,b,c 的值,使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c.0 b00原式=)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0,故.1a又由221cos1xx,得.21c洛洛洛洛目录 上页 下页 返回 结束 ttf txfxd)()(0例例3.,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(
19、xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调递增函数.证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证0)(xF 20d)(ttfxxfx)()()(xf)0(x目录 上页 下页 返回 结束 三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼茨公式)证证:根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令,)(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa,
20、bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba记作)(xFab)(xFab定理定理2.函数,则或目录 上页 下页 返回 结束 例例4.计算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213)1arctan(3arctan3127例例5.计算正弦曲线轴所围成上与在xxy,0sin的面积.解解:0dsinxxAxcos01()12)4(Oyxxysin目录 上页 下页 返回 结束 例例6.汽车以每小时 36 km 的速度行驶,速停车,52m/sa 解解:设开始刹车时刻为,0t则此时刻汽车速度0v10()m/s36 10003600()m/s刹车后汽车减速行驶,其速度为tavtv0)(t510当
21、汽车停住时,0)(tv即,0510 t得(s)2t故在这段时间内汽车所走的距离为20d)(ttvs20d)510(tt22510tt(m)100236()km/h刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离?目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结,)()(,)(xfxFbaCxf且设则有1.微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛顿 莱布尼茨公式2.变限积分求导公式 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业第三节 P243 3;4;5(3);6(8),(11),(12);9(2);12目录 上页 下页 返回 结束 3
22、234)(2xxxf备用题备用题解解：1.设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定积分为常数,d)(10axxf设bxxf20d)(abxxxf2)(2,则10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故应用积分法定此常数.目录 上页 下页 返回 结束 2.设证证：,dsin,dtan0302xxtttt试证:当 0limxxxxxx21023sin2tanlim 目录 上页 下页 返回 结束 0 x时,=o().xxxxx210232limxxx21202lim0所以 =o().xxxxxs
23、intan0时洛目录 上页 下页 返回 结束 3.求解解:由于20dsin2sinxxnxIn的递推公式(n为正整数).,dsin)1(2sin201xxxnIn因此1nnII20d)12cos(2xxn20dsinsin)12cos(2xxxxn12)1(21nn1nnII12)1(21nn所以),3,2(n2dcos2201xxI其中目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五五章 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元
24、法一、定积分的换元法 定理定理1.设函数,)(baCxf单值函数)(tx满足:1),)(1Ct 2)在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数,因此有则baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t则目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1)当 1 时收敛;p1 时发散.,因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为;11pap当 p1 时,反常积分发散.目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算反常积分.)0(de
25、0ptttp解解:tppte原式00de1tptptppe12021p目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴,y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1(2lim02xy1A1xyO目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2.设,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfbad)(发散.类似地,若,),)(baCxf而在 b 的左邻域内
26、无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f(x)在 a,b 上的反常积分,则定义则称此极限为函 记作目录 上页 下页 返回 结束 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点(奇点奇点).例如,xxxd11112xxd)1(11间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义目录 上页 下页 返回 结束
27、 注意注意:若瑕点,)()(的原函数是设xfxF计算表达式:xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则,),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?目录 上页 下页 返回 结束 112dxx211111x下述解法是否正确:,积分收敛例例4.计算反常积分.)0(d022axaxa解解:显然瑕点为 a,所以原式0arcsinaax1arcsin2例例5.讨论反常积分112dxx的收敛性.解解:112dxx012dxx102dxx
28、101x011x所以反常积分112dxx发散.目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明反常积分baqaxx)(d证证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1 时发散.baaxxdbaax ln当 q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当 q 0;(2)在(a,b)内存在点,使)(2d)(22fxxfabba(3)在(a,b)内存在与 相异的点,使 baxxfaabfd)(2)(22(2003 考研)目录 上页 下页 返回 结束 证证:(1),)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.，又0)
29、(xf所以f(x)在(a,b)内单调增,因此),(,0)()(baxafxf(2)设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa,0)()(xfxg则)(),(xgxF故满足柯西中值定理条件,于是存在 使),(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2目录 上页 下页 返回 结束 即)(2d)(22fttfabba(3)因 0)()(ff)()(aff在a,上用拉格朗日中值定理),(),()(aaf代入(2)中结论得)(2d)(22afttfabba因此得 baxxfaabfd)(2)(22例16 题目录 上页 下页 返回 结束)(xf例例17.设,)(baCxf证证:设且试证:,0)(xf2)()(dd)(abxfxxxfbabattfxFxad)()(xatft)(d则)(xF)(1xf)(2axxa)(tf)(tftd2ttfxftfxfxad)()()()(20)(,xfax0故 F(x)单调不减,0)()(aFbF即 成立.)(xf)(xfxattfd)(xatft)(d2)(ax 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P269 4(1),(2);7;8(1);10(2),(5),(9);13第四节
