1、二项式系数的性质二项式系数的性质X复习复习1。什么是二项式定理？通项公式？。什么是二项式定理？通项公式？)()(1110 NnbCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnnrrnrnrbaCT 12。什么叫二项式系数？项的系数？。什么叫二项式系数？项的系数？它们之间有什么不同？它们之间有什么不同？二项式系数的性质二项式系数的性质(a+b)1 1 1(a+b)2 1 2 1(a+b)3 1 3 3 1(a+b)4 1 4 6 4 1(a+b)5 1 5 10 10 5 1(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 rnrnrnCCC 11mnnmnCC 递推法递推法 这样的二项式系数表，
2、早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：一 一 一 一 二 一 一 三 三 一 一 四 六 四 一 一 五 十 十 五 一 一 六 十五 二十 十五 六 一 这个表称为杨辉三角杨辉三角。在详解九章算法一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623年1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要
3、比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。二项式系数的性质二项式系数的性质(a+b)1 1 1(a+b)2 1 2 1(a+b)3 1 3 3 1(a+b)4 1 4 6 4 1(a+b)5 1 5 10 10 5 1(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 1.对称性对称性 (注意：此张删去，板书注意：此张删去，板书)在二项展开式中，与首末两端在二项展开式中，与首末两端“等距离等距离”的两项的二项式系数相的两项的二项式系数相等。等。2.增减性与最大值增减性与最大值 3.各二项式系数和各二项式系数和nnnnnnCCCC 210221 nk当当 时，二项式系数
4、是逐渐增大的，由对称性知它的时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。2nnC当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大时取得最大时 ；21 nnC21 nnC当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 ，相等，且同时取得相等，且同时取得最大值。最大值。nnnnnCCCC,210定义域定义域0,1,2,n 61420O63r f(r)rnCrf)(令令当当n=6时时,其图象是其图象是7个个孤立点孤立点简要介绍例例.证明：在证明：在 的展开式中，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶奇数项的二项式
5、系数的和等于偶数项的二项式系数的和数项的二项式系数的和.nba)(课后练习：课后练习：1、2，求设练习55443322105)12()(.xaxaxaxaxaaxxf;)2(54321aaaaa;)3(43210aaaaa;)1(543210aaaaaa|;|)4(543210aaaaaa;)5(531aaa25312420)()(6(aaaaaa，求设练习55443322105)12()(.xaxaxaxaxaaxxf课堂小结：课堂小结：1.二项式系数表（杨辉三角，帕斯卡三角）二项式系数表（杨辉三角，帕斯卡三角）规律组合数的性质1、22.二项式系数的性质（二项式系数的性质（1）对称性；）对称
6、性；（2）增减性与最大值；）增减性与最大值；（3）各二项式系数的和）各二项式系数的和.3.赋值法赋值法课后作业课后作业：（一）：（一）5、7、8、9、10 （二）优化第三课时（二）优化第三课时后面没用！253124205315432104321055443322105)()(4(;)3(|;|)2(;)1()12(.5aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaxaxaxaxaxaax，求设,1)-(2x)(55105xaxaaxf解：设解：设11)1(5543210aaaaaaf则则243)3()1(-5543210aaaaaaf;)1()12(.54321055443322105aaaaaxa
7、xaxaxaxaax，求求设设,1)-(2x)(55105xaxaaxf解：设解：设11)1(5543210aaaaaaf则则243)3()1(-5543210aaaaaaf322)1(55a3132)1(43210faaaaa|;|)2()12(.554321055443322105aaaaaaxaxaxaxaxaax，求求设设,1)-(2x)(55105xaxaaxf解：设解：设11)1(5543210aaaaaaf则则243)3()1(-5543210aaaaaaf|)2(5210aaaa543210aaaaaa243)1(f;)3()12(.553155443322105aaaxaxa
8、xaxaxaax，求求设设,1)-(2x)(55105xaxaaxf解：设解：设11)1(5543210aaaaaaf则则243)3()1(-5543210aaaaaaf)(2)1()1()3(531aaaff1222244531aaa2531242055443322105)()(4()12(.5aaaaaaxaxaxaxaxaax，求求设设,1)-(2x)(55105xaxaaxf解：设解：设11)1(5543210aaaaaaf则则243)3()1(-5543210aaaaaaf25312420)()(4(aaaaaa)()(53210543210aaaaaaaaaaaa243)1()1(
9、ff例一、选择填空例一、选择填空：1.(1x)13 的展开式中系数最小的项是的展开式中系数最小的项是 （）(A)第六项第六项 (B)第七项第七项 （C）第八项）第八项 (D)第九项第九项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为亮的可能性的种数为 （）(A)20 (B)219 （C）220 (D)220 1CD642075317217722107)21(.4aaaaaaaaaaaxaxaxaax则已知 m
10、CC.mnn同同时时有有最最大大值值，则则与与若若1934或或5-2-10941093例二、已知例二、已知 的展开式中只有第的展开式中只有第10项系数项系数最大，求第五项。最大，求第五项。nxx431解：依题意，解：依题意，为偶数，且为偶数，且n,18,1012nn.306014443418418145xxxCTT变式变式：若将：若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？解解：（1）中间项有两项：中间项有两项：（2）T3，T7，T12，T13 的系数分别为：的系数分别为：例三、已知二项式例三、已知二项式(a+b)15（1）求二项展开式中的中间项；）求二项展开式中的中间项；（2
11、）比较）比较T3，T7，T12，T13各项系数的大小，并说明理由。各项系数的大小，并说明理由。878781597878715864356435babaCTbabaCT 12151115615215,CCCC31512154151115CC,CC 615415315215CCCC 又又61511151215215CCCC 例四、已知例四、已知a,bN，m,n Z，且，且2m+n=0，如果二项式，如果二项式(ax m+bx n)12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求求 a:b 的取值范围。的取值范围。nrrmrrrrnrmrrxbaCbxaxCT )12(
12、121212121)()(解：解：令令m(12 r)+nr=0，将，将 n=2m 代入，解得代入，解得 r =4故故T5 为常数项，且系数最大。为常数项，且系数最大。的系数的系数的系数的系数的系数的系数的系数的系数6545TTTT 57512484123931248412baCbaCbaCbaC即即4958 ba解得解得作业作业书P111习题10.4 8,9,10苏大P126 73课 18小结小结（1）二项式系数的三个性质。（2）数学思想：函数思想。a 单调性；b 图象；c 最值。（3）数学方法：赋值法、递推法研究题：研究题：求二项式(x+2)7 展开式中系数最大的项，试归纳出求形如(ax+b
13、)n 展开式中系数最大项的方法或步骤。各各二二项项式式系系数数的的和和增增减减性性与与最最大大值值对对称称性性解：设最大项为解：设最大项为 ，则：，则：1kT211kkkkTTTTkkkkkkkkkkkkxCxCxCxC91110101011111010102)3(2)3(2)3(2)3(即即kkkkkkkkCCCC111101010911010102222即即kkkkkkkkkkkk91011102)!9()!1(!102)!10(!102)!9()!1(!102)!10(!103,31138,38311kkkk则展开式中最大项为则展开式中最大项为.23107134CTT 85.每一年，我都
14、更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把
15、我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我
16、们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人
17、的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在
18、盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 11
19、1.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要
20、善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种
21、人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
