1、 7.1.1数系得扩充和复数得概念导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.【自主学习】知识点1复数的引入在实数范围内，方程x210无解.为了解决x210这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x210的根，即使ii1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作abi(a，bR)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是abi(a，bR)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C
2、abi|a，bR，称i为虚数单位.知识点2复数的概念、分类1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi的数叫做复数，其中a，bR，i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.2.复数的分类及包含关系(1)复数(abi，a，bR)(2)集合表示：知识点3复数相等复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且bd.即它们的实部与虚部分别对应相等. 【合作探究】探究一 复数的概念【例1】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚
3、数.23i；3i；i；i；0.解的实部为2，虚部为3，是虚数；的实部为3，虚部为，是虚数；的实部为，虚部为1，是虚数；的实部为，虚部为0，是实数；的实部为0，虚部为，是纯虚数；的实部为0，虚部为0，是实数.归纳总结：【练习1】下列命题中，正确命题的个数是()若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；若a，bR且ab，则aibi；若x2y20，则xy0.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A解析由于x，yC，所以xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以是假命题.由于两个虚数不能比较大小，所以是假命题.当x1，yi时，x2y20成立，所以是假命题.故选A.探究二 复数的分类
4、【例2】设z (m1)ilog2(5m)(mR).(1)若z是虚数，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值.解(1)因为z是虚数，故其虚部log2(5m)0，m应满足的条件是解得1m5，且m4.(2)因为z是纯虚数，故其实部(m1)0，虚部log2(5m)0，m应满足的条件是解得m2.归纳总结：【练习2】实数k为何值时，复数z(1i)k2(35i)k2(23i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.解由z(1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i.(1)当k25k60时，zR，即k6或k1.(2)当k25k60时，z是虚数，即k6且k1.(3)当时
5、，z是纯虚数，解得k4.(4)当时，z0，解得k1.探究三 两个复数相等【例3】(1)已知x2y22xyi2i，求实数x，y的值.(2)关于x的方程3x2x1(10x2x2)i有实根，求实数a的值.解(1)x2y22xyi2i，解得或(2)设方程的实数根为xm，则原方程可变为3m2m1(10m2m2)i，解得a11或a.归纳总结：【练习3】已知复数zx(x24x3)i0，求实数x的值.解z0，zR，x24x30，解得x1或x3.z0，x0，且x24x30.对于不等式x0，x1满足，x3不满足，故x1.课后作业A组 基础题一、选择题1.设复数z满足iz1，其中i为虚数单位，则z等于()A.i B
6、.i C.1 D.1【答案】A解析i21，i2i(i)1，zi.2.设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数abi为纯虚数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分也不必要条件【答案】B解析若复数abi为纯虚数，则a0且b0，故ab0.而由ab0不一定能得到复数abi是纯虚数，故“ab0”是“复数abi为纯虚数”的必要不充分条件.3.若集合Ai，i2，i3，i4(i是虚数单位)，B1，1，则AB等于()A.1 B.1 C.1，1 D.【答案】C解析因为i21，i3i，i41，所以Ai，1，i,1，又B1，1，故AB1，1.4.已知复数za2(2b)i的实部和
7、虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.，1 B.，5C.，5 D.，1【答案】C解析令得a，b5.5.以2i的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的新复数是()A.22i B.iC.2i D.i【答案】A解析设所求新复数zabi(a，bR)，由题意知：复数2i的虚部为2；复数i2i2i2(1)2i的实部为2，则所求的z22i.故选A.6.若(xy)ix1(x，yR)，则2xy的值为()A. B.2C.0 D.1【答案】D解析由复数相等的充要条件知，解得xy0.2xy201.7.如果zm(m1)(m21)i为纯虚数，则实数m的值为()A.1 B.0C.1 D.1或1【答案】B解析由题意知
8、m0.二、填空题8.若实数x，y满足(1i)x(1i)y2，则xy的值是 .【答案】1解析因为实数x，y满足(1i)x(1i)y2，所以xxiyyi2，可得所以xy1，所以xy1.9.若复数m3(m29)i0，则实数m的值为 .【答案】3解析依题意知解得即m3.10.已知M2，m22m(m2m2)i，N1,2,4i，若MNN，则实数m的值为 .【答案】1或2解析MNN，MN，m22m(m2m2)i1或m22m(m2m2)i4i.由复数相等的充要条件，得或解得m1或m2.故实数m的值是1或2.11.设i为虚数单位，若关于x的方程x2(2i)x1mi0(mR)有一实根为n，则m .【答案】1解析关
9、于x的方程x2(2i)x1mi0(mR)有一实根为n，可得n2(2i)n1mi0.所以所以mn1.三、解答题12.当实数m为何值时，复数z(m2m6)i是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解(1)由得m2.当m2时，z是实数.(2)由得即m2且m3.当m2且m3时，z是虚数.(3)由得即m3或m4.当m3或m4时，z是纯虚数.B组 能力提升一、选择题1.若sin 21i(cos 1)是纯虚数，则的值为()A.2k(kZ) B.2k(kZ)C.2k(kZ) D.(kZ)【答案】B解析由题意，得解得(kZ)，2k，kZ.2已知关于x的方程x2(m2i)x22i0(mR)有实根n，且zmni，
10、则复数z()A3iB3iC3iD3i【答案】B由题意，知n2(m2i)n22i0，即n2mn2(2n2)i0.所以解得所以z3i.3(多选题)下列命题正确的是()A1i20B若a，bR，且ab，则aibiC若x2y20，则xy0D两个虚数不能比较大小【答案】AD对于A，因为i21，所以1i20，故A正确对于B，两个虚数不能比较大小，故B错对于C，当x1，yi时，x2y20成立，故C错D正确二、填空题4.已知z14a1(2a23a)i，z22a(a2a)i，其中aR，若z1z2，则a的取值集合为 .【答案】0解析由z1z2，得解得a0，故a的取值集合为0.5.在给出的下列几个命题中，正确命题的个
11、数为 .若x是实数，则x可能不是复数；若z是虚数，则z不是实数；一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；1没有平方根.【答案】1解析因实数是复数，故错；正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故错；因1的平方根为i，故错.6(一题两空)定义运算adbc，如果(xy)(x3)i，则实数x_，y_.【答案】12由定义运算adbc得3x2yyi，故有(xy)(x3)i3x2yyi.因为x，y为实数，所以有解得x1，y2.三、解答题7已知复数z14m2(m2)i，z22sin (cos 2)i(其中i是虚数单位，m，R)(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；(2)若z1z2，求实数的取值
12、范围解(1)z1为纯虚数，解得m2.(2)由z1z2，得4cos22sin sin22sin 3(sin 1)22.1sin 1，当sin 1时，min2，当sin 1时，max6，实数的取值范围是2,68.已知复数z1m(4m2)i，z22cos (3sin )i，mR，z1z2，求的取值范围.解由z1z2，mR，可得整理，得4sin23sin 42.，sin 0,1，1.9.已知关于m的一元二次方程m2m2mixy(xy)i0(x，yR).当方程有实根时，试确定点(x，y)所形成的轨迹.解不妨设方程的实根为m，则m2m2mixy(xy)i.x，y，mR，由，得m.代入，得2xy，(x1)2(y1)22，点(x，y)的轨迹方程是(x1)2(y1)22，其轨迹是以(1,1)为圆心，为半径的圆.
