1、 6.4.3正弦定理导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状3.能利用正、余弦定理解决综合问题【自主学习】知识点1 正弦定理的呈现形式1.2R(其中R是ABC外接圆的半径)；2a2Rsin A；3sin A，sin B，sin C.知识点2 正弦定理的常见变形1sin Asin Bsin Cabc；2.2R；3a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；4sin A，sin B，sin C.知识点3 利用正弦定理判断三角形的解的个数已知三角形的两角和任意一边，求另两
2、边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定具体做法如下：由正弦定理得sinB，若1，则满足条件的三角形个数为0，即无解若1，则满足条件的三角形个数为1，即一解若1，则满足条件的三角形个数为1或2.【合作探究】探究一 已知两角和任意一边解三角形【例1】在ABC中，已知B30，C105，b4，解三角形分析由三角形的内角和定理可求A的度数根据正弦定理可求a，c.解因为B30，C105，所以A180(BC)180(30105)45.由正弦定理，得，解得a4，c2()归纳总结：【练习1】ABC的内角A，B，
3、C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b .【答案】解析：在ABC中，由cosA，cosC，可得sinA，sinC，sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，又a1，由正弦定理得b.探究二 已知两边及一边的对角解三角形【例2】下列三角形是否有解？有解的作出解答(1)a7，b8，A105；(2)b10，c5，C60；(3)a2，b6，A30.分析利用三角形中大边对大角定理以及结合有解无解的图形来考虑解(1)a7，b8，a90，本题无解(2)b10，c5，bc，C6090，本题有一解sinB，B45，A180(BC)75.a5(1)(3)a2，b6，ab，A30bs
4、inA，本题有两解由正弦定理得：sinB，B60或120，当B60时，C90，c4；当B120时，C30，c2.B60，C90，c4或B120，C30，c2.归纳总结：【练习2】在三角形中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是 。A,B,C,D,【答案】D【解析】A已知两角一边，三角形确定的，只有一解，B已知两边及夹角用余弦定理，只有一解，C中已知两边及一边对角，但已知的是大边所对的角，小边所对角只能是锐角，不可能有两解，D中，有两解故选：D.探究三 利用正弦定理判断三角形的形状【例3】在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，
5、试判断ABC的形状分析注意到a，b在条件式中是齐次的，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角，通过角的特征或者关系来判断三角形的形状解因为(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，所以b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，所以2sinAcosBb22cosAsinBa2，即a2cosAsinBb2sinAcosB.由正弦定理知a2RsinA，b2RsinB，所以sin2AcosAsinBsin2BsinAcosB，又sinAsinB0，所以sinAcosAsinBcosB，所以sin2Asin2B.在ABC中，02A2，02Bb，AB，又A60，B为锐角co
6、s B .6在ABC中，已知A，a，b1，则c的值为()A1 B2 C.1 D.答案B解析由正弦定理，可得，sin B，由ab，得AB，B(0，)，B.故C，由勾股定理得c2.7在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C等于()A. B C D.答案A解析由正弦定理及8b5c，得8sin B5sin C，又C2B，8sin B5sin 2B10sin Bcos B，cos B，cos Ccos 2B2cos2B1221.8在ABC中，AC，BC2，B60，则角C的值为()A45 B30 C75 D90答案C解析由正弦定理，得，sin A.BC2b，A
7、B.B只有一解B45.15在ABC中，cos A，cos B，BC4，则AB_.答案5解析A，B(0，)，sin A .sin B .sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B1，C，AB5.16已知 c50，b72，C135，则三角形解的个数为_答案0解析cb，C180，故三角形无解17在单位圆上有三点A，B，C，设ABC三边长分别为a，b，c，则_.答案7解析ABC的外接圆直径为2R2，2R2，2147.18在ABC中，B30，C120，则abc_.答案11解析根据三角形内角和定理，得A1803012030，由正弦定理，得abcsin Asin Bsin C11.19
8、锐角三角形的内角分别是A、B、C，并且AB.下列三个不等式中成立的是_sin Asin B；cos Acos Acos B.答案解析ABabsin Asin B，故成立函数ycos x在区间0，上是减函数，AB，cos A，AB，函数ysin x在区间0，上是增函数，则有sin Asin，即sin Acos B，同理sin Bcos A，故成立三、解答题20在ABC中，求证：.证明因为2R，所以左边右边所以等式成立21在ABC中，已知c10，求a、b及ABC的内切圆半径解由正弦定理知，.即sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.又ab且A，B(0，)，2A2B，即A
9、B.ABC是直角三角形且C，由得a6，b8.故内切圆的半径为r2.22在ABC中，bsin Bcsin C且sin2Asin2Bsin2C，试判断三角形的形状解由bsin Bcsin C，得b2c2，bc，ABC为等腰三角形，由sin2Asin2Bsin2C得a2b2c2，ABC为直角三角形，ABC为等腰直角三角形23已知在ABC中，c10，A45，C30，求a、b和B.解，a10.B180(AC)180(4530)105.又，b20sin 75205()24在ABC中，acos(A)bcos(B)，试判断ABC的形状解方法一acos(A)bcos(B)，asin Absin B.由正弦定理，可得ab，a2b2，ab，ABC为等腰三角形方法二acos(A)bcos(B)，asin Absin B.由正弦定理，可得2Rsin2A2Rsin2B，又A，B(0，)，sin Asin B，AB(AB不合题意，舍去)故ABC为等腰三角形25在ABC中，a5，B45，C105，解三角形解由三角形内角和定理知ABC180，所以A180(BC)180(45105)30.由正弦定理，得ba55，ca555()
