1、数字信号处理数字信号处理第一章学习目标第一章学习目标 掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。本章作业练习本章作业练习 P42:2(2)(3)(4)34(1)6(2)78(3)(4)(5)(6)(7)101214(1)(2)第一章第一章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的采样值x
2、(n)只在n为整数时才有意义一、离散时间信号序列()ax t()()at nTax tx nTn ()ax nT.(),(0),(),(2),.aaaaxTxx TxT序列：对模拟信号 进行等间隔采样，采样间隔为T，得到 n取整数。对于不同的n值，是一个有序的数字序列：该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形成x(n)信号，称为序列。1、序列的运算移位翻褶和积累加差分时间尺度变换卷积和1）移位序列x(n)，当m0时x(n-m)：延时/右移m位x(n+m)：超前/左移m位2）翻褶 x(-n)是以n=0的纵轴
3、为对称轴将序列x(n)加以翻褶3）和 同序列号n的序列值逐项对应相加12()()()x nx nx n4）积同序号n的序列值逐项对应相乘12()()()x nx nx n5）累加()()nky nx k6）差分前向差分：后向差分：()(1)()x nx nx n()()(1)x nx nx n()(1)x nx n()(1)x nx n 7）时间尺度变换 抽取 插值 ()nxm()()()()at nTat mnTx nx tx mnx t()x mn8）卷积和设两序列x(n)、h(n)，则其卷积和定义为：()()()()()my nx m h nmx nh nn ()()()()()x nx
4、 mh nh mhm1）翻褶：()()hmh nm2）移位：()()x mh nmm 3）相乘：()()mx m h nm4）相加：举例说明卷积过程 n-2,y(n)=0n=-1n=0n=1y(-1)=8y(0)=6+4=10y(1)=4+3+6=13n=5n=6n=7y(5)=-1+1=0y(6)=0.5y(n)=0,n7 卷积和与两序列的前后次序无关()()()()()my nx nh nx m h nm()()n kx nk h k nmkmnk令 则()()()()kh k x nkh nx n2、几种典型序列1）单位抽样序列10()00nnn2）单位阶跃序列10()00nu nn()
5、()(1)nu nu n0()()()(1)(2).mu nnmnnn()nkk与单位抽样序列的关系3）矩形序列101()0nNnNRn其它()()()NRnu nu nN10()()()(1).(1)NNmRnnmnnnN 与其他序列的关系 4）实指数序列 为实数()()nx na u na5）复指数序列00()()jnjnnx neee00cos()sin()nnenjen0为数字域频率jnn3x(n)=0.9 e例：6）正弦序列0()sin()x nAn()()sin()at nTx nx tAnT0/sTf 0：数字域频率：模拟域频率T：采样周期sf：采样频率()sin()ax tAt
6、 模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率7）任意序列x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，也可表示成与单位取样序列的卷积和。()()()()()mx nx mnmx nn()2(1)()x nnn1.5(1)(2)nn0.5(3)n例：3、序列的周期性若对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。()()x nx nNn 例：因此，x(n)是周期为8的周期序列()sin()sin(8)44x nnn讨论一般正弦序列的周期性0()sin()x nAn()()()x nNx nx nN要使，即为周期为 的周期序列000()sin()sin(
7、)x nNAnNAnN0022NkNkNkkN则要求，即，为整数，且 的取值保证 是最小的正整数分情况讨论1）当 为整数时2）当 为有理数时3）当 为无理数时02020200221()kx n1）当为整数时，取，即是周期为的周期序列02sin()8448nN0如，该序列是周期为 的周期序列0022()PPQQkQNPx nP2）当为有理数时，表示成，为互为素数的整数取，则，即是周期为 的周期序列04425sin()5525n0如，该序列是周期为 的周期序列02()kNx n3）当为无理数时，取任何整数 都不能使 为正整数，不是周期序列0112sin()844n0如，该序列不是周期序列()()6
8、66()n NnNjjx nNee 解：()()()26x nx nx nNNkNk若为周期序列，则必须满足，即满足，且，为整数例：判断()6()njx ne是否是周期序列12kNk而不论 取什么整数，都是一个无理数()x n不是周期序列讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？0()sin()x tAt00()()sin()sin()t nTx nx tAnTAn0000021/2/fTf 000022TTf TT 002TT设连续正弦信号：抽样序列：当为整数或有理数时，x(n)为周期序列令：0NT
9、kT0TNTk3()sin(2)14x nn00032142143NTkT0143()14TTx n当时，为周期为的周期序列例：N，k为互为素数的正整数即N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期4、序列的能量序列的能量为序列各抽样值的平方和2()nEx n 二、线性移不变系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。离散时间系统T x(n)y(n)()()y nT x n T 记为：1、线性系统若系统满足叠加原理：或同时满足：可加性：比例性/齐次性：其中：则此系统为线性系统。1 1221122()()()()T a x na x na y na y n1212()()()()T x
10、nx ny ny n11()()T ax nay n12,a a a为常数11()()y nT x n22()()y nT x n T 1112()()()sin()97y nT x nx nn解：设2222()()()sin()97y nT x nx nn12122()()()()sin()97T x nx nx nx nn1222()sin()()sin()9797x nnx nn112()()sin()97T ax nax nn1()ay na，为常数该系统是线性系统2()()sin()97y nx nn例：判断系统是否线性12()()y ny n满足可加性满足比例性例：证明由线性方程表
11、示的系统()()y nax nb,a b为常数是非线性系统111()()()y nT x nax nb证：设222()()()y nT x nax nb1212()()()()T x nx na x nx nb12()()y ny n该系统是非线性系统12()()ax nax nb不满足可加性 增量线性系统 线性系统x(n)y0(n)y(n)()()y nax nb2、移不变系统若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统）Tx(n)()()()y nT x nmy nmm对移不变系统，若则 ，为任意整数2()()sin()97T x nmx nmn解：2()()sin(
12、)97y nmx nmnm()T x nm该系统不是移不变系统例：试判断2()()sin()97y nx nn是否是移不变系统 同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统LSI：Linear Shift Invariant 3、单位抽样响应和卷积和单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽样序列 时的系统输出：()n()()h nTnT ()n()h n对LSI系统，讨论对任意输入的系统输出T x(n)y(n)()()()mx nx mnm任意输入序列：()()()()my nT x nTx mnm系统输出：()()mx m Tnm，线性性()()()()h nTnh nmTnm()()
13、iiiiiiTa x naT x n()()mx m h nm，移不变性()()x nh n一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)的卷积和。LSIh(n)x(n)y(n)()()()y nx nh n()()*()y nx nh n解：()()mx m h nm()()01nh na u na()()()x nu nu nNLSI例：某系统，其单位抽样响应为：输入序列为：求系统输出。0nN当时0()()()1nn mmmy nx m h nma(1)1011nnnmnmaaaaa0()0ny n当时nN当时()()()my nx
14、m h nm11001NNn mnmmmaaa111Nnaaa(1)11001()0111nnNnnay nanNaaanNa01nN 时0()()()nmy nx m h nm0()0ny n时()()()()()()()NMx nx n Rnh nh n Rny n若求输出MN1)当1NnM 时10()()()Nmy nx m h nm2MnNM 时11()()()Nm n My nx m h nm 1()0nNMy n时01nM 时0()()()nmy nx m h nm0()0ny n时MN2)当1MnN 时1()()()nm n My nx m h nm 2NnNM 时11()()(
15、)Nm n My nx m h nm 1()0nNMy n时思考:当x(n)的非零区间为N1,N2，h(n)的非零区间为M1,M2时，求解系统的输出y(n)又如何分段？结论：若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则其卷积和的长度L为：L=N+M-14、LSI系统的性质交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)()()()()()y nx nh nh nx n结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)1221()*()*()()*()*()x nh nh nx nh nh n12()()*()h
16、nh nh n()()*()y nx nh n分配律1212()*()()()*()()*()x nh nh nx nh nx nh nh1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)5、因果系统若系统 n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。()00h nnLSI系统是因果系统的充要条件：6、稳定系统稳定系统是有界输入产生有界输出的系统若()x nM()nh nP LSI系统是稳定系统的充要条件：()y nP 则0()0nh n解：讨论因果性：时 该系统是非因果系统讨论稳定性：00()nnnnnh naa
17、11111aaa11aa当时系统稳定，当时系统不稳定例：某LSI系统，其单位抽样响应为()()nh na un试讨论其是否是因果的、稳定的。结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，即：()()()nh nh n u nh n 三、常系数线性差分方程用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系。一个N阶常系数线性差分方程表示为：00()()NMkmkma y nkb x nm01kmaab，是常数其中：求解常系数线性差分方程的方法：1）经典解法2）递推解法3）变换域方法例1：已知常系数线性差分方程若边界条件求其单位抽样响应。()(1)()y nay nx n(1)0y()
18、()()()(1)0 x nny nh ny解：令输入，则输出，又已知23()(1)()(0)(1)(0)1(1)(0)(1)(2)(1)(2)(3)(2)(3)()0ny nay nx nyayxyayxayayxayayxay nan由，得，1(1)()()1(2)(1)(1)01(3)(2)(2)0()01y ny nx nayyxayyxay nn 由，得，()()()nh ny na u n例2：已知常系数线性差分方程同上例若边界条件求其单位抽样响应。(0)0y()()()()(0)0 x nny nh ny解：令输入，则输出，又已知()(1)()(1)(0)(1)0(2)(1)(2
19、)0()01y nay nx nyayxyayxy nn由，得，1231(1)()()11(1)(0)(0)1(2)(1)(1)1(3)(2)(2)()1ny ny nx nayyxaaayyxaayyxaay nan 由，得，()()(1)nh ny na un 例3：已知常系数线性差分方程同上例若边界条件讨论系统的线性性和移不变性。(1)1y 111()()(1)1()x nnyy n解：1）令输入，由，求输出111111111211131111()(1)()(0)(1)(0)1(1)(0)(1)(1)(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)()(1)0ny nay nx nyay
20、xayayxa ayayxaayayxa ay naan由，得，11111112111111(1)()()1(2)(1)(1)1(3)(2)(2)()1ny ny nx nayyxaayyxaay nan 由，得，11()(1)()(1)nny na a u naun 222()(1)(1)1()x nnyy n2）令输入，由，求输出2222222222222222222122()(1)()(0)(1)(0)(1)(0)(1)1(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)()(1)1ny nay nx nyayxayayxayayxa ayayxaay naan由，得，2221211(1)
21、()()()1ny ny nx nay nan 同步骤），由得，2112()()(1)(1)(1)nny nanaau naun 31233()()()()(1)(1)1()x nx nx nnnyy n3）令输入，由，求输出3333332333233322333123()(1)()(0)(1)(0)1(1)(0)(1)1(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)()(1)1ny nay nx nyayxayayxaayayxa aayayxaaay naaan由，得，3331311(1)()()()1ny ny nx nay nan 同步骤），由得，213()(1)()(1)(1)ny
22、 nanaaau n1(1)naun 4）结论：2112()()(1)(1)(1)nny nanaau naun 2()(1)x nn当输入时，输出1()()x nn当输入时，输出11()(1)()(1)nny na a u naun 2121()(1)()(1)(1)1x nx ny ny ny由于，而边界条件下的系统不是移不变系统312()()()()(1)x nx nx nnn当输入时，输出213()(1)()(1)(1)ny nanaaau n1(1)naun(1)1y 边界条件下的系统不是线性系统不满足可加性12()()y ny n 一些关于差分方程的结论：一个差分方程不能唯一确定一
23、个系统常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性移不变的不一定是因果的不一定是稳定的差分方程 系统结构Z-1ax(n)y(n)()(1)()y nay nx n四、连续时间信号的抽样()()aax tx t()()()aaTx tx tpt0()()()aaTx tx tt当 讨论：采样前后信号频谱的变化什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出原信号1、理想抽样 冲激函数：()()()()()aaTamx tx ttx mTtmT0()aXj求理想抽样的频谱()()TmttmT理想抽样输出：1()()2aTXjjjd2()()()TTskjDTFTtkT 1()()()*()2aaaTXjDTF
24、T x tXjj 12()()2askXjkdT 1()()askXjkdT 1()askXjjkT()()()j taaaXjDTFT x tx t edt ()21sjktTkksstA efTT 其中:为级数的基频，为采样频率222211()()ssTTjktjktkTTTmAt edttmT edtTT系数:1()()sjktTTkjDTFTtDTFT eT 其频谱：122()()sskkkkTT 2211()sTjktTt edtTT1()sjktTkteT()11ssjktjktj tkkeedtedtTT 抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓而成频谱幅度是原信
25、号频谱幅度的1/T倍若信号的最高频率 22shs，为折叠频率则延拓分量产生频谱混叠奈奎斯特抽样定理要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率22shshff 即2、抽样的恢复利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定理的抽样信号。2()02ssTH j s/2-s/2T 0H(j)Hj()aXj()aYj理想低通滤波器:()()()()aaaYjXjH jXj ()()aax tx t1()()2j th tH jed()()()()aaay tx txh tdsin()()()()()aammtmTTx mT h tmTx mTtmTTsin()sin()222ss
26、sj tsttTTedttT()()()amxmT h td ()()()amxh tmT d 输出：讨论()()aax mTx t信号的抽样值经内插函数得到连续信号sin()()()tmTTh tmTtmTT内插函数：3、实际抽样抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲()sjktTkkptC e()()akaskXjC Xjjk 其中系数Ck随k变化抽样信号频谱抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为s若满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠失真抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降幅度变化并不影响信号恢复，只要取0()()aaXjC Xj 2s 0CT00()sin(2)508
27、1()2200()3()()()aasaax tf tfHzx tfHzx tx tx nx n例：模拟信号，其中）求的周期，采样频率应为多少？采样间隔应为多少？）若选采样频率，采样间隔为多少？写出采样信号的表达式；）画出对应的时域离散信号的波形，并求出的周期。解：050fHz1）由，得00()1/0.02ax tTfs的周期为：02100sffHz采样频率应：1/0.01sTfs采样间隔应为：2200sfHz）选1/0.005sTfs则采样间隔为：00()sin(2/8)sin(2/8)asx nTf nTf n f501sin(2/8)sin(/8)2002nn()()()aanx tx
28、nTtnT1sin()()28200nnnt1()()sin()28at nTx nx tn02241/2Nk4N 为最小正整数()4x nN的周期为4、正弦信号的抽样连续时间正弦信号：00()sin()sin(2)x tAtAf t02sff取时，()sin()x nAn0当()sin()x nAn(0)(1)0 xx/2当()sin(/2)x nAn(0)(1)xAxA 02sff对正弦信号采样，须满足第二章学习目标第二章学习目标掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及 判断方法会运用任意方法求z反变换理解z变换的主要性质理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系掌握序列的Fo
29、urier变换并理解其对称性质掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数 与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域本章作业练习本章作业练习 P83:1(2)(3)23(1)(2)67(1)(3)910(a)(b)(c)11(a)(b)131417 第二章第二章 z变换变换时域分析方法变换域分析方法：连续时间信号与系统Laplace变换Fourier变换离散时间信号与系统z变换Fourier变换一、z变换的定义及收敛域1、z变换的定义序列x(n)的z变换定义为：()()()nnX zZT x nx n z z 是复变量，所在的复平面称为z平面例：123()21 1.5+0.5X zzzzz 2、
30、z变换的收敛域与零极点对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。级数收敛的充要条件是满足绝对可和()nnx n zM()()()P zX zQ z令X(z)X(z)=0()0()()()P zQ zP zQ z 则的零点：使的点，即和当阶次高于时X(z)X(z)()0()()()Q zP zQ zP z 的极点：使的点，即和当阶次高于时1）有限长序列12()()0 x nnnnx nn其它21Z ()()nnn nX zx n z其 变换：0Rocz 至少为：Re zIm jz0120nn11(1)111()()(1)(1)nnX zx n zx n
31、zxz22(1)0122(0)(1)(1)()nnxzxzx nzx nz210:0nnRocz 120nn00:0nnRocz 00:0nnRocz 120nn2）右边序列11()()0 x nnnx nnn110Z()()()nnn nnX zx n zx n z其 变换：Roc:0z 前式Roc:xRz 后式110:0:xxnRoc RznRoc Rz 当时，当时，Re zIm jz0 xRz 包括处10n 因果序列 的右边序列，Roc:因果序列的z变换必在 处收敛在 处收敛的z变换，其序列必为因果序列10n xRz Re zIm jz0 xRz 包括处3）左边序列220()()nnx
32、nx nnn201()()()nnnnnzX zx n zx n z其 变换：Roc:0 xzR前式Roc:0z 后式220:00:0 xxnRoczRnRoczR当时，当时，Re zIm jz0 xR20n 4）双边序列n为任意值时皆有值10z()()()nnnnX zx n zx n z其 变换：Roc:0 xzR前式Roc:xRz 后式:xxxxxxRRRocRRRoc RzR当时，当时，Re zIm jz0 xRxR1()()zNx nRn例：求的 变换及其收敛域Re zIm jz0X(z)=()=()nnNnnx n zRn z解：10=Nnnz2 1,.,1rjNzerN零点：01
33、zN极点：（）阶:0Rocz 122111nnnnn nqqqq111Nzz21nq 时须满足11(1)NNzzz2()()znx na u n例：求的 变换及其收敛域Re zIm jz0a0X(z)=()=()=nnnnnnnnx n za u n za z解：0z 零点：za极点：:Rocza111az11az当时3()(1)znx na un 例：求的 变换及其收敛域Re zIm jz0aX(z)=()=(1)nnnnnx n za unz 解：0z 零点：za极点：:Rocza111111a za zaz11a z当时11=nnnnnna zaz4()znx naa例：求，为实数，求其
34、 变换及其收敛域10X(z)=()=nnnnnnnnnnnx n za zaza z解：10=nnnnnna za z11nnnaza zaz11/azza 1011nnna zaz11azza 1X()az当时，无公共收敛域，不存在Re zIm jz0a1/a211(1)1()11(1)()azzaaX zazazazza当时，0,z 零点：1,za a极点：:1/Rocaza给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列右边序列的z变换收敛域一定在模最大大的有限极点所在圆之外之外 左边序列左边序列的z变换收敛域一定
35、在模最小小的有限极点所在圆之内之内Re zIm jz0abcRe zIm jz0abcRe zIm jz0abcRe zIm jz0abc二、z反变换实质：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法：围线积分法（留数法）部分分式法 长除法()()x nIZT X zz反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)()()()nnX zZT x nx n z1、围线积分法（留数法）根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即而 其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。,0,xxxxRzRRR （）()nnxxnX zC
36、 zRzR11()2nncCX z zdzj Re zIm jz0 xRxRC0,1,2,n 若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：11()()(,)2nxxcx nX z zdzcRRj 1()()nF zX z z()Re ()kz zkx ns F z()Re ()mz zmx ns F z 利用留数定理求围线积分，令若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：留数的计算公式单阶极点的留数：Re ()()()rrz zrz zs F zzz F z2()1/44(4)(1/4)zX zzzz例1：，求其z反变换Re zIm jz0C4
37、1/4211()(,)2(4)(1/4)nxxczx nzdzcRRjzz 解：211()(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzF zzzzzz其中：11()4nF zcz 当时在围线 内只有一阶极点14()Re ()zx ns F z1141()4(4)(1/4)nzzzzz415n11()(1)04nF zcznz 当时在围线 内有一阶极点和-阶极点4()Re ()zx ns F z 14441/4nzzzzz 2415ncz=4F(z)而围线 外只有一阶极点，且的分母多项式阶次高于分子多项式阶次两次以上244()(1)(2)1515nnx nu nun Re zIm jz0C41/42
38、()4(4)(1/4)zX zzzz例2：，求其z反变换Re zIm jz0C41/4解：收敛域是圆的外部 lim()1X(z)z=zX z 又，即在处收敛()()00 x nx nn是一个因果序列，即，()x n是右边序列10()c(4)(1/4)0()0nznF zzzx n同样当时，由在 外无极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由围线外极点留数为 可得0n 当时1()(4)(1/4)nzF zzz144cz 在围线 内有一阶极点，Re zIm jz0C41/441/4()Re ()Re ()zzx ns F zs F z111441(4)()114(4)()(4)()44nnzzzzz
39、zzzzz21(44)15nn21()(44)()15nnx nu n思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何()0 x n 211()1(1)(1)aX zaazaz例3：，求z反变换21111()2(1)(1)ncax nzdzjazaz 解：221111(1)()(1)(1)()()cX(z)nnaazF zzazaza zaza其中：为收敛域内闭合围线1(),X zza a而题中未给出收敛域，根据的极点有三种可能的收敛域：111)2)3)zazaazaRe zIm jz0C1aa11)za收敛域是圆的外部 lim()0zX z又，()()00 x nx nn是因果序列，即，
40、0n 当时1()F zczaa在围线 内有一阶极点，1()Re ()Re ()z az ax ns F zs F z122111(1)(1)()()()()()()nnz az aazazzazaa zazaa zazannaa()()()nnx naau nRe zIm jz0C1aa2)za0n 当时()F zc在围线 内无极点()0 x n 故0n 当时()0F zcnz 在 内有-阶极点1,cza a在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1()Re ()Re ()z az ax ns F zs F z()nnnnaaaa ()()(1)nnx naaun Re zIm jz0C1a
41、a0n 当时()F zcza在 内有一阶极点()Re ()nz ax ns F za0n 当时()0F zczanz在 内有一阶极点和-阶极点1,cza在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1()Re ()nz ax ns F za()()(1)nnnx na u na una 13)aza2、部分分式展开法X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：12()()()()()()KB zX zXzXzXzA z()()x nIZT X z12()()()KIZT XzIZT XzIZT Xz对各部分分式求z反变换：01()()()1MiiiNiiib zB zX zA za z11011()
42、11MNMrrnkknknkkkiACX zB zz zz z()Re1,2,kkz zX zAskMrz用留数定理求系数：1125()2316zX zzzz例：，求z反变换Re zIm jz032 23353123zzX zAReszzzz 112255516623zzzX zzzzzzz解：1252323X zAAzzzzz 12252123zzX zAReszzzz 1123X zzzz 111123121 3zzX zzzzz23z11()1nZT a u nzaaz11(1)1nZT a unzaaz 1112z2()nu n2z 111 3z3(1)nun 3z 231nnx nu
43、 nun 3、幂级数展开法（长除法）把X(z)展开成幂级数()()nnX zx n z1012(1)(0)(1)(2)xzxzxzxz级数的系数就是序列x(n)根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数 将X(z)X(z)的 x(n)展成z的 分子分母 按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列xzRxzR解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数11()(1)X zzaaz例：，求z反变换122330()1nnnX zaza za za z ()()nx na u n11112222223333111 azazazaza za za za
44、 za z122331aza za z11()(1)X zzaaz例：，求z反变换122331()nnnX za za za za z -()(1)nx na un 解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数111122221 11 aza za za za za z12233a za za z2()1/44(4)(1/4)zX zzzz例：，求z反变换解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式161()1515(4)()41/41/4X zzzzzzz116()151/44zzX zzz22
45、233416164 44 zzzzzzzz 23144zzz1114114161 141 146 zzzzz 12111416zz2123111()141544X zzzzzz 1+16244()()(1)1515nnx nu nun 201114154nnnnnnzz三、z变换的基本性质与定理1、线性若()()()()ZT ax nby naX zbY zab，为任意常数()()xxZT x nX zRzR()()yyZT y nY zRzRmax(,)min(,)xyxyRRRzRRR则2、序列的移位若()()xxZT x nX zRzR()()mZT x nmzX zm为任意整数xxRz
46、R则()()(3)()x nu nu nX z例：，求()()(3)X zZT u nu n解：()(3)ZT u nZT u n3111zzzzzz321(1)zzz2210zzzz3、乘以指数序列若()()xxZT x nX zRzR()nzZT a x nXaa为任意常数xxa Rza R()()nnnnZT a x na x n z()nnzzx nXaaxxxxzRRa Rza Ra则证：4、序列的线性加权（z域求导数）若()()xxZT x nX zRzR()()dZT nx nzX zdz xxRzR2()()ZT n x nZT n nx n()()dzZT nx ndzddX
47、 zzzdzdz 则同理：()()nnX zx n z证：()()()()nnnndX zddx n zx nzdzdzdz11()()()nnnnx nn zznx n z 1()z ZT nx n()()xxdX zZT nx nzRzRdz 5、共轭序列若()()xxZT x nX zRzR*()()ZT x nXzxxRzR*()()()()nnnnZT x nx n zx n z*()XzxxRzR则证：6、翻褶序列若()()xxZT x nX zRzR1()ZT xnXz11xxzRR则()()()nnnnZT xnxn zx n z证：11()()nnx n zXz111xxxx
48、RRzzRR7、初值定理证：因为x(n)为因果序列()lim()(0)zx nX zx对于因果序列，有0()()()nnnnX zx n zx n z12(0)(1)(2)xxzxzlim()(0)zX zx8、终值定理 设x(n)为因果序列，且X(z)=ZTx(n)的极点处于单位圆以内（单位圆上最多在z=1处可有一阶极点），则：1lim()lim(1)()nzx nzX z11()lim()lim(1)()Re()znzxx nzX zs X z (1)()(1)()ZT x nx nzX z证：利用序列的移位，得11(1)()(1)()lim(1)()nnnnnmnmx nx n zx n
49、x n zx mx m z11lim(1)()lim(1)()1nmznmzX zx mx mlim(0)0(1)(0)(2)(1)nxxxxx (1)()lim(1)lim()nnx nx nx nx n11()lim(1)()Re()zzxzX zs X z 9、有限项累加特性设x(n)为因果序列，即x(n)=0，n0()()xZT x nX zzR0()()1nmzZTx mX zzmax,1xzR则()x n证：为因果序列000()()nnnmnmZTx mx m z 0()nmn mx mz110()111mmzx mzzz 101()1mmx m zz()1xzX zzRzmax,
50、1xzRnmm=n010、序列的卷积和（时域卷积和）设y(n)为x(n)与h(n)的卷积和：()()xxX zZT x nRzR()()()()Y zZT y nX zH z()()hhH zZT h nRzR()()*()()()my nx nh nx m h nmmax(,)min(,)xhxhRRzRR则且()*()()*()nnZT x nh nx nh n z证：()()nnmx m h nm z()()nmnx mh nm z()()()()mmx m zH zH z X zmax,min,xhxhRRzRR1LSI ()()(1)()()nnnh nb u nabu nx na
