1、专题练习20空间直线、平面的垂直基础巩固1.已知直线l和平面内的两条直线m,n,则“l”是“lm且ln”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件2.设l为一条直线,为三个不同平面,给出下列四个命题:,;l,l;l,l;,ll.其中是假命题的个数是()A.0B.1C.2D.33.“直线l与平面内无数条直线垂直”是“直线l与平面垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2018年4月浙江学考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是()A.13B.33C.23D.635
2、.在三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC是边长为2的等边三角形,AA1底面ABC,AA1=3,M是AB的中点,则异面直线BB1与MC1所成角的大小为()A.30B.45C.60D.906.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=3,AB=2,二面角A1-BD-A的大小为()A.30B.45C.60D.907.在空间中,下列说法正确的是()A.若平面内有无数条直线与直线l平行,则lB.若平面内有无数条直线与平面平行,则C.若平面内有无数条直线与直线l垂直,则lD.若平面内有无数条直线与平面垂直,则8.已知a,b是异面直线,P是a,b外的一点,则下列结论中正确的是()A.过P有且只有一条直
3、线与a,b都垂直B.过P有且只有一条直线与a,b都平行C.过P有且只有一个平面与a,b都垂直D.过P有且只有一个平面与a,b都平行9.在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC=23,SA=SB=SC=AB=BC=2,则异面直线AC与BE所成的角为()A.30B.45C.60D.9010.在四棱锥P-ABCD中,已知PA底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是()A.平面PAB平面PADB.平面PAB平面PBCC.平面PBC平面PCDD.平面PCD平面PAD11.(2015年1月浙江学考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1平面ABC.若AB=AC=AA1=1
4、,BC=2,则异面直线A1C与B1C1所成的角为()A.30B.45C.60D.9012.(2016年1月浙江学考)在空间中,m,n是不同的直线,是平面,m,n均与直线l异面.下列四个命题:若直线m,n与直线l所成的角大小相等,则mn;若直线m,n与平面所成的角大小相等,则mn;若mn,则直线m,n与直线l所成的角大小相等;若mn,则直线m,n与平面所成的角大小相等.其中,真命题是()A.B.C.D.13.(2019年1月浙江学考)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面A1B1CD平面ABCD,且四边形ABCD和四边形A1B1CD都是正方形,则直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值
5、是()A.22B.32C.2D.314.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为()A.32B.22C.2D.315.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O为底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的距离是()A.12B.24C.22D.3216.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=1,则点B1到平面D1BC的距离为.17.(2021年7月浙江学考)如图,在三棱锥D-ABC中,ABC,BCD均是以点C为直角顶点的等腰直角三角形,ACD=60.(1)求证:BCAD;(2)求直线BD与平面ABC
6、所成角的正弦值.素养提升18.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是()A.MN与AC1垂直B.MN与平面ACC1A1垂直C.MN与平面C1BD平行D.MN与平面A1BD平行19.将如图的平面图形折成正方体,则在这个正方体中,正确的是()A.ABCD,ABEFB.ABCD,ABEFC.ABCD,AB与EF所成的角为60D.ABCD,AB与EF所成的角为6020.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD上的动点,PEA1C于E,且PA=PE,则点P的轨迹是()A.线段B.圆C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分21.(2020年7
7、月浙江学考)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱长为2,E,F分别是侧面ACC1A1和侧面ABB1A1上的动点,满足二面角A-EF-A1为直二面角.若点P在线段EF上,且APEF,则点P的轨迹的面积是()A.3B.23C.43D.8322.正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均等于2,M为线段BB1上的动点,则平面ABC与平面AMC1所成的锐二面角余弦值的最大值为.23.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,BAD=60,PA=PD=AD=2,点M,N分别是线段PC,AD的中点.(1)求证:AD平面PNB;(2)若平面PAD平面ABCD,求三棱锥
8、A-NBM的体积.专题练习20空间直线、平面的垂直1.C解析 若l,则直线l和平面内的所有直线都垂直,故lm且ln;反之,若lm且ln,不能推出l,需加条件:m,n都相交.故选C.2.D解析 假,也可,真;l,l或l,则假;,ll或l与相交,则假.故选D.3.B解析 设p:直线l与平面内无数条直线垂直,q:直线l与平面垂直,则pq,但qp,所以p是q的必要不充分条件.故选B.4.D解析 正方体ABCD-A1B1C1D1,AA1平面ABCD,A1CA即为直线A1C与平面ABCD所成角,设正方体棱长为1,cosA1CA=ACA1C=23=63.故选D.5.A解析 取A1B1中点N,连接NM,NC1
9、,M为AB中点,易知MNBB1,C1MN即为异面直线BB1与MC1所成角,AA1底面ABC,AA1NC1,MNNC1.ABC是边长为2的等边三角形,且AA1=3,NC1=3,MN=3,tanC1MN=NC1MN=33,C1MN=30.故选A.6.C解析 取BD中点O,连接A1O,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,易知AOBD,AA1平面ABCD,可知,A1OBD,A1OA即为二面角A1-BD-A的平面角.tanA1OA=AA1AO=31=3,A1OA=60.故选C.7.D解析 A错误,因为l可能在平面内;B错误,与可能相交;C错误,可能l与不垂直相交或l,D正确.故选D.8.A解析 A正确
10、;与a,b都平行直线不存在,B错;与a、b都垂直的平面不存在,C错;D错,过P的平面与其中一直线平行,可能过另一直线.故选A.9.C解析 取SA中点F,连接FB,FE,E为棱SC的中点,EFAC,BEF即为异面直线AC与BE所成的角(或其补角).AC=23,SA=SB=SC=AB=BC=2,BFSA,BESC.在SAB和SBC中,可得BF=BE=3,BF=BE=EF,BEF是等边三角形,BEF=60,异面直线AC与BE所成的角为60.故选C.10.C解析 由面面垂直的判定定理知:平面PAB平面PAD,平面PAB平面PBC,平面PCD平面PAD,A,B,D正确.故选C.11.C解析 BCB1C1
11、,A1CB即为异面直线A1C与B1C1所成的角,AB=AC=AA1=1,BC=2,CB=CA1=A1B=2,cosA1CB=60.故选C.12.B解析 中,m,n的关系可能是平行或相交或异面,假;真.13.C解析 连接A1C,交BD1于点O,由对称性可知,OC=12A1C,四边形ABCD是正方形,BCCD.又平面A1B1CD平面ABCD,平面A1B1CD平面ABCD=CD,BC平面A1B1CD,BOC即为直线BD1与平面A1B1CD所成夹角,不妨设AD=a,则tanBOC=BCOC=a22a=2.14.C解析 如图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O,O为BD中点,A1D=A1B,在A1BD
12、中,A1OBD.又在正方形ABCD中,ACBD,A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.设AA1=1,则AO=22.tanA1OA=122=2.15.B解析 O为A1C1的中点,则点O到平面ABC1D1的距离即点A1到平面ABC1D1的距离的一半,故先计算点A1到平面ABC1D1的距离.AB平面ADD1A1,且AB平面ABC1D1,平面ABC1D1平面ADD1A1.过点A1作A1MAD1,A1M平面ABC1D1,点A1到平面ABC1D1的距离即为A1M.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,A1M=22.故选B.16.255解析 设点B1到平面D1BC的距离为d,VB1-BCD1=VD1
13、-BCB1,13SBCD1d=13SBCB1A1B1.131215d=1312112.d=255.17.(1)证明 ABC,BCD均是以点C为直角顶点的等腰直角三角形,BCAC,BCCD,AC,CD平面ACD,ACCD=C,BC平面ACD.AD平面ACD,BCAD.(2)如图,在ACD中,作EDAC,垂足为E,连接BE.BC平面ACD,BCDE,ACBC=C,DE平面ABC,DBE为直线DB与平面ABC所成角.设CD=2a,则DE=CDsin 60=3a,DB=22a,sinDBE=64,直线BD与平面ABC所成角的正弦值为64.18.C解析 对于选项A,连接B1C,B1D1,AC,A1C1由
14、三角形中位线知识即可证得MNB1D1,可证得B1D1平面ACC1A1,所以MN与AC1垂直,选项A正确;对于选项B,由MNB1D1,B1D1平面ACC1A1,所以MN与平面ACC1A1垂直,选项B正确;对于选项C,因为MBC1,BC1平面C1BD,所以MN与平面C1BD至少有一个公共点M,MN与平面C1BD不可能平行,选项C不正确;对于选项D,由MNB1D1,又BDB1D1,所以MNBD,又MN平面A1BD,所以MN与平面A1BD平行,选项D正确.故选C.19.D解析 作出翻折后的正方体如图所示:由图ABCD,A错;ABME,ME,EF夹角为60,即AB,EF不垂直,B错;由ABCD得C错;D
15、正确.故选D.20.A解析 连接A1P,可证A1APA1EP,即A1A=A1E,即点E是体对角线A1C上的定点,直线AE也是定直线.PA=PE,动点P必定在线段AE的中垂面上,则中垂面与底面ABCD的交线就是动点P的轨迹,动点P的轨迹是线段.故选A.21.B解析 二面角A-EF-A1为直二面角,平面AEF平面EFA1,又点P在线段EF上,且APEF,AP平面AEF,平面AEF平面EFA1=EF,AP平面EFA1,连接A1P,APA1P,P在以AA1为直径的球上,且P在三棱柱ABC-A1B1C1内部,P的轨迹为以AA1为直径的球面在三棱柱ABC-A1B1C1内部的曲面,又三棱柱ABC-A1B1C
16、1为正三棱柱,P的轨迹为以AA1为直径的球面,占球面的16,点P的轨迹面积是S=164=23.故选B.22.22解析 延长C1M交CB于N,连接AN,则平面AMC1平面ABC=AN,作CGAN于G,连接C1G,C1GC为所求的二面角的平面角.设BM=t,因为B1C1MCNC1,由相似比得2-t2=2CN,CN=42-t,由余弦定理可解得AN=2t2-2t+42-t,由等面积法得CG=23t2-2t+4,tanC1GC=CC1CG=t2-2t+431(当t=1时取等号),(cosC1GC)max=22.23.(1)证明 PA=AD,N为AD中点,PNAD.底面ABCD为菱形,BAD=60,ABD为等边三角形,BNAD,PNBN=N,AD平面PNB.(2)解 平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PNAD,PN平面PAD,PN平面ABCD.又PA=PD=AD=2,PN=NB=3,AN=1,ADNB,SABN=12ANBN=1213=32.M为PC中点,点M到平面ABN的距离等于P到平面ABN距离的12,又VA-NBM=VM-ANB=1312PNSABN,VA-NBM=1312332=14.
