1、2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所11离散数学离散数学Discrete Mathematics汪荣贵汪荣贵 教授教授合肥工业大学计算机与信息学院合肥工业大学计算机与信息学院2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所2第第12章章 典型抽象代数结构典型抽象代数结构（上）附录（上）附录A-22022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所3&引言引言群在代数系统中群在代数系统中 发展历史最悠久发展历史最悠久 涉及内容最广泛涉及内容最广泛 实际应用最充分实际应用最充分2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所4&引言引言2022-8-5计算机
2、应用技术研究所计算机应用技术研究所5&典型抽象代数结构典型抽象代数结构（上）（上）群结构的基本知识群结构的基本知识2 2 同余关系与商群同余关系与商群3 3半群的概念和性质半群的概念和性质1 12022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所6半群的概念和性质半群的概念和性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所7&半群的概念和性质半群的概念和性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所8&半群的概念和性质半群的概念和性质J 半群与含幺半群半群与含幺半群4 方幂与循环半群方幂与循环半群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所9&半群的定
3、义半群的定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所10&半群的例子半群的例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所11&半群的例子半群的例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所12&含幺半群的定义含幺半群的定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所13&含幺半群的例子含幺半群的例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所14&含幺半群的例子含幺半群的例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所15&子半群与子含幺半群子半群与子含幺半群将子代数的定义应用到半群可得子半群的定义将子代数的定义应
4、用到半群可得子半群的定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所16&子半群与子含幺半群子半群与子含幺半群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所17&子半群与子含幺半群子半群与子含幺半群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所18&半群同态与同构半群同态与同构应用代数系统中的同态和同构概念，可得如下定义：应用代数系统中的同态和同构概念，可得如下定义：2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所19&半群同态与同构半群同态与同构2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所20&半群同态与同构半群同态与同构2022-8-5计
5、算机应用技术研究所计算机应用技术研究所21&半群同态与同构半群同态与同构【下续下续】2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所22&半群同态与同构半群同态与同构【续上续上】2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所23&半群的概念和性质半群的概念和性质4 半群与含幺半群半群与含幺半群J 方幂与循环半群方幂与循环半群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所24&方幂的定义方幂的定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所25&方幂的定义方幂的定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所26&方幂和循环半群方幂和循环半群2
6、022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所27&方幂和循环半群方幂和循环半群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所28&循环半群循环半群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所29&循环半群举例循环半群举例【分析】【分析】证明循环半群或循环含幺半群的证明循环半群或循环含幺半群的关键是要求出其并验证生成元。一般首先通关键是要求出其并验证生成元。一般首先通过列方程计算生成元，然后进行验证。过列方程计算生成元，然后进行验证。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所30&循环半群举例循环半群举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用
7、技术研究所31&方幂和循环半群方幂和循环半群【定理【定理 】每个循环半群都是可交换半群。每个循环半群都是可交换半群。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所32&循环半群举例循环半群举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所33&循环半群举例循环半群举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所34&例题结论的推广例题结论的推广2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所35本节内容到此结束本节内容到此结束2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所36&典型抽象代数结构典型抽象代数结构（上）（上）半群的概念和性质半群的概
8、念和性质1 1 同余关系与商群同余关系与商群3 3群结构的基本知识群结构的基本知识2 22022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所37群结构的基本知识群结构的基本知识2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所38&群结构的基本知识群结构的基本知识J 群的基本概念群的基本概念4 子群与群同态子群与群同态4 循环群与置换群循环群与置换群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所39&群的基本概念群的基本概念满足满足结合律、有幺元，每个元有逆元结合律、有幺元，每个元有逆元的二元的二元代数系统代数系统为为群群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研
9、究所40&群的定义群的定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所41&群的例子群的例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所42&交换群与有限群交换群与有限群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所43&群的例子群的例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所44&群的例子群的例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所45&群的例子群的例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所46&群的例子群的例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所47&群的例题群的例题2022-8-5
10、计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所48&群的例题群的例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所49&群的例题群的例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所50&群的可消去性群的可消去性2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所51&群的可消去性群的可消去性2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所52&群的逆运算群的逆运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所53&群的可解性群的可解性2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所54&群和方幂群和方幂2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用
11、技术研究所55&群元素的周期群元素的周期2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所56&元素阶的性质元素阶的性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所57&元素阶的性质元素阶的性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所58&群的基本知识群的基本知识4 群的基本概念群的基本概念J 子群与群同态子群与群同态4 循环群与置换群循环群与置换群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所59&子群的定义子群的定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所60&子群的性质子群的性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术
12、研究所61&子群的性质子群的性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所62&子群的例题子群的例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所63&子群的例题子群的例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所64&子群的例题子群的例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所65&子群的例题子群的例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所66&子群的例题子群的例题上例标明：枚举法对于群的阶数较大的上例标明：枚举法对于群的阶数较大的时候不便使用时候不便使用2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所67&子群
13、的判定子群的判定2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所68&子群的判定子群的判定2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所69&子群的判定子群的判定2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所70&子群的例题子群的例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所71&子群的例题子群的例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所72&子群的例题子群的例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所73&子群的例题子群的例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所74&子群的判定子群的判定2022-
14、8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所75&子群的判定子群的判定2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所76&子群判别方法子群判别方法定理定理12.92022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所77&子群判别方法子群判别方法定理定理12.10定理定理12.112022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所78&群的同构关系群的同构关系2 23 31 11 12 23 33 31 12 22022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所79&群的同构关系群的同构关系2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所80&群的同构关系群的
15、同构关系2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所81&群的同构关系群的同构关系2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所82&群的同构关系群的同构关系2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所83&群的同构性质群的同构性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所84&群的同构性质群的同构性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所85&群的同构性质群的同构性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所86&群的同态关系群的同态关系考虑下面两个例子考虑下面两个例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应
16、用技术研究所87&群的同态关系群的同态关系2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所88&群的同态关系群的同态关系上面两个例子表明：一个较小的系统是群，上面两个例子表明：一个较小的系统是群，与之满同态的原像系统可能是群，也可能不与之满同态的原像系统可能是群，也可能不是。如果原像系统是群，则与之满同态的同是。如果原像系统是群，则与之满同态的同态像系统必然是群。态像系统必然是群。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所89&群的同态关系群的同态关系2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所90&群的同态关系群的同态关系2022-8-5计算机应用技术研究所
17、计算机应用技术研究所91&群的同态关系群的同态关系2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所92本节内容到此结束本节内容到此结束2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所93&群结构的基本知识群结构的基本知识4 群的基本概念群的基本概念4 子群与群同态子群与群同态J 循环群与置换群循环群与置换群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所94&循环群与置换群循环群与置换群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所95&循环群的例子循环群的例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所96&循环群定义循环群定义2022-8-5计
18、算机应用技术研究所计算机应用技术研究所97&循环群例子循环群例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所98&循环群例子循环群例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所99&循环群例子循环群例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所100&循环群例子循环群例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所101&循环群例子循环群例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所102&例题选讲例题选讲2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所103&循环群性质循环群性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算
19、机应用技术研究所104&循环群性质循环群性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所105&循环群性质循环群性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所106&循环群性质循环群性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所107&循环群性质循环群性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所108&循环群性质循环群性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所109&循环群性质循环群性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所110&循环群性质循环群性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研
20、究所111&循环群与置换群循环群与置换群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所112&置换群定义置换群定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所113&置换群定义置换群定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所114&置换群定义置换群定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所115&置换群定义置换群定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所116&置换群定义置换群定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所117&置换群定义置换群定义变换群可以是有限群也可以是无限群。变换群可以是有限群也可
21、以是无限群。对称群一定是有限群。对称群一定是有限群。置换群是变换群的子群置换群是变换群的子群对称群作为其自身的平凡子群是一种特对称群作为其自身的平凡子群是一种特殊的置换群，但置换群不一定是对称群殊的置换群，但置换群不一定是对称群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所118&n n元置换元置换2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所119&n n元置换元置换2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所120&置换群几何意义置换群几何意义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所121&置换群几何意义置换群几何意义【下续下续】2022-8
22、-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所122&置换群几何意义置换群几何意义【续上续上】2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所123&置换群几何意义置换群几何意义不难看出：0,1,2,3,4,5,构成一个群，其中表示旋转或翻转的操作的复合操作，并且与群1,2,3,4,5,6,同构。图 12-3 三角形的对称轴和对称中心 图 12-4正方形的对称轴和对称中心2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所124&置换群几何意义置换群几何意义 图 12-3 三角形的对称轴和对称中心 图 12-4正方形的对称轴和对称中心2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术
23、研究所125&置换群几何意义置换群几何意义 2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所126&置换群几何意义置换群几何意义 2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所127&置换群几何意义置换群几何意义 2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所128&置换群置换群 2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所129&置换群置换群 2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所130&置换群置换群 上述定理表明：上述定理表明：每个群均同构于一个变换群，每个群均同构于一个变换群，特别地，每个有限群均同构于一个置换群。特别地，每个有限
24、群均同构于一个置换群。因此，从同构的角度看因此，从同构的角度看：p 所有的群都可以看成是变换群所有的群都可以看成是变换群p 所有的有限群都可以看成是置换群。所有的有限群都可以看成是置换群。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所131本节内容到此结束本节内容到此结束2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所132&典型抽象代数结构典型抽象代数结构（上）（上）半群的概念和性质半群的概念和性质1 13 3 群结构的基本知识群结构的基本知识2 2同余关系与商群同余关系与商群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所133同余关系与商群同余关系与商群2022
25、-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所134&同余关系与商群同余关系与商群J 同余关系与陪集同余关系与陪集4 正规子群与商群正规子群与商群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所135&同余关系同余关系2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所136&同余关系同余关系2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所137&同余关系同余关系2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所138&同余关系同余关系2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所139&陪集的定义陪集的定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技
26、术研究所140&陪集例题陪集例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所141&陪集例题陪集例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所142&陪集陪集2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所143&拉格朗日定理拉格朗日定理2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所144&拉格朗日定理拉格朗日定理2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所145&推论推论2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所146&推论推论2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所147&推论推论【推论】【推论】阶为素数
27、的有限群是循环群阶为素数的有限群是循环群.2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所148&例题例题【例题】【例题】证明证明6 6阶群一定含有阶群一定含有3 3阶元阶元.2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所149&例题例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所150&同余关系与商群同余关系与商群4 同余关系与陪集同余关系与陪集J 正规子群与商群正规子群与商群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所151&正规子群定义正规子群定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所152&正规子群例题正规子群例题2022-8
28、-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所153&正规子群例题正规子群例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所154&正规子群判定正规子群判定2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所155&正规子群判定正规子群判定2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所156&同核态概念同核态概念2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所157&同核态性质同核态性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所158&同核态性质同核态性质【下续下续】2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所159&同核态性质同核态性质
29、【续上续上】2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所160&正规子群例题正规子群例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所161&正规子群例题正规子群例题【下续下续】2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所162&正规子群例题正规子群例题【续上续上】2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所163&商群商群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所164&商群商群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所165&商群商群2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所166&商群商群【下续下续】
30、2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所167&商群商群【续上续上】2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所1682022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所1692022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所1702022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所1712022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所172任何群都与其商群之间具有满同态关系。群与任何群都与其商群之间具有满同态关系。群与其商群之间的具体映射关系如图所示。其商群之间的具体映射关系如图所示。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所173【证明证明】证明较复杂此处略证明较复杂此处略2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所174本节内容到此结束本节内容到此结束
