1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一节 数列的概念与简单表示法 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解数列的概念和几种简单的表示方法 (列表、图像、通项公式 ).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 (对应学生用书第 79 页 ) 基础知识填充 1数列的概念 (1)数列的定义：按照 一定次序 排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的 项 (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 N (或它的有限子集 )为 定义域 的函数 an f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 (3)函数有三种表 示示，它们分别是 列表法 、 图像法 和 通
2、项公式法 2数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数 有限 无穷数列 项数 无限 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 an 1 an 其中 n N 递减数列 an 1 an 常数列 an 1 an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数 M，使 |an| M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列 an的第 n项 an与 n之间的函数关系可 以用一个式子 an f(n)来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应的函数解析式 (2)递推公式：如果已知数列 an
3、的第 1 项 (或前几项 )，且从第二项 (或某一项 )开始的任一项 an与它的前一项 an 1(或前几项 )间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式 知识拓展 1若数列 an的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 an? S1， n 1，Sn Sn 1， n2. 2在数列 an中，项 an最大，则? an an 1，an an 1. 若 an最小，则? an an 1，an an 1. 3数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是
4、数列 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)相同的一组数按不同顺序排列 时都表示同一个数列 ( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的 ( ) (3)所有数列的第 n 项都能使用公式表达 ( ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个 ( ) (5)如果数列 an的前 n 项和为 Sn，则对任意 n N ，都有 an 1 Sn 1 Sn.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2已知数列 an的通项公式为 an n2 8n 15，则 3( ) A不是数列 an中的项 B只是数列 an中的第 2 项 C只是
5、数列 an中的第 6 项 D是数列 an中的第 2 项或第 6 项 D 令 an 3，即 n2 8n 15 3，解得 n 2 或 6， 故 3 是数列 an中的第 2 项或第 6 项 3设数列 an的前 n 项和 Sn n2，则 a8的值为 ( ) A 15 B 16 C 49 D 64 A 当 n 8 时， a8 S8 S7 82 72 15. 4在数列 an中， a1 1， an 1 ( 1)nan 1 (n2) ，则 a5等于 ( ) A 32 B 53 C 85 D 23 D a2 1 ( 1)2a1 2， a3 1( 1)3a2 12， =【 ;精品教育资源文库 】 = a4 1 (
6、 1)4a3 3， a5 1( 1)5a4 23. 5 (教材改编 )数列 1， 23， 35， 47， 59， ? 的一个通项公式 an是 _ n2n 1 由已 知得，数列可写成11，23，35， ? ，故通项为n2n 1. (对应学生用书第 80 页 ) 由数列的前几项归纳数列的通项公式 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9， ? ； (2) 112 ， 123 ， 134 ， 145 ， ? ； (3)12， 2， 92， 8， 252 ， ? ； (4)5,55,555,5 555， ?. 解 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an 2n 1. (2)这个数列的前
7、4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是 an ( 1)n 1n(n 1)， n N . (3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即12，42，92，162 ，252 ， ? ，分子为项数的平方 ，从而可得数列的一个通项公式为 ann22. (4)将原数列改写为 599 ， 5999 ， 59999 ， ? ，易知数列 9,99,999， ? 的通项为 10n 1，故所求的数列的一个通项公式为 an 59(10n 1) 规律方法 1.求数列通项时，要抓住以下几个特征： 分式中分子、分母的特征 . 相邻项
8、的变化特征 . 拆项后变化的部分和不变的部分的特征 . 各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、 联想 . 2.若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸显出来 .对于=【 ;精品教育资源文库 】 = 正负符号变化，可用 n或 n 1来调整，可代入验证归纳的正确性 . 跟踪训练 (1)已知 n N ，给出 4 个表达式： an? 0， n为奇数；1， n为偶数； an 1 ( 1)n2 ； an 1 cos n2 ； an ? ?sinn2 .其中能作为数列： 0,1,0,1,0,1,0,1， ? 的通项公式的是 ( ) A B C D (2)数列 an的前 4 项是 3
9、2， 1， 710， 917，则这个数列的一个通项公式是 an _. (1)A (2)2n 1n2 1 (1)检验知 都是所给数列的通项公式 (2)数列 an的前 4 项可变形为 21 112 1 ， 22 122 1 ， 23 132 1 ， 24 142 1 ，故 an 2n 1n2 1. 由 an与 Sn的关系求通项 an 已知下面数列 an的前 n 项和 Sn，求 an的通项公式： (1)Sn 2n2 3n； (2)Sn 3n b. 解 (1)a1 S1 2 3 1， 当 n2 时， an Sn Sn 1 (2n2 3n) 2(n 1)2 3(n 1) 4n 5， 由于 a1也适合此等
10、式， an 4n 5. (2)a1 S1 3 b， 当 n2 时， an Sn Sn 1 (3n b) (3n 1 b) 23 n 1. 当 b 1 时， a1适合此等式 当 b 1 时， a1不适合此等式 当 b 1 时， an 23 n 1； 当 b 1 时， an? 3 b， n 1，23 n 1， n2. 规律方法 已知 Sn求 an的三个步骤 =【 ;精品教育资源文库 】 = 先利用 a1 S1求出 a1. 用 n 1 替换 Sn中的 n 得出 Sn 1，利用 an Sn Sn 1 n 便可求出当 n2 时 an的表达式 . 看 a1是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以
11、把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段函数的形式 . 易错警示：利用 an Sn Sn 1求通项时，应注意 n2 这一前提条件，易忽视验证 n 1 致误 . 跟踪训练 (1)(2017 石家庄质检 (二 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sn 2an4(n N )，则 an ( ) 【导学号： 79140166】 A 2n 1 B 2n C 2n 1 D 2n 2 (2)(2015 全国卷 ) 设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 a1 1， an 1 SnSn 1，则 Sn _. (1)A (2) 1n (1)由 Sn 2an 4 可得 Sn 1 2an 1 4(n2)
12、，两式相减可得 an 2an2an 1(n2) ，即 an 2an 1(n2) 又 a1 2a1 4， a1 4， 数列 an是以 4 为首项， 2为公比的等比数列，则 an 42 n 1 2n 1，故选 A (2) an 1 Sn 1 Sn， an 1 SnSn 1， Sn 1 Sn SnSn 1. Sn0 ， 1Sn 1Sn 1 1，即 1Sn 1 1Sn 1. 又 1S1 1， ? ?1Sn是首项为 1，公差为 1 的等差数列 1Sn 1 (n 1)( 1) n， Sn 1n. 由递推关系式求数列的通项公式 分别求出满足下列条件的数列的通项公式 (1)a1 2， an 1 an 3n 2
13、(n N )； (2)a1 1， an nn 1an 1(n2 ， n N )； (3)a1 1， an 1 3an 2(n N ) 解 (1) an 1 an 3n 2， an an 1 3n 1(n2) ， =【 ;精品教育资源文库 】 = an (an an 1) (an 1 an 2) ? (a2 a1) a1 n(3n 1)2 (n2) 当 n 1 时， a1 12(31 1) 2 符合公式， an 32n2 n2. (2)当 n2 ， n N 时， an a1 a2a1 a3a2? anan 1 1 21 32? n 2n 3 n 1n 2 nn 1 n， 当 n 1 时，也符合上
14、式， 该数列的通项公式为 an n. (3) an 1 3an 2， an 1 1 3(an 1)， 又 a1 1， a1 1 2， 故数列 an 1是首项为 2，公比为 3 的等比数列， an 1 23 n 1，因此 an 23 n 1 1. 规律方法 由 数列的递推关系求通项公式的常用方法 已知 a1，且 an an 1 f n ，可用 “ 累加法 ” 求 an. 已知 a1 a1 ，且 anan 1 f n ，可用 “ 累乘法 ” 求 an. 已知 a1，且 an 1 qan b，则 an 1 k q an k 其中 k 可由待定系数法确定 ，可转化为 an k为等比数列 . 易错警示：本题 ， 中常见的错误是忽视验证 a1是否适合所求式 . 跟踪训练 (1)在数列 an中， a1 2， an 1 an 1n(n 1)，求 an. 【导学号： 79140167】 (2)在数列 an中， a1 1， an 1 2nan，求 an. 解 (1)an (an an 1) (an 1 an 2) ? (a2 a1) a1 ? ?1n 1 1n ?1n 21n 1 ? ?1213 ?1 12 2 31n. (2)由于 an 1an 2n， 故 a2a1 21， a3a2 22， ? ， anan 1 2n
