1、专题练习5幂函数基础巩固1.已知y=x2,y=12x,y=4x2,y=x5+1,y=(x-1)2,y=x,y=ax(a1),上述函数是幂函数的个数是()A.0B.1C.2D.32.已知常数Q,如图为幂函数y=x的图象,则的值可以是()A.23B.32C.-23D.-323.“b=2”是“函数f(x)=(2b2-3b-1)x(为常数)为幂函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数y=ax2+a与y=ax(a0)在同一坐标系中的图象可能是()5.(2021杭州期末测试)已知函数f(x)=x-2,若f(2a2-5a+4)0),在2014年的前6个月,
2、价格平均每月比上个月上涨10%,后6个月,价格平均每月比上个月下降10%,经过这12个月,2014年12月底该产品的价格为b元,则a,b的大小关系是()A.abB.abC.a=bD.不能确定7.某商品销量q与售价p满足q=10-p,总成本c与销量q满足c=4+q,销售收入r与售价p及销量q之间满足r=pq,其中,均为正常数.设利润=销售收入-总成本,则利润最大时的售价为()A.10-B.10+C.10-2D.10+28.(2020年7月浙江学考)已知幂函数y=f(x)的图象过点(3,3),则f(4)=.9.已知函数f(x)=(m2+m-1)xm+3是幂函数,且该函数是偶函数,则m的值是.10.
3、已知甲、乙两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h的速度从甲地到达乙地,在乙地停留一小时后再以50 km/h的速度返回甲地,把汽车距甲地的距离s(单位:km)表示为时间t(单位:h)的函数,则此函数的表达式为.11.若(a+1)-1f(a-1)的实数a的取值范围.14.暑假期间,某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营,推出如下收费标准:若夏令营人数不超过30,则每人需交费用600元;若夏令营人数超过30,则每多1人,每人交费减少10元(即参加夏令营的人数为31时,每人交费590元,参加夏令营的人数为32时,每人交费580元,以此类推),直到达到满额70人为止.(1)写出夏令营每位同学需
4、交费用y(单位:元)与夏令营人数x之间的函数关系式;(2)当夏令营人数为多少时,旅行社可以获得最大收入?最大收入是多少?15.某企业计划2022年引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本3 000万元,每生产x(单位:百辆)需另投入成本y(单位:万元),且y=10x2+100x,0x40,501x+10 000x-4 500,x40.由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2022年的利润S(单位:万元)关于年产量x(单位:百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本)(2)当2022年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.素养提
5、升16.已知a=243,b=425,c=2513,则()A.bacB.abcC.bcaD.cab17.(2019新课标全国卷)2019年1月3日“嫦娥四号”探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了“嫦娥四号”中继星“鹊桥”,“鹊桥”沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3.
6、设=rR,由于的值很小,因此在近似计算中33+34+5(1+)233,则r的近似值为()A.M2M1RB.M22M1RC.33M2M1RD.3M23M1R18.给出封闭函数的定义:若对于定义域D内的任意一个自变量x0,都有函数值f(x0)D,则称函数y=f(x)在D上封闭.若定义域D=(0,1),则函数f1(x)=3x-1;f2(x)=-12x2-12x+1;f3(x)=1-x;f4(x)=x12,其中在D上封闭的是(填序号).19.(2020福建高一)熔喷布是口罩生产的重要原材料,1吨熔喷布大约可供生产100万只口罩.2020年,制造口罩的企业甲的熔喷布1月份的需求量为100吨,并且从2月份
7、起,每月熔喷布的需求量均比上个月增加10%.企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商,企业乙2020年1月份的产能为100吨,为满足市场需求,从2月份到k月份(2k8且kN),每个月比上个月增加一条月产量为50吨的生产线投入生产,从k+1月份到9月份不再增加新的生产线.计划截止到9月份,企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外,还剩余不少于990吨的熔喷布可供给其他厂商,则企业乙至少要增加条熔喷布生产线.(参考数据:1.182.14,1.192.36)20.已知幂函数f(x)=(k2-4k+5)x-m2+4m(mZ)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上单调递增.(1)求m和k的值;(2)求满足不等式(
8、2a-1)-3(a+2)-3m2的a的取值范围.21.已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)(kZ)满足f(2)f(3).(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式;(2)对于(1)中的函数f(x),试判断是否存在正数m,使函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x在区间0,1上的最大值为5.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.22.集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的:函数f(x)的定义域是0,+);函数f(x)的值域是-2,4);函数f(x)在0,+)上是增函数.试分别探究下列两小题:(1)判断函数f1(x)=x-2(x0)及f2(x)=4-612x(x0)是否
9、属于集合A?并简要说明理由;(2)对于(1)中你认为属于集合A的函数f(x),不等式f(x)+f(x+2)0时,二次函数y=ax2+a的图象开口向上,且对称轴为x=0,顶点坐标为(0,a),排除A,C;当a0时,二次函数y=ax2+a的图象开口向下,且对称轴为x=0,顶点坐标为(0,a),函数y=ax的图象在第二、四象限,故选D.5.C解析 由题意,f(x)在2,+)上单调递增,f(2a2-5a+4)f(a2+a+4),即22a2-5a+4a2+a+4,a2-6a0且2a2-5a+20,可得2a6或0a12.故选C.6.A解析 由题意可得,b=a(1+10%)6(1-10%)6=a(1-1%)
10、60,0),由二次函数性质知,当p=10+2时,利润最大,故选D.8.2解析 y=f(x)为幂函数,可设f(x)=x,f(3)=3=3,解得=12,f(x)=x12,f(4)=2.9.1解析 因为函数f(x)=(m2+m-1)xm+3是幂函数,所以m2+m-1=1,解得m=-2或m=1,又该函数是偶函数,当m=-2时,函数f(x)=x是奇函数,当m=1时,函数f(x)=x4是偶函数,即m的值是1.10.s=60t,0t2.5,150,2.5t3.5,325-50t,3.5t6.5解析 根据题意此人运动的过程分为三个时段,当0t2.5时,s=60t;当2.5t3.5时,s=150;当3.5t6.
11、5时,s=150-50(t-3.5)=325-50t.综上所述,s=60t,0t2.5,150,2.5t3.5,325-50t,3.50,3-2a0,a+13-2a或a+10,3-2a3-2a或3-2a0,a+10,解得23a32或a-1.即实数a的取值范围为(-,-1)23,32.12.解 (1)由题意得(m-1)2=1,m=0或2.当m=0时,f(x)=x2在(0,+)上单调递增,满足题意.当m=2时,f(x)=x-2在(0,+)上单调递减,不满足题意,舍去.m=0.(2)由(1)知,f(x)=x2.f(x)在1,2上单调递增,A=1,4.由B,要满足AB=,只需4-k4,解得k3或kf(
12、a-1)得2-a0,a-10,2-aa-1,解得1a32.a的取值范围为1,32.14.解 (1)由题意可知每人需交费y关于人数x的函数为y=600,1x30,xN*,-10x+900,30x70,xN*.(2)设旅行社收入为f(x),则f(x)=xy,即f(x)=600x,1x30,xN*,-10x2+900x,30x70,xN*,当1x30,xN*时,f(x)为增函数,所以f(x)max=f(30)=60030=18 000,当30x70,xN*时,f(x)为开口向下的二次函数,对称轴x=45,所以当x=45时取得最大值,f(x)max=f(45)=20 250.综上,当人数为45时,最大
13、收入为20 250元.15.解 (1)由题意,当0x40时,S=5100x-10x2-100x-3 000=-10x2+400x-3 000;当x40时,S=5100x-501x-10 000x+4 500-3 000=1 500-x+10 000x.所以S=-10x2+400x-3 000,0x40,1 500-(x+10 000x),x40.(2)当0x1 000,所以当x=100时,即2022年生产100百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为1 300万元.16.A解析 因为a=243=423425=b,c=2513=523423=a,故选A.17.D解析 由=rR,得r=R.M1(R
14、+r)2+M2r2=(R+r)M1R3,M1R2(1+)2+M22R2=(1+)M1R2,即M2M1=2(1+)3-1(1+)2=5+34+33(1+)233,解得3M23M1.r=R3M23M1R.18.解析 函数f1(x)=3x-1在(0,1)上单调递增,则f1(x)(-1,2),则f1(x)不是封闭函数;f2(x)=-12x2-12x+1在(0,1)上单调递减,则f2(x)(0,1),则f2(x)是封闭函数;f3(x)=1-x在(0,1)上单调递减,则f3(x)(0,1),则f3(x)是封闭函数;f4(x)=x12在(0,1)上单调递增,则f4(x)(0,1),则f4(x)是封闭函数.1
15、9.5解析 依题意得,企业甲从2020年1月到9月的需求量为100(1-1.19)1-1.1=1 000(1.19-1)1 360(吨).易知,企业乙增加1条熔喷布生产线,不符合题意;依题意,当企业乙增加k-1(2k0,f(6)=62-196+76=-20,解得0m4.mZ,m=1或m=2或m=3.当m=1或m=3时,f(x)=x3,图象关于原点对称,不合题意;当m=2时,f(x)=x4,图象关于y轴对称,符合题意.综上,m=2,k=2.(2)由(1)知m=2,不等式即(2a-1)-30时,y=x-30,当x0时,y=x-30,满足不等式的条件为0a+22a-1,或a+22a-10,或2a-1
16、0a+2,解得-2a3,故满足不等式(2a-1)-3(a+2)-3m2的a的取值范围为-2,12(3,+).21.解 (1)对于幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)满足f(2)0,解得-1k0,因此抛物线开口向下,对称轴方程为x=2m-12m,当m0时,2m-12m=1-12m0或g(0)=5,1-12m0,解得m=52+6,满足题意.22.解 (1)函数f1(x)=x-2不属于集合A.因为f1(x)的值域是-2,+),所以函数f1(x)=x-2不属于集合A.因为函数f2(x)的定义域是0,+);f2(x)的值域是-2,4);函数f2(x)在0,+)上是增函数,所以f2(x)=4-612x(x0)在集合A中.(2)由f(x)+f(x+2)-2f(x+1)=612x-140,所以不等式f(x)+f(x+2)2f(x+1)对任意的x0恒成立.
