1、学考模拟卷(六)(时间:80分钟满分:100分)一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求,不选、多选、错选均不给分)1.设集合A=1,2,6,B=2,4,C=1,2,3,4,则(AB)C=()A.2B.1,2,4C.1,2,4,6D.1,2,3,4,62.函数y=ax+2-1(a0且a1)的图象恒过的点是()A.(0,0)B.(0,-1)C.(-2,0)D.(-2,-1)3.有一组样本数据x1,x2,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,n),c为非零常数,则两组样本数据都相同的是()A.标准差、
2、极差B.平均数、中位数C.平均数、标准差D.中位数、极差4.甲、乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译的概率分别是13,14,则密码被成功破译的概率是()A.112B.16C.14D.125.若函数f(x)=sin(x+)+cos x的最大值为2,则常数的一个取值可以是()A.6B.4C.3D.26.已知奇函数y=f(x)(x0),当x(0,+)时,f(x)=x-1,则函数f(x-1)的图象为()7.在ABC中,已知sin2A=sin2B+sin Bsin C+sin2C,则A等于()A.30B.60C.120D.1508.已知向量a=(m2,-4),b=(1,-1),则“m=-2”是“ab
3、”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.不等式|x2-2|0,y0,且2x+1y=1,则x+2y的最小值是()A.8B.4C.22D.212.已知|a|=6,a与b的夹角为3,且(a+2b)(a-3b)=-72,则|b|=()A.4B.5C.6D.1413.已知sin4-x=35,则sin 2x的值为()A.1825B.1625C.925D.72514.已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若m,m,则B.若m,m,则C.若m,n,则mnD.若m,n,则mn15.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调
4、查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是()A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元C.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间16.若函数f(x)=loga(ax-t)(a0且a1)在区间m2,n2上的值域为m,n,则实数t的取值范围是()A.(0,1)B.0,14C.14,12D.12,117.已知锐角三角形ABC的三个内角互不相等,则在sin Acos B,sin Bcos
5、C,sin Ccos A三个值中,大于12的值的个数的最大值是()A.0B.1C.2D.318.已知矩形ABCD,AB=4,BC=2,E,F分别为边AB,CD的中点.沿直线DE将ADE翻折成PDE,在点P从A至F的运动过程中,CP的中点G的轨迹长度为()A.24B.23C.22D.2二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)19.函数f(x)=2x21-x+log12(4-x2),则f(0)=,f(x)的定义域是.20.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别为3,4,记大正方
6、形的面积为S1,小正方形的面积为S2,则S1S2=.21.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为.22.已知a,b均为单位向量,与a,b共面的向量c满足2|a+c|=|2a-c|,(c-a)b=0,则bc的最大值是.三、解答题(本大题共3小题,共31分)23.(本小题满分10分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(xR).(1)求f23的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.24.(本小题满分10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1平面ABC,侧面BCC1B1是正方形,AC
7、=BC=2,A1AC=60,M是B1C1的中点.(1)证明:ACB1C1;(2)求直线A1M与平面A1BC所成角的正弦值.25.(本小题满分11分)已知a,b是实数,函数f(x)=x|x-a|+b.(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a0时,求函数f(x)在区间1,2上的最大值;(3)若存在a-3,0,使得函数f(x)在-4,5上恒有三个零点,求b的取值范围.学考模拟卷(六)1.B解析 集合A=1,2,6,B=2,4,C=1,2,3,4,(AB)C=1,2,4,61,2,3,4=1,2,4.2.C解析 当x=-2时,函数y=a0-1=0,即函数图象恒过定点(-2,0).3.A解
8、析 根据题意,得D(yi)=D(xi+c)=D(xi),所以两组数据的标准差相同,且两组数据的极差相同,故选A.4.D解析 根据题意,设甲破译密码的事件为A,乙破译密码的事件为B,则P(A)=13,P(B)=14,P(A B)=2334=12,则成功破译密码的概率为P=1-P(A B)=1-12=12.5.D解析 -1sin(x+)1,-1cos x1,要使f(x)取得最大值2,则sin(x+)=1,cosx=1,又sin(x+)=sin xcos +cos xsin ,所以sin =1,则=2+2k,kZ.结合选项可知,常数的一个取值可以是2.6.D解析 用图象平移或直接求出f(x-1)=x
9、-2,x1,x,x1,的解析式即得.7.C解析 根据正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R,化简已知等式,得a2=b2+bc+c2,即b2+c2-a2=-bc,所以根据余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=-12,又因为A为三角形的内角,则A=120.8.A解析 当ab时,m2(-1)-1(-4)=0m=2,故选A.9.D解析 不等式|x2-2|2等价于-2x2-22,即0x26.5万元,故B错误;对于C,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.023+0.04)1=0.1=10%,故C正确;对于D,家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0
10、.14+0.2+0.2)1=0.640.5,故D正确.16.B解析 y=ax-t与y=logax的单调性相同,函数f(x)=loga(ax-t)(a0且a1)在区间m2,n2上单调递增,则f(m2)=m,f(n2)=n,即loga(am2-t)=m,loga(an2-t)=n,方程loga(ax2-t)=x有两个不同的正数解,即ax=ax2-t有两个不同的正数解,设ax2=u,则t=u-u2=-(u-12)2+14,当u0时,由图象(图象略)可知当0t14时满足题意.17.C解析 由锐角三角形ABC的三个内角互不相等,可知sin A,cos B,sin B,cos C,sin C,cos A均
11、为正数,由基本不等式可知sin Acos Bsin2A+cos2B2,sin Bcos Csin2B+cos2C2,sin Ccos Asin2C+cos2A2,三式相加可得sin Acos B+sin Bcos C+sin Ccos A32,当且仅当sin A=cos B,sin B=cos C,sin C=cos A,即A=B=C=4时,等号成立,所以得sin Acos B+sin Bcos C+sin Ccos A12,sin Ccos A=6412,所以有两个值大于12.18.C解析 设AF与DE相交于O,由于在矩形ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,且AE=EF=FD=DA,
12、所以四边形AEFD是正方形.沿直线DE将ADE翻折成PDE,在点P从A至F的运动过程中,OP=OA=12AF=2不变,故点P的轨迹是以O为圆心,半径为2的半圆.设Q是OC的中点,由于G是CP的中点,所以QG是OPC的中位线,所以QGOP,QG=12OP=22.由于在翻折过程中,O,C两点的位置不变,所以点Q的位置不变,所以点G的轨迹是以Q为圆心,半径为22的半圆,所以G的轨迹长度为22=22.19.-2(-2,1)解析 f(0)=01+log12(4-0)=-2,又因为1-x0,4-x20,所以x(-2,1).20.25解析 直角三角形直角边的长分别为3,4,斜边为5,即大正方形边长为5,面积
13、S1=25,小正方形的面积为S2=S1-S阴影=25-41234=1,S1S2=25.21.64解析 取BC的中点E,连接C1E,AE(图略),则AEBC,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BB1C1C,平面ABC平面BB1C1C=BC,AE平面BB1C1C,AC1E是AC1与平面BB1C1C所成的角,由AB=AA1,在RtAC1E中,sinAC1E=AEAC1.设AB=1,经计算可得sinAC1E=64.22.23解析 将2|a+c|=|2a-c|两边平方得c(c+4a)=0,作OA=4a,AN=a,AC=c,则OCAC,点C的轨迹是以M为圆心,2为半径的圆.再以A为圆心作单位
14、圆,由(c-a)b=0,得ABCN,所以当点C在大圆上运动时,点B的轨迹是两段弧,即弧BD和弧EF,而bc最大等价于ab最大,记NAB=,所以ab=cos ,当CN与大圆相切时,最小,此时根据三角形相似,得NMC=,cos =CMMN=23,即bc的最大值为23.23.解 (1)f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-232sin 2x+12cos 2x=-2sin2x+6,f23=-2sin32=2.(2)最小正周期T=,又2k+22x+62k+32,k+6xk+23,即单调递增区间为k+6,k+23(kZ).24.证明 (1)在平面ACC1A1内过点A1作A1DAC,垂足为D,平面AC
15、C1A1平面ABC,A1D平面ABC,即A1DBC.又侧面BCC1B1是正方形,C1CBC.又直线C1C与直线A1D相交,BC平面ACC1A1,即BCAC,而BCB1C1,ACB1C1.(2)解 连接AC1交A1C于点E,取A1B的中点F,连接EF,MF,则EFBC,EF=12BC,四边形EFMC1是平行四边形.AC=BC=CC1=2,A1AC=60,四边形ACC1A1是菱形,AC1A1C,又由(1)知,BC平面ACC1A1,BCAC1,AC1平面A1BC,而MFAC1,即MF平面A1BC,MA1F就是直线A1M与平面A1BC所成的角.在RtMA1F中,A1M=5,MF=C1E=3,设MA1F
16、=,则sin =MFA1M=155,直线A1M与平面A1BC所成角的正弦值是155.(或者取BC中点N,通过A1MAN转化,在RtANE中,同样可求.)25.解 (1)当a=2时,f(x)=x|x-2|+b=x(x-2)+b,x2,-x(x-2)+b,x2=(x-1)2+b-1,x2,-(x-1)2+b+1,x0时,f(x)=x|x-a|+b=x(x-a)+b,xa,-x(x-a)+b,xa=(x-a2)2+b-a24,xa,-(x-a2)2+b+a24,xa,当a22,即a4时,f(x)在1,2上单调递增,f(x)max=f(2)=2a-4+b;当1a221+22a,即2a4时,f(x)max=fa2=a24+b;当a2121+22a,即4(2-1)a2时,f(x)max=f(1)=a-1+b;当11+22a2,即2(2-1)a4(2-1)时,f(x)max=f(2)=4-2a+b.(3)若存在a-3,0,使得函数f(x)在-4,5上恒有三个零点,则存在a-3,0,使得b=-x|x-a|在-4,5上有三个不同的实根,令g(x)=-x|x-a|=-x(x-a),xa,x(x-a),x0,0ba24,b的取值范围为0,94.
