1、专题练习8函数的应用基础巩固1.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()A.-14,0B.0,14C.14,12D.12,342.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如表所示.时间1234利润/千元23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的()A.y=log2xB.y=2xC.y=x2D.y=2x3.函数f(x)=|lg x|-12x的零点个数为()A.3B.0C.1D.24.(2017年11月学考)已知1是函数f(x)=ax2+bx+c(abc)的一个零点,若存在实数x0,使得f(x0)0,则f(x)的另一个零点可能是()A.x0-3
2、B.x0-12C.x0+32D.x0+25.若ab2时,f(x)=12f(x-2).方程f(x)=15的所有实数根之和是()A.8B.13C.18D.257.某品牌牛奶的保质期y(单位:天)与储存温度x(单位:)满足函数关系y=akx+b(a0,a1).该品牌牛奶在0 的保质期为270天,在8 的保质期为180天,则该品牌牛奶在24 的保质期是()A.60天B.70天C.80天D.90天8.若函数f(x)=x-ax(aR)在区间(1,2)上有零点,则实数a的取值范围为.9.函数f(x)=(lg x)2-lg x的零点为.10.已知a是正实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f
3、(x)在区间-1,1上有零点,则a的取值范围是.11.设函数f(x)=|x-a|-2x+a,若关于x的方程f(x)=1有且仅有两个不同的实数根,则实数a的取值构成的集合为.12.设函数f(x)=a2x-2-x(aR).(1)若函数y=f(x)的图象关于原点对称,求函数g(x)=f(x)+32的零点x0;(2)若函数h(x)=f(x)+4x+2-x在x0,1的最大值为-2,求实数a的值.13.某地为践行“绿水青山就是金山银山”的理念,大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩,计划每年种植一些树苗,且森林面积的年增长率相同,当面积是原来的2倍时,所用时间是10年.(1)求森林面积的年增长率;
4、(2)到今年为止,森林面积为原来的2倍,则该地已经植树造林多少年?(3)为使森林面积至少达到6a亩,至少需要植树造林多少年?(参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)14.为了支持一家小微企业发展,某科创公司研发了一种玩具供其生产销售.根据测算,该企业每月生产x套玩具的成本p由两部分费用(单位:元)构成:固定成本(与生产玩具套数x无关),总计2万元;生产所需成本5x+1200x2元.(1)该企业每月生产多少套玩具时,可使得平均每套所需的成本费用最少?此时每套玩具的成本费用是多少?(2)因“疫情”防控的需要,要求企业的复工复产逐步进行.假设复工后,企业每月生产x套,每套售价
5、定为30+x100(单位:元),且每月生产出的玩具能全部售出.如果企业的月产量与复工率成正比,且该企业复工率达100%时的月产量为4 000套,问:该企业的复工率至少达到多少时,才能确保月利润不少于10万元?15.(2021杭州期末测试)已知函数f(x)=log2x-1x+1,g(x)=3ax+1-a,h(x)=f(x)+g(x).(1)当a=1时,判断函数h(x)在(1,+)上的单调性及零点个数;(2)若关于x的方程f(x)=log2g(x)有两个不相等实数根,求实数a的取值范围.素养提升16.(2021浙江高一期末)已知a,b,cR,a+b+c=0,若函数f(x)=3ax2+2bx+c(a
6、0)的两个零点是x1,x2,则1|2x1-1|+1|2x2-1|的最小值是()A.36B.33C.3D.2317.(2018年4月浙江学考)设a为实数,若函数f(x)=2x2-x+a有零点,则函数y=ff(x)零点的个数是()A.1或3B.2或3C.2或4D.3或418.设定义域为R的函数f(x)=|lg|x-1|,x1,0,x=1,则关于x的方程f(x)2+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是()A.b0B.b0且c0C.b0且c=0D.b0且c=019.(2021温州期末测试)已知aR,函数f(x)=x-7,xa,x2-4x,xa.(1)若函数y=f(x)恰有2个零点,求实数a的
7、取值范围;(2)若f(f(x)f(x),求实数x的取值范围.专题练习8函数的应用1.C解析 因为函数f(x)=ex+4x-3在R上连续且单调递增,且f(14)=e14+414-3=e14-20,所以函数的零点在区间14,12上,故选C.2.B解析 y=log2x,当x=1时,y=0,x=2时,y=1,与表格相差比较大,A不正确;y=2x,满足x=1时,y=2,x=2时,y=4,x=3时,y=8,x=4时,y=16,结合表格可知函数的表达式,比较接近,B正确;y=x2,当x=1时,y=1,x=2时,y=4,x=3时,y=9,x=4时,y=16,与表格相差比较大,C不正确;y=2x,当x=1时,y
8、=2,x=2时,y=4,x=3时,y=6,x=4时,y=8,与表格相差比较大,D不正确.故选B.3.D解析 由f(x)=|lg x|-12x=0得|lg x|=12x,分别作出函数y=|lg x|与y=12x的图象(图略),由图象可知两个函数有2个交点,即函数f(x)=|lg x|-12x的零点个数为2,故选D.4.B解析 因为1是函数f(x)=ax2+bx+c的一个零点,所以a+b+c=0,又abc,所以a0,c|b|,可得-12-b2a12,则另一零点x2=2-b2a-1(-2,0),且x0(x2,1),所以选B.5.A解析 由于ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0,因此有f(a)f(
9、b)0,f(c)f(b)0时,f(x)在(1,2)上为增函数,则1-a0,得1a4.9.1或10解析 由题知(lg x)2-lg x=0,得lg x(lg x-1)=0,lg x=0或lg x=1,x=1或x=10.10.1,+)解析 f(x)=2ax2+2x-3-a图象的对称轴为直线x=-12a.当-12a-1,即0a12时,需f(-1)0,f(1)0,即a5,a1,则a.当-1-12a12时,需f(-12a)0,f(1)0,解得a1,实数a的取值范围是1,+).11.1-222,1+222,2解析 由方程f(x)=1,得|x-a|+a=2x+1有两个不同的解,令h(x)=|x-a|+a,g
10、(x)=2x+1,当xa时,h(x)=x,当x0,x=-1.函数g(x)的零点为-1.(2)h(x)=a2x-2-x+4x+2-x,x0,1,令2x=t1,2,h(x)=H(t)=t2+at,t1,2,对称轴t=-a2,当-a232,即a-3时,H(t)max=H(2)=4+2a=-2,a=-3;当-a232,即a0,解得x1.(1)由于f(x)=log2x-1x+1=log21-2x+1,y=1-2x+1在(1,+)上单调递增,根据复合函数单调性可知,f(x)在(1,+)上单调递增,当a=1时,g(x)=3x在(1,+)上单调递增,所以h(x)在(1,+)上单调递增.由于h(1.1)=3.3
11、-log2210,h(1.1)h(2)0,所以h(x)在区间(1,+)上零点个数为1.(2)方程f(x)=log2g(x)可化为log2x-1x+1=log2(3ax+1-a),即x-1x+1=3ax+1-a,化简得-2a=(3x-1)(x+1)(x1),画出y=(3x-1)(x+1)(x1)的图象(图略)知,要使-2a=(3x-1)(x+1)有两个解,则需-2a4,解得-12a0,所以a18,记两根为x1,x2(x10,此时t=x2是方程2t2-t+a=0的根,即f(x)=x2,此时方程有两个不等的实根;又因为x1=1-1-8a4,f(x)min=f14=a-18,则f(x)min-x1=a
12、-18-1-1-8a4=-(1-1-8a)2-18f(x)min,此时f(x)=x1有两个不等的实根;因此y=ff(x)有4个零点.故选C.18.C解析 设f(x)=t如下图,由函数图象得:(1)当t0时,方程f(x)=t有不同的实数解4个;(2)当t=0时,方程f(x)=t有不同的实数解3个;(3)当t0时,方程f(x)=t没有实数解.所以,关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是方程x2+bx+c=0有两个根,其中一个根等于0,另一个根大于0.此时应b7,若2个零点分别为0,7时,可得0u,必无解,当ua时,u2-4uu,u5或u0,情况一:当a0时,可得ua
13、,即f(x)a,xa时,x-7a,则ax7+a,xa时,x2-4xa2-4a0a,无解,因此实数x的取值范围是a,7+a).情况二:当0a4时,可得u0,即f(x)0.xa时,x-70,则ax7,xa时,x2-4x0,则0xa,因此实数x的取值范围是0,7.情况三:当4a5时,可得u0,即f(x)0,xa时,x-70,则ax7,x5时,可得5ua或u0,即5f(x)a或f(x)0.xa时,5x-7a或x-70,则12x7+a或x7,xa时,5x2-4xa或x2-4x0或5x2+a+4或2-a+40,故2+a+4a,因此i.5a7时,实数x的取值范围是(2-a+4,-10,45,2+a+4)a,712,7+a);ii.当7a12时,实数x的取值范围是(2-a+4,-10,45,2+a+4)12,7+a),iii.当a12时,实数x的取值范围是(2-a+4,-10,45,2+a+4)a,7+a).
