1、目录第1课 面积问题1第2课 中点弦问题3第3课 圆锥曲线的垂直问题5第4课 定值问题7第5课 定点问题9第6课 对称问题12第7课 三点共线问题14第8课 切线问题17第9课 最值或取值范围问题20第10课 圆锥曲线中的探究问题23第1课 面积问题基本方法：方法一：直线与圆锥曲线的位置关系常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识，圆锥曲线中的面积问题经常会涉及到弦长公式和点到直线的距离公式.弦长公式：；点到直线距离公式.此时.方法二：如图，当已知直线与坐标轴的交点时
2、，也可用求其面积.一、典型例题1. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，求的面积.2. 已知椭圆，设三点均在椭圆上，为坐标原点， ，求四边形的面积.二、课堂练习1. 已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若的面积为，求直线的方程.2. 已知椭圆过点作直线与交于，两点，为椭圆的右顶点，连接直线，分别与直线交于，两点若和的面积相等，求直线的方程三、课后作业1. 已知抛物线，若为坐标原点，是的焦点，过点且倾斜角为的直线交于，两点，求的面积.2. 已知椭圆，过点的直线交于，两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程.3. 已知椭圆，过原点的两条直线，交椭圆于，四点，若，求四边
3、形的面积.第2课 中点弦问题基本方法：直线与圆锥曲线的位置关系常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识，中点弦问题主要涉及点差法和中点坐标公式.常用到的公式：中点坐标公式.涉及到中点和斜率问题，也可以考虑设而不求法，利用点差法求解.一、典型例题1. 已知抛物线的焦点为，是上两点，且.若线段的垂直平分线与轴仅有一个公共点，求的值.2. 已知椭圆的一个顶点为，半焦距为，离心率，又直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求弦的长；（3）若点恰好平分弦，求实数.二、课堂练习1. 已知，斜率为的直上存在不同的两点满足，且线段的中点为，求直线的斜率.2. 已知椭圆，直线与椭圆交于两点
4、，线段的垂直平分线交轴于点，且，求直线的方程.三、课后作业1. 已知椭圆，过点作直线与该椭圆相交于两点，若线段恰被点所平分，求直线的方程2. 已知抛物线，过点引一条弦使它恰好被点平分，求这条弦所在的直线方程及.3. 已知椭圆，设直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，当点到直线距离为时，求直线方程和线段长.第3课 圆锥曲线的垂直问题基本方法：垂直转化为向量的数量积为零；联立方程，韦达定理；代入化简.一、典型例题1. 已知抛物线，过点的直线交于两点，圆是以线段为直径的圆证明：坐标原点在圆上.2. 过圆上任意一点作圆的切线与椭圆交于两点，为坐标原点，求.二、课堂练习1. 已知直
5、线是抛物线的准线，点在直线上运动，过点做抛物线的两条切线，切点分别为，在平面内找一点，使得恒成立.2. 已知椭圆的焦距为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设分别是椭圆的下顶点和上顶点，是椭圆上异于的任意一点，过点作轴于，为线段的中点，直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点，求证：三、课后作业1. 已知抛物线，直线与抛物线交于两点，为坐标原点. 求证：.2. 动直线是圆的切线，且与椭圆交于两点，求证. 3. 已知，点是动点，且直线和直线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹方程；（2）设直线与（1）中轨迹相切于点，与直线相交于点，且，求证：.第4课 定值问题基本方法：1. 求解定点和
6、定值问题的思路是一致的，定点问题是求解的一个点（或几个点）的坐标，使得方程的成立与参数无关，定值问题是证明求解的量与参数无关.2.在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题3.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值一、典型例题1. 在平面直角坐标系中，. 过点作直线交于点，交轴于点，过作直线，交于
7、点试判断是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由2. 已知抛物线，直线与曲线交于不同两点，且（为常数），直线与平行，且与曲线相切，切点为，试问的面积是否为定值.若为定值，求出的面积；若不是定值，说明理由.二、课堂练习1. 设抛物线的焦点为，准线为.已知点在抛物线上，点在上， 是边长为4的等边三角形.（1）求的值；（2）在轴上是否存在一点，当过点的直线与抛物线交于,两点时，为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.2. 已知点，椭圆上不与点重合的两点，关于原点O对称，若直线，分别交轴于，两点求证：以为直径的圆被直线截得的弦长是定值三、课后作业1. 已知椭圆C：，直线l不过原点O
8、且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. 证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.2. 已知椭圆，若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由3. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，求证：为定值第5课 定点问题基本方法：1. 求解定点和定值问题的思路是一致的，定点问题是求解的一个点（或几个点）的坐标，使得方程的成立与参数无关，定值问题是证明求解的量与参数无关.2. 直线过定点的解题策略一般有以下几种：(1)如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这
9、样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点. (3)若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.3. 对于直线过定点，有以下常用结论：若直线：（其中为常数），则直线必过定点；若直线：（其中为常数），则直线必过定点；若直线：（
10、其中为常数），则直线必过定点；若直线：（其中为常数），则直线必过定点；若直线：（其中为常数），则直线必过定点；若直线：（其中为常数），则直线必过定点.一、典型例题1. 已知椭圆：，四点，中恰有三点在椭圆上. （1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点. 2. 已知椭圆C：，如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，试问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明结论.二、课堂练习1. 已知抛物线过点，直线过点与抛物线交于，两点.点关于轴的对称点为，连接. 问直线是否过定点？若是
11、，求出定点坐标；若不是，请说明理由.2. 已知椭圆：，过点做两条相互垂直的直线、分别与椭圆交于、四点. 若，证明直线是否过定点.三、课后作业1. 已知抛物线，过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、.如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点.2. 已知椭圆，直线l不经过点A（0,1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.3. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.第6课 对称问题基本方
12、法：对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：1. 点关于点成中心对称问题（即线段中点坐标公式的应用问题）设点，对称中心为，则点关于的对称点为.2. 点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：设点关于直线的对称点为，则有，可求得.特殊情形：点关于直线对称的点为；点关于直线对称的点为；若对称轴的斜率为，则可把直接代入对称轴方程求得对称点的坐标.一、典型例题1已知椭圆：，为椭圆左顶点，设椭圆上不与点重合的两点，关于原点对称，直线，分别交轴于，两点求证：以为直径的圆被轴截得的弦长是定
13、值2已知椭圆与直线相交于不同的两点，如果存在过点的直线,使得点关于对称，求实数的取值范围.二、课堂练习1已知椭圆，上顶点为为坐标原点，设线段的中点为，经过的直线与椭圆交于两点，若点关于轴的对称点在直线上，求直线方程.2已知椭圆. 点为圆上任意一点，为坐标原点.设直线经过点且与椭圆相切，与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，证明：直线与椭圆相切.三、课后作业1已知椭圆.的顶点都在椭圆上，其中关于原点对称，试问能否为正三角形？并说明理由.2已知椭圆，记椭圆的右顶点为，点（）在椭圆上，直线交轴于点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得（为坐标原点）？若存在，求点坐标；若不存在，说
14、明理由3已知椭圆，右顶点为，设直线：上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点. 若的面积为，求直线的方程.第7课 三点共线问题基本方法：三点共线问题解题策略一般有以下几种：斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；向量法：利用向量共线定理证明三点共线；直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上;点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.面积法：通过计
15、算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线.在处理三点共线问题时，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.一、典型例题1已知椭圆，为椭圆上一点，若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线2已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；（3）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由二、课堂练习1抛物线，已知斜率为的直线交轴于点，且与曲线相
16、切于点，点在曲线上，且直线轴，关于点的对称点为，判断点是否共线，并说明理由.2已知椭圆，点是椭圆的右焦点. 是否在轴上存在定点，使得过的直线交椭圆于两点.设点为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.三、课后作业1. 已知抛物线的焦点为，直线过点，直线与抛物线相交于两点，点关于轴的对称点为. 证明：三点共线.2已知椭圆，其右焦点为，过轴上一点作直线与椭圆相交于两点，设，过点且平行于轴的直线与椭圆相交于另一点，试问是否共线，若共线请证明；反之说明理由.3已知椭圆，过定点且斜率为的直线交椭圆于不同的两点，在线段上取异于的点，满足，证明：点恒在一条直线上，并求出这条直线的
17、方程.第8课 切线问题基本方法：圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数，利用导数法求出函数在点处的切线方程，特别是焦点在轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件.圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.一、典型例题1已知椭圆：上顶点为，右焦点为，过右顶点作直线，且与轴交于点，又在直线和椭圆上分别取点和点，满足（为坐标原点），连接.（1）求的值，并证明直线与
18、圆相切；（2）判断直线与圆是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.2 已知椭圆，在椭圆上是否存在这样的点，过点引抛物线的两条切线，切点分别为，且直线过点？若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由.二、课堂练习1已知椭圆. 点为圆上任意一点，为坐标原点.设直线经过点且与椭圆相切，与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，证明：直线与椭圆相切.2已知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到y轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点Q满足（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于、两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围三、课后作业1已知椭圆，点
19、，是椭圆上的动点. 若直线与椭圆相切，求点的坐标.2对任意的椭圆，有如下性质：若点是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为利用此结论解答下列问题已知椭圆，若动点在直线上，经过点的直线，与椭圆相切，切点分别为，求证：直线必经过一定点3已知抛物线，为坐标原点，设是上横坐标为2的点，的平行线交于于，两点，交在处的切线于点. 求证：.第9课 最值或取值范围问题基本方法：最值或取值范围问题解题策略一般有以下几种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质求解.（2）代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数
20、（自变量）的取值范围；利用已知参数（自变量）的范围，求新参数（新自变量）的范围，解这类问题的核心是在两个参数（自变量）之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数（自变量）的取值范围；利用基本不等式求出参数（自变量）的取值范围；利用函数的值域的求法，如导数法等，确定参数（自变量）的取值范围最值或取值范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数（自变量）的不等式，通过解不等式求出其范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.一、典型例题1. 已知抛物线和：，过抛物线上的一点，作的两条切线，与轴分别相交于，两点.求面积的最小值.2.
21、已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于不同的两点，. 设为椭圆上一点，且（为坐标原点）.求当时，实数的取值范围.二、课堂练习1. 已知椭圆：，过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围.2. 已知，为椭圆：的左，右顶点，若点为直线上的任意一点，交椭圆于，两点，求四边形面积的最大值.三、课后作业1. 已知椭圆，过点作直线与椭圆交于点(异于椭圆的左、右顶点)，线段的中点为.点是椭圆的右顶点.求直线的斜率的取值范围.2. 已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交于，两点，点在准线上的投影为，是上一点，且，求面积的最小值及此时直线的方程.3. 已知为椭圆的一个焦点，过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆
22、于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围.第10课 圆锥曲线中的探究问题基本方法：解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后推理论证，检验说明假设是否正确.这类题型存在两类问题：一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围. 这两类问题在解题方法上是一致的，都要将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解.一、典型例题1已知菱形，在轴上且，（，）（1）求点轨迹的方程；（2）延长交轨迹于点，轨迹在点处的切线与直线交于点，试判断以为圆心，线段为半径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论2. 已知椭圆：，过点作斜率为的直
23、线与椭圆交于两点，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.二、课堂练习1. 已知椭圆，过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的，两点，与直线交于点，记直线，的斜率分别为，.试探究与的关系，并证明你的结论.2. 已知椭圆C的标准方程，直线过点（1,1），且与椭圆C交于A,B两点，点M满足，点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点R，四边形OARB能否为平行四边形？若能，求出此时直线的方程，若不能，说明理由.三、课后作业1. 在直角坐标系中，曲线与直线（）交于，两点. 在轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.2. 已知椭圆C的标准方程，是椭圆C的长轴的两个端点（位于右侧），B是椭圆在y轴正半轴上的顶点，是否存在经过点且斜率为k的直线与椭圆C交于不同两点P和Q，使得向量与共线？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由.3. 已知抛物线E：，m，n是过点且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D.是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
