1、 再长的路，一再长的路，一步步也能走完，再步步也能走完，再短的路不迈开双脚短的路不迈开双脚也无法到达。也无法到达。已经进入高二已经进入高二的同学们，希望你的同学们，希望你们能走好自己的人们能走好自己的人生道路。生道路。让我们伴随这让我们伴随这些大学带给我们的些大学带给我们的直观印象走向它们，直观印象走向它们，走向成功。走向成功。武汉大学武汉大学-校园一角校园一角名名校校一览 再长的路，一再长的路，一步步也能走完，再步步也能走完，再短的路不迈开双脚短的路不迈开双脚也无法到达。也无法到达。已经进入高二已经进入高二的同学们，希望你的同学们，希望你们能走好自己的人们能走好自己的人生道路。生道路。让我们
2、伴随这让我们伴随这些大学带给我们的些大学带给我们的直观印象走向它们，直观印象走向它们，走向成功。走向成功。武汉大学武汉大学-环境优美环境优美名名校校一览 再长的路，一再长的路，一步步也能走完，再步步也能走完，再短的路不迈开双脚短的路不迈开双脚也无法到达。也无法到达。已经进入高二已经进入高二的同学们，希望你的同学们，希望你们能走好自己的人们能走好自己的人生道路。生道路。让我们伴随这让我们伴随这些大学带给我们的些大学带给我们的直观印象走向它们，直观印象走向它们，走向成功。走向成功。武汉大学武汉大学-历史悠久历史悠久名名校校一览 再长的路，一再长的路，一步步也能走完，再步步也能走完，再短的路不迈开双
3、脚短的路不迈开双脚也无法到达。也无法到达。已经进入高二已经进入高二的同学们，希望你的同学们，希望你们能走好自己的人们能走好自己的人生道路。生道路。让我们伴随这让我们伴随这些大学带给我们的些大学带给我们的直观印象走向它们，直观印象走向它们，走向成功。走向成功。武汉大学武汉大学-万里雪飘万里雪飘名名校校一览已知边已知边a,b和角，求其他边和角和角，求其他边和角为锐角为锐角absinA无解无解a=bsinA一解一解bsinAab一解一解ab无解无解babaabababab处理作业处理作业1 1、了解用勾股定理与向量法证明、了解用勾股定理与向量法证明 余弦定理的过程余弦定理的过程2 2、掌握余弦定理以
4、及它的推论、掌握余弦定理以及它的推论3 3、能用余弦定理及推论解三角形，、能用余弦定理及推论解三角形，并简单判断三角形形状并简单判断三角形形状正弦定理：CcBbAasinsinsinR2可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。CRcBRbARasin2,sin2,sin2变型：BAbaBACBAcbasinsinsin:sin:sin:思考：思考：如果在一个三角形中，已知如果在一个三角形中，已知两边及这两边的夹角两边及这两边的夹角，能，能否用正弦定理解这个三角形，为什么？否用正弦定理解这个三角形，为什么？在锐角三角形在锐角三角形ABC中，已知中，已知A
5、B=c,AC=b和和A,求求aABCcba222CDBDa22(sin)(cos)bAc bA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：同理有：2222cosacBacb2222cosabCcabD学生活动学生活动在钝角三角形在钝角三角形ABC中，已知中，已知BC=a,AC=b和钝角和钝角C,求求c在直角三角形在直角三角形ABC中，已知中，已知AB=c,AC=b和直角和直角A,求求a当角C为钝角时证明：过A作AD CB交BC的延长线于D在Rt 中ACDCACCACCDCACCACADcos)180cos(sin)180sin(在 中CACCBCBACCACCA
6、CCBCBCACCDCBCACBDADABcos2coscos2sin)()sin(222222222222Cabbaccos2222bAacCBRt ABDD DCBAcab探探 究究：若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C，a,b,a,b,求边求边 c.c.cABbCAaCB,设设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bacAbccbacos2222CBAcabBaccabcos2222余弦定理余弦定理Abccbacos2222babbaa2Cabb
7、acos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222探探 究究：若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C，a,b,a,b,求边求边 c.c.cABbCAaCB,设设bac向量法向量法)()(babaccc2余弦定理余弦定理Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推论：推论：C CB BA Ab ba ac c问题问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，
8、余弦勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广定理是勾股定理的推广.问题问题2：公式的结构特征怎样？公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美）轮换对称，简洁优美;剖剖 析析 定定 理理（2）每个等式中有同一个三角形中的）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一四个元素，知三求一.（方程思想）（方程思想）2 22 22 2-c c=a a+b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2-a a=b b+c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2-b b=a a+c c2 2a ac cc co os sB B（3 3）已知）已知a a
9、、b b、c c（三边），可（三边），可以求什么？以求什么？bcacbA2cos222acbcaB2cos222222090cbaA 222090cbaA 222090cbaA 剖剖 析析 定定 理理abcbaC2cos222（1）已知三边求三个）已知三边求三个角；角；2 22 22 2b b+c ca ac c o o s s A A=-2 2 b b c c2 22 22 2a a+c cb bc c o o s s B B=-2 2 a a c c2 22 22 2a a+b bc cc c o o s s C C=-2 2 a a b b问题问题3：余弦定理在解三角形中的作用余弦定理在
10、解三角形中的作用是什么？是什么？（2）已知两边和它）已知两边和它们的夹角，求第三们的夹角，求第三边和其他两个角边和其他两个角.2 22 22 2-c c=a a+b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2-a a=b b+c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2-b b=a a+c c2 2a ac cc co os sB B剖剖 析析 定定 理理应应 用用 定定 理理一、已知三角形的两边及夹角求解三角形的值和边、求角中，已知、在例aCBAcb,30,32,3ABC1Abccbacos2222解：由余弦定理知，3a得由正弦定理BbAasinsi
11、n233213sinBsinaAb330cos323232322C CA AB Ba ab bc c60,Bcb90180CBA_,60,1,31aAcb则、若_AC,43cos1BC2ABABC2则，中，、在C72变式：C CB BA Ab ba ac c例例2 2、在、在ABCABC中，已知中，已知a=,b=2,c=,a=,b=2,c=,解三角形解三角形(依次求解依次求解A A、B B、C).C).解：由余弦定理得解：由余弦定理得22222223161222 231()()cos()bcaAbc 60A45B180180604575CAB631二、已知三角函数的三边解三角形22)13(62
12、2)13()6(2cos222222acbcaB_,2,1,3.1AcbaABC则中，若在三角形30120.13545.60._,.2222DCBACabbcaABC或的大小为则角中，在三角形60变式：A60212cos2cos222222CababCabbcaabcbaC解析：C CB BA Ab ba ac c 由推论我们能判断三角形的角的情况吗由推论我们能判断三角形的角的情况吗?bcacbA2cos222推论：推论：C CB BA Ab ba ac c提炼：设提炼：设a是最长的边，则是最长的边，则ABC是钝角三角形0222acbABC是锐角三角形0222acbABC是直角三角形0222a
13、cb例3、在ABC中，若，则ABC的形状为（）222cba、钝角三角形、直角三角形、锐角三角形、不能确定那 呢?222cba三、判断三角形的形状三角形三边长分别为三角形三边长分别为4,6,84,6,8，则此三角形为（，则此三角形为（）、钝角三角形、钝角三角形 、直角三角形、直角三角形、锐角三角形、锐角三角形 、不能确定、不能确定01201、在、在ABC中，已知中，已知sinA：sinB：sinC5：7：8，则则B Bacacbcos2222 解解：022260cos8287cc31021362121 BacSBacSABCABCsinsin或或练习练习CA201练习练习小结小结:222co s
14、2bcaAb c222cos2cabBca222cos2abcCab 余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1 1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2 2、已知三边求三个角；、已知三边求三个角；3 3、判断三角形的形状、判断三角形的形状Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理：余弦定理：推论推论:已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法一边和二角一边和二角(如如a,B,C)正弦定理正弦定理由由A+B+C=180求角求角A,由正由正弦定理求出弦定理求出b与与c两边和夹角两边和夹角(如如a,b,C
15、)余弦定理余弦定理由余弦定理求出第三边由余弦定理求出第三边c，再，再由正弦定理求出剩下的角由正弦定理求出剩下的角两边和其中两边和其中一边的对角一边的对角(如如a,b,A)正弦定理正弦定理由正弦定理求出角由正弦定理求出角B,再求角再求角C,最后求出最后求出 c边边.可有两解可有两解,一解一解或无解或无解.三边三边(a,b,c)余弦定理余弦定理先由余弦定理求出其中两个先由余弦定理求出其中两个角角,再利用内角和为再利用内角和为180求出求出第三个角第三个角.解三角形的四种基本类型：解三角形的四种基本类型：（1）若）若A为直角，则为直角，则a=b+c（2）若）若A为锐角，则为锐角，则a b+c由由a2
16、=b2+c22bccosA可得可得利用余弦定理可判断三角形的形状利用余弦定理可判断三角形的形状.三、新课讲解三、新课讲解1.7106.ABCabcABC在在中中，已已知知，试试判判断断练练：的的形形状状习习钝角三角形钝角三角形2.在锐角三角形三条边的长度分别为在锐角三角形三条边的长度分别为2、3、x，试求，试求x的取值范围的取值范围.(5,13)变式：变式：若该三角形是钝角三角形呢？若该三角形是钝角三角形呢？(1,5,)(13,5)例题3二、练习二、练习（08辽宁）在辽宁）在 ABC中，内角中，内角A、B、C对边的边长分别对边的边长分别是是 a、b、c已知已知 c2，C （）若）若ABC的面积
17、等于的面积等于 ，求，求 a、b；（）若）若 ，求，求 ABC的面积的面积33sinsin()2sin2CBAA(1)3ABC解：的面积为1sin342Sabcab即 224abab由余弦定理及条件可得：224224abababab，联立方程组解得 ，sin()sin()4sincosBABAAA解:(2)sincos2sincosBAAA4 32 3cos0A2633ABab当时,，12 3sin23ABCSabC的面积为二、练习二、练习（08辽宁）在辽宁）在 ABC中，内角中，内角A、B、C对边的边长分别对边的边长分别是是 a、b、c已知已知 c2，C （）若）若ABC的面积等于的面积等于
18、 ，求，求 a、b；（）若）若 ，求，求 ABC的面积的面积33sinsin()2sin2CBAA二、练习二、练习（08辽宁）在辽宁）在 ABC中，内角中，内角A、B、C对边的边长分别对边的边长分别是是 a、b、c已知已知 c2，C （）若）若ABC的面积等于的面积等于 ，求，求 a、b；（）若）若 ，求，求 ABC的面积的面积33sinsin()2sin2CBAAsin()sin()4sincosBABAAA解:(2)sincos2sincosBAAAcos0sin2sinABA当时,可得2ba 2242 34 3332abababba，联立方程组解得，12 3sin23ABCSabC的面积
19、为AC45352545.19619619698ABCD9 29 29 22 2.2489ABCD13二、练习二、练习4.在在ABC,B=30o,AB=,面积面积S=,则则AC=_.2 333.在在ABC中，若中，若A=120，c=5，b=3，则，则sinBsinC=()2.ABC的两边长为的两边长为2，3，其夹角的余弦为，其夹角的余弦为 ，则其外，则其外接圆的半径为接圆的半径为()1.在在ABC中，已知中，已知 ，则，则ABC中的最小内角的度数是（中的最小内角的度数是（）A60 B45 C30 D1523sinsin,334,332BCbaC2（2009 天津卷理）天津卷理）在在ABC 中，中
20、，BC=5，AC=3，sinC=2sinA (I)求求 AB 的值：的值：(II)求求 sin24A的值的值 五、作业五、作业（2009 浙江理）浙江理）在在ABC中，角中，角,A B C所对的边分别所对的边分别为为,a b c，且满足，且满足2 5cos25A,3AB AC .（I）求求ABC的面积；的面积；（II）若）若6bc，求，求a的的值值 1.2.（2009 浙江理）浙江理）在在ABC中，角中，角,A B C所对的边分别所对的边分别为为,a b c，且满足，且满足2 5cos25A,3AB AC .（I）求求ABC的面积；的面积；（II）若）若6bc，求，求a的的值值（2009 浙江
21、理）浙江理）在在ABC中，角中，角,A B C所对的边分别所对的边分别为为,a b c，且满足，且满足2 5cos25A,3AB AC .（I）求求ABC的面积；的面积；（II）若）若6bc，求，求a的的值值 的值。求中，在CabBcaAbccbaABCcoscoscos,6,4,3.1abcbaabacbcaacbcacbbc222222222222解：原式2222cba261。求且满足BacacbABCcos,2,.22acb 2解：acbcaB2cos222222aaa2222424aaaa434322aa的度数。求此三角形的最大内角的三边满足若,3.3222abcbaABC,3222a
22、bcba解：由已知得：abcbaC2cos222150C此三角形最大的内角为,2323abab。求中，若在ABCbcbaABC,sin32sin,3.522,32sin32sinbcBC可得解：由bcacbA2cos222由余弦定理得bccba2)(222bccbc23222234126bbb.2334630A-。求角）（）中，已知（在CBACBACBAABC.sinsin3sinsinsinsinsinsin.6解：由正弦定理得：,3)(abcbacba）化简得：（,223)222)(222(RRabRcRbRaRcRbRa,3)(22abcbaabcbaC2cos222再由余弦定理得：.2
23、22abcba.212abab60C531.cos,cos135(1)sin(2)5,ABCABCBCABC 在 中，求 的值；设求的面积2.,tan3 7(1)cos5(2),9,2ABCA B Ca b cCCCB CAabc 在 中，角的对边分别为且求 设且求 例例3 在在ABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC=,求最大角的余弦值求最大角的余弦值.分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角个角是最大角.由大边对大角，已知两边可求由大边对大角，已知两边可求出第三边出第三边,找到最大角找到最大角.2222c o sa bCbca221
24、 31 4278987，解：解：3.c 则则b是最大边，那么是最大边，那么B 是最大角是最大角.222222.73822 3 71cos7acbacB 1314 例例4 一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为 （）.A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6分析：分析：要看哪一组符合要看哪一组符合 要求，只需检验哪一个选项要求，只需检验哪一个选项 中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。B中：中：，所以所以C是钝角是钝角.2220132442 2 3cosC D中：中：，所以，所以C是锐角
25、是锐角.因此以因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形为三边长的三角形是锐角三角形.222156482 4 5cosC 解：解：A、C显然不满足显然不满足.变式训练3(2019辽宁卷)在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状已知条件已知条件应用定应用定理理一般解法一般解法一边和两角一边和两角(如如a，B，C)正弦定正弦定理理由由ABC180，求角，求角A；由正弦；由正弦定理求出定理求出b与与c.在有解时只有一解在有解时只有一解两边和夹角两边和夹角(如如a，b，C)余弦定
26、余弦定理正弦理正弦定理定理由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c；由正弦定理求；由正弦定理求出小边所对的角；再由出小边所对的角；再由ABC180求出另一角在有解时只有一解求出另一角在有解时只有一解三边三边(a，b，c)余弦定余弦定理理由余弦定理求出角由余弦定理求出角A、B；再利用；再利用ABC180，求出角，求出角C.在有解时只有一解在有解时只有一解两边和其中一边两边和其中一边的对角的对角(如如a，b，A)正弦定正弦定理余弦理余弦定理定理由正弦定理求出角由正弦定理求出角B；由；由ABC180，求出角，求出角C；再利用正弦定理或；再利用正弦定理或余弦定理求余弦定理求c.可有两解、一解或无解可有两解、一解或无解.
