1、8/5/20221Huanludinglv换路定律Yijiedianludezhantaifenxi一阶电路的暂态分析Yijiedianludejieyuexiangying 一阶电路的阶跃响应Erjiedianludelingshuruxiangying二阶电路的零输入响应第8章 电路的暂态分析 8/5/20222 了解暂态与稳态的区别与联系；熟悉“换路”的含义；理解暂态分析法中的零输入响应、零状态响应及全响应等诸多概念；了解一阶电路暂态过程中响应的规律；理解阶跃响应的概念；熟练掌握一阶电路暂态分析的三要素法；了解二阶电路自由振荡的过程。8/5/202238.1 换路定律8.1.1 基本概念
2、1.状态变量：代表物体所处状态的可变化量称为状态变量。如通过电感元件的电流iL及电容元件的极间电压uC。2.换路：由于电路的接通、断开或电路的结构及参数发生变化等，引起电路工作状态的变化，统称为换路。3.暂态：换路时，必定引起电感、电容元件的能量WL和WC发生变化，但这种变化持续的时间非常短暂，因此称为“暂态”。4.稳态：换路后，动态元件中的储能不再发生变化，称为稳态。5.过渡过程：动态元件的能量发生变化、即从一种稳定状态过渡到另一稳定状态时需要时间，期间经历的物理过程称为过渡过程。6.过渡过程响应：过渡过程响应分有零输入响应、零状态响应和全响应，求各种响应就是求过渡过程中各电压、电流的变化规
3、律。8/5/20228.1.2 换路定律换路定律由于能量不能发生跃变，与能量有关的状态变量iL和uC，在电路发生换路后的一瞬间，其数值必定等于换路前一瞬间的原有值不变。即：)0()0()0()0(CCLLuuii换路发生在t=0时刻，(0-)为换路前一瞬间，该时刻电路还未换路；(0+)为换路后一瞬间，此时刻电路已经换路。(0-)时刻、(0+)时刻 和0时刻的时间间隔趋近零但不等于零。8/5/2022电阻元件的电压、电流任一瞬间均遵循欧姆定律。因此，单一电阻元件的电路不存在过渡过程。t 0iLRUS(t=0)USSLiLR电感元件是储能元件，它储存的磁能：2L0L21LidtuiWt能量不能发生
4、跃变！t 0uCSU电容元件是储能元件，它储存的电能：2C0C21=CudtuiWt能量不能发生跃变！(t=0)USSCucRiC8/5/2022过渡过程如果发生在t=0时刻，响应对应于t=0+时刻的数值称为响应的初始值，用f(0+)表示。由换路定律得iL(0+)或uC(0+)，画出t=0+时刻的等效电路，应用电路基本定律确定其它待求量的初始值。根据换路前一瞬间t=0-电路，应用所学电路基本定律确定状态变量iL(0-)或uC(0-)。8/5/2022始 值初求 解 举 例1.已知 iL(0)=0，uC(0)=0，试求 S 闭合瞬间，电路中所标示的各电压、电流的初始值。(t=0)_S0.1Hu2
5、u120101F20ViC_iiLuL_uC_根据换路定律可得：画出t=0+时等效电路 iL(0+)=iL(0)=0 uC(0+)=uC(0)=0_S0.1Hu2(0+)u1(0+)20101F20ViC(0+)_iuL(0+)_求得：V20)0()0(1Luu 0)0(2uA 21020)0()0(Cii L相当于开路 C相当于短路8/5/2022始 值初求 解 举 例2.换路前电路已达稳态，t=0时开关S打开，求 iC(0+)。根据换路前电路求uC(0+）R140k10kSiCuCi10V R2V8=40+104010=)0(=)0(=0R2C+C-uu)(u画出t=0+等效电路图如下：根
6、据t=0+等效电路求得iC(0+）：mA20=10810=)0(=)0(1+CS+C.RuUi-R140k10kSic(0+）10V R28V8/5/2022始 值初求 解 举 例3.换路前电路已达稳态，t=0时S闭合，求 uL(0+)。R11SiLuL10V R24根据换路前电路求iL(0+）A2=4+110=+=)0(=)0(21SL+LRRUii-画出t=0+等效电路图如下：由t=0+等效电路求uL(0+)：0)0()0(R2LuuuL(0+)为负值，说明其真实方向与图上标示的参考方向相反，即与iL(0+)非关联，实际向外供出能量。R11SuL10V R24iL(0+）V8=42=)0(
7、=)0(2+L+L-Riu则：8/5/2022始 值初求 解 步 骤1.由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-)和 iL(0-)；2.由换路定律得 uC(0+)和 iL(0+)；3.画出t=0+的等效电路图，在等效电路图中：iL(0+)=0时开路；iL(0+)0时用恒流源代替；恒流源数值等于iL(0+)，方向与原电路假定的电感电流的参考方向保持一致。4.由t=0+的等效电路图求出其它响应的初始值。uC(0+)=0时用短接线代替；uC(0+)0时用恒压源代替，恒压源数值等于uC(0+)、方向与原电路假定的电容电压参考方向保持一致；8/5/2022习 题练1.电路如图示，t=0时S闭合。求开关S闭
8、合后电容端电压及各支路电流的初始值。设换路前电路已达稳态。R15kSi2uC10V R21k0.1FiC(t=0)i12.电路如图示，设换路前电路已达稳态，t=0时开关S闭合。求开关闭合后各电压及各支路电流的初始值。2SiLuL10Vik(t=0)i130.1HuR1uR28/5/20228.2 一阶电路的暂态分析8.2.1 一阶电路的零输入响应1.RC电路的零输入响应换路前动态元件已储有原始能量。换路后无外激励输入，仅在动态元件的原始储能下所引起的电路响应称为零输入响应。R1SiC(0+)uC(0+）t=0US C2图示电路在开关动作之前，电容储有能量且达稳态。t=0时开关由位置1迅速投向位
9、置2，使电路换路。换路后，由电容元件的原始能量uC(0+)引起的过渡过程响应有uC(t)、uR(t)和iC(t)，即该电路的零输入响应。8/5/2022根据RC零输入响应电路，根据KVL列写电路方程：0=+CCudtduRC此方程是一阶常系数线性齐次微分方程，对其求解可得：RCtteUeutu-S+CC=)0(=)(式中=RC称为一阶电路的时间常数。令电路中的US不变，取几组不同数值的R和C，可发现：RC值越小，过渡过程进行得越快；RC值越大，过渡过程进行得越慢。R1SiC(0+)uC(0+）t=0US C235的时间过渡过程基本结束8/5/2022上式中，R单位，C单位F，时间常数的单位是秒
10、s。如果上式中的时间t 分别取1、2直至5，可得如下表所示的响应uc(t)在各个时刻的数值：1 2345e-10.368USe-20.135USe-30.050USe-4 0.018USe-50.007US由表可知，经历一个的时间，uC衰减到初始值的36.8%；经历两个的时间，uC衰减到初始值的13.5%；经历35时间后，uC的数值已经微不足道。RCtteUeutu-S+CC=)0(=)(8/5/20221.时间常数是用来表征一阶电路过渡过程进行的快慢程度的物理量。2.时间常数仅由电路参数决定，RC一阶电路中，RC；RL一阶电路中，L/R。的大小反映了电路的特性，与换路情况和外加电压无关。3.
11、时间常数是已经完成了过渡过程63.2%所经过的时间。在工程计算中，一般认为经历了35时间，过渡过程基本结束。4.时间常数中电阻的求解：从动态元件两端看进去：换路后无源二端网络（若含有独立源时，所有的独立源置零：恒压源短路处理，恒流源开路处理）的等效电阻。读 理阅解8/5/2022iC零输入响应电路实际上是RC放电电路，因此电容上的电压和电流方向非关联。电阻端电压与电流成正比，三者都是。RCtRCteRudteUCdtduCi-)0(=+CSCCRCtteUeutu-S+CC=)0(=)(RCtRCteueRuRRiu-)0(=)0(=+C+CCRtiCuCUSiC(0+)00.368USuC(
12、0+)uR8/5/2022图示电路在换路前已达稳态。t=0时开关闭合。RSISuLt=0uR LiL 对电路列KVL方程：0=+LLdtdiLRi 以iL为待求响应，可得上式的解：ttLReieiti-)0(=)0(=)(+L+LL开关闭合将电流源短路，暂态过程在R和L构成的回路中进行。可见，RL一阶电路的时间常数=L/R。tLReRidtdiLtu-)0(=)(+LLLiLtiLuLuL(0+)00.368f(0+)f(0+)uLttLReRieRitu-)0(=)0(=)(+L+LR8/5/2022输 入零 响 应 归 纳1.一阶电路的零输入响应都是随时间按指数规律衰减到零的，这实际上反映
13、了在没有外激励(电源)的作用下，储能元件的原始能量逐渐被电阻消耗掉的物理过程。2.零输入响应取决于电路的原始能量和电路的特性，对于一阶电路来说，电路的特性是通过时间常数来体现的。3.原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输入响应的线性关系称为零输入线性，是线性电路激励与响应线性关系的必然反映。8/5/2022输 入零 响 应 举 例1.图示电路中，开关S在t=0由位置1迅速打向位置2，求t0时 的各支路电流。设换路前电路已达稳态。A1=1010=)0(=)0(L+L-ii根据t=0电路可得A50=2)(0=)(0=)(0+L+2+1.iii画出t=0时等效电路：)0(t
14、121010201H10VS)0(+Li101020)0(+2i)0(+1i0.1s20/)1010(1RL求时间常数：V10Ltei代入响应求得结果：V5.01021teii8/5/2022输 入零 响 应 举 例根据换路前的电路A2=12=)(0+i求电流响应的初始值V214110)0()0(CCuu2.图示电路中，开关S在t=0断开，求t0时流过1电阻的电流。设换路前电路已达稳态。画出t=0时等效电路：+0=it0等效电路12Vs111 RC时间常数：A2)(teti求得待求响应：)0(t411F10VS)(ti8/5/2022A(t)s2A1)0(5.0teii1.图示电路中，开关S在
15、t=0闭合，求t0时的电流i(t)。设 换路前电路已达稳态。)(ti)0(t10VS622F2习 题练8/5/2022习 题练2.图示电路中，开关S在t=0由位置1打向位置2，求t0时的 电流iL(t)和uL(t)。设换路前电路已达稳态。V16(t)A 2(t)s81V16)0(A 2)0(8L8LLLtteueiui)(Ltu)0(t10VS14211H4)(Lti8/5/2022换路时，动态元件的初始能量为零，仅在外输入激励作用下引起的电路响应，称为零状态响应。RSiCuCt=0US C图示电路换路前uC=0且达稳态。t=0时开关S闭合。由图可看出，RC一阶零状态电路实际上是电容C的充电电
16、路。求解RC电路的零状态响应，就是寻求电容充电电路中各电压、电流的变化规律。RC电路的零状态响应8/5/2022状态变量uC不能跃变，只能从0逐渐但过渡到稳态值，其稳态值uCiCiC(0+)tiCuCUS00.632USRC零状态电路中，电容元件的极间电压与电流方向关联，电容元件吸取电能建立电场。SC)(UuRC零状态电路的充电电流iC在换路开始时达到最大值，之后按指数规律衰减，即：teRUtiSC)(RSiCuCt=0US C8/5/2022当RC零状态电路的过渡过程结束时，电容的极间电压重新达到稳态值，即：SC)(Uu电容极间电压的零状态响应公式：)1()1)()(SCCRCtteUeut
17、u电容电流的零状态响应：RCteidtduCti-)(0=)(+CCC RSiCuCt=0US C电阻电压的零状态响应：RCteRidtduRCtu-)(0=)(+CCR8/5/2022RL零状态电路换路前电感元件的原始能量为零且达稳态，t=0时开关S闭合。RSiL uLt=0US LuRRL电路的零状态响应中状态变量iL不能跃变，只能按指数规律逐渐上升为稳态值；L的感应电压uL换路始最大，过渡过程中按指数规律衰减；电阻电压uR=iR按指数规律增长，响应曲线：显然，在RL零状态响应电路中，电感元件是建立磁场的过程，因此其电压、电流方向关联。8/5/2022RL零状态响应电路过渡过程结束时电感电
18、流达到稳态值：RUiSL)(因此电感电流的零状态响应为：)1()1)()(SLLtLRteRUeiti电感元件自感电压的零状态响应：LRteudtdiLtu-)(0=)(+LLL RSiL uLt=0US LuR8/5/20221.图示电路中，开关S在t0时闭合，求t0 时电感L两端 的电压响应及通过L的电流响应。A5.169)(Li求零状态响应电路的iL()s13/62RL画出求时间常数的等效电路 6SiL uL（t=0）9V 2H 3 6 2H 3)A1(5.1)(Lteti可得iL(t)V3)1(5.1 2)(Lttedtedtu求uL(t)状 态零 响 应 举 例8/5/2022求电容
19、电压稳态值s1.0105010636363RC画出求时间常数的等效电路V66369)(Cu2.图示电路中，开关S在t0时闭合，求t0 时电容C两端 的电压响应。设换路前C的原始能量为零。6kSuC（t=0）9V 50F 3kF50k3k6则容电压：V)1(6)(10tCetu状 态零 响 应 举 例8/5/20221.一阶电路的零状态响应也是随时间按指数规律变化。其中电容电流和电感电压均随时间按指数规律衰减，因为它们只存在于过渡过程中；而电容电压和电感电流则按指数规律增长，这实质上反映了动态元件吸收电能建立磁场或电场的物理过程；3.零状态响应取决于电路的独立源和电路本身特性，也是通过时间常数来
20、体现其特性的。2.在零状态响应公式中的()符号，代表换路后新的稳态值，根据电路的不同情况一般稳态值也各不相同。状 态零 响 应 归 纳8/5/2022)mA12=.2)V112=.16410L10Ctte()t(ie()t(u1.图示电路中，开关S在t0时闭合，求t0 时电容C两端的电压响应。设换路前C的原始能量为零。10uC12V10F 5 10S（t=0）2.图示电路中，开关S在t0时闭合，求t0 时电感L中的电流响应。3kSiL（t=0）36V 12mH 6k10k习 题练8/5/2022电路中既有外输入激励，动态元件上又存在原始能量，当电路发生换路时，在外激励和原始能量的共同作用下所引
21、起的电路响应称为全响应。典型RC一阶全响应电路 R2SiL uL(t=0)US L R1根据线性电路的叠加性可知，电路中动态元件有原始能量可引起零输入响应；电路中的独立源可引起零状态响应，因此：全响应=零输入响应零状态响应US2US1R1(t=0)R2SCUC典型RL一阶全响应电路8/5/2022图示电路在换路前已达稳态，且UC(0-)=12V，试求t 0时的uC(t)和iC(t)。根据换路定律：V12)0()0(CCuu电路的时间常数s32101032)/(3-321CRR零输入响应uC(t)：V12)0()(5.1CCtteeutu以电容电压为例，令其零输入响应为uC(t)；零状态响应为u
22、C(t)，则全响应：）（0 )(+)(=)(CCCtt ututuiC uC（t=0）2k 1mF 1k9VS8/5/20220)V66)()()(5.1CCCtetututut（根据线性电路的叠加性：o)(mA 9)66(101)()(515.13CtedteddttduCtit.-tC电容电流的全响应iC(t)：V62129)(Cu零状态响应uC(t)：V)1(6)(5.1Ctetu式中常数6为稳态分量，6后面按指数规律变化的是暂态分量，因此：全响应=稳态分量+暂态分量iC uC（t=0）2k 1mF 1k9VS8/5/20220)V66)()()(5.1CCCtetututut（全响应u
23、C(t)：o)(mA 9)66(101)()(515.13CtedteddttduCtit.-tC电容电流的全响应iC(t)：电容电压的稳态值：V62129)(Cu零状态响应uC(t)：V)1(6)(5.1CtetuiC uC（t=0）2k 1mF 1k9VS8/5/2022对形式千差万别，需求响应各不相同的一阶电路来讲，仅以uc(t)和iL(t)为主要分析对象求解电路响应的方法适用面太窄，寻求一种更加简便地、能直接计算一阶电路任意响应的方法十分必要。）（0)()0()()(teffftft一阶电路响应的初始值f(0+)、响应的稳态值 f()和时间常数是一阶电路响应的三要素。只要求出一阶电路的
24、三要素，直接代入响应的求解公式中进行求解的方法，称为一阶电路暂态分析的三要素法。表达式：8/5/20221.已知U1=3 V，U2=6 V，R1=1 k，R2=2 k，C=3 F，t 0 时电路已处于稳态。用三要素法求 t 0 时的 uC(t)，并画出响应的规律曲线。R1SiC uC（t=0）U1 C R2U2先确定初始值uC(0+)：V2)0()0(V22123)0(2112CCCuuRRURu再确定稳态值uC()：V42126)(2122RRURuC确定时间常数：ms2102121103362121RRRRC要素三 法举 例8/5/2022将求得的三要素代入公式可得：）（0V2-4=4-2
25、+4=)(-)+0(+)(=)(500500teeeuuututttCCCC电容电压的变化曲线为：uC/V00.632uC(t)2V4V2345要素三 法举 例uC(t8/5/20221.确定初始值 f(0+)初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+时的数值。先作t=0-电路。确定换路前电路的状态变量 uC(0-)或iL(0-),它们均为t0阶段的稳定状态，稳态下电容C视为开路，电感L用短接线代替。再作t=0+等效电路。利用此电路可确定非状态变量的初始值。在t=0+等效电路中：若uC(0+)=U0，用电压源U0代替；iL(0+)=I0，用电流源I0代替；若uC(0+)=0用短路线代替，
26、iL(0+)=0，则开路处理。作出t=0+等效电路后，即可按一般电阻性电路求解非状态变量响应的初始值。8/5/2022 作t=的等效电路，暂态过程结束后，电路进入新的稳态，用此时的电路确定响应的稳态值f()。在此电路中，电容C视为开路，电感L视为短路，可按一般电阻性电路来求各响应的稳态值。3.确定时间常数 RC电路中，=RC；RL电路中，=L/R；其中R的正确求解是关键：将电路中所有独立源置零，从C 或L两端看进去的无源二端网络的等效电阻即为R(相当于戴维南等效电路的R0)。2.确定稳态值 f()8/5/20220)(V2511+7518=)(20)(A 4221=)(1.0)(A 6181=
27、1510333C2L2-、-te.tu.te.tite.)t(it.tt1.图示电路中，开关S在t0时由位置1打向位置2，求t0 时的i和iL。设换路前电路已达稳态。2.图示电路中，开关S在t0时闭合，求t0 时电容C两端电压响应。69V2S（t=0）2.5H9V 31 3iL iuC10A 410V 2F 6S（t=0）4习题练8/5/2022(t)的波形如右图示，它在(0-，0+)时域内发生了单位阶跃。单位阶跃函数用(t)表示，其定义如下：在动态电路的过渡过程分析中，常引用单位阶跃函数，以更加方便地描述电路的激励和响应。(t)=0 t 0-1 t 0+(t)01 t8.3 一阶电路的阶跃响
28、应8.3.1 单位阶跃响应(t)在t=0处不连续，函数值由0跃变到1。8/5/2022单位阶跃函数可用来表示1V的电压源或者是1A的电流源，在t0时与一个零状态电路接通的开关动作。如图所示：1VS（t=0）零状态电路(t)零状态电路1A S（t=0）零状态电路(t)零状态电路(t)=0 t 0-1 t 0+8.3.1 单位阶跃响应8/5/2022(t-t0)的波形如右图示：如果阶跃发生在t=t0时刻，则可认为是(t)在时间上延迟了t0后得到的结果，此时的阶跃称为延时单位阶跃，记作：(t-t0)=0 t t01 t t0(t-t0)01 tt0(t-t0)在t0处不连续，函数值由0跃变到1。8/
29、5/2022 f(t)01 tt1t2(t)01 t(t-t0)01 tt0即：f(t)=(t)-(t-t0)(t-t1)01 tt1(t-t2)01 tt2即：f(t)=(t-t1)(t-t2)f(t)01 tt0即：任意一个阶跃函数均可由不同的单位阶跃叠加而成8/5/2022已知u=51(t-2)V，uC(0+)=10V，求电路的阶跃响应i。当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用S(t)表示。uR=21FuC(0+)_i零状态响应分两部分，先求uC(0+)单独作用下的初始值：)A(15=)(1210=)(0+tti)A2(152=2)2(15=
30、)(0+-t.t i再求u单独作用下的初始值：sRC212时间常数：A)2(15.2)(15)()()()2(5.05.0tetetitititt应用叠加定理求得响应：8/5/20221.你能正确区分单位阶跃函数1(tt0)、1(tt0)、1(t0-t)、-1(t-t0)、-1（t0-t)的波形并画出它们吗？10)(10tt 0tt10)(10tt 0tt10)(10tt 0tt10)(10tt 0tt10)(10tt 0tt跃响阶 应举 例8/5/20221.单位阶跃函数是如何定义的？其实质是什么？它在电路分 析中有什么作用？2.说说1(-t)、1(t+2)和1(t-2)各对应时间轴上的哪一
31、点？3.试用阶跃函数分别表示下图所示的电流和电压。i/A 02 t/s23114 u/V 02 t/s23114V)4()3()1()()(A)4()3()1(2)(tttttutttti跃响阶 应练 习8/5/20221.画出单位阶跃函数1(tt0)和1(t0-t)的波形。1(t0-t)是否等于1(tt0)？3.左图示延时脉冲作用于右图示电路，已知iL(0+)=0，求电路响应i(t)。2.试用阶跃函数表示图示波形。f(t)02 t/s23114 2315 u(t)0 t2311)(tu)(tiH122习题练8/5/2022前面讨论的一阶电路中只含一个动态元件，而含有两个储能元件的电路，往往需
32、用二阶线性常微分方程来描述，因此称为二阶电路。RSuC（t=0）uR Ci0 uL LU0图示RLC串联的零输入响应电路中已知uC(0+)=uC(0-)=U0，电流i(0+)=i(0-)=I0，电路在t=0时开关闭合，其过渡过程可描述为：0CC2C2udtduRCdtudLC因为此式是一个以uC为变量的二阶线性齐次微分方程式，其特征方程为：LCS2+RCS+1=08.4 二阶电路的零输入响应8/5/2022202122LCLRLRSLCLR1=2=0，）、，（00CLR即 2）、（即CLR听练想记特征方程为LCS2+RCS+1=0中其中当电路出现：，），（时及即0=2=0RCLR电路的响应各不
33、相同！8/5/2022ucictmtU00“过阻尼”状态下，电容电压单调衰减最终趋于零，始终为放电状态，放电电流由零增大；对应tm时刻达到最大，之后衰减到零。显然这种情况下uC和i是非振荡的，没有正、负交替状况。电路中的原始能量全部消耗在电阻上。uLCLR28/5/2022“欠阻尼”状态下，电容电压和电路中的充、放电电流均为减幅振荡。显然，这种情况下电场和磁场交替建立和释放，随着在电阻上能量的消耗越来越少直至消耗完毕。tU00ucictmCLR28/5/2022CLR2但此状态下电路响应临近振荡，因此称为“临界阻尼”状态。4.当0R时，电路出现“等幅振荡”。因为此时电路中没有耗能的因素，能量在L和C之间进行完全补偿交换，且在电场和磁场的交换过程中能量始终不变，因此，这种情况属于一种理想状况。二阶电路的零输入响应有几种情况？各种情况下响应的条件是什么？CLR2=时，电路的电压和电流仍是非振荡的，8/5/2022
