1、3.2 函数的基本性质3.2.1 单调性与最大（小）值第1课时 函数的单调性【学习目标】课程标准学科素养1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义2.掌握定义法证明函数单调性的步骤（重点、难点）3.掌握求函数单调区间的方法(重点).1、逻辑推理2、数学抽象3、直观想象【自主学习】一增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1，x2D，当x1x2时都有 都有 结论那么就称函数f(x)在区间D上是 函数那么就称函数f(x)在区间D上是 函数图示思考1：在增函数与减函数的定义中，能否把“x1，x2D”改为“x1，x2D”？思考2：设x1、x2
2、是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量，如果f(x)满足以下条件，该函数f(x)是否为增函数？(1)对任意x1x2，都有f(x1)0；(3)对任意x1、x2都有 0.思考3：由思考2推广，能否写出减函数的几个等价命题？二函数的单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是_，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的_.三基本初等函数的单调区间如下表所示：函数条件单调递增区间单调递减区间正比例函数(ykx，k0)与一次函数(ykxb，k0)k0R无k0无R反比例函数(y，k0)k0无(，0)和(0，)k0(，0)和(0，)无二次函数(yax2bxc，a0)
3、a0，)(，a0(，)【小试牛刀】思辨解析(正确的打“”，错误的打“”)(1)因为f(1)f(1)()(3)若函数f(x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数()(4)若函数f(x)在(，0)和(0，)上单调递减，则f(x)在(，0)(0，)上单调递减 () 【经典例题】题型一 函数单调性的判定与证明点拨：利用定义证明函数单调性的4个步骤：例1 用定义证明：函数f(x)x在(1,0)上是减函数 【跟踪训练】1 用定义证明，函数y在(1，)上为增函数 题型二 利用图象确定函数的单调区间 点拨：1.求函数单调区间的方法：(1)利用基本初等函数的单调性，其
4、中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象2若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”“或”连接，不能用“”连接例2 如图为函数yf(x)，x4,7的图象，指出它的单调区间.【跟踪训练】2 画出函数yx22|x|3的图象，并指出函数的单调区间题型三 函数单调性的应用已知函数的单调性求参数的取值范围的方法：(1)确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解(3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后
5、者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集例3 已知函数f(x)的定义域为2,2，且f(x)在区间2,2上是减函数，且f(1m)f(m)，求实数m的取值范围【跟踪训练】3已知函数f(x)若函数f(x)在7，)上为增函数，求实数a的取值范围【当堂达标】1. (多选)如图是定义在区间5,5上的函数yf(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是()A函数在区间5，3上单调递增B函数在区间1,4上单调递增C函数在区间3,14,5上单调递减D函数在区间5,5上没有单调性2. (多选)下列函数在区间(0，)上是增函数的是( )Ay2x1 Byx21 Cy3x Dyx22x13.已知f(x)(
6、3a1)xb在(，)上是增函数，则a的取值范围是 ()A(，) B(，) C(， D，)4.若函数f(x)x22ax3在(2，)上是增函数，则实数a的取值范围是 。5.已知函数yf(x)是(，)上的增函数，且f(2x3)f(5x6)，求实数x的取值范围为_6.求证：函数f(x)在区间(0，)上是减函数，在区间(，0)上是增函数.【课堂小结】1.函数的单调性定义单调性时应强调x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较2.证明函数的单调性证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因
7、式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可3.等价转化、数形结合已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f(x)在D上递增，则f(x1)f(x2)x1x2.二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题【参考答案】【自主学习】一f(x1)f(x2)；增；f(x1)f(x2)；减思考1：不能，如图所示：虽然 f(1)f(2)，但原函数在1，2上不是增函数思考2：是增函数，它们是增函数的几种等价命题思考3：减函数(x1，x2M)任意x1f(x2) 0f(x1)f(x2)(x1x2)x21，y1y20，y1y2，函数y在(1，)上为增函数例
8、2 解：函数的单调增区间为1.5,3)，5,6)，单调减区间为4，1.5)，3,5)，6,7【跟踪训练】2 解：yx22|x|3函数图象如图所示函数在(，1，0,1上是增函数；函数在1,0，1，)上是减函数所以函数的单调增区间是(，1和0,1，单调减区间是1,0和1，)例3 解：因为f(x)在区间2,2上单调递减，所以当2x1x22时，总有f(x1)f(x2)成立，反之也成立，即若f(x1)f(x2)，则2x1x22.因为f(1m)f(m)，所以解得m2.【跟踪训练】3 解：令g(x)2，h(x)x22ax3a3.显然，函数g(x)2在(1，)上递增，且g(x)22；函数h(x)x22ax3a
9、3在a,1上递增，且h(1)4a，故若函数f(x)在7，)上为增函数，则即a7，a的取值范围为7，)【当堂达标】1.ABD 解析：由图可知，f(x)在区间3,1，4,5上单调递减，单调区间不可以用并集“”连接，故选C.2.ABD 解析：函数y3x在区间(0，)上是减函数3.B 解析：f(x)(3a1)xb为增函数，应满足3a10，即a，故选B.4.a2 解析：因为函数f(x)x22ax3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为xa，所以其单调增区间为(a，)，由题意可得(2，)(a，)，所以a2.5.(，3) 解析：f(x)是R上的增函数，且f(2x3)f(5x6)，2x35x6，即x3.6.证明：对于任意的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2).因为x1x20，所以x2x10，x1x20，xx0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2).因为0x1x2，所以x2x10，x2x10，xx0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(0，)上是减函数
