1、第三章第三章 控制系统的时域分析方法控制系统的时域分析方法第一节第一节 典型输入信号和时域性能指标典型输入信号和时域性能指标第二节第二节 一阶性能分析一阶性能分析第三节第三节 二阶性能分析二阶性能分析第四节第四节 高阶性能分析高阶性能分析第五节第五节 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据第六节第六节 稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算1第一节第一节 典型输入信号和时域分析法典型输入信号和时域分析法 时域分析法，时域分析法，是根据描述系统的微分方程或是根据描述系统的微分方程或传递函数，直接求解出在某种典型输入作用下系传递函数，直接求解出在某种典型输入作用下系统输出随时间统输出随时间 t t
2、 变化的表达式或其它相应的描述变化的表达式或其它相应的描述曲线来分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性。曲线来分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性。本方法是分析系统的最早、也是最基本的分析本方法是分析系统的最早、也是最基本的分析方法，时域分析法直方法，时域分析法直覌覌、物理概念清晰。、物理概念清晰。2拉氏变换式拉氏变换式ssRtr1)(1)(sAsR)(一、典型的输入信号一、典型的输入信号2.斜坡信号斜坡信号 数学表达式数学表达式)(tr000ttAt1、阶跃信号、阶跃信号 数学表达式数学表达式Atr)(0t当当A=1A=1时，称为单位阶跃信号！时，称为单位阶跃信号！32)(sAsR21)()(
3、ssRttr典型的输入信号典型的输入信号拉氏变换式拉氏变换式3、抛物线信号、抛物线信号 数学表达式数学表达式当当A=1时，称为单位抛物线信号时，称为单位抛物线信号221)(Attr当当A=1时，称为单位斜坡信号时，称为单位斜坡信号拉氏变换式拉氏变换式3)(sAsR4单位抛物线信号单位抛物线信号拉氏变换式拉氏变换式321)(21)(ssRttr4、脉冲信号、脉冲信号 数学表达式数学表达式)(trtttA000典型的输入信号典型的输入信号拉氏变换式拉氏变换式AsR)(51)()()(sRttr0sin)(ttAtr5、正弦信号、正弦信号 数学表达式数学表达式22)(sAsR拉氏变换式拉氏变换式典型
4、的输入信号典型的输入信号当当A=1时，时，称为单位理想脉冲信号称为单位理想脉冲信号6二、时域性能指标二、时域性能指标以单位阶跃信号输入时，系统输出的一些特征值来表示以单位阶跃信号输入时，系统输出的一些特征值来表示。7（1）动态性能指标）动态性能指标 上升时间上升时间trtr：响应曲线从零到第一次达到稳态值所需要的时间。：响应曲线从零到第一次达到稳态值所需要的时间。峰值时间峰值时间tptp：响应曲线从零到第一个峰：响应曲线从零到第一个峰 值所需要的时间。值所需要的时间。调节时间调节时间tsts：响应曲线从零到达并停留在稳态值的：响应曲线从零到达并停留在稳态值的 或或 误差范围所需要的最小时间。误
5、差范围所需要的最小时间。超调量超调量 ：系统在响应过程中，输出量的最大值超过稳态值：系统在响应过程中，输出量的最大值超过稳态值 的百分数。的百分数。%5%2%100)()()(%yytyp时域性能指标时域性能指标82 2）稳态性能指标）稳态性能指标 稳态性能指标用稳态误差稳态性能指标用稳态误差essess来描述，是系统控来描述，是系统控制精度或抗干扰能力的一种量度。制精度或抗干扰能力的一种量度。有关内容，本章第六节讨论！有关内容，本章第六节讨论！时域性能指标时域性能指标9一、一阶系统一、一阶系统 用一阶微分方程描述的系统。用一阶微分方程描述的系统。二、一阶系统二、一阶系统典型的典型的数学模型数
6、学模型 微分方程微分方程 传递函数传递函数 典型结构典型结构rydtdyT第二节第二节 一阶系统分析一阶系统分析11)(TssG10一阶系统分析一阶系统分析三、典型输入响应三、典型输入响应 1 1、单位阶跃响应、单位阶跃响应01)(tetyTty(t)的特点：的特点：（1）由动态分量和稳态分量两部分组成。）由动态分量和稳态分量两部分组成。（2）单调上升的指数曲线；）单调上升的指数曲线；（3）当）当t=T时，时，y=0.632；（4）曲线的初始斜率为）曲线的初始斜率为1/T。性能性能：（1）超调量）超调量 不存在不存在(0)。（2）ts=3T 或或4T。112、单位斜坡响应、单位斜坡响应0)()
7、(tTeTttyTt一阶系统分析一阶系统分析y(t)y(t)的特点：的特点：（1 1）由动态分量和稳态分量两部分组成。）由动态分量和稳态分量两部分组成。（2 2）输入与输出之间存在跟踪误差，且误差）输入与输出之间存在跟踪误差，且误差 值等于系统时值等于系统时 间常数间常数“T”T”。12一阶系统分析一阶系统分析3、单位抛物线响应、单位抛物线响应0)1(21)(22teTTtttyTt0)(tTetyTtty(t)y(t)的特点的特点：输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。系统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。4
8、、单位脉冲响应、单位脉冲响应0)(y当当时，时，13一阶系统分析一阶系统分析对一阶系统典型输入响应的对一阶系统典型输入响应的两点说明：两点说明：1 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入2 2、三种响应之间的关系：、三种响应之间的关系：系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入信号响应的微分（积分）。入信号响应的微分（积分）。例例3-1(解释解释)14第三节第三节 二阶系统分析二阶系统分析一、二阶系统一、二阶系统 用二阶微分方程描述的系统。用二阶微分方程描述的系统。二、二阶系统典型的数学模型
9、二、二阶系统典型的数学模型先看例先看例：位置跟踪系统位置跟踪系统15二阶系统分析二阶系统分析系统结构图系统结构图：微分方程微分方程：rcccKKdtdFdtdJ22kFsJskssrc2)()(闭环传递函数闭环传递函数：二阶系统！二阶系统！16二阶系统分析二阶系统分析 为了使二阶系统的分析结果具有普遍及指导意义，提出下面为了使二阶系统的分析结果具有普遍及指导意义，提出下面的数学模型，作为二阶系统的典型的数学模型：的数学模型，作为二阶系统的典型的数学模型：开环传递函数开环传递函数)2()(2nnksssG122 1nnS)2()(222nnnsss典型系统结构典型系统结构闭环传递函数闭环传递函数
10、特征方程：特征方程：特征方程的根特征方程的根：0222nnssn注注：式中式中-阻尼系数阻尼系数(比比)-无阻尼无阻尼自自振荡频率振荡频率17二阶系统分析二阶系统分析三、典型二阶系统的单位阶跃响应三、典型二阶系统的单位阶跃响应 在初始条件为在初始条件为0 0下，输入单位阶跃信号时，系统输出的拉下，输入单位阶跃信号时，系统输出的拉氏变换式为氏变换式为)2(1)()()(222nnsssssRsyn)()()()(11ssRLsyLty)2(12221nnsssLn阶跃响应为阶跃响应为二阶系统响应特性取决于阻尼系数二阶系统响应特性取决于阻尼系数 和无阻尼振荡频率和无阻尼振荡频率 两个参数！两个参数
11、！181、无阻尼、无阻尼（=0）的情况）的情况 特征根及分布情况：特征根及分布情况：阶跃响应：阶跃响应：响应曲线：响应曲线：njp2,1 ttyncos10ty(t)1二阶系统分析二阶系统分析192、欠阻尼（、欠阻尼（0 1）的情况）的情况 特征根及分布情况特征根及分布情况：np121np122 2122222pspssssssYnnnn 1112112121222ttnneetyt0y1阶跃响应：阶跃响应：响应曲线响应曲线二阶系统分析二阶系统分析22结论：结论：1 1、不同阻尼比有不同的响应、有不同的动态性能。、不同阻尼比有不同的响应、有不同的动态性能。2 2、实际工程系统中，、实际工程系统
12、中，欠阻尼情况欠阻尼情况最具有实际意义，最具有实际意义，在系统设计时，往往也按欠阻尼情况选择控制器相关在系统设计时，往往也按欠阻尼情况选择控制器相关参参 典型二阶系统的阻尼系数与单位阶跃响应，典型二阶系统的阻尼系数与单位阶跃响应，見見表表3-23-2；图；图3-113-11。二阶系统分析二阶系统分析23四、二阶系统动态特性指标四、二阶系统动态特性指标由前面知，由前面知，欠阻尼时系统的输出：欠阻尼时系统的输出：tetyntn221sin111（0 =3n=(q+2r)=3。数学模型为三阶或三阶以上的系统。数学模型为三阶或三阶以上的系统。35三、单位阶跃响应三、单位阶跃响应rknknkkkkqjj
13、jsSCSBPSASAsy122102)(tetBCteBnkrkrknkknkkknktktnkknkk211221sin11cos反变换反变换高阶系统分析高阶系统分析qjtpjjeAAty10)(y(t)分析：分析：参阅教材参阅教材36四、高阶系统的分析方法四、高阶系统的分析方法 (1)(1)、降阶、降阶(看成看成2 2阶、阶、1 1阶阶)*闭环主导极点的概念：闭环主导极点的概念：距离虚轴最近，又远离零点的闭环极点，在系统过渡距离虚轴最近，又远离零点的闭环极点，在系统过渡 过程中起主导作用，这个极点称为过程中起主导作用，这个极点称为主导极点主导极点。主导极点若以共轭形式出现，该系统可近似看
14、成二阶主导极点若以共轭形式出现，该系统可近似看成二阶系统；若以实数形式出现，该系统可近似看成一阶系统。系统；若以实数形式出现，该系统可近似看成一阶系统。(2)(2)、计算机仿真实验、计算机仿真实验高阶系统分析高阶系统分析37第五节第五节 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据一、稳定的概念及条件一、稳定的概念及条件 稳定概念：如果系统受扰动后，偏离了原来的工作状态，稳定概念：如果系统受扰动后，偏离了原来的工作状态，而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的工作状态，则称而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的工作状态，则称系统是稳定的。系统是稳定的。稳定条件：系统特征方程式所有的根都位于平面的
15、左半稳定条件：系统特征方程式所有的根都位于平面的左半平面。平面。二、判定系统稳定的方法：二、判定系统稳定的方法：代数判据代数判据 应用劳斯判据等其它代数判据。应用劳斯判据等其它代数判据。38劳斯判据：劳斯判据：1 1、先求出系统的特征方程、先求出系统的特征方程nnnnnaSaSaSa1110注意：注意：(1)s(1)s要降阶排列要降阶排列 (2)(2)所有系数必须大于所有系数必须大于0 0系统稳定的系统稳定的必要条件必要条件：特征方程所有系数均为正。：特征方程所有系数均为正。系统稳定的系统稳定的充分条件充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为
16、正。一列元素必须为正。具体步骤：具体步骤：稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据392 2、列劳斯表：、列劳斯表：注意：注意：1、共、共n+1行行 2、第、第1,2行由分程系数组成，其余行按公式计算。行由分程系数组成，其余行按公式计算。1011212432134321273116425gSfSeeSccccSbbbbSaaaaSaaaaSnnnnnnnnnnnn141713131512121311176131541213211bbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaabnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn公式：公式：稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据
17、40例：例：三阶系统特征方程式如下，求系统稳定条件三阶系统特征方程式如下，求系统稳定条件解：列劳斯表：解：列劳斯表：0322130asasasa30130213122030asaaaaasaasaas系统稳定的充分必要条件是系统稳定的充分必要条件是：0)(0,0,0,030213210aaaaaaaa稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据41四、劳斯判据的其它应用四、劳斯判据的其它应用 1.分析系统参数对稳定性的影响分析系统参数对稳定性的影响例例 系统如图所示，求使系统稳定的系统如图所示，求使系统稳定的K值的值的 范围。范围。稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据42解：系统闭环特征方程为
18、解：系统闭环特征方程为05623Ksss00630kK300 K 列劳斯表列劳斯表稳定必须满足稳定必须满足所以所以稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据KsKsKss0230630651432、确定系统的相对稳定性、确定系统的相对稳定性 稳定裕量稳定裕量：系统离稳定的边界有多少余量。也就是实部：系统离稳定的边界有多少余量。也就是实部最大的特征根与虚轴的距离。最大的特征根与虚轴的距离。*求系统有多大的稳定裕量，方法为求系统有多大的稳定裕量，方法为（1）用）用 代入特征方程代入特征方程 （2）将）将z看作新变量，用劳斯判据再次判稳，若稳定，看作新变量，用劳斯判据再次判稳，若稳定，则具有该稳定裕量
19、。则具有该稳定裕量。zs稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据例题例题(見見课本课本)44第六节第六节 稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算一、误差及稳态误差概念及定义一、误差及稳态误差概念及定义1误差：（误差：（2种定义）种定义）（1）输入端定义）输入端定义（2）输出端定义）输出端定义（3）两者之间的关系）两者之间的关系)()()()()()(sBsRsEtbtrte)()()()()()(*sYsYstytyt)()(1)(sEsHs 理想输出理想输出实际输出实际输出45 )()(1)()()(1)()()()(1)()()()()()(*sEsHsBsRsHsHsYsRsHsYsHsR
20、sYsYs*两者关系证明两者关系证明：稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算46 2、稳态误差：稳态误差：系统稳定时，误差信号的终值。用式表示系统稳定时，误差信号的终值。用式表示为为)(lim)(tett)(lim)(lim0ssEtestsse1输入信号作用下，稳态误差的计算：输入信号作用下，稳态误差的计算：方法一、拉氏变换的终值定理方法一、拉氏变换的终值定理例题例题sse=稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算二、稳态误差计算稳态误差计算47方法二、稳态误差系数法方法二、稳态误差系数法分析：分析：令令0)(sN)(11)()()(sGsRsEskrrsse考虑考虑R(s)不同时，不同时，与与
21、的关系。的关系。)(sGK)()(11lim)(lim00sRsGsssEeksrsss稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算48112122112122)12()1()12()1()(njnlllljmimkkkkiksTsTsTssssKsG设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为其中：其中：K开环放大倍数开环放大倍数；V无差度阶数无差度阶数稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算49(1)单位阶跃输入下的稳态误差单位阶跃输入下的稳态误差ssRttr1)()(1)(pKsksksrsssksGssGssRsGsssEe11)(lim111)(11lim)()(11lim)(lim0000其中
22、其中 称为称为位置误差系数位置误差系数)(lim0sGkksp稳态误差：稳态误差：稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算50201001111210lim)(lim00kkeKsKsGkpsssksp稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算位置误差系数位置误差系数51(2).单位斜坡输入下的稳态误差单位斜坡输入下的稳态误差21)()(ssRttrvksKsksksrssskssGssGsssGssRsGsssEe1)(lim1)(lim11)(11lim)()(11lim)(lim002000稳态误差稳态误差)(lim0ssGkksv稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算称为称为速度误差系数速度误差系
23、数522011012100lim)(lim00KkeKsKsssGkvsssksv稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算速度误差系数速度误差系数53(3)单位抛物线输入下的稳态误差单位抛物线输入下的稳态误差321)(21)(ssRttraksKsksksrsssksGssGssssGssRsGsssEe1)(lim1)(lim11)(11lim)()(11lim)(lim202203000)(lim20sGskksa稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算稳态误差稳态误差称为称为加速度误差系数加速度误差系数542110121000lim)(lim2020KkeKsKssGskasssksa稳态误差分
24、析及计算稳态误差分析及计算加速度误差系数加速度误差系数55r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=1/2t201/(1+K)101/K2001/K结论：结论：要消除或减小稳态误差要消除或减小稳态误差，必须针对不同的输入量来选择，必须针对不同的输入量来选择不同的系统，并且选择较大的不同的系统，并且选择较大的K值；或增加积分环节。但均必值；或增加积分环节。但均必须满足系统稳定性的要求。须满足系统稳定性的要求。上面计算归纳如下表：上面计算归纳如下表：稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算56(4)典型信号合成输入下的稳态误差典型信号合成输入下的稳态误差 稳态误差可用叠加原理求出，即分别求出系统对阶跃、
25、斜坡稳态误差可用叠加原理求出，即分别求出系统对阶跃、斜坡和抛物线输入下的稳态误差，然后将其结果叠加。和抛物线输入下的稳态误差，然后将其结果叠加。322)(21)(sCsBsAsRCtBtAtr稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算572.扰动输入信号作用下，稳态误差计算扰动输入信号作用下，稳态误差计算 分析：分析：令令0)(sR)(1)()()()()(2sGsHsGsRsEsknr)()(1)()(lim)(lim200sNsGsHsGsssEeksnsss稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算稳态误差稳态误差583.给定输入、扰动输入同时作用下的稳态误差计算给定输入、扰动输入同时作用下的稳态误
26、差计算ssnssrssssnssrsseeeeee稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算59例例 已知系统结构图如下，当已知系统结构图如下，当r(t)=n(t)=1时，求系统稳态误差。时，求系统稳态误差。稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算120s21s2Ryn60解：解：1.判断系统稳定性判断系统稳定性 特征方程特征方程 应用劳斯判据应用劳斯判据 因为系统第一列元素全为零，所以系统稳定。因为系统第一列元素全为零，所以系统稳定。04232211201)(1)(2sssssGsDk423421012sss稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算612.求给定输入下的稳态误差求给定输入下的稳态误差 方法
27、一：用终值定理方法一：用终值定理05.0422122112011lim)()()()(11)()()(0ssssesRssEsGsRsEssssrrrkrr稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算62方法二：用静态误差系数法方法二：用静态误差系数法 由于没有积分环节，所以由于没有积分环节，所以=0，系统为，系统为0型系统。型系统。)121)(1(20221120)(sssssGk05.021111Kessr两种计算方法，答案相同两种计算方法，答案相同！稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算633.求扰动输入下的稳态误差求扰动输入下的稳态误差05.042242322lim12211201221lim)
28、(lim1)(1)(2000ssssssssssEessNtnssnsssn稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算644.给定输入、扰动输入下的稳态误差给定输入、扰动输入下的稳态误差105.005.0005.005.0ssnssrssssnssrsseeeeee稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算65三、减少误差的方法三、减少误差的方法 1.增加开环放大倍数增加开环放大倍数K 2.增加积分环节的个数增加积分环节的个数 3.复合控制复合控制 （1）按输入信号补偿的复合控制）按输入信号补偿的复合控制稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算66分析：分析：令令若取若取则有则有)()(1)()(1)()()
29、(1)()()()()()(1)()()()()(2122121sGsGsGsGsRsRsYsRsYsRsEsGsGGsGsGsRsYscc0)(sN00)()()(1)(2sRsEsGsGc稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算67（2）按干扰信号补偿的复合控制）按干扰信号补偿的复合控制稳态误差分析及计算稳态误差分析及计算68分析分析：令：令若取若取则有则有)()()(1)()()(1)()()()()()(1)()(1)()()(21212121sNsGsGsGsGsGsYsYsRsEsGsGGsGsGsRsYscc0)(sR00)()()(1)(1sNsEsGsGc稳态误差分析及计算稳态误
30、差分析及计算69)(1)()()(21ttntntr)()(),(21tntntr和例例 系统结构图如图系统结构图如图3-27所示。已知所示。已知试分别计算试分别计算作用时的稳态误差，作用时的稳态误差，并说明积分环节的位置设置对减小输入和干扰作用下的并说明积分环节的位置设置对减小输入和干扰作用下的稳态误差的影响。稳态误差的影响。70解解 求给定输入作用下的稳态误差求给定输入作用下的稳态误差系统的开环传递函数系统的开环传递函数)1)(1()(21sTsTsKsG1v)(1)(ttr0ssre由开环传递函数可知，由开环传递函数可知，当参数值使系统稳定的条件下，参阅表参数值使系统稳定的条件下，参阅表
31、3-4可知可知：时时，系统为系统为1型型71求干扰求干扰)(1tn输入作用下的稳态误差输入作用下的稳态误差KsTsTssTsTsTsKsTssNsEsen)1)(1()1()1)(1(1)1(1)()()(21121211)(1)(1ttnKssssNsseensensssn11)(lim)()(lim111010当时，求干扰求干扰)(2tn输入作用下的稳态误差输入作用下的稳态误差KsTsTssTssTsTsKsTsNsEsen)1)(1()1()1)(1(1)1(1)()()(21121222当)(1)(2ttn时，01)(lim)()(lim212020ssssNsseensensssn7
32、2 由计算结果看出由计算结果看出：当前向通道中有积分环节时，阶跃输入作用下的稳态误差都当前向通道中有积分环节时，阶跃输入作用下的稳态误差都 为为0；对于干扰信号，只有在反馈比较点到干扰作用点之间的；对于干扰信号，只有在反馈比较点到干扰作用点之间的 前向通道中设置有积分环节时，才能使干扰引起的稳态误差为前向通道中设置有积分环节时，才能使干扰引起的稳态误差为0。73)(tr0K例例 系统结构图如图所示，要使系统对系统结构图如图所示，要使系统对而言是而言是IIII型的，型的，和的值的值。试确定参数试确定参数74解解 求系统开环传递函数求系统开环传递函数)1()1)(1()1()1)(1()1(1)1
33、)(1()1()(02121021sKKsTsTsKsTsTsKKsTsTsKsG)1()()1(0021221KKsKKTTsTTsK)(tr2v 要使系统对给定信号要使系统对给定信号而言是而言是II型，即型，即，则系统开环传递函数的分母中则系统开环传递函数的分母中s的的0次和次和1次项系数必须为次项系数必须为0，即，即750010210KKTTKK联立求解得 2101TTKK 此时系统开环传递函数为此时系统开环传递函数为22121)()(sTTKsTTKsG考虑系统的稳定性，系统特征方程为考虑系统的稳定性，系统特征方程为0)()(21221KsTTKsTTsD1T2T0K由劳斯判据，当由劳斯判据，当 0，0，时，系统稳定。76第三章第三章 完完77
