1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解平面向量的基本定理及其意义 .2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 .3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 .4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 (对应学生用书第 71 页 ) 基础知识填充 1平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1， e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，存在唯一一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2. (2)基底： 不共线 的向量 e1， e2叫作表示这一平面内所有向量的一 组基底 2平面向量的坐标运算 (1)向
2、量加法、减法、数乘及向量的模 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b (x1 x2， y1 y2)， a b (x1 x2， y1 y2)， a (x 1， y 1)， |a| x21 y21. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 AB (x2 x1， y2 y1)， |AB | (x2 x1)2 (y2 y1)2. 3平面向量共线的坐标表示 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，其中 a 0， b 0.a， b 共线 ?x1y2 x2y1 0. 知识拓展 1若 a 与 b
3、不共线， a b 0，则 0. 2设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，如果 x20 ， y20 ，则 a b?x1x2 y1y2. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)平 面内的任何两个向量都可以作为一组基底 ( ) (2)在 ABC 中，设 AB a， BC b，则向量 a 与 b 的夹角为 ABC ( ) (3)若 a， b 不共线，且 1a 1b 2a 2b，则 1 2， 1 2.( ) (4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基=【 ;精品教育资源文库 】 = 底唯一表示 ( )
4、 (5)若 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b 的充要条件可表示成 x1x2 y1y2.( ) (6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2已知平面向量 a (2， 1)， b (1,3)，那么 |a b|等于 ( ) A 5 B 13 C 17 D 13 B 因为 a b (2， 1) (1,3) (3,2)，所以 |a b| 32 22 13. 3设 e1， e2是平面内一组基底，若 1e1 2e2 0，则 1 2 _. 0 假设 10 ，由 1e1 2e2 0，得 e1 21e2， e
5、1与 e2共线，这与 e1， e2是平面内一组基底矛盾，故 1 0，同理， 2 0， 1 2 0. 4 (2016 全国卷 ) 已知向量 a (m,4)， b (3， 2)，且 a b，则 m _. 6 a (m,4)， b (3， 2)， a b， 2m 43 0， m 6. 5 (教材改编 )已知 ?ABCD的顶点 A( 1， 2)， B(3， 1)， C(5,6)，则顶点 D的坐标为 _ (1,5) 设 D(x， y)，则由 AB DC ，得 (4,1) (5 x,6 y)， 即? 4 5 x，1 6 y， 解得 ? x 1，y 5. (对应学生用书第 72 页 ) 平面向量基本定理及其
6、应用 (1)如图 421，在三角形 ABC 中， BE 是边 AC 的 中线， O 是 BE 边的中点，若 AB a，AC b，则 AO ( ) 图 421 =【 ;精品教育资源文库 】 = A 12a 12b B 12a 13b C 14a 12b D 12a 14b (2)在平行四边形 ABCD 中， E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若 AC AE AF ，其中 ， R，则 _. (1)D (2)43 (1) 在三角形 ABC 中， BE 是 AC 边上的中线， AE 12AC . O 是 BE 边的中点， AO 12(AB AE ) 12AB 14AC 12a 14b. (
7、2)选择 AB ， AD 作为平面向量的一组基底，则 AC AB AD ， AE 12AB AD ， AF AB 12AD ， 又 AC AE AF ? ?12 AB ? ? 12 AD ， 于是得? 12 1， 12 1，解得? 23， 23，所以 43. 规律方法 平面向量基本定 理应用的实质和一般思路 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 . 用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 . 跟踪训练 如图 422，以向量 OA a， OB b 为邻边作 ?OAD
8、B， BM 13BC ， CN 13CD ，用 a，b 表示 OM ， ON ， MN . 图 422 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 BA OA OB a b， BM 16BA 16a 16b， OM OB BM 16a 56b. OD a b， ON OC 13CD 12OD 16OD 23OD 23a 23b， MN ON OM 23a 23b 16a 56b 12a 16b. 综上， OM 16a 56b， ON 23a 23b， MN 12a 16b. 平面向量的坐标运算 已知 A( 2,4)， B(3， 1)， C( 3， 4)设 AB a， BC b， CA c，且 CM
9、3c， CN 2b， (1)求 3a b 3c； (2)求满足 a mb nc 的实数 m， n； (3)求 M， N 的坐标及向量 MN 的坐标 . 【导学号： 79140151】 解 由已知得 a (5， 5)， b ( 6， 3)， c (1,8) (1)3a b 3c 3(5， 5) ( 6， 3) 3(1,8) (15 6 3， 15 3 24) (6， 42) (2) mb nc ( 6m n， 3m 8n)， ? 6m n 5， 3m 8n 5， 解得 ? m 1，n 1. (3)设 O 为坐标原点 CM OM OC 3c， OM 3c OC (3,24) ( 3， 4) (0,
10、20) M(0,20) 又 CN ON OC 2b， =【 ;精品教育资源文库 】 = ON 2b OC (12,6) ( 3， 4) (9,2)， N(9,2)， MN (9， 18) 规律方法 平面向量坐标运算的技巧 利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标 . 解题过程中，常利用 “ 向量相等，则坐标相同 ” 这一结论，由此可列方程 组 进行求解 . 跟踪训练 (1)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)， B( 1， 2)， C(3,1)，且 BC 2AD ，则顶点 D 的坐标为 ( ) A ? ?2， 72 B ? ?2， 12
11、 C (3,2) D (1,3) (2)在 ABC 中，点 P 在 BC 上，且 BP 2PC ，点 Q 是 AC 的中点，若 PA (4,3)， PQ (1,5)，则 BC ( ) A ( 2,7) B ( 6,21) C (2， 7) D (6， 21) (1)A (2)B (1)设 D(x， y)， AD (x， y 2)， BC (4,3)， 又 BC 2AD ， ? 4 2x，3 2(y 2)， ? x 2，y 72， 故选 A (2) BP 2PC ， BC 3PC 3(PA AC ) Q 是 AC 的中点， AC 2AQ ，又 AQ AP PQ ， BC 3PA 2(AP PQ
12、) ( 6,21) 平面向量共线的坐标表示 已知 a (1,0)， b (2,1) (1)当 k 为何值时， ka b 与 a 2b 共线； (2)若 AB 2a 3b， BC a mb，且 A， B， C 三点共线，求 m 的值 解 (1) a (1,0)， b (2,1)， ka b k(1,0) (2,1) (k 2， 1)， a 2b (1,0) 2(2,1) (5,2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = ka b 与 a 2b 共线， 2( k 2) ( 1)5 0， k 12. (2)AB 2(1,0) 3(2,1) (8,3)， BC (1,0) m(2,1) (2m 1， m
13、) A， B， C 三点共线， AB BC ， 8 m 3(2m 1) 0， m 32. 规律方法 1.向量共线的充要条件 a b?a b b ； a b?x1y2 x2y1 其中 a x1， y1 ， b x2， y2 当涉及向量或点的坐标问题时一般利用 比较方便 . 2.与向量共线有关的题型与解法 证三点共线：可先证明相关的两向量共线，再说明两向量有公共点； 已知向量共线，求参数：可利用向量共线的充要条件列方程 组 求解 . 跟踪训练 (1)(2018 郑州第二次质量预测 )已知 a (2， m)， b (1， 2)， 若 a( a2b)，则 m 的值是 ( ) A 4 B 1 C 0 D 2 (2)已知向量 OA (k,12)， OB (4,5)， OC ( k,10)，且 A， B， C 三点共线，则实数 k 的值是 _. 【导学号： 79140152】 (1)A (2) 23 (1)a 2b (4， m 4)，由 a( a 2b)，得 2(m 4) 4m， m 4，故选 A (2)AB OB OA (4 k， 7)， AC OC OA ( 2k， 2) A， B， C 三点共线， AB ， AC 共线， =【 ;精品教育资源文库 】 = 2(4 k) 7( 2k)， 解得 k 23.
