1、第第11 11章章 线性动态电路暂态过程复频域分析线性动态电路暂态过程复频域分析 前一章研究了线性动态电路暂态过程的时域分析问题，指出在储能元件较多时，确定积分常数将十分繁杂。为此，本章介绍采用拉普拉斯变换分析线性动态电路的方法，使常微分方程问题化为代数方程问题。复频域分析法同第六章的相量法一样属于变换域分析法。本章首先简要介绍拉普拉斯变换及其基本性质，然后建立电路的复频域模型，并在此基础上讨论复频域分析法。最后讨论网络函数。提要 11.1 拉普拉斯变换11.2 拉普拉斯变换的基本性质 11.3 拉普拉斯逆变换 11.4复频域中的电路定律与电路模型 11.5用拉普拉斯变换分析线性动态电路的暂态
2、过程11.6 网络函数 式式(11.1)称为函数的称为函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换，简称拉氏变换。记作，简称拉氏变换。记作 F(s)称为称为 f(t)的拉氏变换或称为的拉氏变换或称为象函数象函数。其中复参量其中复参量 s=+j 。在电路中。在电路中t代表时间，代表时间，s便具有时间的倒便具有时间的倒量纲，也即频率的量纲，因此称为量纲，也即频率的量纲，因此称为复频率复频率。F(s)的单位是相应的单位是相应 f(t)的单位乘以时间的单位乘以时间 t 的单位。的单位。定义：设函数定义：设函数f(t)在在 t 0的某个邻域内有定义，而且积分的某个邻域内有定义，而且积分 (s是复参量是复参量)在复平面
3、在复平面 s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为(11.1)基本要求：掌握常用函数基本要求：掌握常用函数(直流或阶跃函数、指数函数、冲激直流或阶跃函数、指数函数、冲激函数函数)的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。0()edstf tt0()()edstF sf tt()()F sf tL原函数原函数f(t)(t0)象函数象函数F(s)原函数原函数f(t)(t0)象函数象函数F(s)(n为正整数为正整数)(n为正整数为正整数)表表11.111.1常用函数的拉普拉斯变换对常用函数的拉普拉斯变换对 AAs(1 e)tA()As snt1!nnsent
4、t1!()nnsa(1)eatt2()sssin()t22sincossscos()t22cossinssesin()att22()sincos()sasaecos()att22()cossin()sasa11.2拉普拉斯变换的基本性质1线性性质(1)求求 的象函数的象函数F(s)。(2)求求 的象函数的象函数F(s)若若 ，a、b为任意常数，则为任意常数，则基本要求：掌握常用函数拉普拉斯变换的基本性质。基本要求：掌握常用函数拉普拉斯变换的基本性质。1122()(),()()f tF sf tF sLL121211212()()()()()()()()af tbf taF sbF saF sb
5、F saf tbf tLL()(1 e)atf tA()sinf tt(1)()(1 e)1e()atatAAAaF sAAAssas saL LLLjjjj221(2)()sin(ee)2j1111ee()2j2jjjttttF stsssLLL2微分性质 该性质表明一个函数求导后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变该性质表明一个函数求导后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换后乘以复参量换后乘以复参量s，再减去，再减去0-时刻的起始值。时刻的起始值。若若 ，则，则 d()()(0)df tsF sftL()()f tF sL推论推论：设：设 ，则，则 ()()f tF sL()12(1)(1)()()
6、(0)(0)(0)nnnnnfts F ssfsffL用微分性质求用微分性质求 的象函数的象函数F(s)。()cosf tt2201 d()cossind1sin sintF stttssttsLLL3积分性质 该性质表明一个函数积分后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变该性质表明一个函数积分后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参量换除以复参量s。若若 ，则，则 ()()f tF sL01()d()tfF ssL求求 的象函数的象函数F(s)。()()f ttt解因为因为 所以所以 0()()dttt 2011()()()d ()tF stttss LLL4延迟性质 根据上述性质可以方便地求出矩
7、形脉冲的象函数。一个高度为根据上述性质可以方便地求出矩形脉冲的象函数。一个高度为A，宽度为宽度为t0的矩形脉冲可表示为的矩形脉冲可表示为根据延迟性质得矩形脉冲的象函数为根据延迟性质得矩形脉冲的象函数为 若若 ，则，则 ()()f tF sL000()()e()stf ttttF sL其中其中 表示把表示把 延迟至延迟至 。00()()f tttt()f t0t0()()()f tAttt0011()(e)(1 e)ststAF sAsss5位移性质 6初值定理 7终值定理 该性质表明：一个函数乘以指数函数该性质表明：一个函数乘以指数函数eat的拉氏变换等于其象的拉氏变换等于其象函数作位移函数作
8、位移a。若若 ，则，则 ()()f tF sLe()()Re()0atf tF sasaL若若 ，且，且 存在，则存在，则 ()()f tF sL0lim()tsF s0(0)lim()lim()tsff tsF s若若 ，且，且 的所有奇点都在平面的左半平面的所有奇点都在平面的左半平面，则则 ()()f tF sL()sF s0()lim()lim()tsff tsF s 8卷积定理该定理表明：原函数卷积的象函数等于相应象函数的乘积；该定理表明：原函数卷积的象函数等于相应象函数的乘积；象函数乘积的原函数等于原函数的卷积。象函数乘积的原函数等于原函数的卷积。若若 ，则，则 1122()(),(
9、)()f tF sf tF sLL1212()()()()f tf tF s F sL11212()()()()F s F sf tf tL如果如果F2(s)是网络的冲击是网络的冲击响应的像函数，响应的像函数，F1(s)是是激励的像函数，则激励的像函数，则 F1(s)F2(s)为响应的像为响应的像函数函数在线性集中参数电路中，电压和电流的象函数都是在线性集中参数电路中，电压和电流的象函数都是 s 的有理分的有理分式，可以展开成部分分式之和。对每个部分分式求原函数，式，可以展开成部分分式之和。对每个部分分式求原函数，再根据逆变换的线性性质，将所有部分分式的原函数代数相再根据逆变换的线性性质，将所
10、有部分分式的原函数代数相加，就得所求象函数的原函数。加，就得所求象函数的原函数。集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式集中参数电路的象函数可以表示成下列有理分式 式中式中F1(s)和和F2(s)都是实系数的多项式，且无公因式。都是实系数的多项式，且无公因式。定义：由定义：由F(s)求求 f(t)的运算称为的运算称为拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换，计算逆变换，计算逆变换的一般公式是的一般公式是基本要求：掌握常用函数的拉普拉斯逆变换。掌握用部分基本要求：掌握常用函数的拉普拉斯逆变换。掌握用部分分式展开法求有理分式的原函数分式展开法求有理分式的原函数。j1j1()()()e d2 jstf tF
11、sF ss L1110112110()()()mmmmnnnnb sbsbsbF sF sF sa sasa sa1nm 情况(1)F2(s)=0只有只有单根单根这时这时F(s)可以展开成下列简单的部分分式之和可以展开成下列简单的部分分式之和(11.17)12112()nknkkknkAAAAAF sspspspspsp式中式中p1、p2、pn为方程为方程F2(s)=0的的n个不同的根，它们可以是个不同的根，它们可以是实数也可以是复数。由于实数也可以是复数。由于s pk时时|F(s)|，故这些根称为，故这些根称为F(s)的的极点极点(pole)。A1、A2、An为待定系数。为了求出其中任何一为
12、待定系数。为了求出其中任何一个常数个常数Ak，用，用(s pk)乘上式的两边各项得乘上式的两边各项得(11.18)1212()()()()()kknkkknA spA spA spF s spAspspsp两边取两边取s pk时的极限，等式右边只剩下时的极限，等式右边只剩下Ak，其余全为零。，其余全为零。于是得于是得(11.19)12()()lim()()lim(1,2,)()kkkkkspspF s spAF s spknF s(11.20)1211122()()lim()()()()()lim(1,2,)()()kkkkspkkspkF s spAF sF sF s spF pknF sF
13、p将将Ak代入式代入式(11.17)后，两边取拉普拉斯逆变换并利用线性性质得后，两边取拉普拉斯逆变换并利用线性性质得(11.21)1111()()eknnp tkkkkkAf tF sAspLL如果式（如果式（11.19）为）为“0/0”的不定式，则可根据罗比塔法则得：的不定式，则可根据罗比塔法则得：已知已知 ，求它的原函数，求它的原函数 f(t)。3221()710sF ssss解令令 ，求得其根为，求得其根为322()710(2)(5)0F sssss ss10p。因此。因此F(s)可以展开成可以展开成232,5pp 312()25AAAF ssss10223521lim0.1(2)(5)
14、21lim(2)0.5(2)(5)21lim(5)0.6(2)(5)ssssAss sssAss sssAss ss 0.10.50.6()25F ssss125()()0.1 0.5e0.6e(0)ttf tF stL对于单复根情况，由于对于单复根情况，由于F2(s)的系数为实数，的系数为实数，F(s)的复数极点的复数极点均以共轭复数形式出现，且对应待定系数也是共扼关系。利均以共轭复数形式出现，且对应待定系数也是共扼关系。利用这一特点便可减化计算。设象函数为用这一特点便可减化计算。设象函数为(11.22)*()AAF sspsp令令 ，则，则 ，对式对式(11.22)取逆变换得取逆变换得 j
15、p|AAjp|AA(11.23)1j()j()()()ee|e ee2|e cos()(0)ptptatttatf tF sAAAAttL已知已知 ，求它的原函数，求它的原函数f(t)。321()22sF ssss解 的根为的根为322()220F ssss12320,j1j,1jppapp F(s)的展开式的展开式312123()AAAF sspspsp12111221122222223()10.5()342()1|0.25 2135()342s ps pF psAFpssF psAAFpssAA1112()()e2|e cos()0.50.5 2e cos(135)(0)p tattf t
16、F sAAtttL(2)F2(s)=0含有含有重根重根 此时此时F(s)的部分分式展开式为的部分分式展开式为(11.25)111112()()()()()n mkmmmmkknnnABBF sBF sF sspspspsp为简便起见，设为简便起见，设F2(s)=0含有一个含有一个m次重根，其余为单根，则次重根，其余为单根，则F2(s)可以表示为可以表示为(11.24)212()()()()()mnn mnF sa spspspsp其中单根对应的待定系数其中单根对应的待定系数 与前面的计与前面的计算相同。下面讨论重根对应的待定系数。把上式两边各乘算相同。下面讨论重根对应的待定系数。把上式两边各乘
17、以以 ，得，得 1,2,()kA knm()mnsp(11.26)111112()()()()()()n mmmmknnmmnnkkAF sspspBBspB spF ssp令令 s pn，则上式右边除，则上式右边除 Bm 项外，其余各项均变为零。而项外，其余各项均变为零。而左边为左边为 0/0 的不定式，取极限得的不定式，取极限得11212()()lim()()()()()nnmmnspnn ms pF sF sBspF sa spspsp为了求出为了求出 Bm 1，把，把(11.26)的两边对的两边对 s 求一次导数，然后令求一次导数，然后令s pk，则右边除，则右边除Bm 1项以外，其各
18、项均变为零。故得项以外，其各项均变为零。故得112()dlim()d()nmmnspF sBsps F s仿此可得一般公式为仿此可得一般公式为(11.27)12()1dlim()0,1,(1)!d()nkmm knkspF sBspkmksF s求出各系数后，从表求出各系数后，从表11.1可查到可查到 的逆变换为的逆变换为 1/()knsp111e()(1)!nkp tkntspkL对式对式(11.25)右边的每一项取逆变换，得右边的每一项取逆变换，得F2(s)=0含有重根时含有重根时的原函数为的原函数为(11.28)112111111()()ee(1)!(2)!ee(0)()!knknn m
19、p tp tmmmmkkn mmp tp tm km kkkkBBf tF sAttBmmBAttmk L1212212()()e()e1 14e(2213)e0ttttf tF sAAB tBtt L22122201104104lim1,lim(1)14(1)(2)(1)(2)ssssAsAss sss ss 已知已知 ，求它的原函数，求它的原函数 f(t)。22104()(1)(2)sF ss ss解F2(s)存在两个单根和一存在两个单根和一个个2重根，其展开式为重根，其展开式为 12212()1(2)2AABBF sssss2222222122104lim(2)22(1)(2)d104l
20、im(2)13d(1)(2)sssBss sssBss s ss2 2n m 情况情况此时把此时把 F1(s)和和 F2(s)均按降幂排列，用分母多项式均按降幂排列，用分母多项式 F2(s)去去除分子多项式除分子多项式F1(s)，把象函数，把象函数 F(s)化成一个化成一个 s 的多项式与一的多项式与一个分式之和的形式。这个分式的分子最高次幂低于分母最高个分式之和的形式。这个分式的分子最高次幂低于分母最高次幂，仍可用式次幂，仍可用式(11.21)求其原函数。求其原函数。而而 s 的多项式的原函数为的多项式的原函数为冲激函数冲激函数或其或其导数导数的代数和。的代数和。解用分母多项式去除分子多项式
21、得用分母多项式去除分子多项式得 已知已知 ，求它的原函数求它的原函数 f(t)。43232924221()710ssssF ssss32432710924221sss ssss2s432710sss3221420sss21s32214221sss3221()2710sF sssss25()()2()0.1 0.5e0.6ettf ttt11.4复频域中的电路定律与电路模型在复频域中，在复频域中，KVLKVL、KCLKCL依然保留着与直流电路、正弦稳态依然保留着与直流电路、正弦稳态交流电路相同的形式！交流电路相同的形式！根据拉普拉斯变换的定义可知，电流、电压象函数的单位分别为安秒根据拉普拉斯变换
22、的定义可知，电流、电压象函数的单位分别为安秒(As)，即库仑和伏秒，即库仑和伏秒(Vs)即韦伯。即韦伯。基本要求：熟练掌握复频域形式的电路定律以及基本要求：熟练掌握复频域形式的电路定律以及R、L、C等等元件的电路模型。正确确定附加电源。掌握建立复频域电路元件的电路模型。正确确定附加电源。掌握建立复频域电路模型的方法。模型的方法。1复频域中的基尔霍夫定律基尔霍夫定基尔霍夫定律方程的时律方程的时域形式为域形式为根据拉普拉斯变根据拉普拉斯变换的线性性质换的线性性质基尔霍夫基尔霍夫定律的复定律的复频域形式频域形式()0ki t()0ku t()0kIs()0kUs()()kkf tF sL2复频域中元
23、件电压与电流关系及元件的复频域模型复频域中元件电压与电流关系及元件的复频域模型拉氏变换拉氏变换线性性质线性性质()()RRUsRIs(1)电阻元件电阻元件RRuRi(2)电容元件附加附加电压源电压源ddCCuiCt由拉氏变换微分特性得由拉氏变换微分特性得(0)1()()CCCuUsIssCs()()(0)CCCIssCUsCu运算容运算容抗模型抗模型(3)电感元件tiLuLLdd附加电压源运算感抗模型)0()()(LLLLissLIsU由拉氏变换由拉氏变换微分特性得微分特性得(4)互感元件tiLtiMutiMtiLudddddddd22122111)0()0()()()()0()0()()()
24、(22122122112111iLMisIsLssMIsUMiiLssMIsIsLsU)0()0()()0()0()(22122111iLMisUMiiLsU 将电感、电容和互感等元件的微、积分方程简化成为将电感、电容和互感等元件的微、积分方程简化成为复频域（拉普拉斯变换域）里的线性代数方程。复频域（拉普拉斯变换域）里的线性代数方程。复频域中电路元件方程的特点3复频域电路模型 运算阻抗与运算导纳sCsLRsZ1)(运算阻抗运算阻抗)()(1sYsZ运算导纳运算导纳)()()(SsZsIsU)()()(SsYsUsI零状态零状态)()()()(SsUsUsUsULCRsuLisUsIsCsLRC
25、L)0()0()()()1(SKVLt 0复频域电路模型复频域电路模型运算阻抗模型运算阻抗模型11.5用拉普拉斯变换分析线性动态电路的暂态过程方法：方法：针对直流电路提出的各种分析方法、定理和公式均可推针对直流电路提出的各种分析方法、定理和公式均可推广用于复频域中的运算电路。具体地说：广用于复频域中的运算电路。具体地说：只须将以前方只须将以前方程和公式中的电阻推广为运算阻抗，将电导推广为运算程和公式中的电阻推广为运算阻抗，将电导推广为运算导纳，将恒定电压、电流推广为电压、电流象函数，将导纳，将恒定电压、电流推广为电压、电流象函数，将附加电源与独立电源同样对待，就可用计算直流电路的附加电源与独立
26、电源同样对待，就可用计算直流电路的方法计算运算电路。方法计算运算电路。基本要求：理解在直流电路中建立的各种分析方法、定基本要求：理解在直流电路中建立的各种分析方法、定理和公式均可推广用于复频域电路模型的原理。熟练掌理和公式均可推广用于复频域电路模型的原理。熟练掌握线性动态电路暂态过程复频域分析法的一般步骤。握线性动态电路暂态过程复频域分析法的一般步骤。步骤：步骤：1 1 由换路前的电路求出全部电容由换路前的电路求出全部电容uC(0-)的和全部电感的的和全部电感的iL(0-)，并将激励的时域函数变换成象函数。，并将激励的时域函数变换成象函数。2 2 根据换路后的电路画出运算电路。其中根据换路后的
27、电路画出运算电路。其中 uC(0-)和和 iL(0-)的作用用附加电源表示，参数的作用用附加电源表示，参数（R、L、C）用复频域阻用复频域阻抗表示，已知的和待求的电压电流均用象函数表示。抗表示，已知的和待求的电压电流均用象函数表示。3 3 将求解直流电路的方法（等效化简或列电路方程）推广将求解直流电路的方法（等效化简或列电路方程）推广用于运算电路，求出响应的象函数。用于运算电路，求出响应的象函数。4 4 利用部分分式展开法或积分变换表将响应的象函数变换利用部分分式展开法或积分变换表将响应的象函数变换为原函数。为原函数。电路如图电路如图(a)(a)所示，所示，uS=20e-t(t)V，电路为零状
28、态。，电路为零状态。求求t 0 时时uo 的变化规律。的变化规律。(a)(b)解电源的象函数为电源的象函数为 S20V()1Uss复频域电路模型如图复频域电路模型如图(b)(b)所示。其节点电压方程为所示。其节点电压方程为 So11()2A(0.1)()1010101Uss Uss12o20()(1)(2)12AAUsssss112220lim(1)20V(1)(2)20lim(2)20V(1)(2)ssAsssAsss-1-2-2oo12()()ee20(ee)V0ttttu tUsAAtL解得：解得：取拉普拉斯反变换得取拉普拉斯反变换得 电路如图电路如图(a)所示，所示，t0时的全响应时的
29、全响应uL和和uC。解SSS30()VUUsUssLt0时复频域电路模型如图时复频域电路模型如图(b)所示，此时有所示，此时有 260()()(0)50400LLLUssLIsLiss进而可得进而可得221(0)22.5118512000()()(50400)CCLussUsIssCss ss1260()(10)(40)1040LAAUsssss11060lim(10)2V(10)(40)sAsss 求求UL(s)的部分分式展开式的部分分式展开式24060lim(40)2V(10)(40)sAsss602V2V()(10)(40)1040LUsssss同理求得同理求得UC(s)的部分分式展开式
30、为的部分分式展开式为 222.511851200030V8V0.5V()(10)(40)1040CssUss sssss所以待求响应的时间函数为所以待求响应的时间函数为 11040()(2e2e)V(0)ttLLuUst L11040()(308e0.5e)V(0)ttCCuUstL在图在图(b)所示的复频域电路模型中，所示的复频域电路模型中，如果令附加电源为零，仅由如果令附加电源为零，仅由US(s)作用产生的响应便是零作用产生的响应便是零状态响应；状态响应；反之，如果反之，如果US(s)=0，则仅由附加电源作用产生的响应，则仅由附加电源作用产生的响应便是零输入响应。便是零输入响应。复频域电路
31、模型复频域电路模型 电路如图电路如图(a)所示，已知所示，已知 R1=9 ，R2=1 ，C1=1F，C2=4F，外加电压，外加电压 uS=10(t)V，电路为零状态。，电路为零状态。求电流求电流i和电压和电压uo。图图11.8 例题例题11.10解电路是零状态，故运算电路中无附加电源。外加阶跃电电路是零状态，故运算电路中无附加电源。外加阶跃电压的象函数为压的象函数为 S()10V/Uss从电源看进去的等效复频域阻抗为从电源看进去的等效复频域阻抗为 12121212114510()11(91)(41)RRssCsCZ sssRRsCsC电流电流i的象函数为的象函数为 2S2()10(91)(41
32、)36131()()(4510)4.5511A(1/9)A88C(4.51)1/4.5UsssssI sZ ssssssssss电荷单电荷单位库仑位库仑/4.518C()(1e)()A9titt求得电流求得电流 i 的原函数为的原函数为电压电压 uo 的象函数为的象函数为 22o221911V1V()()1(4.51)1/4.5RssCUsI sssssRsC/4.5o(1e)V0tut求得电压求得电压 uo的原函数为的原函数为 在图在图(b)中画出了中画出了uo随时间变化的随时间变化的曲 线。图 中，曲 线。图 中，uo(0-)=0，uo(0+)=2V，故电容上的电压发生，故电容上的电压发生
33、了了“强迫跃变强迫跃变”，这是冲激电流，这是冲激电流 8C (t)给给 C2 充电的结果。但在充电的结果。但在计算过程中并不考虑是否发生跃计算过程中并不考虑是否发生跃变，原因是复频域分析法用的是变，原因是复频域分析法用的是0-时刻而不是时刻而不是0+时刻的初始值。时刻的初始值。因此，在处理因此，在处理“跃变跃变”问题时，问题时，复频域法要比时域分析法有一定复频域法要比时域分析法有一定的优越性。的优越性。电路如图电路如图(a)所示，已知所示，已知iS=1C (t)，求冲激响应，求冲激响应uC。对其列写节点电压方程对其列写节点电压方程 n1n2n1n21(0.5)()0.5()1(1)0.50.5
34、()(0.50.25)()0(2)UsUssUss Us解电路为零状态，运算电路如图电路为零状态，运算电路如图(b)所示，其中所示，其中 SS()()As1AsIsitLL图图11.9 例题例题11.11求解得电压象函数求解得电压象函数 n122(2)()48s sUsssn224()()48CsUsUsss令令 的分母多项式为零，即的分母多项式为零，即 得其极点为得其极点为 2480ss1,2(2j2)jpa 它们是一对共轭复数。故它们是一对共轭复数。故 UC(s)的部分分式展开式为的部分分式展开式为 12()(2j2)(2j2)CAAUsss 1111lim()()2 2 45 V|Csp
35、AUs spA21AA12|e cos()atCuAt24 2ecos(245)V t0tt则可得则可得)s(Un2 电路如图所示，已知电路如图所示，已知R=1 ，L=1H，C=0.2F，g=1s，uS=6(t)V，iS=4C (t)。求。求 t0 时的零状态响应时的零状态响应uL和和uC。解电路为零状态，其复频域模电路为零状态，其复频域模型中不含附加电源，列节点型中不含附加电源，列节点电压方程电压方程 S1212S2111()()()()()11()()()()()()CCUsU sUsgUssLRRsLU ssCUsIsRRUsUs(1)其中电源的象函数为其中电源的象函数为 SS6V()U
36、susLSS()4 AIsisL将已知条件代入式将已知条件代入式(1),得得 1126(1)()()(0.21)()4sU ssU ssUs联立解得联立解得 1226()(1)202030()(1)(5)U ss sssUss ss126V()()()16V7.5V21.5V()()15LSCUsUsU ssUsUssss115()6e V(0)()(67.5e21.5e)V(0)tLLttCCuUstuUstLL解得解得取拉普拉斯反变换得取拉普拉斯反变换得 电路如图电路如图(a)所示，已知所示，已知R1=1 ，R2=0.5 ，uS，iS为阶跃函数。当为阶跃函数。当a、b端接端接R3=3 电阻
37、时，全响应电阻时，全响应 i=(2+2e-50t)(t)A。现将。现将a、b端改接端改接L=0.25H的零状态电感，求此时的的零状态电感，求此时的电压电压 uab。解 先求出复频域戴维南等效电路。由题先求出复频域戴维南等效电路。由题给全响应知当给全响应知当a、b端接端接R3=3 电阻的电阻的时间常数为时间常数为 1s502123()23RRCRCCR0.01F2C将电源置零，将电源置零，可得可得如图如图(b)所示所示电路电路所以所以 224100()()50(50)sI sisss sLoc314.4360()()()(40)sUsI s Z sRs s由已知电流由已知电流i得得 a、b端开路
38、电压为端开路电压为 21211()0.660()140R RssCZ ssRRsC得得a、b端等效运算阻抗为端等效运算阻抗为 戴维南等效电路如图戴维南等效电路如图(c)所示所示aboc214.4360()()()42.4240sLsUsUssLZ sss9.09V5.31V6.7335.67ss16.7335.67abab()(9.09e5.31e)V(0)ttuUstL当当a、b端接端接L=0.25H的零状态电感时，的零状态电感时，电感电压象函数为电感电压象函数为 取拉普拉斯反变换得取拉普拉斯反变换得1.网络函数注：注：当电路为零状态时，在复频域电路中无附加电源，当电路为零状态时，在复频域电
39、路中无附加电源，Y(s)与与外加外加 X(s)成正比，此时成正比，此时 H(s)与与 X(s)无关无关。def()()()Y sH sX s(11.41)(1)定义：线性无独立源电路的定义：线性无独立源电路的零状态零状态响应的象函数响应的象函数 Y(s)与其与其激励的象函数激励的象函数 X(s)之比称为之比称为(复频域中的复频域中的)网络函数，用符号网络函数，用符号表示表示 H(s)，即，即基本要求：理解复频域网络函数基本要求：理解复频域网络函数 H(s)的定义及其原函数的含的定义及其原函数的含义。了解义。了解 H(s)与复数形式网络函数与复数形式网络函数H(j)的关系。了解网络函的关系。了解
40、网络函数极点在复平面上的位置与单位冲激特性的关系。数极点在复平面上的位置与单位冲激特性的关系。(2)与单位冲激特性的关系：根据单位冲激特性的定义及齐性与单位冲激特性的关系：根据单位冲激特性的定义及齐性原理，当激励原理，当激励x(t)=K(t)时，零状态响应为时，零状态响应为y(t)=Kh(t)，则，则 ()()()()()()()y tKh tKh tH sh tx tKtKLLLLLL 因此，因此，网络函数就是网络单位冲激特性的象函数；反之，网络函数就是网络单位冲激特性的象函数；反之，网络函数的原函数就是网络的单位冲激特性网络函数的原函数就是网络的单位冲激特性，即，即 1()()()()H
41、sh th tH sLL(11.42)网络函数网络函数H(s)和单位冲激特性和单位冲激特性h(t)都反映网络的固有性质。都反映网络的固有性质。(3)若已知网络函数和外加激励的象函数，则零状态响应若已知网络函数和外加激励的象函数，则零状态响应象函数为象函数为 式中式中 ，N、P、D、Q都是都是 s 的多项式。的多项式。()()(),()()()N sP sH sX sD sQ s12()()()()()()()()()N sP sF sY sH s X sD sQ sF s(11.43)响应中与响应中与Q(s)=0的根对应的那些项与外加激励的函数形式相同，的根对应的那些项与外加激励的函数形式相同
42、，属于属于强制分量强制分量；而与；而与D(s)=0的根的根(即网络函数的极点即网络函数的极点)对应的那对应的那些项的性质由网络的结构与参数决定，属于些项的性质由网络的结构与参数决定，属于自由分量自由分量。因此，。因此，网络函数极点的性质决定了网络暂态过程的特性网络函数极点的性质决定了网络暂态过程的特性。电路如图所示，已知电路如图所示，已知R=0.5，L=1H，C=1F，a=0.25。(1)定义网络函数定义网络函数 ，求，求H(s)及其单位冲激特性及其单位冲激特性h(t)(2)求当求当 时的响应时的响应 。S()3e()Vtu tt2()i t)s(U)S(I)s(Hs2解(1)列回路电流方程列
43、回路电流方程 12S121211()()()()11()()()()1()()()CCRI sIsUssCsCI ssL IsaUssCsCUsI sIssC 12S212(0.51)()()()-0 75()(0.75)()0sI sIssUs.I ssIs整理得整理得S221.5()()20.75UsIsss22S()1.51.51.5()()20.750.51.5IsH sUsssss10.51.5-1()()1.5(ee)(s)()tth tH stL解得解得进而得进而得取拉普拉斯反变换得取拉普拉斯反变换得(2)当当 时时S()3e()Vtu ttSS2S23V()()11.53()(
44、)()20.75(1)1.53(0.5)(1.5)(1)9A9A18A0.51.51Usu tsIsH s UssssssssssL0.51.52()(9e9e18e)A(0)ttti tt取拉普拉斯反变换得取拉普拉斯反变换得2.网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系 其中极点其中极点p1、p2、pn称为网络函数的自然频率，它只与网称为网络函数的自然频率，它只与网络结构与参数有关。络结构与参数有关。(11.44)1()()()nkkkN sAH sD ssp 分析一阶极点情况：若网络函数仅含一阶极点，且分析一阶极点情况：若网络函数仅含一阶极点，且nm，则，则网络函数可展开成网络函数可展开成 网
45、络的单位冲激特性为网络的单位冲激特性为 可见它与极点位置有关可见它与极点位置有关。11()()eknp tkkh tH sAL(11.45)要点：由极点在复平面上的分布来判断暂态特性。要点：由极点在复平面上的分布来判断暂态特性。2.网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系 网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系概括如下网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系概括如下位于左半平面时，收敛（稳定）位于左半平面时，收敛（稳定）位于右半平面时，发散（非稳定）位于右半平面时，发散（非稳定）pk所有极点位于左半平面，暂态过程稳定所有极点位于左半平面，暂态过程稳定若有一个以
46、上极点位于右半平面，暂态若有一个以上极点位于右半平面，暂态过程不稳定过程不稳定H(s)位于实轴上时，响应非振荡位于实轴上时，响应非振荡位于虚轴上时，响应为震荡且临界稳定位于虚轴上时，响应为震荡且临界稳定pk3.复频域网络函数与复数网络函数的关系 H(s)s=j H(j)j =s 设图所示二端口网络为线性无独立源网络。设图所示二端口网络为线性无独立源网络。(1)已知当已知当 ，零状态响应，零状态响应 uo=1Wb (t)+(e-t-4e-2t)(t)V。求。求 时的正弦电压时的正弦电压 。(2)若已知若已知 ，求单位冲激特性，求单位冲激特性h(t)。i1Wb()uti3 2cos(2)Vutou
47、o2ij(j)j56UHU_uiuo+_解(1)电路的复频域网络函数为电路的复频域网络函数为 2o2i 14()1 1232usH sussss LL它的复数形式的网络函数为它的复数形式的网络函数为 22j(j)()j32sHH s所以当所以当 时，正弦响应为时，正弦响应为 i3 2cos(2)Vut2oi2(2)(j)3j 2V(2)j3 222UHUo2cos(290)Vut所以所以(2)将已知将已知H(j)写成写成 22j4(j)(j)j562bbacHa 所以对应的复频域形式的网络函数为所以对应的复频域形式的网络函数为 2j()(j)56ssH sHss部分分式展开得部分分式展开得 23()23H sss1231()()(2e3e)s()tth tH st L所以所以
