1、线性回归分析线性回归分析2022-8-3zhaoswallow2一、引言一、引言 2004年全国数模竞赛的年全国数模竞赛的B题题 “电力市场的电力市场的输电阻塞管理输电阻塞管理”第一个问题：第一个问题：某电网有某电网有8台发电机组，台发电机组，6条主要线路，表条主要线路，表1和表和表2中的方案中的方案0给出了各机组的当前出力和给出了各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值，方案各线路上对应的有功潮流值，方案132给出了给出了围绕方案围绕方案0的一些实验数据，试用这些数据确的一些实验数据，试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。似
2、表达式。2022-8-3zhaoswallow3表1 各机组出力方案（单位：兆瓦，记作MW）方案方案机组机组123 4 5 6780120731808012512581.1901133.02731808012512581.1902129.63731808012512581.1903158.77731808012512581.1904145.32731808012512581.190512078.5961808012512581.190612075.451808012512581.190712090.4871808012512581.190812083.8481808012512581.1909
3、12073231.398012512581.1901012073198.488012512581.1901112073212.648012512581.1901212073190.558012512581.190131207318075.85712512581.190141207318065.95812512581.190151207318087.25812512581.190161207318097.82412512581.190171207318080150.7112581.1902022-8-3zhaoswallow4181207318080141.5812581.19019120731
4、8080132.3712581.190201207318080156.9312581.190211207318080125138.8881.190221207318080125131.2181.190231207318080125141.7181.190241207318080125149.2981.19025120731808012512560.5829026120731808012512570.9629027120731808012512564.8549028120731808012512575.5299029120731808012512581.1104.8430120731808012
5、512581.1111.2231120731808012512581.198.09232120731808012512581.1120.442022-8-3zhaoswallow5表2 各线路的潮流值（各方案与表1相对应，单位：MW）方案方案线路线路1234560164.78140.87-144.25119.09135.44157.691165.81140.13-145.14118.63135.37160.762165.51140.25-144.92118.7135.33159.983167.93138.71-146.91117.72135.41166.814166.79139.45-145.
6、92118.13135.41163.645164.94141.5-143.84118.43136.72157.226164.8141.13-144.07118.82136.02157.57165.59143.03-143.16117.24139.66156.598165.21142.28-143.49117.96137.98156.969167.43140.82-152.26129.58132.04153.610165.71140.82-147.08122.85134.21156.2311166.45140.82-149.33125.75133.28155.0912165.23140.85-1
7、45.82121.16134.75156.7713164.23140.73-144.18119.12135.57157.214163.04140.34-144.03119.31135.97156.3115165.54141.1-144.32118.84135.06158.262022-8-3zhaoswallow624167.69138.07-144.14119.19137.11157.6525162.21141.21-144.13116.03135.5154.2626163.54141-144.16117.56135.44155.9327162.7141.14-144.21116.74135
8、.4154.8828164.06140.94-144.18118.24135.4156.6829164.66142.27-147.2120.21135.28157.6530164.7142.94-148.45120.68135.16157.6331164.67141.56-145.88119.68135.29157.6132164.69143.84-150.34121.34135.12157.6416166.88141.4-144.34118.67134.67159.2817164.07143.03-140.97118.75133.75158.8318164.27142.29-142.1511
9、8.85134.27158.3719164.57141.44-143.3119134.88158.0120163.89143.61-140.25118.64133.28159.1221166.35139.29-144.2119.1136.33157.5922165.54140.14-144.19119.09135.81157.6723166.75138.95-144.17119.15136.55157.592022-8-3zhaoswallow7 仔细分析题目，可以发现，该问题就是要找仔细分析题目，可以发现，该问题就是要找出出各线路上有功潮流与各线路上有功潮流与8 8台发电机出力的函数关台发电
10、机出力的函数关系系，这在数学上是一个函数拟合问题。，这在数学上是一个函数拟合问题。对函数拟合，可以采用线性函数，也可以采对函数拟合，可以采用线性函数，也可以采用非线性函数，比如多项式函数，三角函数，指用非线性函数，比如多项式函数，三角函数，指数函数等等。在给出具体问题的具体数据时，首数函数等等。在给出具体问题的具体数据时，首先想到的还是最简单的方法下手，采用最简单的先想到的还是最简单的方法下手，采用最简单的函数去拟合，也就是线性函数来表达。函数去拟合，也就是线性函数来表达。1、模型的分析2022-8-3zhaoswallow8 由电网的拓扑结构，线路上的有功潮流由机由电网的拓扑结构，线路上的有
11、功潮流由机组出力决定。又根据功率的叠加原理，各线路组出力决定。又根据功率的叠加原理，各线路上有功潮流应为各发电机组出力的线性组合，上有功潮流应为各发电机组出力的线性组合，考虑对所有实验数据采用最小二乘法进行线性考虑对所有实验数据采用最小二乘法进行线性拟合，从而得到各线路有功潮流关于各发电机拟合，从而得到各线路有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。组出力的近似表达式。2022-8-3zhaoswallow92、模型的建立与求解、模型的建立与求解1266,l llL L设设 条条主主要要线线路路有有功功潮潮流流为为1288,x xxL L台台机机组组出出力力分分别别为为则则801,iiijjjl
12、aa x L L i=1,2,6 i=1,2,6ija其其中中，是是待待确确定定的的系系数数。2022-8-3zhaoswallow10 根据表根据表1 1和表和表2 2围绕方案围绕方案0 0的的1-321-32组实验数组实验数据，可以列出关于未知数的据，可以列出关于未知数的3232个方程的方程个方程的方程组，利用组，利用SASSAS或或MatlabMatlab编程求解方程组，得编程求解方程组，得2022-8-3zhaoswallow11还需要根据样本值运用假设检验来判断，还需要根据样本值运用假设检验来判断，以确定求得的回归方程是否有价值。以确定求得的回归方程是否有价值。18,ilxxL L为
13、为了了确确定定 和和之之间间是是否否有有线线性性关关系系，在许多国际国内数学建模竞赛中，都有可能用到回归分析。因此，我们介绍线性回归分析的基本原理，对模型好坏的评价指标，可线性化的回归分析，利用统计软件的实现等具体问题。2022-8-3zhaoswallow12二、回归分析方法二、回归分析方法 回归分析是研究一个或一组变量（回归分析是研究一个或一组变量（因变量，因变量，结果结果）与另一些变量（）与另一些变量（自变量或回归变量，自变量或回归变量，原因原因）之间的依存关系。）之间的依存关系。在回归模型中，若变量之间的关系是线性关系，在回归模型中，若变量之间的关系是线性关系，称为称为线性回归模型线性
14、回归模型，否则，称为非线性回归模，否则，称为非线性回归模型。型。当自变量只有一个，称为当自变量只有一个，称为一元线性回归一元线性回归，如果如果自变量有多个，称为自变量有多个，称为多元线性回归多元线性回归。2022-8-3zhaoswallow131 1、一元线性回归、一元线性回归一元线性回归模型为一元线性回归模型为01yx （1 1）012,(0,)N其其中中x x是是自自变变量量，y y是是因因变变量量，为为未未知知的的待待定定常常数数，称称为为回回归归系系数数，是是随随机机误误差差，且且假假设设。1122(,),(,),(,)nnxyxyxy对对(x x,y y)的的一一组组观观察察值值0
15、11 2iiiyxin ，满足212,(0,)niN L:L:其其中中相相互互独独立立，且且。2022-8-3zhaoswallow140101,ii L L 如如何何根根据据样样本本观观察察值值(x x,y y)(i i=1 1,n n)来来求求的的估估计计值值？01220101,11()min()nniiiiiiyxyx 0101,通通常常采采用用最最小小二二乘乘估估计计来来做做，也也即即选选取取的的估估计计值值使使其其随随机机误误差差的的平平方方和和达达到到最最小小，即即一元线性回归2022-8-3zhaoswallow15201011(,)()niiiQyx 011001112()02
16、()0niiiniiiiQyxQyx x 则令正规方程组一元线性回归2022-8-3zhaoswallow16整理得整理得0111201111nniiiinnniiiiiiinxyxxx y （2 2）一元线性回归2022-8-3zhaoswallow17其中，其中，1111,nniiiixxyynn 0111122211()()()nniiiiiinniiiiyxx ynxyxxyyxnxxx （3 3）参数的最小二乘估计一元线性回归2022-8-3zhaoswallow18211(),()(),nnxxixyiiiixxLxxyy记记 L L则则有有如如下下结结论论01 yx而而 称作y关
17、于x的一元经验回归方程。22001(1)(,();xxxNnL:一元线性回归2022-8-3zhaoswallow19211201(2)(,);(3)(,)xxxxNLxCovL :0101,显显然然，分分别别是是，的的无无偏偏估估计计量量。一元线性回归2022-8-3zhaoswallow2001iiyx记记 2 下下面面来来求求的的估估计计。,iiiyyx 称称为为 的的残残差差2201211()()22nniiiiiiyyyxnn 令令 （4）4）22则则是是的的无无偏偏估估计计量量。一元线性回归2022-8-3zhaoswallow212 2、多元线性回归、多元线性回归模型为：模型为：
18、201,n L L是是未未知知参参数数。011nnyxx （5）5）2(0,),N 其其中中 12,12,(1,)(,)niiipipxxxyinx xxy LLLLLL设设（）是是的的 个个观观察察值值，满满足足2022-8-3zhaoswallow221011121211201212222201122ppppnnnpnpnyxxxyxxxyxxx （6）6）2(0,),1,2,.iNin 1nL L其其中中，相相互互独独立立，且且多元线性回归2022-8-3zhaoswallow23令令01,p 12n 12,nyyYy 111212122212(1)11,1ppnnnpnpxxxxxxX
19、xxx 多元线性回归注意：矩阵X的第一列全是1.2022-8-3zhaoswallow24YX （7 7）则（6）可用矩阵表达为 选选取取 的的估估计计值值，使使得得随随机机误误差差的的平平方方和和达达到到最最小小，即即02011,1()()min()()=min()pTTniipipiYXYXYXYXyxx L LL L 多元线性回归2022-8-3zhaoswallow25TTX XX Y （8 8）对应正规方程组为 Xm18TX X 在在矩矩阵阵 的的秩秩等等于于，即即列列满满秩秩时时，可可逆逆，正正规规方方程程组组（）有有唯唯一一解解，得得参参数数的的估估计计值值为为1()TTX XX
20、 Y 在X不是列满秩时，其解虽然不唯一，但对任意一组解都使得残差平方和最小。多元线性回归2022-8-3zhaoswallow26TXX X 即即使使 列列满满秩秩，但但是是行行列列值值很很小小，这这时时正正规规方方程程组组会会变变成成病病态态方方程程，虽虽然然能能求求解解参参数数的的估估计计值值，但但是是由由于于误误差差很很大大，无无实实用用价价值值，此此时时称称这这些些变变量量之之间间具具有有多多重重共共线线性性，即即X X的的列列向向量量之之间间有有近近似似的的线线性性关关系系。多元线性回归关于多重共线性的知识请参阅韩中庚数学建模方法及其应用。2022-8-3zhaoswallow27
21、当当 p=1 p=1 时，多元线性回归就变成一元线性回时，多元线性回归就变成一元线性回归分析了，这时参数的求解和误差的方差的无偏归分析了，这时参数的求解和误差的方差的无偏估计与一元得到的结论是一样的，类似地也有估计与一元得到的结论是一样的，类似地也有经经验回归平面方程验回归平面方程。22011211()()11nniiiiippiiyyyxxnpnp 2 类类似似地地，可可以以求求的的无无偏偏估估计计多元线性回归2022-8-3zhaoswallow283 3、回归模型的假设检验、回归模型的假设检验 在许多实际问题中，我们事先并不能断定在许多实际问题中，我们事先并不能断定因变量与自变量之间是否
22、确有线性关系，而前因变量与自变量之间是否确有线性关系，而前面建立的因变量与多个自变量间的线性关系只面建立的因变量与多个自变量间的线性关系只是一种假设，尽管这种假设常常不是没有根据是一种假设，尽管这种假设常常不是没有根据的。这就意味，所求得的经验回归方程是否有的。这就意味，所求得的经验回归方程是否有实用价值，需要经过假设检验才能确定。实用价值，需要经过假设检验才能确定。2022-8-3zhaoswallow29主要从以下几个方面进行检验：主要从以下几个方面进行检验：a、回归方程的检验；b、回归系数的检验；c、回归好坏程度的度量。2022-8-3zhaoswallow30a a、回归方程的检验、回
23、归方程的检验是否全为零。若全为零，则认为线性回归不是否全为零。若全为零，则认为线性回归不显著，否则认为线性回归显著。为此，在上显著，否则认为线性回归显著。为此，在上述模型中作假设述模型中作假设12,p 012112:0:,ppHH不不全全为为零零 要检验（6）的变量间有没有这种线性关系，只要检验p个系数2022-8-3zhaoswallow31考虑总偏差平方和，利用正规方程组，有考虑总偏差平方和，利用正规方程组，有2211()()nniiiiiiSyyyyyy T T0112211,niiiipipiyyyxxxn 为了构造检验统计量，记经验回归方程回归方程的检验2022-8-3zhaoswa
24、llow322211()()nniiiiiyyyy 2211()()nneiiiiiSyySyy R R记记 ,TeRSSS则则 回归方程的检验2022-8-3zhaoswallow33 它是由自变量它是由自变量X X的取值变化且通过线性回的取值变化且通过线性回归模型对归模型对y y的影响所构成的误差平方和。的影响所构成的误差平方和。eS 称称为为残残差差平平方方和和。RS 称称为为回回归归平平方方和和。它是由随机误差和其他未加控制的因素所引起的误差平方和。回归方程的检验2022-8-3zhaoswallow342212222122()(1),()()niiiniiyySnpyySp e eR
25、 R0H在在成成立立的的条条件件下下，可可以以证证明明eRSS且且与与相相互互独独立立。回归方程的检验2022-8-3zhaoswallow35(,1)1SpFF p npSnp R Re e构造检验统计量为FeS 当当自自变变量量和和因因变变量量之之间间符符合合线线性性回回归归模模型型时时，残残差差平平方方和和 比比较较小小，上上述述统统计计量量的的取取值值有有偏偏大大倾倾向向，否否则则，的的取取值值很很可可能能偏偏小小。回归方程的检验2022-8-3zhaoswallow36(,1)FFp np(,1)FFp np 反反之之，若若 相应的检验法则为：对对事事先先给给定定的的检检验验水水平平
26、，若若0H则则拒拒绝绝，即即认认为为各各系系数数不不为为零零，线线性性回回归归方方程程显显著著；0H则则接接受受，即即认认为为各各系系数数都都为为零零，所所假假设设的的线线性性回回归归方方程程不不显显著著；回归方程的检验2022-8-3zhaoswallow3701p,HL L在在拒拒绝绝的的情情况况下下，即即认认为为回回归归系系数数，不全为零，但这并不意味着每个自变量1,pXXyL L对对 的的影影响响都都相相同同，其其中中有有的的自自变变量量可能会起重要作用，而有的可能起的作用不大或者不起作用。110Xy 例例如如，若若，则则对对 没没有有影影响响。因此，在通过前面的线性回归模型的检验，1
27、,pyXXL L认认为为 与与符符合合线线性性回回归归模模型型之之后后，回归方程的检验2022-8-3zhaoswallow38还有必要从线性回归模型中剔除那些次要的、还有必要从线性回归模型中剔除那些次要的、可有可无的自变量，只保留那些起重要作用的自变量，以从新建立更为简练的线性回归模型，使之有利于实际应用。回归方程的检验2022-8-3zhaoswallow39b b、回归系数的检验、回归系数的检验01:0:0(1,2,)jjHHjp检验假设0jHxy原原假假设设未未被被拒拒绝绝，则则表表明明自自变变量量对对 的的作作用用不不显显著著，在在回回归归模模型型中中可可以以去去掉掉。01jHHxy
28、当当拒拒绝绝，即即接接受受，则则表表明明对对 起起作作用用，在在回回归归模模型型中中不不能能去去掉掉。2022-8-3zhaoswallow40下面的任务是选取检验统计量。下面的任务是选取检验统计量。2(,)nYN XI 121()(,()TTTX XX YNX X E,0,1,jjEjp由（7）所以，jj即即估估计计量量是是的的无无偏偏估估计计量量。回归系数的检验2022-8-3zhaoswallow411 ()TCX X ，2(,)jjjjNc (0,1)jjjjNc 22(1),Snp e e1jjcj 为为C C的的主主对对角角线线上上的的第第个个元元素素，则可以证明jeS 且且与与相
29、相互互独独立立。注意：矩阵C的下标都是从0开始的！回归系数的检验2022-8-3zhaoswallow42(1)1jjjeTt npc Snp 2(1),ttnp 0H因因此此，在在成成立立的的件件下下，对对于于检检验验水水平平，若若0jH 则则拒拒绝绝，即即认认为为显显著著的的不不为为零零。回归系数的检验2022-8-3zhaoswallow43 如果回归方程的检验结果是显著的，而且各个如果回归方程的检验结果是显著的，而且各个回归系数的检验结果都为显著时，说明各个自变量回归系数的检验结果都为显著时，说明各个自变量对因变量的单纯影响都是显著的。对因变量的单纯影响都是显著的。若有回归系数经显著性
30、检验为不显著时，说明若有回归系数经显著性检验为不显著时，说明其对应的自变量在回归方程中是不重要的，此时应其对应的自变量在回归方程中是不重要的，此时应该剔除。该剔除。2(1)ttnp 若若 0jH 则则接接受受，即即认认为为等等于于零零。回归系数的检验2022-8-3zhaoswallow44在对变量进行剔除时，需要注意：在对变量进行剔除时，需要注意：1 1）一次只能剔除一个不显著的回归系数对应）一次只能剔除一个不显著的回归系数对应的自变量，而且被剔除的自变量，应该是所的自变量，而且被剔除的自变量，应该是所有不显著的回归系数中的有不显著的回归系数中的t t值最小者。值最小者。2 2）重新进行少一
31、个自变量的多元线性回归分析。重新进行少一个自变量的多元线性回归分析。回归系数的检验2022-8-3zhaoswallow45 前面说的是剔除变量，也会有变量因素考虑不周的情况，这时应该考虑引入新的变量，那么如何引入新的变量？对于模型的选择，目前普遍采用的是逐步回归法。也即，每引入一个变量，要进行逐个检验，将不显著的变量剔除。详细情况请参阅韩中庚数学建模方法及其应用第九章。回归系数的检验2022-8-3zhaoswallow46c c、复相关系数、复相关系数 对一个回归方程来说，即使回归显著，但还对一个回归方程来说，即使回归显著，但还涉及到回归好坏程度的度量。对于一个因变量涉及到回归好坏程度的度
32、量。对于一个因变量和一组自变量之间相关程度，则要采用的复相关和一组自变量之间相关程度，则要采用的复相关系数来度量。系数来度量。研究一个变量与多个变量的线性相关称为复研究一个变量与多个变量的线性相关称为复相关分析。相关分析。2022-8-3zhaoswallow4721eRTTSSRSS21SRe e残残差差平平方方和和越越小小，复复相相关关系系数数越越大大，且且0 0。复相关系数定义为21R 越越接接近近，因因变变量量与与自自变变量量之之间间的的线线性性相相关关程程度度越越强强。复相关系数2022-8-3zhaoswallow482111eaTSnpRSn 但是复相关系数也有一些缺点。当采用的
33、自变量2eSR增增多多时时，其其就就会会减减少少，从从而而导导致致增增大大，而而有有些些自变量的引入可能是多余的。为了更准确地反映参数个数的影响，采用调整的2复复相相关关系系数数（adjust Radjust R）,其其定定义义如如下下：221aRR与与越越接接近近，因因变变量量和和自自变变量量之之间间线线性性相相关关程程度度越越强强。复相关系数2022-8-3zhaoswallow494 4、预测、预测 如果经检验，认为线性回归方程是可信的，而如果经检验，认为线性回归方程是可信的，而且拟合的又好，那么接下来就要用它进行预测。且拟合的又好，那么接下来就要用它进行预测。12,pxxxxxxL L
34、01020p01020p所所谓谓预预测测，是是指指当当20012000012,(0,)ppyxxxNyxxxX L:L:L L01020p01020p01020p01020p记记 时对y做区间估计，即以一定的置信度预测y的观察值的取值范围，也即y的预测区间。2022-8-3zhaoswallow5020012(,)pyNxxx:L:L01020p01020p01,nyyyL L且且假假设设 与与相相互互独独立立。00,yy 相相互互独独立立，分分别别服服从从正正态态分分布布。001220011(,1()()pppijiijjijyNxxxcxxxxn:L:L01020p01020p 预测202
35、2-8-3zhaoswallow510001111()()ppijiijjijdcxxxxn000(1)1eyyTt npSdnp:1 对对给给定定的的置置信信度度，有有2000(0,)yyNd :因而其中此时预测2022-8-3zhaoswallow520000022(1)(1)111eeSSP ytnpdyytnpdnpnp 000022(1),(1)11eeSSytnpdytnpdnpnp1y 0 0即即 的的置置信信度度为为的的置置信信区区间间为为预测2022-8-3zhaoswallow530,xx 显显然然，对对给给定定的的，越越靠靠近近样样本本均均值值0y 的的预预测测区区间间长
36、长度度越越小小，预预测测效效果果越越好好。预测2022-8-3zhaoswallow54三、可线性化的一元非线性回归模型三、可线性化的一元非线性回归模型 上面主要讲的是线性回归，而对于一元回归，上面主要讲的是线性回归，而对于一元回归，非线性回归的情形也是很常见的，对这些问题做回非线性回归的情形也是很常见的，对这些问题做回归就是曲线回归。归就是曲线回归。配置曲线回归的一个基本方法是通过适当的变配置曲线回归的一个基本方法是通过适当的变量代换把非线性回归化为线性回归。具体如下：先量代换把非线性回归化为线性回归。具体如下：先画出观察值的散点图，通过与常见的函数曲线对比，画出观察值的散点图，通过与常见的
37、函数曲线对比，经验的选择曲线类型。经验的选择曲线类型。常见的是下面六类曲线：常见的是下面六类曲线：2022-8-3zhaoswallow55（1 1）双曲线）双曲线 1bayx可线性化的一元非线性回归模型2022-8-3zhaoswallow56（2 2）幂函数曲线）幂函数曲线,0,0byaxxa可线性化的一元非线性回归模型2022-8-3zhaoswallow57（3 3）指数曲线：）指数曲线：,0bxyaea可线性化的一元非线性回归模型2022-8-3zhaoswallow58（4 4）倒指数曲线：）倒指数曲线：,0bxyaea可线性化的一元非线性回归模型2022-8-3zhaoswall
38、ow59（5 5）对数曲线：）对数曲线：log,0yabx x可线性化的一元非线性回归模型2022-8-3zhaoswallow60（6 6）S S型曲线：型曲线：1xyabe 可线性化的一元非线性回归模型2022-8-3zhaoswallow6121,(0,)baNyx :11,uvxy做做变变量量代代换换，则则上上述述模模型型转转化化成成2,(0,)vabuN :(,)(1,2,),iiu vin 设有模型线性回归模型：实验数据按上面的变量代换算出可线性化的一元非线性回归模型2022-8-3zhaoswallow622,ln(0,)bxyaeN:1,ln,uvyx可可做做变变量量代代换换l
39、nAa 并并记记，则则有有2,(0,)vAbuN :再按前面的线性回归公式计算参数估计，得1bayx当y与x适合模型可线性化的一元非线性回归模型2022-8-3zhaoswallow63 其他几种曲线都可通过适当的变量代换转化为其他几种曲线都可通过适当的变量代换转化为线性回归模型。这类回归模型就称为可线性化的线性回归模型。这类回归模型就称为可线性化的一元非线性回归模型。一元非线性回归模型。2,(0,)bxyaeN :表面上看，该模型比上面的模型简单，然而它却无法化成线性回归，因为它是所谓本质上非线性的模型。可线性化的一元非线性回归模型 值得注意的是，并非所有的曲线回归问题都可线性化，例如 20
40、22-8-3zhaoswallow64 多项式回归的处理方法和前面的曲线回归类多项式回归的处理方法和前面的曲线回归类似，通过变量转换化成多元线性回归来解决。似，通过变量转换化成多元线性回归来解决。2yabxcx 其其实实，还还有有一一种种曲曲线线，这这样样的的回回归归称称作作。如如果果自自变变量量只只有有一一个个，称称为为一一元元多多项项式式回回归归；如如果果自自变变量量有有多多个个，称称为为多多元元多多项项多多项项式式回回归归式式回回归归。2012 mmybbx b xb x L L对于一元m次多项式回归，212,mmxx xxxxL L令令则则上上式式化化为为可线性化的一元非线性回归模型2
41、022-8-3zhaoswallow6501122 mmybb xb xb x L L因此可以用前面的方法解决多项式回归问题。二元多项式回归处理方法类似。值得注意的是，随着自变量个数的增加,多元多项式回归分析的计算量急剧增加。因此，在多项式回归中较为常用的是一元二次多项式回归和一元三次多项式回归。可线性化的一元非线性回归模型2022-8-3zhaoswallow66四、软件应用四、软件应用 解决线性回归问题的常用软件有：Matlab，统计软件SPSS和SAS。SPSS的求解与SAS相同。这里介绍Matlab和SAS的求解方法。2022-8-3zhaoswallow671 1、线性回归的、线性回
42、归的matlabmatlab实现实现 回归分析的求解在回归分析的求解在MatlabMatlab中可用中可用regressregress实现，实现，其使用格式为：其使用格式为：其中y为列向量，表示因变量的取值；X为矩阵，代表自变量的取值；(注意：第一列全是1)alpha为置信水平，缺省时取0.05。b,bint,r,rint,stats=regress(y,X,alpha)b-参参数数 的的估估计计值值，为为列列向向量量。bint-alpha 参参数数 的的置置信信度度为为（1 1）的的置置信信区区间间，2022-8-3zhaoswallow68 当置信区间包含当置信区间包含0 0时，说明该参数
43、未通过时，说明该参数未通过T T检检验，可认为验，可认为0 0。r-残差向量，取值为Y-X*b。rint-残差的置信度为1-alpha的置信区间。stats-回归方程的统计量，stats(1)为复相关系数，stats(2)为F值，stats(3)为F值对应的概率值，stats(4)为误差方差的估计值。线性回归的matlab实现2022-8-3zhaoswallow69 对照前面所讲的参数意义，采用Matlab可方便求解该问题。第一个回归模型计算结果如下，其他类似。第 1条线路回归方程参数:系数，置信下限，置信上限110.29651，109.37571，111.21731 0.08284，0.0
44、8109，0.08459 0.04828，0.04432，0.05224 0.05297，0.05164，0.05430 0.11993，0.11684，0.12303-0.02544，-0.02737，-0.02351 0.12201，0.11939，0.12463 0.12158，0.11855，0.12461-0.00123，-0.00335，0.00090线性回归的matlab实现2022-8-3zhaoswallow70统计量值R2=0.9995,F=5861.51944,p=0.00000方案0的原始值，预测值，相对误差百分比:164.7800 164.7120 0.0413140
45、.8700 140.8238 0.0328-144.2500 -144.2051 0.0312119.0900 119.0412 0.0410线性回归的matlab实现2022-8-3zhaoswallow712 2、SASv9SASv9求解过程求解过程（1 1）启动）启动SASSAS软件，鼠标点击软件，鼠标点击Solutions-Solutions-Analysis-AnalystAnalysis-Analyst，启动分析家。，启动分析家。2022-8-3zhaoswallow72（2）在弹出的表中输入数据，结果如图4.2。其中1-32行为32组实验数据（方案0未选，后面将作为测试数据）。8
46、台机组的出力为表示。表示。,条线路的潮流值用条线路的潮流值用6 6表示，表示，,6 61 18 81 1y yy yx xx x（由于数据较多，可将数据拷贝到记事本或Excel中，然后由SAS直接读入更方便。）SASv9求解过程2022-8-3zhaoswallow73SASv9求解过程2022-8-3zhaoswallow74（3）鼠标点击Statistics-Regression-Linear Regression,SASv9求解过程2022-8-3zhaoswallow7518168,DependentOKxxExplanatoryyyLLLL在在弹弹出出对对话话框框中中，左左边边文文本
47、本文文框框中中将将 个个自自变变量量选选入入框框中中，将将因因变变量量选选入入框框中中，然然后后点点击击即即可可执执行行回回归归分分析析。SASv9求解过程2022-8-3zhaoswallow76SASv9求解过程2022-8-3zhaoswallow77第一行分别给出的是，自变量个数p，回归平方和，平均回归平方和值，F值，P5861.520.0001=0.050.1F 最最后后一一列列是是指指，故故不不管管检检验验水水平平或或，都都说说明明回回归归方方程程显显著著。第二行依次是，n-p-1，残差平方和，平均残差平方和。第三行依次是，n-1，总偏差平方和。SASv9求解过程2022-8-3z
48、haoswallow7822,100.aRy 第第一一行行依依次次是是误误差差均均方方根根(剩剩余余标标准准差差，),),复复相相关关系系数数R R第第二二行行是是因因变变量量均均值值y y，调调整整的的复复相相关关系系数数第第三三行行是是变变异异系系数数，即即最后是参数的估计，每一行依次是，参数，自由度，参数的估计值，标准误差，t值，P.Tt SASv9求解过程2022-8-3zhaoswallow79SAS9 可以同时完成6个回归模型参数及各指标的计算，上面只列出了第一个回归计算结果，其他类似。从复相关系数，均方误差，显著性检验和对原方案的预测几个方面来看，6个回归方程都拟合的很好，从数学
49、的角度说明方程真实地反映了6条线路与8个机组出力的函数关系。SASv9求解过程2022-8-3zhaoswallow80五、应用案例五、应用案例（1）CUMCM2004-A：奥运临时超市网点设计：奥运临时超市网点设计（2）CUMCM2005-A：长江水质的评价和预测：长江水质的评价和预测（3）CUMCM2006-B：艾滋病疗法的评价及疗：艾滋病疗法的评价及疗 效的预测效的预测（4）CUMCM2008-B：高等教育学费标准探讨：高等教育学费标准探讨2022-8-3zhaoswallow81参考书目参考书目 数学建模简明教程数学建模简明教程，西北工业大学数学建模，西北工业大学数学建模指导委员会，高等教育出版社，指导委员会，高等教育出版社，2008.数学建模方法及应用数学建模方法及应用，韩中庚，高等教育出，韩中庚，高等教育出版社，版社，2005.
